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专题21 角、余角、补角之九大考点-七年级数学上册重难点专题提优训练（人教版）
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这是一份专题21 角、余角、补角之九大考点-七年级数学上册重难点专题提优训练（人教版），文件包含专题21角余角补角之九大考点原卷版docx、专题21角余角补角之九大考点解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共55页， 欢迎下载使用。
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TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc19424" 【典型例题】 PAGEREF _Tc19424 \h 1
\l "_Tc5361" 【考点一 角的概念及表示方法】 PAGEREF _Tc5361 \h 1
\l "_Tc1155" 【考点二 角的单位与角度制】 PAGEREF _Tc1155 \h 3
\l "_Tc1960" 【考点三 钟面角】 PAGEREF _Tc1960 \h 4
\l "_Tc12822" 【考点四 与方向角有关的计算题】 PAGEREF _Tc12822 \h 6
\l "_Tc23269" 【考点五 三角板中角度计算问题】 PAGEREF _Tc23269 \h 8
\l "_Tc23839" 【考点六 角平分线的有关计算】 PAGEREF _Tc23839 \h 11
\l "_Tc16815" 【考点七 角n等分线的有关计算】 PAGEREF _Tc16815 \h 14
\l "_Tc28346" 【考点八 求一个角的余角、补角】 PAGEREF _Tc28346 \h 18
\l "_Tc16918" 【考点九 与余角、补角、角平分线有关角的计算问题】 PAGEREF _Tc16918 \h 19
\l "_Tc14453" 【过关检测】 PAGEREF _Tc14453 \h 23
【典型例题】
【考点一 角的概念及表示方法】
例题：（2023春·河北承德·七年级校考开学考试）下列说法中，正确的是（ ）
A．一个周角就是一条射线B．平角是一条直线
C．角的两边越长，角就越大D．也可以表示为
【变式训练】
1.（2023秋·全国·七年级课堂例题）如图所示，回答下列问题：
(1)写出能用一个字母表示的角：________________；
(2)写出以点B为顶点的角________________；
(3)图中共有______________个小于平角的角．
2.（2023秋·七年级课时练习）根据给出的图回答下列问题：
(1)表示成，这样的表示方法是否正确？如果不正确，应该怎样改正？
(2)图中哪个角可以用一个字母来表示？
(3)以为顶点的角有几个？请表示出来．
(4)与是同一个角吗？请说明理由．
(5)图中共有几个小于平角的角？
【考点二 角的单位与角度制】
例题：（2023秋·全国·七年级课堂例题）计算：
（1） ′；
（2） ；
（3） ．
【变式训练】
1.（2023秋·全国·七年级课堂例题）（1）1周角 平角 直角；
（2） ′= ″；
（3） ′， ．
2.（2023秋·全国·七年级课堂例题）计算：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ．
【考点三 钟面角】
例题：（2023春·陕西西安·七年级校考开学考试）8点30分时刻，钟表上时针与分针所组成的角为 度．
【变式训练】
1.（2023秋·湖南衡阳·七年级校考开学考试）李老师从家出发去单位上班，到单位的时间是，那么这段时间，分针走了 °，时针走了 °．
2.（2023春·山西太原·七年级校考阶段练习）我校下午到校时间为14时10分，则此时刻钟表上的时针与分针的夹角为 度．
【考点四 与方向角有关的计算题】
例题：（2023春·湖北十堰·七年级校考开学考试）如图，在灯塔处观测到轮船位于北偏西的方向，同时轮船在南偏东的方向，那么的大小为（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
1.（2023秋·河北张家口·七年级统考期末）如图，甲从点A出发向北偏东方向走到点，乙从点A出发走到点，若，则乙从点A出发沿（ ）方向走到点
A．南偏西B．西偏南C．南偏西D．西偏南
2.（2023秋·全国·七年级课堂例题）小丽、小影、小华三人每天相约在如图所示的早餐店碰面，小丽家在早餐店南偏西方向上，小影家在点处，小华家在早餐店东南方向上，，且早餐店到小华家与小丽家的距离相等．
(1)在图中画出小华家的位置；
(2)求的度数；
