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专题20 直线、射线、线段之九大考点-七年级数学上册重难点专题提优训练（人教版）
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这是一份专题20 直线、射线、线段之九大考点-七年级数学上册重难点专题提优训练（人教版），文件包含专题20直线射线线段之九大考点原卷版docx、专题20直线射线线段之九大考点解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共44页， 欢迎下载使用。
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TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc10807" 【典型例题】 PAGEREF _Tc10807 \h 1
\l "_Tc24677" 【考点一 直线、射线、线段的联系与区别】 PAGEREF _Tc24677 \h 1
\l "_Tc16212" 【考点二 画直线、射线、线段】 PAGEREF _Tc16212 \h 3
\l "_Tc3535" 【考点三 两点确定一条直线】 PAGEREF _Tc3535 \h 6
\l "_Tc20856" 【考点四 两点之间线段最短】 PAGEREF _Tc20856 \h 7
\l "_Tc26209" 【考点五 作线段（尺规作图）】 PAGEREF _Tc26209 \h 8
\l "_Tc106" 【考点六 线段的应用】 PAGEREF _Tc106 \h 10
\l "_Tc32430" 【考点七 线段的和与差】 PAGEREF _Tc32430 \h 12
\l "_Tc23223" 【考点八 线段中点的有关计算】 PAGEREF _Tc23223 \h 14
\l "_Tc20045" 【考点九 线段n等分点的有关计算】 PAGEREF _Tc20045 \h 17
\l "_Tc30698" 【过关检测】 PAGEREF _Tc30698 \h 19
【典型例题】
【考点一 直线、射线、线段的联系与区别】
例题：（2023秋·黑龙江双鸭山·七年级校联考开学考试）下列各图中直线的表示方法正确的是（ ）
A．直线B．直线C．直线D．直线
【答案】A
【分析】根据直线的表示方法作答即可．
【详解】解：由题意知，图中直线的表示方法正确的是直线，
故选：A．
【点睛】本题考查了直线的表示方法．解题的关键在于熟练掌握：直线有两种表示方法： ①可以用一个小写字母表示，如直线a； ②用直线上任意两点的大写字母表示，如直线或直线．
【变式训练】
1.（2023秋·全国·七年级课堂例题）下列说法错误的是（ ）
A．直线与直线是同一条直线B．线段与线段是同一条线段
C．射线与射线是同一条射线D．射线与线段都是直线的一部分
【答案】C
【分析】直线是无端点，向两边无限延伸，取直线上的两个点，用大写字母表示该直线；射线是有一个端点，向一边无限延伸，端点不同，射线不同；线段有两个端点，线段与线段是同一条线段，可度量长度，由此即可求解．
【详解】解：、直线与直线是同一条直线，正确，不符合题意；
、线段与线段是同一条线段，正确，不符合题意；
、射线与射线不是同一条射线，端点不同，射线不同，原选项错误，符合题意；
、射线与线段都是直线的一部分，正确，不符合题意；
故选：．
【点睛】本题主要考查直线，射线，线段的概念及表示，掌握其概念及表示方法是解题的关键．
2.（2023秋·全国·七年级课堂例题）如图，点A，B，C在直线l上，下列说法中正确的有（ ）
①只有一条直线；②能用字母表示的射线共有3条；③一共有三条线段；④延长直线；⑤延长线段和延长线段的含义是相同的；⑥点B在线段上．
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】B
【分析】根据直线、射线、线段的定义与表示：直线是从客观事物中抽象出来的，直线没有尽头，是向两方无限延伸的，用直线上任意两点的大写字母表示，可用一个小写字母表示；直线上的一点和它一旁的部分叫做射线，用两个大写字母表示，一条射线可用它的端点和射线上另一点来表示，也可用一个小写字母表示；直线上两个点和它们之间的部分叫做线段，可用表示端点的两个大写字母表示，也可用一个小写字母表示．观察图形，逐项判断，选择答案即可．
【详解】①直线没有尽头，是向两方无限延伸的，即图中只有一条直线，故原说法正确；
②能用字母表示的射线有射线、射线、射线、射线，共4条，故原说法错误；
③线段有线段、线段、线段，一共有三条，故原说法正确；
④直线是向两方无限延伸的，没有长度，不能再延长，故原说法错误；
⑤延长线段和延长线段的延长方向不同，含义不同，故原说法错误；
⑥观察图形，点B在线段上，该说法正确．
综上，说法中正确的有①、③、⑥这3个．
故选：B．
【点睛】本题考查了直线、射线、线段的定义与表示，理解直线、射线、线段的定义与表示是解题的关键．
【考点二 画直线、射线、线段】
例题：（2023秋·福建福州·七年级校考阶段练习）已知A，B，C，D四点．
(1)画线段，射线，直线；
(2)连接，与直线交于点E；
(3)连接，并延长与射线交于点F．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）根据线段、射线、直线的定义分别画出即可；
（2）根据连接两点即为线段得出即可；
（3）根据延长线段的方法得出即可．
【详解】（1）解：线段，射线，直线即为所求；
（2）解：如图，点E即为所求；
（3）解：如图，点F即为所求．
【点睛】此题主要考查了线段、射线、直线的定义以及其画法，熟练掌握定义是解题关键．
【变式训练】
1.（2023秋·全国·七年级课堂例题）如图，平面上有四个点，根据下列语句画图：
(1)画线段交于点；
(2)作射线；
(3)取一点，使点既在直线上又在直线上；
(4)在线段延长线上作线段．
【答案】(1)作图见详解
(2)作图见详解
(3)作图见详解
(4)作图见详解
【分析】（1）根据线段的概念“有两个端点，不可延伸”，由此即可求解；
（2）根据射线的概念“有一个端点，向一边无限延伸”， 由此即可求解；
（3）根据直线的概念“无端点，向两边无限延伸”，两直线相交，由此即可求解；
（4）根据线段的特点，作线段等于已知线段的方法即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，连接交于点，
（2）解：如图所示，端点为点，作射线，
（3）解：如图所示，连接向两边无限延伸，交于点，
（4）解：如图所示，连接并延长至点，使得，
【点睛】本题主要考查直线，射线，线段的定义及表示，作法，掌握其概念，图形结合分析是解题的关键．
2.（2023秋·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第六十九中学校校考开学考试）如图，平面内四点A、B、C、D，根据下列语句画图：
(1)画直线；
(2)画射线；
(3)画线段；
(4)延长线段与直线相交于点E．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
(4)见解析
【分析】根据直线、射线、线段的定义作图即可．
【详解】（1）如图所示直线即为所求；
（2）如图所示射线即为所求；
（3）如图所示线段即为所求；
（4）如图所示点E即为所求．
【点睛】本题考查了线段、射线、直线的定义，解题的关键是注意射线有一个端点，另一端无限延伸；直线没有端点；线段有两个端点．
【考点三 两点确定一条直线】
例题：（2022春·黑龙江齐齐哈尔·七年级克东县第三中学校考开学考试）要在墙上定一根木条，至少要用两颗钉子，这是因为 ．
【答案】两点确定一条直线
【分析】运用直线的性质直接解答即可．
【详解】解：由直线的性质知：在墙上固定一根木条至少要两个钉子，这是因为两点确定一条直线．
故答案为：两点确定一条直线．
【点睛】本题主要考查了直线的性质，熟练掌握两点确定一条直线是解题的关键．
【变式训练】
1.（2023春·河南信阳·七年级校联考阶段练习）生活中有下列现象如图所示．对于这个现象，请你用数学知识解释 ．
【答案】两点确定一条直线
【分析】根据直线的性质即可得解．
【详解】解：木匠师傅锯木料时，一般先在木板上画出两个点，然后过这两点弹出一条墨线，利用了“两点确定一条直线”；
故答案为：两点确定一条直线．
【点睛】本题考查了“两点确定一条直线”，解题的关键是从实际应用中找到数学原理．
2.（2023秋·河南安阳·七年级校考期末）在安装如图所示的挂衣钩时，小明先在墙上标记两个固定孔，就可以预先确定好挂衣钧合适的位置，这样做的依据是： ．
【答案】两点确定一条直线
【分析】根据直线的性质解答即可．
【详解】解：这样做的依据是：两点确定一条直线．
故答案为：两点确定一条直线．
