初中数学沪教版 (五四制)八年级下册第一节 多边形精品精练

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一、多边形的概念
1．定义：在平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做多边形．其中，各个角相等、各条边相等的多边形叫做正多边形．
2．相关概念：
边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．
顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点．
内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n边形有n个内角.
外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.
对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．
凸多边形
凹多边形
3. 多边形的分类:画出多边形的任何一边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形，如果整个多边形不在直线的同一侧，这个多边形叫凹多边形．如图：


要点：
(1)正多边形必须同时满足“各边相等”，“各角相等”两个条件，二者缺一不可；
(2)过n边形的一个顶点可以引(n-3)条对角线，n边形对角线的条数为；
(3)过n边形的一个顶点的对角线可以把n边形分成(n-2)个三角形．
二、多边形内角和
n边形的内角和为(n-2)·180°(n≥3)．
要点：
(1)内角和公式的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数；(2)正多边形的每个内角都相等，都等于；
三、多边形的外角和
多边形的外角和为360°．
要点：
(1)在一个多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和．n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关；
(2)正n边形的每个内角都相等，所以它的每个外角都相等，都等于；
(3)多边形的外角和为360°的作用是：①已知各相等外角度数求多边形边数；②已知多边形边数求各相等外角的度数．
题型1：多边形的概念
1．如图所示的图形中，属于多边形的有（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
2．对于正多边形，下列说法正确的是（ ）
A．正多边形的边都相等，内角都相等；
B．各边相等的多边形是正多边形；
C．各角相等的多边形是正多边形；
D．由正多边形构成的多边形是正多边形；
3．下列长度的四条线段，能作为四边形四边的是（ ）
A．，，，B．，，，C．，，，D．，，，
4．下列说法中，正确说法有
①由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形；
②多边形的两边所在直线组成的角是这个多边形的内角或外角；
③各条边都相等的多边形是正多边形．
A．0个B．1个C．2个D．3个
5．关于正多边形的概念，下列说法正确的是（ ）
A．各边相等的多边形是正多边形
B．各角相等的多边形是正多边形
C．各边相等或各角相等的多边形是正多边形
D．各边相等且各角相等的多边形是正多边形
题型2：多边形的内角和
6．若一个多边形的内角和是，则这个多边形是（ ）
A．十边形B．九边形C．八边形D．七边形
7．如图，在六边形中，若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
8．有两个多边形，它们的边数之比为，内角和之比为，则这两个多边形的边数之和为（ ）
A．12B．15C．18D．21
9．如图，六边形ABCDEF中，，，，，，则的度数为（ ）
A．120°B．125°C．130°D．140°
10．如图，在四边形中，，若沿图中虚线剪去，则_________．
11．在计算某n边形的内角和时，不小心少算了一个内角，得到和为，这个角的大小是_____________．
题型3：多边形的外角和
12．已知一个正多边形的每一个外角都是，则这个正多边形的边数是（ ）
A．8B．9C．10D．12
13．如图，正十边形与正方形共边，延长正方形的一边与正十边形的一边，两线交于点F，设，则x的值为（ ）．
A．15B．18C．21D．24
题型4：多边形的内角和与外角和综合
14．一个多边形内角和与它的外角和的比为，则这个多边形的边数为（ ）
A．9B．8C．7D．6
15．一个边形的内角和是外角和的倍，则为（ ）
A．B．C．D．
16．一个正多边形每个内角与它相邻外角的度数比为，则这个正多边形是（ ）
A．正五边形B．正六边形C．正八边形D．正十边形
题型5：多边形的对角线问题
17．过多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分为5个三角形，则这个多边形是（ ）
A．五边形B．六边形C．七边形D．八边形
18．一个多边形从一个顶点最多能引出四条对角线，这个多边形是（ ）
A．四角形B．五边形C．六边形D．七边形
19．若正多边形的一个外角为，则它的对角线条数为（ ）．
A．9条B．48条C．54条D．35条
题型6：平面镶嵌问题
20．正六边形和下列边长相同的正多边形地砖组合中，能铺满地面的是（ ）
A．正方形B．正八边形
C．正十二边形D．正四边形和正十二边形
21．下列正多边形的地板瓷砖中，使用两种不能密铺地面的是（ ）
A．正五边形和正十边形B．正三角形和正方形
C．正八边形和正方形D．正十二边形和正三角形
题型7：复杂的多边形内角和问题
22．如图，等于（ ）
A．B．C．D．
23．如图，点A、B、C、D、E在同一平面内，连接、、、、，若，则_______．
24．（1）如图1，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F=__________．
（2）如图2，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F+∠G=___________．
25．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I+∠K的度数为__．
26．如图1六边形的内角和为度，如图2六边形的内角和为度，则________．
27．图1是二环三角形，S＝∠A1+∠A2+…+∠A6=360，图2是二环四边形，S＝∠A1+∠A2+…+∠A=720，图3是二环五边形，S＝∠A1+∠A2+…+∠A=1080…聪明的同学，请你直接写出二环十边形，S＝_____________度（ ）
A．1440B．1800C．2880D．3600
一、单选题
1．下列说法中，正确的有（ ）
①由几条线段连接起来组成的图形叫多边形；
②三角形是边数最少的多边形；
③n边形有n条边、n个顶点.