(3)若，请说出小影家相对于早餐店的位置．
【考点五 三角板中角度计算问题】
例题：（2023春·山东淄博·六年级校考阶段练习）将一副直角三角尺如图放置，若，则等于 ．
【变式训练】
1.（2023秋·江西九江·七年级统考期末）如图，直角三角板的直角顶点O在直线上，线段，是三角板的两条直角边，射线是的平分线．
(1)当时，求的度数；
(2)当时， _________（用含α的式子表示）．
2.（2023春·山东烟台·六年级统考期末）如图所示，以直线上的一点O为端点，在直线的上方作射线，使．将一块直角三角尺的直角顶点放在点O处，且直角三角尺（）在直线的上方．设．
(1)当时，求的大小；
(2)若时，求的值．
【考点六 角平分线的有关计算】
例题：（2023秋·河南南阳·七年级统考期末）已知O为直线上一点，是直角，平分．
(1)如图①，若，则__________；若，则__________；与的数量关系为__________；
(2)当射线绕点O逆时针旋转到图②的位置时，（1）中与的数量关系是否仍然成立？请说明理由．
【变式训练】
1.（2023秋·七年级课时练习）如图所示，是平角，分别是的平分线．
(1)当时，求的度数；
(2)当时，求的度数．
2.（2023秋·江苏徐州·七年级校考阶段练习）（1）如图1所示，已知，平分，、分别平分、，求的度数；
（2）如图2，在（1）中把“平分”改为“是内任意一条射线”，其他任何条件都不变，试求的度数；
（3）如图3，在（1）中把“平分”改为“是外的一条射线且点C与点B在直线的同侧”，其他任何条件都不变，请你直接写出的度数
【考点七 角n等分线的有关计算】
例题：（2023秋·山西大同·七年级统考期末）在的内部作射线，射线把分成两个角，分别为和，若或，则称射线为的三等分线．若，射线为的三等分线，则的度数为（ ）
A．B．C．或D．或
【变式训练】
1.（2023秋·浙江湖州·七年级统考期末）定义：从的顶点出发，在角的内部引一条射线，把分成的两部分，射线叫做的三等分线．若在中，射线是的三等分线，射线是的三等分线，设，则用含x的代数式表示为（ ）
A．或或B．或或C．或或D．或或
2.（2023秋·福建龙岩·七年级统考期末）已知，以射线为起始边，按顺时针方向依次作射线、，使得，设，.
(1)如图1，当时，若，求的度数；
(2)备用图①，当时，试探索与的数量关系，并说明理由；
(3)备用图②，当时，分别在内部和内部作射线，，使，，求的度数.
【考点八 求一个角的余角、补角】
例题：（22·23上·省直辖县级单位·期末）若，则的余角等于 ，的补角等于 ．
【变式训练】
1．（22·23上·内江·期末）如果，那么的余角等于 ；的补角为 ．
2．（22·23上·南京·期末）若，则的余角为 °，的补角为 °．
【考点九 与余角、补角、角平分线有关角的计算问题】
例题：（23·24上·全国·课时练习）如图，平分平分．
(1)求出及其补角的度数；
(2)请求出和的度数，并判断与是否互补，并说明理由．
【变式训练】
1．（23·24上·呼和浩特·阶段练习）如图，O为直线上一点，过点O作射线，使．将一直角三角尺的直角顶点放在O处．
(1)当三角尺一边在的内部（图①），且恰好平分，此时直线是否平分？请说明理由；
(2)当三角尺一边在的内部（图②），求的值．
2．（22·23下·十堰·开学考试）如图，过点O在内部作射线．，分别平分和，与互补，．
(1)如图1，若，则______°，______°，______°；
(2)如图2，若平分．试探索：是否为定值，若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
【过关检测】
一、单选题
1．（23·24上·全国·课时练习）如图，下列说法中不正确的是（ ）
A．与是同一个角B．也可以用表示
C．D．图中有三个角
2．（23·24上·全国·课时练习）（角的换算）把用度、分、秒表示，正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．（22·23下·宿州·期中）一艘轮船在大海上航行，观测到灯塔在南偏西方向，则灯塔观测轮船在（ ）
A．南偏西方向B．南偏东方向C．北偏西方向D．北偏东方向
4．（22·23下·菏泽·期末）如图，平分，平分，，，（ ）
A．B．C．D．
5．（23·24上·昆明·阶段练习）如图1，一副三角板的两个直角重叠在一起，，．固定不动，绕着O点顺时针旋转，若绕着O点旋转图2的位置，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
6．（22·23下·西安·开学考试）8点30分时刻，钟表上时针与分针所组成的角为 度．
7．（23·24上·大庆·阶段练习）如图，，，平分，则 ．
8．（22·23下·焦作·期中）如图，已知直线与相交于点，若，则的补角的度数为 .