【点睛】本题考查了直线的性质，熟练掌握两点确定一条直线是解答本题的关键．
【考点四 两点之间线段最短】
例题：（2023秋·全国·七年级课堂例题）如图，学生要去博物馆参观，从学校A处到博物馆B处的路线共有（1）（2）（3）三条．假设行走的速度不变，为了节约时间，尽快从A处赶到B处，你认为应该走第 条路线（只填编号），理由是 ．
【答案】 （2） 两点之间，线段最短
【分析】根据两点之间线段最短原理解答即可．
【详解】根据两点之间线段最短，
∴选择第（2）条路线，
故答案为：（2），两点之间，线段最短．
【点睛】本题考查了两点之间线段最短原理，熟练掌握原理是解题的关键．
【变式训练】
1.（2022秋·河南南阳·七年级校考期末）如图，田亮同学用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩树叶的周长比原树叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是 ．
【答案】两点之间，线段最短
【分析】利用线段的性质可得答案．
【详解】解：田亮同学用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是两点之间，线段最短．
故答案为：两点之间，线段最短．
【点睛】此题主要考查了线段的性质，关键是掌握两点之间，线段最短．
2.（2022秋·湖北咸宁·七年级统考期末）如图：“小草青青，足下留情”，为抄近路践踏草坪是一种不文明的现象，请你用数学知识解释出这一不文明现象的原因是： ，
【答案】两点之间线段最短
【分析】根据两点之间线段最短即可求解．
【详解】解：依题意，为抄近路践踏草坪是因为两点之间线段最短，
故答案为：两点之间线段最短．
【点睛】本题考查了两点之间线段最短，熟练掌握两点之间线段最短是解题的关键．
【考点五 作线段（尺规作图）】
例题：（2023春·福建福州·七年级统考开学考试）如图，已知线段，．
(1)延长线段到D，使得（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．
(2)在（1）的条件下，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）延长线段，在延长线上截取即可；
（2）先求出，再根据，然后由求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，线段即为所作，
（2）解：∵，，
∴
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查作一条线段等于已知线段，线段和差，熟练掌握作一条线段等于已知线段和线段差的计算是解题的关键．
【变式训练】
1.（2022秋·山东菏泽·七年级校考阶段练习）尺规作图，已知：线段，，求作：（保留作图痕迹，不写作法）．
【答案】见解析
【分析】在射线上依次截取，在上截取，则线段满足条件．
【详解】解：如图，为所作；
．
【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
2.（2022秋·福建厦门·七年级统考期末）如图，点在线段上，点是线段的中点，．
(1)尺规作图：延长线段，并在延长线上作一点，使得；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，若，求线段的长度．
【答案】(1)见解析
(2)7
【分析】（1）延长线段，在延长线上截取即可；
（2）根据中点的定义求出，再根据求出，结合即可求解．
【详解】（1）解：，
若，则，
以点B为圆心，长为半径作弧，与线段的延长线的交点即为点D，如下图所示：
；
（2）解：点是线段的中点，，
，
，
，
由（1）知，
．
【点睛】本题考查尺规作图——作一线段等于已知线段，中点的定义，线段的和差关系等，难度一般，解题的关键是熟练掌握上述知识点．
【考点六 线段的应用】
例题：（2023秋·河南许昌·七年级统考期末）2022年9月8日，随着列车从郑州港区段鸣笛出发，郑许市域铁路开始空载试运行，未来“双城生活模式”指日可待．图中展示了郑许市域铁路的其中五个站点，若要满足乘客在这五个站点之间的往返需求，铁路公司需要准备 种不同的车票．
【答案】20
【分析】先求得单程的车票数，在求出往返的车票数即可．
【详解】解：5个点中线段的总条数是（种），
∵任何两站之间，往返两种车票，
∴应印制（种），
故答案为：20．
【点睛】此题考查了数线段，解决本题的关键是掌握“直线上有个点，则线段的数量有条”．
【变式训练】
1.（2023秋·七年级课时练习）由汕头开往广州东的D7511动车，运行途中须停靠的车站依次是：汕头→潮汕→普宁→汕尾→深圳坪山→东莞→广州东．那么要为D7511动车制作的车票一共有（ ）
A．6种B．7种C．21种D．42种
【答案】D
【分析】从汕头要经过6个地方，所以要制作6种车票；从潮汕要经过5个地方，所以制作5种车票；以此类推，则应分别制作4、3、2、1种车票，因为是来回车票，所以需要×2，即可得出答案．
【详解】共制作的车票数＝2×（6＋5＋4＋3＋2＋1）＝42（种）．
故选：D．
【点睛】本题考查了线段、射线、直线等知识点，解此题的关键是能得出规律，学会用数学来解决实际问题．
2.（2022秋·河北沧州·七年级统考期中）如图，AB是一段高铁行驶路线图图中字母表示的5个点表示5个车站在这段路线上往返行车，需印制（ ）种车票．
A．25B．20C．16D．10
【答案】B
【分析】观察可以发现，每个车站作为起始站，可以到达除本站外的任何一个站，需要印制（5-1）种车票，而有5个起始站，故可以直接列出算式．
【详解】解：5×（5-1）=20，
故选：B
【点睛】本题考查了线段的知识，解题关键是要理解题意，每个车站都既可以作为起始站，可以到达除本站外的任何一个站．
【考点七 线段的和与差】
例题：（2023秋·七年级课时练习）如图，C，D是线段AB上的两点，且，已知图中所有线段的长度之和为81，则的长为 ．
【答案】9
【分析】根据，可得，，图中所有的线段有：，，，，，，再根据所有线段的长度之和为81，列出等式求出，问题随之即可作答．
【详解】∵，
∴，，
结合图形可知，共有线段6条：，，，，，，
∵图中所有线段的长度之和为81，
∴，
∵，，，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：9．
【点睛】本题主要考查了线段的和差等数量关系的计算，找出图中所有的线段为，，，，，，是解答本题的关键．
【变式训练】
1.（2023秋·七年级课时练习）如图所示，则：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ．
【答案】 / / / /
【分析】结合图形，根据线段的和差的计算方法计算即可．
【详解】（1）结合图形有：
；
（2）∵，
∴；
（3）∵，
∴；
（4）∵，
∴；
∵，
∴；
故答案为：，，，．
【点睛】本题主要考查了线段的和与差，注重数形结合，是解答本题的关键．
2.（2023秋·全国·七年级课堂例题）已知平面上有一条线段，探讨下列问题：
(1)平面上是否存在一点，使它到两点的距离之和等于？说明理由；
(2)平面上是否存在一点，使它到两点的距离之和等于？若存在，它的位置唯一吗？
(3)当点到两点的距离之和等于时，点一定在直线外吗？请举例说明．
【答案】(1)不存在，理由见解析
(2)存在，位置不唯一
(3)不一定，见解析
【分析】（1）根据两点之间线段最短，进行作答即可；
（2）根据线段的和差计算，进行说明即可；
（3）根据线段的和，进行说明即可．
【详解】（1）解：不存在．理由：因为两点之间，线段最短，
所以．
而，
所以．
即平面上不存在一点，使它到两点的距离之和等于．
（2）存在．
当点在线段上时，；
点的位置不唯一，它是线段上的任意一点．
（3）不一定．如图所示（当点在线段的延长线上，且时也符合题意）：
，符合题意．
【点睛】本题考查线段的和差计算．熟练掌握两点之间线段最短，是解题的关键．
【考点八 线段中点的有关计算】
例题：（2023秋·江苏徐州·七年级校考阶段练习）如图，线段，C是线段上一点，，M是的中点，N是的中点
(1)图中共有 条线段
(2)求线段的长
【答案】(1)10
(2)
【分析】（1）根据线段有两个端点，写出所有线段后计算个数；
（2）由M是中点可得长度，求出的长，由N是中点知，进而可得长．
【详解】（1）图中的线段有、、、、、、、、、这10条．
故答案为：10；
（2）∵，M是的中点，
∴．
∵，，
∴，
又∵N是的中点，
∴；
∴．
【点睛】本题考查了两点间的距离：连接两点间的线段的长度叫两点间的距离．数形结合是解答本题的关键．
【变式训练】
1.（2023秋·七年级课时练习）如图，已知线段上有两点，，且，点，分别为，的中点，．求的长．
【答案】
【分析】先根据设，则，再利用中点的性质用x表示出的长，然后利用计算出x的值，再利用，就可以得到的长.
