21.1-21.3 整式方程、分式方程-2023-2024学年八年级数学下册高频考点精讲与精练高分突破（沪教版）

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21.1-21.3整式方程、分式方程一、一元整式方程1. 一元整式方程：如果方程中只有一个未知数且两边都是关于未知数的整式,这个方程叫做一元整式方程;2.一元n次方程：一元整式方程中含未知数的项的最高次数是(是正整数),这个方程叫做一元次方程.3.一元高次方程概念：一元整式方程中含有未知数的项的最高次数是，若次数是大于2的正整数，这样的方程统称为一元高次方程。要点：一元高次方程应具备：整式方程;只含一个未知数;含未知数的项最高次数大于2次.二、二项方程1.概念：如果一元n次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另一边是零，那么这样的方程就叫做二项方程.要点：注 ：①=0（a≠0）是非常特殊的n次方程，它的根是0.②这里所涉及的二项方程的次数不超过6次.2.一般形式： 3. 二项方程的基本方法:是（开方）4.解的情况：当n为奇数时，方程有且只有一个实数根，；当n为偶数时，如果ab0，那么方程没有实数根.三、双二次方程1.概念：只含有偶数次项的一元四次方程. 要点：当常数项不是0时，规定它的次数为0.2.一般形式：3.解题的一般步骤：换元——解一元二次方程——回代4.解双二次方程的常用方法：因式分解法与换元法（目的是降次，使它转化为一元一次方程或一元二次方程）通过换元，把双二次方程转化为一元方程体现了“降次”的策略。要点：解高于一次的方程，基本思想就是“降次”，对有些高次方程，可以用因式分解的方法降次。用因式分解的方法时要注意：一定要使方程的一边为零，另一边可以因式分解。四、分式方程分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程.要点：（1）分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数.（2）分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）.分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程.（3）分式方程和整式方程看联系：分式方程可以转化为整式方程. 五、求解可化为一元二次方程的分式方程的步骤.可以用下面的图表示：分式方程去分母解整式方程检验增根舍去是原方程的根写出分式方程的根六、分式方程的解法1、解分式的基本思想：将分式方程转化为整式方程.转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母.在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根.因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根.2、解分式方程的一般步骤：（1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）；（2）解这个整式方程，求出整式方程的解；（3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解. 要点：1、熟练掌握用“去分母”法求解分式方程的方法.2、了解用“换元法”解特殊的分式方程（组）.3、领会分式方程“整式化”的化归思想和方法.七、解分式方程产生增根的原因方程变形时，可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根.产生增根的原因：去分母时，方程两边同乘最简公分母是含有字母的式子，这个式子有可能为零，对于整式方程来说，求出的根成立，而对于原分式方程来说，分式无意义，所以这个根是原分式方程的增根.要点：（1）增根是在解分式方程的第一步“去分母”时产生的.根据方程的同解原理，方程的两边都乘以（或除以）同一个不为0的数，所得方程是原方程的同解方程.如果方程的两边都乘以的数是0，那么所得方程与原方程不是同解方程，这时求得的根就是原方程的增根.（2）解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解方程过程中是否有错误，而是检验是否出现增根，它是在解方程的过程中没有错误的前提下进行的.题型1：整式方程1．下面四个方程中是整式方程的是（　　）．A． B． C． D．2．下列方程是一元高次方程的是（　　）A．x+3＝0 B．x2﹣3x﹣1＝0 C．x3+2x+＝0 D．x4+1＝03．解关于x的方程：4．关于x的方程,当a__________时为一元一次方程；当a________时为一元二次方程.题型2：二项方程5．下列方程中，是二项方程的是（     ）A．； B．； C．； D．6．下列方程中，二项方程是（    ）A． B．C． D．7．下列方程中，属于二项方程的是（    ）A． B． C． D．8．试写出一个二项方程，这个方程可以是________________.题型3：分式方程的概念9．已知方程：①；②③；④．这四个方程中，分式方程的个数是（    ）A．4 B．3 C．2 D．1题型4：解分式方程10．方程的解是（    ）A． B． C． D．无解11．方程的解是___．12．解方程：．13．解方程：题型5：分式方程的无解、增根问题14．若关于x的分式方程无解，则m的值为（    ）A．4 B．5 C．6 D．815．解关于的方程有增根，则的值为___________题型6：换元法16．用换元法解分式方程时，如果设，那么原方程可化为（    ）A．； B．； C．； D．．17．已知关于x的方程3，如果设y，那么原方程化为关于y的方程是 _____．题型7：求参数范围18．如果关于x的分式方程的解为正数，那么a的取值范围是___________．19．关于的方程只有一个实数根，求：的值．一、单选题1．下列方程中，是二项方程的是（    ）A．x3+8＝0 B．﹣16＝0 C．x3+x＝1 D．x2＝y22．下列方程是二项方程的是（    ）A．B．C．D．3．下列关于x的方程是分式方程的是（　　）A． B． C． D．4．下列分式方程中，解为的是（　　）A． B． C． D．5．下列方程：①；②；③；④．其中，分式方程有（　　）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个6．用换元法解方程时，若设，则原方程可化为关于y的方程是（　　）A． B． C． D．7．若关于x的分式方程无解，则a的值为（　 　）A．1 B．1或 C．-1或 D．以上都不是8．已知关于x的方程的解为．则关于y的方程的解为（　　）A． B． C． D． 9．若关于x的分式方程的解是非负整数解，且a满足不等式，则所有满足条件的整数a的值之和是（    ）A．12 B．16 C．18 D．4910．若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解是正整数，则所有满足条件的整数a的个数是（    ）A．3 B．4 C．5 D．6二、填空题11．方程________二项方程（填“是”或不是）12．已知关于x的方程是二项方程，则m= ______．13．二项方程的实数根是_______．14．方程 的解是_______．15．分式方程的解是，则_______．16．如果关于的分式方程无解，则______．17．若数使关于的分式方程的解为正数，且使关于的不等式组的解集为，则符合条件所有整数的积为______．18．对于两个非零的实数，，定义新运算．例如：．则______；若，则的值为______．三、解答题19．解方程：．20．解方程：．21．解方程：．22．解方程：23．解方程：24．关于x的方程有且只有一个实数解，求k.25．用换元法解方程：x2﹣x﹣=4．26．已知方程只有一个根，求a的值．27．＝有增根，求所有可能的t之和．