9．（23·24上·宁波·开学考试）在一次台球比赛中，运动员需要把台球A向 （填方向） 撞击B球，使B被击进袋中．
10．（22·23下·南阳·期中）如图，已知，射线 绕点 从位置开始，以每秒的速度顺时针旋转； 同时，射线 绕点从位置开始，以每秒的速度逆时针旋转，并且当 与成角时，与同时停止旋转．则在旋转的过程中，经过 秒，与的夹角是．
三、解答题
11．（22·23下·济南·期中）一个角的余角比它的补角的多，求这个角的余角．
12．（22·23上·吴忠·期末）如图，O是直线上一点，为任一条射线，平分，平分．
(1)写出图中的补角，的补角；
(2)与互余吗？为什么？
13．（22·23下·榆林·期中）如图，点是直线上一点，以为顶点作，平分．
(1)当时，求的度数；
(2)若与互补，求的度数．
14．（23·24上·全国·课堂例题）观察图，完成下列问题：
(1)如图①，内部有一条射线，则图中有 个角；
(2)如图②，内部有两条射线，，则图中有___________个角；
(3)如果内部有10条射线，那么图中有________________个角．
15．（22·23上·福州·期末）已知．在内部画射线，得到三个角，分别为．若这三个角中有一个角是另外一个角的两倍，则称射线为二倍角线．
(1)一个角的平分线 这个角的“二倍角线”（填“是”或“不是”）；
(2)如图①，若为的二倍角线，求的度数；
(3)如图②，将一块三角板的直角顶点O放在直线上，且三角板绕着点O转动，若是的二倍角线，是的二倍角线，请直接写出的度数．
16．（22·23下·哈尔滨·期末）已知为，为，若，称为的“二倍补角”．
(1)求为，为的“二倍补角”，求的度数；
(2)若一个角与它的“二倍补角”度数相等，求这个角的度数．
(3)与互余，为的“二倍补角”，与互补，是否是的“二倍补角”？请说明理由．
17．（23·24上·全国·课堂例题）如图，是直线上的一点，平分．
【观察计算】
（1）当时，求的度数；
【类比猜想】
（2）当时，试猜想的度数（用含的式子表示），并说明你的猜想的正确性．
18．（22·23上·常州·期末）已知：．
(1)如图1，若．
①写出图中一组相等的角（除直角外）__________，
理由是________________．
②那么_________．
(2)如图2，与重合，若，将绕点O以5度/秒的速度作逆时针旋转，运动时间为t（）秒．
①当t=______秒时，平分；
②试说明：当t为何值时， ？
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc19424" 【典型例题】 PAGEREF _Tc19424 \h 1
\l "_Tc5361" 【考点一 角的概念及表示方法】 PAGEREF _Tc5361 \h 1
\l "_Tc1155" 【考点二 角的单位与角度制】 PAGEREF _Tc1155 \h 3
\l "_Tc1960" 【考点三 钟面角】 PAGEREF _Tc1960 \h 4
\l "_Tc12822" 【考点四 与方向角有关的计算题】 PAGEREF _Tc12822 \h 6
\l "_Tc23269" 【考点五 三角板中角度计算问题】 PAGEREF _Tc23269 \h 8
\l "_Tc23839" 【考点六 角平分线的有关计算】 PAGEREF _Tc23839 \h 11
\l "_Tc16815" 【考点七 角n等分线的有关计算】 PAGEREF _Tc16815 \h 14
\l "_Tc28346" 【考点八 求一个角的余角、补角】 PAGEREF _Tc28346 \h 18
\l "_Tc16918" 【考点九 与余角、补角、角平分线有关角的计算问题】 PAGEREF _Tc16918 \h 19
\l "_Tc14453" 【过关检测】 PAGEREF _Tc14453 \h 23
【典型例题】
【考点一 角的概念及表示方法】
例题：（2023春·河北承德·七年级校考开学考试）下列说法中，正确的是（ ）
A．一个周角就是一条射线B．平角是一条直线
C．角的两边越长，角就越大D．也可以表示为
【变式训练】
1.（2023秋·全国·七年级课堂例题）如图所示，回答下列问题：
(1)写出能用一个字母表示的角：________________；
(2)写出以点B为顶点的角________________；
(3)图中共有______________个小于平角的角．
2.（2023秋·七年级课时练习）根据给出的图回答下列问题：