【详解】解：因为，
所以设，，．
因为，分别是，的中点，
所以，．
所以，
所以．
所以．
【点睛】本题考查线段的和差，中点定义，巧设未知数表示线段的长是解题的关键．
2.（2023秋·七年级课时练习）已知，在线段上．
(1)如图，共有________条线段；
(2)如图，．
①比较线段的大小：________（填“>”“=”或“<”）；
②若，，则的长为________；
(3)若，且为的中点，求与的数量关系．（温馨提醒：重新画图）．
【答案】(1)6
(2)①=；②20
(3)
【分析】（1）根据图形依次数出线段的条数即可；
（2）①根据等式的性质即可得到答案；②依据线段的和差关系进行计算，即可得出的长；
（3）根据题意画出图形，设，则，利用中点的性质分别表示出与的长度，分析关系即可．
【详解】（1）解：图中有线段：，，，，，，共6条．
（2）解：①因为，所以，即．
②因为，，所以，
因为，所以，
所以．
（3）解：如图1，
当点在的延长线上，
设，则．
因为为的中点，所以，
所以，
所以，
所以．
如图2，
当点在线段上时，
设，则．
因为为的中点，所以，
所以，
所以，
所以．
【点睛】本题主要考查了线段的长度计算和线段中点的性质，关键是掌握线段的和、差、倍、分及计算方法．
【考点九 线段n等分点的有关计算】
例题：（2023秋·四川成都·七年级统考期末）（1）如图1，点C在线段上，M，N分别是，的中点．若，，求的长；
（2）设，C是线段上任意一点（不与点A，B重合），
①如图2，M，N分别是，的三等分点，即，，求的长；
②若M，N分别是，的n等分点，即，，直接写出的值．
【答案】（1）；（2）①；②
【分析】（1）由中点的定义可得，然后根据求解即可；
（2）由，可得，然后根据求解即可；
（3）仿照（2）的过程求解即可．
【详解】解：（1）∵M，N分别是，的中点
∴
∵
∴
（2）①∵
∴
∵
∴；
②
．
【点睛】本题考查线段的中点、线段的和差，解题的关键是掌握线段中点的定义及线段和差运算．
【变式训练】
1.（2023秋·陕西宝鸡·七年级校考期末）如图，已知点B在线段上，，，P、Q分别为线段、上两点，，，则线段的长为 ．
【答案】7
【分析】根据已知条件算出BP和CQ，从而算出BQ，再利用PA=BP+BQ得到结果．
【详解】解：∵AB=9，BP=AB，
∴BP=3，
∵BC=6，CQ=BC，
∴CQ=2，
∴BQ=BC-CQ=6-2=4，
∴PQ=BP+BQ=3+4=7，
故答案为：7．
【点睛】本题考查了两点间距离，线段的和差，熟练掌握线段上两点间距离的求法，灵活运用线段的和差倍分关系解题是关键．
【过关检测】
一、单选题
1．（23·24上·聊城·阶段练习）如图，A，B在直线l上，下列说法正确的是（ ）
A．射线和射线是同一条射线
B．图中以点A为端点的射线有两条
C．直线和直线不是同一条直线
D．延长线段和延长线段的含义是相同的
【答案】B
【分析】根据直线，射线，线段延长线的定义依次进行判断即可得．
【详解】解：A、射线和射线是不同的射线，选项说法错误，不符合题意；
B、图中以点A为端点的射线有两条，选项说法正确，符合题意；
C、直线和直线是同一条直线，选项说法错误，不符合题意；
D、延长线段和延长线段，延长方向不同，含义不同，选项说法错误，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了直线，射线，延长线，解题的关键是掌握这些知识点．
2．（23·24上·聊城·阶段练习）下列几何图形与相应语言描述相符的有（ ）
①直线a、b相交于点A；②射线与线段没有公共点；③延长线段；④直线经过点A.
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】利用线段、直线和射线的语言描述逐一判断即可解题．
【详解】①直线a、b相交于点A，描述正确；
②射线与线段有公共点，描述错误；
③延长线段，描述正确；
④直线不经过点A，描述错误；
故选B．
【点睛】本题考查线段、射线和直线的语言描述，熟练把图形语言转化为文字语言是解题的关键．
3．（23·24上·聊城·阶段练习）在下列生活、生产现象中，不可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的有( )
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】A
【分析】直接利用直线的性质和线段的性质逐一分析，即可得到答案．
【详解】解：平板弹墨线，可以用“两点确定一条直线”来解释；
建筑工人砌墙，可以用“两点确定一条直线”来解释；
会场摆直茶杯，可以用“两点确定一条直线”来解释；
弯河道改直，可以用“两点间线段最短”来解释，不可以用“两点确定一条直线”来解释；
故不可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的有1个，
故选A．
【点睛】本题考查了直线的性质和线段的性质，正确理解相关性质是解题关键．
4．（23·24上·沙坪坝·阶段练习）如图，点M、点C在线段AB上，点M是线段AB的中点，AC＝2BC，若MC＝2，则AB的长为（ ）．
A．8B．10C．12D．16
【答案】C
【分析】根据线段中点的定义和线段的和差即可得到结论.
【详解】解：设为，
∵，，
∴，
又∵点是的中点，
∴，
∵，
∴，
解得.
故选：.
【点睛】本题考查了两点间的距离，线段中点的定义，熟练掌握线段中点的定义是解题的关键.
