初中数学沪教版 (五四制)八年级下册22.3 特殊的平行四边形课时训练

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一、菱形的定义
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
要点：菱形的定义的两个要素：①是平行四边形.②有一组邻边相等.即菱形是一个平行四边形，然后增加一对邻边相等这个特殊条件.
二、菱形的性质
菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质：
1.菱形的四条边都相等；
2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.
3.菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称中心.
要点：
菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分成完全全等的两部分.
（2）菱形的面积有两种计算方法：一种是平行四边形的面积公式：底×高；另一种是两条对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积之和）.实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半.
（3）菱形可以用来证明线段相等，角相等，直线平行，垂直及有关计算问题.
三、菱形的判定
菱形的判定方法有三种：
1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
3.四条边相等的四边形是菱形.
要点诠释：前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，后一种方法是在四边形的基础上加上四条边相等.
题型1：菱形的性质
1．菱形具有而平行四边形不具有的性质是（ ）
A．两组对边分别相等B．两组对边分别平行
C．对角线互相平分D．对角线互相垂直
2．菱形具有而矩形也具有的性质是（ ）
A．对角线相等B．对角线互相垂直
C．对角线互相平分D．邻边相等
题型2：利用菱形的性质求长度
3．菱形的周长为，两个相邻的内角度数之比为，则较短的对角线长度是（ ）
A．B．C．D．
4．菱形相邻两角的比为，那么菱形的对角线长与边长的比为（ ）
A．B．C．D．
型3：添加一个条件判定菱形
5．如图，在中，对角线，相交于点O，若添加一个条件，使得一定为菱形，该条件是（ ）
A．B．C．D．
题型4：利用菱形的性质求角度
6．如图，在菱形ABCD中，点E是边AB上一点，，连接EC． 若，则∠BCE的度数为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，在菱形ABCD中，E是BC的中点，AE⊥BC，连接AC，则∠BAD等于（ ）
A．60°B．100°C．110°D．120°
8．如图，四边形ABCD是菱形，延长BC到E，使BD=BE，连结DE，若∠ABC=80°，则∠E的度数是（ ）
A．60°B．65°C．70°D．80°
题型5：利用菱形的性质求面积
10．已知在菱形中，，，则菱形的面积为（ ）
A．160B．80C．40D．96
11．如图，菱形的对角线与相交于点O，过点O的直线分别交，于点E，F．若阴影部分的面积为5，则菱形的面积为（ ）
A．10B．15
C．20D．25
12．如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作于点H，连接，若，，则菱形的面积为（ ）
A．B．12C．18D．24
13．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BEAC，AEBD，OE与AB交于点F．若OE＝5，AC＝8，求菱形ABCD的面积为( )
A．20B．22C．24D．40
题型6：利用菱形的性质与判定求解
14．如图，在菱形中，相交于，，是线段上一点，则的度数可能是（ ）
A．B．C．D．
15．如图，在平行四边形 中， 的平分线交 于点 ， 的平分线交 于点 ，连接 ，若 ，，则 的长为（ ）
A．B．C．D．
16．如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成一个四边形，在其中一张纸条转动的过程中，下列结论一定成立的是（ ）
A． B．四边形面积不变
C． D．四边形周长不变
17．如图，将矩形纸片分别沿、折叠，若、两点恰好都落在对角线的交点上，下列说法：①四边形为菱形，②，③若，则四边形的面积为，④，其中正确的说法有（ ）个．
A．4B．3C．2D．1
题型7：菱形的性质与判定解答题
18．如图，在中，，为的中点，，，交于点，连结，．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，则四边形的面积是________．
19．如图，矩形的对角线，相交于点O，，．
(1)判断四边形的形状，并进行证明；
(2)若，，求四边形的面积．