(1)表示成，这样的表示方法是否正确？如果不正确，应该怎样改正？
(2)图中哪个角可以用一个字母来表示？
(3)以为顶点的角有几个？请表示出来．
(4)与是同一个角吗？请说明理由．
(5)图中共有几个小于平角的角？
【考点二 角的单位与角度制】
例题：（2023秋·全国·七年级课堂例题）计算：
（1） ′；
（2） ；
（3） ．
【变式训练】
1.（2023秋·全国·七年级课堂例题）（1）1周角 平角 直角；
（2） ′= ″；
（3） ′， ．
2.（2023秋·全国·七年级课堂例题）计算：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ．
【考点三 钟面角】
例题：（2023春·陕西西安·七年级校考开学考试）8点30分时刻，钟表上时针与分针所组成的角为 度．
【变式训练】
1.（2023秋·湖南衡阳·七年级校考开学考试）李老师从家出发去单位上班，到单位的时间是，那么这段时间，分针走了 °，时针走了 °．
2.（2023春·山西太原·七年级校考阶段练习）我校下午到校时间为14时10分，则此时刻钟表上的时针与分针的夹角为 度．
【考点四 与方向角有关的计算题】
例题：（2023春·湖北十堰·七年级校考开学考试）如图，在灯塔处观测到轮船位于北偏西的方向，同时轮船在南偏东的方向，那么的大小为（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
1.（2023秋·河北张家口·七年级统考期末）如图，甲从点A出发向北偏东方向走到点，乙从点A出发走到点，若，则乙从点A出发沿（ ）方向走到点
A．南偏西B．西偏南C．南偏西D．西偏南
2.（2023秋·全国·七年级课堂例题）小丽、小影、小华三人每天相约在如图所示的早餐店碰面，小丽家在早餐店南偏西方向上，小影家在点处，小华家在早餐店东南方向上，，且早餐店到小华家与小丽家的距离相等．
(1)在图中画出小华家的位置；
(2)求的度数；
(3)若，请说出小影家相对于早餐店的位置．
【考点五 三角板中角度计算问题】
例题：（2023春·山东淄博·六年级校考阶段练习）将一副直角三角尺如图放置，若，则等于 ．
【变式训练】
1.（2023秋·江西九江·七年级统考期末）如图，直角三角板的直角顶点O在直线上，线段，是三角板的两条直角边，射线是的平分线．
(1)当时，求的度数；
(2)当时， _________（用含α的式子表示）．
2.（2023春·山东烟台·六年级统考期末）如图所示，以直线上的一点O为端点，在直线的上方作射线，使．将一块直角三角尺的直角顶点放在点O处，且直角三角尺（）在直线的上方．设．
(1)当时，求的大小；
(2)若时，求的值．
【考点六 角平分线的有关计算】
例题：（2023秋·河南南阳·七年级统考期末）已知O为直线上一点，是直角，平分．
(1)如图①，若，则__________；若，则__________；与的数量关系为__________；
(2)当射线绕点O逆时针旋转到图②的位置时，（1）中与的数量关系是否仍然成立？请说明理由．
【变式训练】
1.（2023秋·七年级课时练习）如图所示，是平角，分别是的平分线．
(1)当时，求的度数；
(2)当时，求的度数．
2.（2023秋·江苏徐州·七年级校考阶段练习）（1）如图1所示，已知，平分，、分别平分、，求的度数；
（2）如图2，在（1）中把“平分”改为“是内任意一条射线”，其他任何条件都不变，试求的度数；
（3）如图3，在（1）中把“平分”改为“是外的一条射线且点C与点B在直线的同侧”，其他任何条件都不变，请你直接写出的度数
【考点七 角n等分线的有关计算】
例题：（2023秋·山西大同·七年级统考期末）在的内部作射线，射线把分成两个角，分别为和，若或，则称射线为的三等分线．若，射线为的三等分线，则的度数为（ ）
A．B．C．或D．或
【变式训练】
1.（2023秋·浙江湖州·七年级统考期末）定义：从的顶点出发，在角的内部引一条射线，把分成的两部分，射线叫做的三等分线．若在中，射线是的三等分线，射线是的三等分线，设，则用含x的代数式表示为（ ）
A．或或B．或或C．或或D．或或
2.（2023秋·福建龙岩·七年级统考期末）已知，以射线为起始边，按顺时针方向依次作射线、，使得，设，.
(1)如图1，当时，若，求的度数；
(2)备用图①，当时，试探索与的数量关系，并说明理由；
(3)备用图②，当时，分别在内部和内部作射线，，使，，求的度数.