5．（23·24上·西安·阶段练习）如图，、、是一条公路上的三个村庄，、间的路程为间的路程为，现要在之间建一个车站，若要使车站到三个村庄的路程之和最小，则车站应建在何处？（ ）
A．点处B．线段之间C．线段的中点D．线段之间
【答案】A
【分析】设、间的路程为，分类讨论，当点在点的左侧和点在点的右侧，用含的代数式表示车站到三个村庄的路程之和，就可以得出结论．
【详解】解∶设、间的路程为，由题意，得
如图，当点在点的左侧．
车站到三个村庄的路程之和为∶；
如图，当点在点的右侧，
车站到三个村庄的路程之和为∶．
综上所述∶车站到三个村庄的路程之和为；
∴当时，路程之和最小为．
∴当车站建在村庄处，车站到三个村庄的路程之和最小．
故选∶ A．
【点睛】本题考查了分类讨论思想的运用，代数式的运用，解答时求得车站到三个村庄的路程之和是关键．
二、填空题
6．（23·24上·全国·课堂例题）线段的表示方法：
（1）用代表线段两个 的大写字母来表示，无先后顺序；
（2）用一个 来表示．图中的线段可表示为线段 （或线段 ）或表示为线段 ．
【答案】 端点 小写字母
【分析】（1）根据线段的表示：直线上两个点和它们之间的部分叫做线段，可用表示端点的两个大写字母表示．填空即可．
（2）根据线段的定义与表示：直线上两个点和它们之间的部分叫做线段，可用表示端点的两个大写字母表示，也可用一个小写字母表示．观察图形，填空即可．
【详解】（1）用代表线段两个端点的大写字母来表示线段．
故答案为：端点；
（2）用一个小写字母来表示线段．图中的线段可表示为线段（或线段）或表示为线段．
故答案为：小写字母；；；．
【点睛】本题考查了线段的定义与表示，理解线段的定义与表示是解题的关键．
7．（23·24上·长春·期末）如图，从A地到B地有三条路径，当人们希望路程越短越好时，往往选择线段，这里体现的数学基本事实是 ．
【答案】两点之间，线段最短
【分析】根据两点之间线段最短解答．
【详解】解：在路径：，以及曲线路线中，最近，因为两点之间，线段最短．
故答案为：两点之间，线段最短．
【点睛】本题考查了线段的性质，熟记两点之间，线段最短是解题的关键．
8．（23·24上·福州·阶段练习）数轴上，点A，B对应的数是和6，点C是线段的中点，则点C对应的数是 ．
【答案】//
【分析】先求出，由点C是线段的中点得到，即可得到答案．
【详解】解：∵点A，B对应的数是和6，
∴，
∵点C是线段的中点，
∴，
∴点C对应的数是，
故答案为：
【点睛】此题考查了数轴上的点表示数、两点间的距离、线段中点的定义等知识，求出是解题的关键．
9．（23·24上·聊城·阶段练习）某高铁线路为往返于A市和E市，全长106千米，全线共设A、B、C、D、E五个车站，任意两站之间的距离都不相等，高铁集团要为乘客准备 种车票，有 种票价．
【答案】 20 10
【分析】先求出线段的条数，再计算票价和车票的种数．
【详解】解：根据线段的定义：可知图中共有线段有，，，，、、、、、共10条，
所以有10种不同的票价；
因车票需要考虑方向性，如，“”与“”票价相同，但车票不同，故需要准备20种车票．
故答案为： 20； 10．
【点睛】本题考查线段的定义，要求学生准确应用；学会查找线段的条数．
10．（23·24上·南昌·期中）如图，图中数轴的单位长度为．若原点为的四等分点，则点代表的数为 ．
【答案】或或
【分析】根据线段的四等分点有个，分三种情况并结合图形即可得出答案．
【详解】解：∵图中数轴的单位长度为，
∴，
①如图，当点靠近点时，
∵原点为的四等分点，
∴，
∴点代表的数为；
②如图，当点恰好是线段的中点时，
∵原点为的四等分点，
∴，
∴点代表的数为；
③如图，当点靠近点时，
∵原点为的四等分点，
∴，
∴点代表的数为；
综上所述，点代表的数为或或，
故答案为：或或．
【点睛】本题考查线段的四等分点，用数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间的距离，运用了分类讨论的思想．解题的关键是掌握线段的四等分点的定义：把一条线段平均分成份．
三、解答题
11．（22·23下·淮安·开学考试）如图，延长至，使为的中点，点在上，．
(1)＝ ， ；
(2)若，求的长．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）由B是的中点，知．由，得．代入求解．
（2）由，得，于是，代入求解．
【详解】（1）解：∵B是的中点，
∴．
∵，
∴．
∴．
（2）解：∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
【点睛】本题考查线段中点定义，线段间数量关系的理解和运用；理解中点定义，熟练运用已知的数量关系作等量代换是解题的关键．
12．（22·23下·长沙·阶段练习）如图，已知线段，，是的中点．
(1)求线段的长；
(2)在上取一点，使得，求线段的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据图示知，，，根据上两式即可求解；
（2）根据已知条件求得，，然后根据图示知，据此求解即可．
【详解】（1）∵，，
∴．
又∵是的中点，
∴．
（2）∵，，
∴．
又∵是的中点，
∴．
∴．
【点睛】本题考查线段的长的求法，关键是得到能表示出它的相关线段的长．利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键．
13．（23·24上·聊城·阶段练习）如图，在平面内有A、B、C三点，
(1)利用尺规，按下面的要求作图．要求：不写画法，保留作图痕迹，不必写结论；
①作射线；
②作线段；
③连接，并在线段上作一条线段，使，连接．
(2)数数看，此时图中线段共有______条．
【答案】(1)①见解析；②见解析；③见解析
(2)6
【分析】（1）①根据射线的定义，作出图形即可；②根据线段的定义，作出图形即可；③根据题意，按照要求作出图形即可；
（2）根据线段的定义即可求解．
【详解】（1）如图所示：
（2）图中的线段有：共6条．
故答案为：6．
【点睛】本题考查作图—复杂作图，两点之间线段最短，射线、线段的画法以及作一条线段等于已知线段．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
14．（22·23下·泰安·期末）如图1，已知在线段上．
(1)图1中共有_________条线段；
(2)若；
①比较线段的长短：_________（填“>”“=”或“<”）；
②如图2，若是的中点，是的中点，求线段的长度．
【答案】(1)6
(2)①；②9
【分析】（1）根据图形依次数出线段的条数即可；
（2）①根据不等式的性质即可得到答案；②依据线段的和差关系进行计算，即可得出的长度．
【详解】（1）解：以为端点的线段有、、共3条；
以为端点的线段有、共2条；
以为端点的线段为，有1条，
故共有线段的条数为：，
故答案为：6；
（2）解：①若，则，
即．
故答案为：；
②∵，
∴，
∵是的中点，是的中点
∴，
∴
∴．
【点睛】本题主要考查了线段数量、线段的长度计算和线段中点的性质，解题关键是熟练掌握线段的和、差、倍、分及计算方法．
15．（23·24上·全国·课堂例题）（1）如图①，已知点在线段上，线段分别是的中点，求线段的长；
（2）如图①，已知点在线段上，线段，分别是的中点，求线段的长；
（3）如图①，已知点在线段上，线段，分别是的中点，求线段的长；
（4）如图②，已知点在线段的延长线上，线段分别是的中点，则线段的长为________________．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）
【分析】（1）分别计算和的长，求和即可；
（2）根据中点的定义和线段的和差可得，即可求解；
（3）根据中点的定义和线段的和差可得，即可求解；
（4）根据中点的定义和线段的和差可得，即可求解．
【详解】解：（1）因为是的中点，是的中点，
所以．
所以．
（2）因为是的中点，是的中点，
所以．
所以．
（3）因为是的中点，是的中点，
所以．
所以．
（4）因为是的中点，是的中点，
所以．
所以
故答案为：．
【点睛】本题考查线段的和差，线段中点的相关计算，掌握线段中点的定义是解题的关键．
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc10807" 【典型例题】 PAGEREF _Tc10807 \h 1