A．0个B．1个C．2个D．3个
2．正多边形的每一个内角都是，那么这个正多边形是（ ）
A．正五边形B．正六边形C．正七边形D．正八边形
3．一个多边形的内角和是外角的2倍，则这个多边形共有（ ）对角线
A．0条B．2条C．5条D．9条
4．一个正多边形每个内角与它相邻外角的度数比为3：1，则这个正多边形是（ ）
A．正方形B．正六边形C．正八边形D．正十边形
5．一个多边形除了一个内角外，其余各内角的和为2000°，则这个内角是（ ）．
A．160°B．140°C．200°D．20°
6．如图，将三角形纸片沿折叠，当点A落在四边形的外部时，测量得，则为（ ）
A．B．C．D．
7．把一个多边形纸片沿一条直线截下一个三角形后，变成一个四边形，则原多边形纸片的边数不可能是（ ）
A．B．C．D．
8．已知m边形没有对角线，n边形的内、外角和相等，k边形共有k条对角线，则的值为（ ）
A．4B．3C．2D．1
9．如图，（ ）
A．B．C．D．
10．如图，从一个四边形的同一个顶点出发可以引出1条对角线，从五边形的同一个顶点出发，可以引出2条对角线，从六边形的同一个顶点出发，可以引出3条对角线，……，依此规律，从n边形的同一个顶点出发，可以引出的对角线数量为（ ）
A．nB．C．D．
二、填空题
11．若正多边形的一个外角为45°，则此正多边形为正__边形．
12．若某个多边形从一个顶点出发的对角线最多可画5条，则这个多边形的边数是________．
13．如图，将等边三角形、正方形和正五边形按如图所示的位置摆放．，则＝___．
14．多边形的边数每增加1，它的内角和就增加_________，外角和_________．
15．如图，七边形ABCDEFG中，AB，ED的延长线交于点O，外角∠1，∠2，∠3，∠4的和等于220°，则∠BOD的度数是_____度．
16．商店出售有下列形状的地板砖：①正三角形；②正方形；③正六边形；④正八边形．
（1）若只选购其中一种地砖镶满地面，可供选择的有__
（2）若只选购其中两种地砖镶满地面，可供选择的有__．
17．剪纸片：有一张长方形的纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片；从这2张中任选一张，再用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，这样共有3张纸片：从这3张中任选一张，再用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，这样共有4张纸片；……；如此下去，若最后得到10张纸片，其中有1张五边形纸片，3张三角形纸片，5 张四边形纸片，则还有一张多边形纸片的边数为________．
18．（1）如图1所示，_________；
（2）如果把图1称为二环三角形，它的内角和为；图2称为二环四边形，它的内角和为，则二环四边形的内角和为__________；二环五边形的内角和为__________；二环n边形的内角和为_________．
三、解答题
19．已知一个正多边形相邻的内角比外角大．
(1)求这个正多边形的内角与外角的度数；
(2)求这个正多边形的边数．
20．求出下列图形中x的值．
21．一个正多边形的一个内角减去与它相邻的一个外角的结果为．
(1)求这个正多边形的边数．
(2)如果该正多边形与另外一个与其边长相等的正多边形能铺满地面，直接写出这个正多边形的边数．
22．如果某个凸多边形每个内角都相等，已知从它的一个顶点出发可以引出9条对角线，那么它是几边形？它的每个内角是几度？
23．在四边形的四个内角中，最多能有几个钝角？最多能有几个锐角？
24．把20根长度相等的木条分成三部分，分别用其中两部分木条首尾相连做成两个边数相等的多边形，再用剩下的一部分木条首尾相连做成一个多边形．
(1)求这三个多边形的内角和；
(2)如果前两个多边形的边数和大于后一个多边形的边数，求这三个多边形的边数．
25．从一个多边形一边上的一点（不是顶点）出发，分别连接这个点与各个顶点，可以把这个多边形分割成若干个三角形，请你观察下图，并完成后面的填空.