21．如图，的对角线，相交于点，点作的垂线，与，分别相文于点，，连接，．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，的面积是2，求的面积．
22．如图，在平行四边形中，E为对角线上一点，过点B作，，连接，，，线段交于点H．
(1)若，求证：四边形为菱形；
(2)在（1）问的基础上，若，，求四边形的面积．
一、单选题
1．下列各项中，菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ）
A．对角相等B．对边相等C．邻边相等D．对角线相等
2．在菱形中，，，则菱形的周长为（ ）
A．48B．30C．20D．10
3．若菱形的周长为8，高为1，则菱形两邻角的度数比为（ ）
A．3∶1B．4∶1C．5∶1D．6∶1
4．如图，四边形ABCD是菱形，∠BAD＝70°，则∠ACD的大小为（ ）
A．25°B．35°C．45°D．55°
5．如图，在菱形中，，对角线、相交于点O，E为中点，则的度数为（ ）
A．70°B．65°C．55°D．35°
6．下列四边形中不一定为菱形的是（ ）
A．对角线相等的平行四边形B．对角线平分一组对角的平行四边形
C．对角线互相垂直的平行四边形D．用两个全等的等边三角形拼成的四边形
7．如图，菱形中，，，于点，则（ ）
A．24B．10C．D．
8．菱形中，对角线交于点O，给出下列结论：①，②，③，其中正确的有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
9．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，已知AO=2，OB=，则菱形ABCD的面积是（ ）
A．B．C．4D．9
10．菱形中，．点、分别在边、上，且．若，则的面积为（ ）．
A．B．C．D．
11．如图，矩形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O,CE∥BD, DE∥AC , AD＝2, DE＝2,则四边形 OCED 的面积为（ ）
A．2B．4C．4D．8
12．如图，把菱形ABCD向右平移至DCEF的位置，作EG⊥AB，垂足为G，EG与CD相交于点K，GD的延长线交EF于点H，连接DE，则下列结论：①BG=AB+HF；②DG=DE；③∠DHE=∠BAD；④∠B=∠DEF，其中正确结论的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题
13．矩形和菱形都是常见的几何图形，请根据它们的性质，写出矩形和菱形的两个不同点：①_________﹔②________．
14．如图，菱形ABCD中，AB＝5，∠BCD＝120°，则对角线AC的长是_____．
15．已知一个菱形的周长为，有一个内角为，则较长的一条对角线长为_________．
16．如图，在菱形中，对角线与相交于点O，，垂足为E点，若，则________．
17．如图，在菱形ABCD中，AB∥y轴，且B（-3，1），C（1，4），则点A的坐标为________．

18．如图，在四边形中，对角线相交于点，且互相垂直平分，若，若上有一点，使，那么_______．
19．如图，在菱形ABCD中，，∠BCD＝60°，对角线AC、BD相交于点O，点E是OC上一点，连接ED，若，则DE的长为______．
20．如图，菱形ABCD中，，AC与BD交于点O，E为CD延长线上一点，且，连结BE，分别交AC，AD于点F、G，连结OG，则下列结论：①；②；③由点A、B、D、E构成的四边形是菱形；④．其中正确的结论是______（请填写正确的序号）
三、解答题
21．已知▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，OA，OB，AB的长分别为3，4，5，求其他各边以及两条对角线的长度．
22．已知：如图，在菱形中，，对角线与相交于点O．
求证：（1）；
（2）．
23．如图，在中，交于点，点在上，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若求证：四边形是菱形．
24．如图，线段，D是线段AC上一点，连接DE交AB于点F，若AF＝BF，求证：
(1)DF=EF；
(2)连接AE，BD，若△ABC是等边三角形∠E=30°， 求证：四边形ADBE是菱形．
25．如图，在菱形中，对角线，相交于点，点，分别在，上，连接，，，．
(1)求证：；
(2)若，求菱形的周长．
26．如图，在四边形ABCD中，，，对角线AC，BD交于点O，AC平分，过点C作交AB的延长线于点E，连接OE．
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)若，，求OE的长．
27．已知在菱形ABCD中，点P在CD上，连接AP．
(1)在BC上取点Q，使得∠PAQ＝∠B，
①如图1，当AP⊥CD于点P时，求证：AP=AQ ．
②如图2，当AP与CD不垂直时，判断①中的结论（即AP=AQ）是否仍然成立，若成立，请给出证明，若不成立，则需说明理由．
(2)如图3，在CD的延长线取点N，连接AN，使得∠PAN＝∠B，若AB＝6，∠B＝60°，∠ANC＝45°，求此时线段DN的长．