\l "_Tc24677" 【考点一 直线、射线、线段的联系与区别】 PAGEREF _Tc24677 \h 1
\l "_Tc16212" 【考点二 画直线、射线、线段】 PAGEREF _Tc16212 \h 3
\l "_Tc3535" 【考点三 两点确定一条直线】 PAGEREF _Tc3535 \h 6
\l "_Tc20856" 【考点四 两点之间线段最短】 PAGEREF _Tc20856 \h 7
\l "_Tc26209" 【考点五 作线段（尺规作图）】 PAGEREF _Tc26209 \h 8
\l "_Tc106" 【考点六 线段的应用】 PAGEREF _Tc106 \h 10
\l "_Tc32430" 【考点七 线段的和与差】 PAGEREF _Tc32430 \h 12
\l "_Tc23223" 【考点八 线段中点的有关计算】 PAGEREF _Tc23223 \h 14
\l "_Tc20045" 【考点九 线段n等分点的有关计算】 PAGEREF _Tc20045 \h 17
\l "_Tc30698" 【过关检测】 PAGEREF _Tc30698 \h 19
【典型例题】
【考点一 直线、射线、线段的联系与区别】
例题：（2023秋·黑龙江双鸭山·七年级校联考开学考试）下列各图中直线的表示方法正确的是（ ）
A．直线B．直线C．直线D．直线
【答案】A
【分析】根据直线的表示方法作答即可．
【详解】解：由题意知，图中直线的表示方法正确的是直线，
故选：A．
【点睛】本题考查了直线的表示方法．解题的关键在于熟练掌握：直线有两种表示方法： ①可以用一个小写字母表示，如直线a； ②用直线上任意两点的大写字母表示，如直线或直线．
【变式训练】
1.（2023秋·全国·七年级课堂例题）下列说法错误的是（ ）
A．直线与直线是同一条直线B．线段与线段是同一条线段
C．射线与射线是同一条射线D．射线与线段都是直线的一部分
【答案】C
【分析】直线是无端点，向两边无限延伸，取直线上的两个点，用大写字母表示该直线；射线是有一个端点，向一边无限延伸，端点不同，射线不同；线段有两个端点，线段与线段是同一条线段，可度量长度，由此即可求解．
【详解】解：、直线与直线是同一条直线，正确，不符合题意；
、线段与线段是同一条线段，正确，不符合题意；
、射线与射线不是同一条射线，端点不同，射线不同，原选项错误，符合题意；
、射线与线段都是直线的一部分，正确，不符合题意；
故选：．
【点睛】本题主要考查直线，射线，线段的概念及表示，掌握其概念及表示方法是解题的关键．
2.（2023秋·全国·七年级课堂例题）如图，点A，B，C在直线l上，下列说法中正确的有（ ）
①只有一条直线；②能用字母表示的射线共有3条；③一共有三条线段；④延长直线；⑤延长线段和延长线段的含义是相同的；⑥点B在线段上．
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】B
【分析】根据直线、射线、线段的定义与表示：直线是从客观事物中抽象出来的，直线没有尽头，是向两方无限延伸的，用直线上任意两点的大写字母表示，可用一个小写字母表示；直线上的一点和它一旁的部分叫做射线，用两个大写字母表示，一条射线可用它的端点和射线上另一点来表示，也可用一个小写字母表示；直线上两个点和它们之间的部分叫做线段，可用表示端点的两个大写字母表示，也可用一个小写字母表示．观察图形，逐项判断，选择答案即可．
【详解】①直线没有尽头，是向两方无限延伸的，即图中只有一条直线，故原说法正确；
②能用字母表示的射线有射线、射线、射线、射线，共4条，故原说法错误；
③线段有线段、线段、线段，一共有三条，故原说法正确；
④直线是向两方无限延伸的，没有长度，不能再延长，故原说法错误；
⑤延长线段和延长线段的延长方向不同，含义不同，故原说法错误；
⑥观察图形，点B在线段上，该说法正确．
综上，说法中正确的有①、③、⑥这3个．
故选：B．
【点睛】本题考查了直线、射线、线段的定义与表示，理解直线、射线、线段的定义与表示是解题的关键．
【考点二 画直线、射线、线段】
例题：（2023秋·福建福州·七年级校考阶段练习）已知A，B，C，D四点．
(1)画线段，射线，直线；
(2)连接，与直线交于点E；
(3)连接，并延长与射线交于点F．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）根据线段、射线、直线的定义分别画出即可；
（2）根据连接两点即为线段得出即可；
（3）根据延长线段的方法得出即可．
【详解】（1）解：线段，射线，直线即为所求；
（2）解：如图，点E即为所求；
（3）解：如图，点F即为所求．
【点睛】此题主要考查了线段、射线、直线的定义以及其画法，熟练掌握定义是解题关键．
【变式训练】
1.（2023秋·全国·七年级课堂例题）如图，平面上有四个点，根据下列语句画图：
(1)画线段交于点；
(2)作射线；
(3)取一点，使点既在直线上又在直线上；
(4)在线段延长线上作线段．
【答案】(1)作图见详解
(2)作图见详解
(3)作图见详解
(4)作图见详解
【分析】（1）根据线段的概念“有两个端点，不可延伸”，由此即可求解；
（2）根据射线的概念“有一个端点，向一边无限延伸”， 由此即可求解；
（3）根据直线的概念“无端点，向两边无限延伸”，两直线相交，由此即可求解；
（4）根据线段的特点，作线段等于已知线段的方法即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，连接交于点，
（2）解：如图所示，端点为点，作射线，
（3）解：如图所示，连接向两边无限延伸，交于点，
（4）解：如图所示，连接并延长至点，使得，
【点睛】本题主要考查直线，射线，线段的定义及表示，作法，掌握其概念，图形结合分析是解题的关键．
2.（2023秋·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第六十九中学校校考开学考试）如图，平面内四点A、B、C、D，根据下列语句画图：
(1)画直线；
(2)画射线；
(3)画线段；
(4)延长线段与直线相交于点E．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
(4)见解析
【分析】根据直线、射线、线段的定义作图即可．
【详解】（1）如图所示直线即为所求；
（2）如图所示射线即为所求；
（3）如图所示线段即为所求；
（4）如图所示点E即为所求．
【点睛】本题考查了线段、射线、直线的定义，解题的关键是注意射线有一个端点，另一端无限延伸；直线没有端点；线段有两个端点．
【考点三 两点确定一条直线】
例题：（2022春·黑龙江齐齐哈尔·七年级克东县第三中学校考开学考试）要在墙上定一根木条，至少要用两颗钉子，这是因为 ．
【答案】两点确定一条直线
【分析】运用直线的性质直接解答即可．
【详解】解：由直线的性质知：在墙上固定一根木条至少要两个钉子，这是因为两点确定一条直线．
故答案为：两点确定一条直线．
【点睛】本题主要考查了直线的性质，熟练掌握两点确定一条直线是解题的关键．
【变式训练】
1.（2023春·河南信阳·七年级校联考阶段练习）生活中有下列现象如图所示．对于这个现象，请你用数学知识解释 ．
【答案】两点确定一条直线
【分析】根据直线的性质即可得解．
【详解】解：木匠师傅锯木料时，一般先在木板上画出两个点，然后过这两点弹出一条墨线，利用了“两点确定一条直线”；
故答案为：两点确定一条直线．
【点睛】本题考查了“两点确定一条直线”，解题的关键是从实际应用中找到数学原理．
2.（2023秋·河南安阳·七年级校考期末）在安装如图所示的挂衣钩时，小明先在墙上标记两个固定孔，就可以预先确定好挂衣钧合适的位置，这样做的依据是： ．
【答案】两点确定一条直线
【分析】根据直线的性质解答即可．
【详解】解：这样做的依据是：两点确定一条直线．
故答案为：两点确定一条直线．
【点睛】本题考查了直线的性质，熟练掌握两点确定一条直线是解答本题的关键．
【考点四 两点之间线段最短】
例题：（2023秋·全国·七年级课堂例题）如图，学生要去博物馆参观，从学校A处到博物馆B处的路线共有（1）（2）（3）三条．假设行走的速度不变，为了节约时间，尽快从A处赶到B处，你认为应该走第 条路线（只填编号），理由是 ．
【答案】 （2） 两点之间，线段最短
【分析】根据两点之间线段最短原理解答即可．
【详解】根据两点之间线段最短，
∴选择第（2）条路线，