当多边形的边数是4时，可以把多边形分割成_______个三角形；
当多边形的边数是5时，可以把多边形分割成_______个三角形；
当多边形的边数是6时，可以把多边形分割成_______个三角形；
……
你能看出多边形边数与分割成的三角形的个数之间有什么规律吗？
26．【相关概念】将多边形的内角一边反向延长，与另一条边相夹形成的那个角叫做多边形的外角．如图，将中的边CB反向延长，与另一边AC形成的即为的一个外角．三角形外角和与三角形内角和对应，为与三个内角分别相邻的三个外角的和．
【求解方法】借助一组内角与外角的数量关系，可以求出三角形的外角和．
如图，的外角和
．
．
【自主探究】根据以上提示，完成下列问题：
(1)将下列表格补充完整．
(2)如果一个八边形的每一个内角都相等，请用两种不同的方法求出这个八边形一个内角的度数．
27．【问题】用边形的对角线把边形分割成（个三角形，共有多少种不同的分割方案？
【探究】为了解决上面的数学问题，我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单情形入手，再逐次递进转化，最后猜想得出结论．不妨假设n边形的分割方案有种．
探究一：用四边形的对角线把四边形分割成2个三角形，共有多少种不同的分割方案？如图①，图②，显然，只有2种不同的分割方案．所以，．
探究二：用五边形的对角线把五边形分割成3个三角形，共有多少种不同的分割方案？不妨把分割方案分成三类：
第1类：如图③，用点，与连接，先把五边形分割转化成1个三角形和1个四边形，再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有种不同的分割方案，所以，此类共有种不同的分割方案．
第2类：如图④，用点，与连接，把五边形分割成3个三角形，有1种不同的分割方案，可视为种分割方案．
第3类：如图⑤，用点，与连接，先把五边形分割转化成1个三角形和1个四边形，再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有f（4）种不同的分割方案，所以，此类共有f（4）种不同的分割方案．
所以，（种）
探究三：用六边形的对角线把六边形分割成4个三角形，共有多少种不同的分割方案？不妨把分割方案分成四类：
第1类：如图⑥，用，与连接，先把六边形分割转化成1个三角形和1个五边形，再把五边形分割成3个三角形，由探究二知，有种不同的分割方案，所以，此类共有种不同的分割方案．
第2类：如图⑦，用，与连接，先把六边形分割转化成2个三角形和1个四边形．再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有种不同的分割方案．所以，此类共有种分割方案．
第3类：如图⑧，用，与连接，先把六边形分割转化成2个三角形和1个四边形．再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有种不同的分割方案．所以，此类共有种分割方案．
第4类：如图，用，与连接，先把六边形分割转化成1个三角形和1个五边形，再把五边形分割成3个三角形，由探究二知，有种不同的分割方案．所以，此类共有种分割方案．
所以，
（种）
探究四：用七边形的对角线把七边形分割成5个三角形，则与的关系为，共有______种不同的分割方案．
……
【结论】用边形的对角线把边形分割成个三角形，共有多少种不同的分割方案？（直接写出与之间的关系式，不写解答过程）
【应用】用九边形的对角线把九边形分割成7个三角形，共有多少种不同的分割方案？（应用上述结论中的关系式求解）
名称
图形
内角和
外角和
三角形
180°
360°
四边形
五边形
…
…
…
…
n边形
…