【考点八 求一个角的余角、补角】
例题：（22·23上·省直辖县级单位·期末）若，则的余角等于 ，的补角等于 ．
【变式训练】
1．（22·23上·内江·期末）如果，那么的余角等于 ；的补角为 ．
2．（22·23上·南京·期末）若，则的余角为 °，的补角为 °．
【考点九 与余角、补角、角平分线有关角的计算问题】
例题：（23·24上·全国·课时练习）如图，平分平分．
(1)求出及其补角的度数；
(2)请求出和的度数，并判断与是否互补，并说明理由．
【变式训练】
1．（23·24上·呼和浩特·阶段练习）如图，O为直线上一点，过点O作射线，使．将一直角三角尺的直角顶点放在O处．
(1)当三角尺一边在的内部（图①），且恰好平分，此时直线是否平分？请说明理由；
(2)当三角尺一边在的内部（图②），求的值．
2．（22·23下·十堰·开学考试）如图，过点O在内部作射线．，分别平分和，与互补，．
(1)如图1，若，则______°，______°，______°；
(2)如图2，若平分．试探索：是否为定值，若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
【过关检测】
一、单选题
1．（23·24上·全国·课时练习）如图，下列说法中不正确的是（ ）
A．与是同一个角B．也可以用表示
C．D．图中有三个角
2．（23·24上·全国·课时练习）（角的换算）把用度、分、秒表示，正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．（22·23下·宿州·期中）一艘轮船在大海上航行，观测到灯塔在南偏西方向，则灯塔观测轮船在（ ）
A．南偏西方向B．南偏东方向C．北偏西方向D．北偏东方向
4．（22·23下·菏泽·期末）如图，平分，平分，，，（ ）
A．B．C．D．
5．（23·24上·昆明·阶段练习）如图1，一副三角板的两个直角重叠在一起，，．固定不动，绕着O点顺时针旋转，若绕着O点旋转图2的位置，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
6．（22·23下·西安·开学考试）8点30分时刻，钟表上时针与分针所组成的角为 度．
7．（23·24上·大庆·阶段练习）如图，，，平分，则 ．
8．（22·23下·焦作·期中）如图，已知直线与相交于点，若，则的补角的度数为 .
9．（23·24上·宁波·开学考试）在一次台球比赛中，运动员需要把台球A向 （填方向） 撞击B球，使B被击进袋中．
10．（22·23下·南阳·期中）如图，已知，射线 绕点 从位置开始，以每秒的速度顺时针旋转； 同时，射线 绕点从位置开始，以每秒的速度逆时针旋转，并且当 与成角时，与同时停止旋转．则在旋转的过程中，经过 秒，与的夹角是．
三、解答题
11．（22·23下·济南·期中）一个角的余角比它的补角的多，求这个角的余角．
12．（22·23上·吴忠·期末）如图，O是直线上一点，为任一条射线，平分，平分．
(1)写出图中的补角，的补角；
(2)与互余吗？为什么？
13．（22·23下·榆林·期中）如图，点是直线上一点，以为顶点作，平分．
(1)当时，求的度数；
(2)若与互补，求的度数．
14．（23·24上·全国·课堂例题）观察图，完成下列问题：
(1)如图①，内部有一条射线，则图中有 个角；
(2)如图②，内部有两条射线，，则图中有___________个角；
(3)如果内部有10条射线，那么图中有________________个角．
15．（22·23上·福州·期末）已知．在内部画射线，得到三个角，分别为．若这三个角中有一个角是另外一个角的两倍，则称射线为二倍角线．
(1)一个角的平分线 这个角的“二倍角线”（填“是”或“不是”）；
(2)如图①，若为的二倍角线，求的度数；
(3)如图②，将一块三角板的直角顶点O放在直线上，且三角板绕着点O转动，若是的二倍角线，是的二倍角线，请直接写出的度数．
16．（22·23下·哈尔滨·期末）已知为，为，若，称为的“二倍补角”．
(1)求为，为的“二倍补角”，求的度数；
(2)若一个角与它的“二倍补角”度数相等，求这个角的度数．
(3)与互余，为的“二倍补角”，与互补，是否是的“二倍补角”？请说明理由．
17．（23·24上·全国·课堂例题）如图，是直线上的一点，平分．
【观察计算】
（1）当时，求的度数；
【类比猜想】
（2）当时，试猜想的度数（用含的式子表示），并说明你的猜想的正确性．
18．（22·23上·常州·期末）已知：．
(1)如图1，若．
①写出图中一组相等的角（除直角外）__________，
理由是________________．
②那么_________．
(2)如图2，与重合，若，将绕点O以5度/秒的速度作逆时针旋转，运动时间为t（）秒．
①当t=______秒时，平分；
②试说明：当t为何值时， ？
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