故答案为：（2），两点之间，线段最短．
【点睛】本题考查了两点之间线段最短原理，熟练掌握原理是解题的关键．
【变式训练】
1.（2022秋·河南南阳·七年级校考期末）如图，田亮同学用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩树叶的周长比原树叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是 ．
【答案】两点之间，线段最短
【分析】利用线段的性质可得答案．
【详解】解：田亮同学用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是两点之间，线段最短．
故答案为：两点之间，线段最短．
【点睛】此题主要考查了线段的性质，关键是掌握两点之间，线段最短．
2.（2022秋·湖北咸宁·七年级统考期末）如图：“小草青青，足下留情”，为抄近路践踏草坪是一种不文明的现象，请你用数学知识解释出这一不文明现象的原因是： ，
【答案】两点之间线段最短
【分析】根据两点之间线段最短即可求解．
【详解】解：依题意，为抄近路践踏草坪是因为两点之间线段最短，
故答案为：两点之间线段最短．
【点睛】本题考查了两点之间线段最短，熟练掌握两点之间线段最短是解题的关键．
【考点五 作线段（尺规作图）】
例题：（2023春·福建福州·七年级统考开学考试）如图，已知线段，．
(1)延长线段到D，使得（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．
(2)在（1）的条件下，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）延长线段，在延长线上截取即可；
（2）先求出，再根据，然后由求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，线段即为所作，
（2）解：∵，，
∴
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查作一条线段等于已知线段，线段和差，熟练掌握作一条线段等于已知线段和线段差的计算是解题的关键．
【变式训练】
1.（2022秋·山东菏泽·七年级校考阶段练习）尺规作图，已知：线段，，求作：（保留作图痕迹，不写作法）．
【答案】见解析
【分析】在射线上依次截取，在上截取，则线段满足条件．
【详解】解：如图，为所作；
．
【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
2.（2022秋·福建厦门·七年级统考期末）如图，点在线段上，点是线段的中点，．
(1)尺规作图：延长线段，并在延长线上作一点，使得；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，若，求线段的长度．
【答案】(1)见解析
(2)7
【分析】（1）延长线段，在延长线上截取即可；
（2）根据中点的定义求出，再根据求出，结合即可求解．
【详解】（1）解：，
若，则，
以点B为圆心，长为半径作弧，与线段的延长线的交点即为点D，如下图所示：
；
（2）解：点是线段的中点，，
，
，
，
由（1）知，
．
【点睛】本题考查尺规作图——作一线段等于已知线段，中点的定义，线段的和差关系等，难度一般，解题的关键是熟练掌握上述知识点．
【考点六 线段的应用】
例题：（2023秋·河南许昌·七年级统考期末）2022年9月8日，随着列车从郑州港区段鸣笛出发，郑许市域铁路开始空载试运行，未来“双城生活模式”指日可待．图中展示了郑许市域铁路的其中五个站点，若要满足乘客在这五个站点之间的往返需求，铁路公司需要准备 种不同的车票．
【答案】20
【分析】先求得单程的车票数，在求出往返的车票数即可．
【详解】解：5个点中线段的总条数是（种），
∵任何两站之间，往返两种车票，
∴应印制（种），
故答案为：20．
【点睛】此题考查了数线段，解决本题的关键是掌握“直线上有个点，则线段的数量有条”．
【变式训练】
1.（2023秋·七年级课时练习）由汕头开往广州东的D7511动车，运行途中须停靠的车站依次是：汕头→潮汕→普宁→汕尾→深圳坪山→东莞→广州东．那么要为D7511动车制作的车票一共有（ ）
A．6种B．7种C．21种D．42种
【答案】D
【分析】从汕头要经过6个地方，所以要制作6种车票；从潮汕要经过5个地方，所以制作5种车票；以此类推，则应分别制作4、3、2、1种车票，因为是来回车票，所以需要×2，即可得出答案．
【详解】共制作的车票数＝2×（6＋5＋4＋3＋2＋1）＝42（种）．
故选：D．
【点睛】本题考查了线段、射线、直线等知识点，解此题的关键是能得出规律，学会用数学来解决实际问题．
2.（2022秋·河北沧州·七年级统考期中）如图，AB是一段高铁行驶路线图图中字母表示的5个点表示5个车站在这段路线上往返行车，需印制（ ）种车票．
A．25B．20C．16D．10
【答案】B
【分析】观察可以发现，每个车站作为起始站，可以到达除本站外的任何一个站，需要印制（5-1）种车票，而有5个起始站，故可以直接列出算式．
【详解】解：5×（5-1）=20，
故选：B
【点睛】本题考查了线段的知识，解题关键是要理解题意，每个车站都既可以作为起始站，可以到达除本站外的任何一个站．
【考点七 线段的和与差】
例题：（2023秋·七年级课时练习）如图，C，D是线段AB上的两点，且，已知图中所有线段的长度之和为81，则的长为 ．
【答案】9
【分析】根据，可得，，图中所有的线段有：，，，，，，再根据所有线段的长度之和为81，列出等式求出，问题随之即可作答．
【详解】∵，
∴，，
结合图形可知，共有线段6条：，，，，，，
∵图中所有线段的长度之和为81，
∴，
∵，，，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：9．
【点睛】本题主要考查了线段的和差等数量关系的计算，找出图中所有的线段为，，，，，，是解答本题的关键．
【变式训练】
1.（2023秋·七年级课时练习）如图所示，则：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ．
【答案】 / / / /
【分析】结合图形，根据线段的和差的计算方法计算即可．
【详解】（1）结合图形有：
；
（2）∵，
∴；
（3）∵，
∴；
（4）∵，
∴；
∵，
∴；
故答案为：，，，．
【点睛】本题主要考查了线段的和与差，注重数形结合，是解答本题的关键．
2.（2023秋·全国·七年级课堂例题）已知平面上有一条线段，探讨下列问题：
(1)平面上是否存在一点，使它到两点的距离之和等于？说明理由；
(2)平面上是否存在一点，使它到两点的距离之和等于？若存在，它的位置唯一吗？
(3)当点到两点的距离之和等于时，点一定在直线外吗？请举例说明．
【答案】(1)不存在，理由见解析
(2)存在，位置不唯一
(3)不一定，见解析
【分析】（1）根据两点之间线段最短，进行作答即可；
（2）根据线段的和差计算，进行说明即可；
（3）根据线段的和，进行说明即可．
【详解】（1）解：不存在．理由：因为两点之间，线段最短，
所以．
而，
所以．
即平面上不存在一点，使它到两点的距离之和等于．
（2）存在．
当点在线段上时，；
点的位置不唯一，它是线段上的任意一点．
（3）不一定．如图所示（当点在线段的延长线上，且时也符合题意）：
，符合题意．
【点睛】本题考查线段的和差计算．熟练掌握两点之间线段最短，是解题的关键．
【考点八 线段中点的有关计算】
例题：（2023秋·江苏徐州·七年级校考阶段练习）如图，线段，C是线段上一点，，M是的中点，N是的中点
(1)图中共有 条线段
(2)求线段的长
【答案】(1)10
(2)
【分析】（1）根据线段有两个端点，写出所有线段后计算个数；
（2）由M是中点可得长度，求出的长，由N是中点知，进而可得长．
【详解】（1）图中的线段有、、、、、、、、、这10条．
故答案为：10；
（2）∵，M是的中点，
∴．
∵，，
∴，
又∵N是的中点，
∴；
∴．
【点睛】本题考查了两点间的距离：连接两点间的线段的长度叫两点间的距离．数形结合是解答本题的关键．
【变式训练】
1.（2023秋·七年级课时练习）如图，已知线段上有两点，，且，点，分别为，的中点，．求的长．
【答案】
【分析】先根据设，则，再利用中点的性质用x表示出的长，然后利用计算出x的值，再利用，就可以得到的长.
