2024年高考数学第二轮专题复习专题18：极值点偏移问题12页

这是一份2024年高考数学第二轮专题复习专题18：极值点偏移问题12页，共12页。试卷主要包含了已知函数，已知函数有两个零点，，已知函数，，已知函数，其中为常数，已知函数的两个零点为，等内容，欢迎下载使用。
（1）讨论函数的单调性；
（2）若函数有两个零点，，证明：．
【解析】（1），，
当时，，在上递减；
当时，，
令，解得：，令，解得：，
故在上递减，在，上递增；
综上：当时，在上递减；
当时，在上递减，在，上递增；
（2）证明：若函数有两个零点，，
则①，②，
①②得：，故，
①②得：，故，
要证，即证，即证，
，，
即证，即证，，
令，则，
，，
则，
故在单调递减，
又（1），故（1），
故，故．
2．已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若，，是的两个零点．证明：
（ⅰ）；
（ⅱ）．
【解析】（1）函数的定义域为，
，
当时，，
所以在上单调递增．
当时，令，
所以在上，，，单调递增，
在，上，，，单调递减，
综上，当时，在上单调递增．
当时，在上单调递增，在，上单调递减．
（2）证明：由（1）可知，要使由函数有两个零点，需，且，则，
又，故，则，
令，则，
在上单减，
，
又，
，
又，
，即；
要证，由（1）可知，只需证，
即证，
又，
只需证，即证，
令，则，，，
所以上述不等式等价于，即，亦即，
令，则，
在上单调递减，即（1），即得证．
3．已知函数有两个零点，
（Ⅰ）求证：
（Ⅱ）求证：．
【解析】证明：（Ⅰ）函数的定义域是，
，
①时，，
在区间上是增函数，
不可能有2个零点；
②时，在区间上，，在区间上，，
在区间递减，在区间递增；
的最小值是（a），且当时，；当时，，
由题意得：有（a），则；
（Ⅱ）要证，只要证，
易知，，
而在区间递增，
只要证明，
即证，
设函数，
则（a），且区间上，
，
即在递减，
（a），
而，
成立，
．
4．已知函数有两个零点，
（1）求的取值范围；
（2）求证：．
【解析】（1）设，，
则，
，
当时，恒成立，是增函数，成立；
当时，在是减函数，在是增函数，
（a）（a），
解得，
综上，的取值范围是．
证明：（2）欲证，即证，
，即证，
在是增函数，
即证，
，即证，
记，即证明，，（a）．
（a），
函数在内单调递减，因此（a）．
结论成立．
5．已知函数，．
（1）讨论的单调性；
（2）证明：当时，；
（3）若函数有两个零点，，比较与0的大小，并证明你的结论．
【解析】（1），．
①时，在上递增，在上递减；
②时，’ 的两根为，1
若，即时，在上递增；
若．即时，在上递增，，上递减，上递增；
且，故此时在上有且只有一个零点．
若，即时，在上递增，上递减，，上递增；
且（1），故此时在上有且只有一个零点．
综上所述：时，在上递增，，上递减，上递增；
时，在上递增；
时，在上递增，上递减，，上递增；
时，在上递增，在上递减；
（2）证明：
，
设，．
．
在上单调递减，
得证．
（3）由（1）知，函数要有两个零点，，则，
．
不妨设，
由（2）得．
，
．
．
6．已知函数，其中为常数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若存在两个极值点，，求证：无论实数取什么值都有．
【解析】（1），
函数的定义域为
，
令，
，
当时，即时，，即函数在单调递增，
当时，即，或时，
令，解得，或，
①若，
当时，即，或，函数单调递增，
当时，即，函数单调递减，
②若，，即函数在单调递增，
综上所述：当时，即函数在单调递增，
当时，函数在，或上单调递增，
在，上单调递减，
（2）由（1）可知，当时，函数在，或上单调递增，
在，上单调递减，
；，
，
；
故
；
令（a），
则（a），
，；
（a）在，上增函数，
且，
故，
故无论实数取什么值都有．
7．已知函数的两个零点为，．
（1）求实数的取值范围；
（2）求证：．
【解析】（1）．
①，，在上单调递增，不可能有两个零点；
②，可解得，可解得，
在上单调递减，在上单调递增，
，
由题意，，
；
（2）证明：令，，
由题意方程有两个根为，，不妨设，．
令，则，
令，可得，函数单调递增；，可得，函数单调递减．
由题意，，
要证明，即证明，即证明．
令，
下面证明对任意恒成立，
，
，
，，
，
在上是增函数，
，
原不等式成立．
8．已知函数有两个零点，．
（Ⅰ）求实数的取值范围；
（Ⅱ）证明：．
【解析】函数，
，
在单调递减，在单调递增，
的最小值为，
即，
又，
，
满足函数有两个零点；
证明：令，
由知在递减，，递增，
令，，
，
则在递增，
，即，
令的零点为，，，，
，
，
，即，
所以