【详解】解：因为，
所以设，，．
因为，分别是，的中点，
所以，．
所以，
所以．
所以．
【点睛】本题考查线段的和差，中点定义，巧设未知数表示线段的长是解题的关键．
2.（2023秋·七年级课时练习）已知，在线段上．
(1)如图，共有________条线段；
(2)如图，．
①比较线段的大小：________（填“>”“=”或“<”）；
②若，，则的长为________；
(3)若，且为的中点，求与的数量关系．（温馨提醒：重新画图）．
【答案】(1)6
(2)①=；②20
(3)
【分析】（1）根据图形依次数出线段的条数即可；
（2）①根据等式的性质即可得到答案；②依据线段的和差关系进行计算，即可得出的长；
（3）根据题意画出图形，设，则，利用中点的性质分别表示出与的长度，分析关系即可．
【详解】（1）解：图中有线段：，，，，，，共6条．
（2）解：①因为，所以，即．
②因为，，所以，
因为，所以，
所以．
（3）解：如图1，
当点在的延长线上，
设，则．
因为为的中点，所以，
所以，
所以，
所以．
如图2，
当点在线段上时，
设，则．
因为为的中点，所以，
所以，
所以，
所以．
【点睛】本题主要考查了线段的长度计算和线段中点的性质，关键是掌握线段的和、差、倍、分及计算方法．
【考点九 线段n等分点的有关计算】
例题：（2023秋·四川成都·七年级统考期末）（1）如图1，点C在线段上，M，N分别是，的中点．若，，求的长；
（2）设，C是线段上任意一点（不与点A，B重合），
①如图2，M，N分别是，的三等分点，即，，求的长；
②若M，N分别是，的n等分点，即，，直接写出的值．
【答案】（1）；（2）①；②
【分析】（1）由中点的定义可得，然后根据求解即可；
（2）由，可得，然后根据求解即可；
（3）仿照（2）的过程求解即可．
【详解】解：（1）∵M，N分别是，的中点
∴
∵
∴
（2）①∵
∴
∵
∴；
②
．
【点睛】本题考查线段的中点、线段的和差，解题的关键是掌握线段中点的定义及线段和差运算．
【变式训练】
1.（2023秋·陕西宝鸡·七年级校考期末）如图，已知点B在线段上，，，P、Q分别为线段、上两点，，，则线段的长为 ．
【答案】7
【分析】根据已知条件算出BP和CQ，从而算出BQ，再利用PA=BP+BQ得到结果．
【详解】解：∵AB=9，BP=AB，
∴BP=3，
∵BC=6，CQ=BC，
∴CQ=2，
∴BQ=BC-CQ=6-2=4，
∴PQ=BP+BQ=3+4=7，
故答案为：7．
【点睛】本题考查了两点间距离，线段的和差，熟练掌握线段上两点间距离的求法，灵活运用线段的和差倍分关系解题是关键．
【过关检测】
一、单选题
1．（23·24上·聊城·阶段练习）如图，A，B在直线l上，下列说法正确的是（ ）
A．射线和射线是同一条射线
B．图中以点A为端点的射线有两条
C．直线和直线不是同一条直线
D．延长线段和延长线段的含义是相同的
【答案】B
【分析】根据直线，射线，线段延长线的定义依次进行判断即可得．
【详解】解：A、射线和射线是不同的射线，选项说法错误，不符合题意；
B、图中以点A为端点的射线有两条，选项说法正确，符合题意；
C、直线和直线是同一条直线，选项说法错误，不符合题意；
D、延长线段和延长线段，延长方向不同，含义不同，选项说法错误，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了直线，射线，延长线，解题的关键是掌握这些知识点．
2．（23·24上·聊城·阶段练习）下列几何图形与相应语言描述相符的有（ ）
①直线a、b相交于点A；②射线与线段没有公共点；③延长线段；④直线经过点A.
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】利用线段、直线和射线的语言描述逐一判断即可解题．
【详解】①直线a、b相交于点A，描述正确；
②射线与线段有公共点，描述错误；
③延长线段，描述正确；
④直线不经过点A，描述错误；
故选B．
【点睛】本题考查线段、射线和直线的语言描述，熟练把图形语言转化为文字语言是解题的关键．
3．（23·24上·聊城·阶段练习）在下列生活、生产现象中，不可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的有( )
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】A
【分析】直接利用直线的性质和线段的性质逐一分析，即可得到答案．
【详解】解：平板弹墨线，可以用“两点确定一条直线”来解释；
建筑工人砌墙，可以用“两点确定一条直线”来解释；
会场摆直茶杯，可以用“两点确定一条直线”来解释；
弯河道改直，可以用“两点间线段最短”来解释，不可以用“两点确定一条直线”来解释；
故不可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的有1个，
故选A．
【点睛】本题考查了直线的性质和线段的性质，正确理解相关性质是解题关键．
4．（23·24上·沙坪坝·阶段练习）如图，点M、点C在线段AB上，点M是线段AB的中点，AC＝2BC，若MC＝2，则AB的长为（ ）．
A．8B．10C．12D．16
【答案】C
【分析】根据线段中点的定义和线段的和差即可得到结论.
【详解】解：设为，
∵，，
∴，
又∵点是的中点，
∴，
∵，
∴，
解得.
故选：.
【点睛】本题考查了两点间的距离，线段中点的定义，熟练掌握线段中点的定义是解题的关键.
5．（23·24上·西安·阶段练习）如图，、、是一条公路上的三个村庄，、间的路程为间的路程为，现要在之间建一个车站，若要使车站到三个村庄的路程之和最小，则车站应建在何处？（ ）
A．点处B．线段之间C．线段的中点D．线段之间
【答案】A
【分析】设、间的路程为，分类讨论，当点在点的左侧和点在点的右侧，用含的代数式表示车站到三个村庄的路程之和，就可以得出结论．
【详解】解∶设、间的路程为，由题意，得
如图，当点在点的左侧．
车站到三个村庄的路程之和为∶；
如图，当点在点的右侧，
车站到三个村庄的路程之和为∶．
综上所述∶车站到三个村庄的路程之和为；
∴当时，路程之和最小为．
∴当车站建在村庄处，车站到三个村庄的路程之和最小．
故选∶ A．
【点睛】本题考查了分类讨论思想的运用，代数式的运用，解答时求得车站到三个村庄的路程之和是关键．
二、填空题
6．（23·24上·全国·课堂例题）线段的表示方法：
（1）用代表线段两个 的大写字母来表示，无先后顺序；
（2）用一个 来表示．图中的线段可表示为线段 （或线段 ）或表示为线段 ．
【答案】 端点 小写字母
【分析】（1）根据线段的表示：直线上两个点和它们之间的部分叫做线段，可用表示端点的两个大写字母表示．填空即可．
（2）根据线段的定义与表示：直线上两个点和它们之间的部分叫做线段，可用表示端点的两个大写字母表示，也可用一个小写字母表示．观察图形，填空即可．
【详解】（1）用代表线段两个端点的大写字母来表示线段．
故答案为：端点；
（2）用一个小写字母来表示线段．图中的线段可表示为线段（或线段）或表示为线段．
故答案为：小写字母；；；．
【点睛】本题考查了线段的定义与表示，理解线段的定义与表示是解题的关键．
7．（23·24上·长春·期末）如图，从A地到B地有三条路径，当人们希望路程越短越好时，往往选择线段，这里体现的数学基本事实是 ．
【答案】两点之间，线段最短
【分析】根据两点之间线段最短解答．
【详解】解：在路径：，以及曲线路线中，最近，因为两点之间，线段最短．
故答案为：两点之间，线段最短．
【点睛】本题考查了线段的性质，熟记两点之间，线段最短是解题的关键．
8．（23·24上·福州·阶段练习）数轴上，点A，B对应的数是和6，点C是线段的中点，则点C对应的数是 ．
【答案】//
【分析】先求出，由点C是线段的中点得到，即可得到答案．
【详解】解：∵点A，B对应的数是和6，
∴，
∵点C是线段的中点，
∴，
∴点C对应的数是，
故答案为：
【点睛】此题考查了数轴上的点表示数、两点间的距离、线段中点的定义等知识，求出是解题的关键．
9．（23·24上·聊城·阶段练习）某高铁线路为往返于A市和E市，全长106千米，全线共设A、B、C、D、E五个车站，任意两站之间的距离都不相等，高铁集团要为乘客准备 种车票，有 种票价．
【答案】 20 10
【分析】先求出线段的条数，再计算票价和车票的种数．
【详解】解：根据线段的定义：可知图中共有线段有，，，，、、、、、共10条，
所以有10种不同的票价；
因车票需要考虑方向性，如，“”与“”票价相同，但车票不同，故需要准备20种车票．
故答案为： 20； 10．
【点睛】本题考查线段的定义，要求学生准确应用；学会查找线段的条数．
10．（23·24上·南昌·期中）如图，图中数轴的单位长度为．若原点为的四等分点，则点代表的数为 ．
【答案】或或
【分析】根据线段的四等分点有个，分三种情况并结合图形即可得出答案．
【详解】解：∵图中数轴的单位长度为，
∴，
①如图，当点靠近点时，
∵原点为的四等分点，
∴，
∴点代表的数为；
②如图，当点恰好是线段的中点时，
∵原点为的四等分点，
∴，
∴点代表的数为；
③如图，当点靠近点时，
∵原点为的四等分点，
∴，
∴点代表的数为；
综上所述，点代表的数为或或，
故答案为：或或．
【点睛】本题考查线段的四等分点，用数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间的距离，运用了分类讨论的思想．解题的关键是掌握线段的四等分点的定义：把一条线段平均分成份．
三、解答题
11．（22·23下·淮安·开学考试）如图，延长至，使为的中点，点在上，．
(1)＝ ， ；
(2)若，求的长．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）由B是的中点，知．由，得．代入求解．
（2）由，得，于是，代入求解．
【详解】（1）解：∵B是的中点，
∴．
∵，
∴．
∴．
（2）解：∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
【点睛】本题考查线段中点定义，线段间数量关系的理解和运用；理解中点定义，熟练运用已知的数量关系作等量代换是解题的关键．
12．（22·23下·长沙·阶段练习）如图，已知线段，，是的中点．
(1)求线段的长；
(2)在上取一点，使得，求线段的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据图示知，，，根据上两式即可求解；
（2）根据已知条件求得，，然后根据图示知，据此求解即可．
【详解】（1）∵，，
∴．
又∵是的中点，
∴．
（2）∵，，
∴．
又∵是的中点，
∴．
∴．
【点睛】本题考查线段的长的求法，关键是得到能表示出它的相关线段的长．利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键．
13．（23·24上·聊城·阶段练习）如图，在平面内有A、B、C三点，
(1)利用尺规，按下面的要求作图．要求：不写画法，保留作图痕迹，不必写结论；
①作射线；
②作线段；
③连接，并在线段上作一条线段，使，连接．
(2)数数看，此时图中线段共有______条．
【答案】(1)①见解析；②见解析；③见解析
(2)6
【分析】（1）①根据射线的定义，作出图形即可；②根据线段的定义，作出图形即可；③根据题意，按照要求作出图形即可；
（2）根据线段的定义即可求解．
【详解】（1）如图所示：
（2）图中的线段有：共6条．
故答案为：6．
【点睛】本题考查作图—复杂作图，两点之间线段最短，射线、线段的画法以及作一条线段等于已知线段．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
14．（22·23下·泰安·期末）如图1，已知在线段上．
(1)图1中共有_________条线段；
(2)若；
①比较线段的长短：_________（填“>”“=”或“<”）；
②如图2，若是的中点，是的中点，求线段的长度．
【答案】(1)6
(2)①；②9
【分析】（1）根据图形依次数出线段的条数即可；
（2）①根据不等式的性质即可得到答案；②依据线段的和差关系进行计算，即可得出的长度．
【详解】（1）解：以为端点的线段有、、共3条；
以为端点的线段有、共2条；
以为端点的线段为，有1条，
故共有线段的条数为：，
故答案为：6；
（2）解：①若，则，
即．
故答案为：；
②∵，
∴，
∵是的中点，是的中点
∴，
∴
∴．
【点睛】本题主要考查了线段数量、线段的长度计算和线段中点的性质，解题关键是熟练掌握线段的和、差、倍、分及计算方法．
15．（23·24上·全国·课堂例题）（1）如图①，已知点在线段上，线段分别是的中点，求线段的长；
（2）如图①，已知点在线段上，线段，分别是的中点，求线段的长；
（3）如图①，已知点在线段上，线段，分别是的中点，求线段的长；
（4）如图②，已知点在线段的延长线上，线段分别是的中点，则线段的长为________________．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）
【分析】（1）分别计算和的长，求和即可；
（2）根据中点的定义和线段的和差可得，即可求解；
（3）根据中点的定义和线段的和差可得，即可求解；
（4）根据中点的定义和线段的和差可得，即可求解．
【详解】解：（1）因为是的中点，是的中点，
所以．
所以．
（2）因为是的中点，是的中点，
所以．
所以．
（3）因为是的中点，是的中点，
所以．
所以．
（4）因为是的中点，是的中点，
所以．
所以
故答案为：．
【点睛】本题考查线段的和差，线段中点的相关计算，掌握线段中点的定义是解题的关键．
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