2024年高考数学第二轮专题复习专题23：端点效应专题14页

这是一份2024年高考数学第二轮专题复习专题23：端点效应专题14页，共14页。试卷主要包含了设函数，（理已知函数，已知函数的最小值为0，其中，设函数，，，已知函数，已知函数，等内容，欢迎下载使用。
（Ⅰ）证明：的导数；
（Ⅱ）若对所有都有，求的取值范围．
【解析】（Ⅰ）的导数．
由于，故．
（当且仅当时，等号成立）．
（Ⅱ）令，则，
（ⅰ）若，当时，，
故在上为增函数，
所以，时，，即．
（ⅱ）若，方程的正根为，
此时，若，则，故在该区间为减函数．
所以，时，，即，与题设相矛盾．
综上，满足条件的的取值范围是，．
2．（理已知函数．
求证：；
如果对任何，都有，求的取值范围．
【解析】（Ⅰ）令，．
，定义域为；
在递增，；
在，递增．
从而可得结论．
（Ⅱ） ①当时，对，由（Ⅰ）的证明知．
②当时，，不合题意．
③当时，今．
则．
取．则．
易知当时，，
递增，即，不合题意．
综上知：，．
3．设函数．
（Ⅰ）当时，判断函数的零点的个数，并且说明理由；
（Ⅱ）若对所有，都有，求正数的取值范围．
【解析】（Ⅰ）当时，的定义域是求导，得
所以，在上为减函数，在上为增函数，（e）．
又（1），根据在上为减函数，
则在上恰有一个零点；
又，则（e），
所以在上恰有一个零点，
再根据在上为增函数，在上恰有一个零点．
综上所述，函数的零点的个数为2．
（Ⅱ）令，
求导，再令，
则
（ⅰ）若，当时，，
故在，上为减函数，
所以当时，（1），即，
则在，上为减函数，
所以当时，（1），即成立；
（ⅱ）若，方程的解为，
则当时，，
故在上为增函数，
所以当时，（1），即，
则在上为增函数，
所以当时，（1），即成立，此时不合题意．
综上，满足条件的正数的取值范围是，．
4．设函数．
（1）求的单调区间；
（2）若对所有的，均有成立，求实数的取值范围．
【解析】（1）由得，的增区间为，减区间为．
（2）令．“不等式在时恒成立” “在时恒成立．”．
当时，，为减函数．
当，时，，为增函数．
“在时恒成立” “”，即，即，即．
故的取值范围是，．
5．设函数．
（Ⅰ）求函数在点， 处的切线方程；
（Ⅱ）求的极小值；
（Ⅲ）若对所有的，都有成立，求实数的取值范围．
【解析】（Ⅰ）的定义域为，又，
，切点为，所求切线方程为．（2分）
（Ⅱ）设，得，得；，得，得；，得，得；
则．（6分）
（Ⅲ）令，
则．
令，得，得；，
得，得；，得，得；
（1）当时，，，
对所有时，都有，于是恒成立，
在，上是增函数．
又，于是对所有，都有成立．
故当时，对所有的，都有成立．
（2）当时，，，
对所有，都有恒成立，
在上是减函数．
又，于是对所有，都有．
故当时，只有对仅有的，都有．
即当时，不是对所有的，都有．
综合（1），（2）可知实数的取值范围，．（12分）
6．已知函数的最小值为0，其中．
（1）求的值；
（2）若对任意的，，有成立，求实数的最小值．
【解析】（1），
令，可得，
令，；为增函数；
，，为减函数；
时，函数取得极小值也是最小值，
函数的最小值为0，
，得；
（2）当时，取，有（1），故不合题意；
当时，令，即，
求导函数可得，
令，可得，，
当时，，，在上恒成立，在，上单调递减，
，
对任意的，，有成立；
当时，，
在上，为增函数；
在，上，为减函数；
因此存在使得，
可得，即，与题矛盾；
综上：时，对任意的，，有成立，
实数的最小值为：；
7．设函数，，．
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）设，求的取值范围．
【解析】（Ⅰ）求导函数，可得，，，，；
当时，恒成立，单调递减；当 时，恒成立，单调递增；
当时，由得，
当，时，，，单调递增
当，时，，，单调递减
当，时，，，单调递增；
（Ⅱ）由得，，．
令，则
当时，，当时，
，，即，
当时，有
①当时，，，所以；
②当时，
综上，．
8．已知函数．
（1）当求曲线在，（1）处的切线方程；
（2）若时，，求的取值范围．
【解析】（1）当时，，
，，
（1），又（1），
曲线在，（1）处的切线方程为：
，即．
（2）令，
则，
当时，恒成立，
即在上单调递增，（1），
①当时，（1），故（a）在上单调递增，且（1），此时符合题意；
②当时，由（1）及在上单调递增，知，
使得，即，不符合题意，
综上，的取值范围是，．
9．已知函数．
（1）若是函数的极值点，求的值；
（2）令，若对任意，有恒成立，求的取值范围；
（3）设，为实数，且，求证：．
【解析】（1）因为，
所以，
令（2），所以，
检验：当时，，
所以．
（2）因为，因为，
由，得，
令，则，
令，则，
所以在，上单调递增，①
故（e），
所以，故在，上单调递增，
（e）．
所以．
（3）证明：当时，，
所以在，单调递增，
所以当时，（1），即，
因为，所以，所以，
即，所以，
由①知，在，上单调递增，
所以当时，（1），即，
因为，所以．
即，所以，
综上，．
10．已知函数，．
（1）求函数的单调区间；
（2）若函数，当时，恒成立，求实数的取值范围．
【解析】（1）定义域为，．
（ⅰ）当时，对，，函数的单调递增区间是，
（ⅱ）当时，时，；当，时，，
所以的单调递增区间是，单调递减区间是，．
（2）函数．
（ⅰ）当时，由重要不等式知，
，
在，上递增，
所以恒成立，符合题意．
（ⅱ）当时，因为，，故，
在，上递增．
又，存在，使得，
从而函数在上递减，在，上递增，
又，不恒成立，不满足题意．
综上（ⅰ），（ⅱ）知实数的取值范围是，．
11．已知函数（其中，是自然对数的底数）．
（Ⅰ）若关于的方程有唯一实根，求的值；
（Ⅱ）若过原点作曲线的切线与直线垂直，证明：；
（Ⅲ）设，当时，恒成立，求实数的取值范围．
【解析】（Ⅰ），
，
设，则，
时，在递增，在，递减，
则，
有唯一实根，
且；
故，；
（Ⅱ）证明：过原点所作曲线的切线与直线垂直，
切线的斜率为，方程是，
设与的切点为，，
，
，且，
令，则，
在递减，在递增，
若，，（1），
，，
而在，递减，
，
若，在递增，且（e），则，
（舍，
综上：；
（Ⅲ），
，，
①时，在，递增，
，
在，递增，恒成立，符合题意，
②时，在，递增，，
则存在，使得，
在递减，在，递增，
又时，，
不恒成立，不合题意，
综上，所求实数的范围是，．
12．已知函数，．
（1）求函数的单调区间；
（2）过原点分别作曲线与的切线、，已知两切线的斜率互为倒数，证明：或；
（3）设，当时，，求实数的取值范围．
【解析】（1）依题意，函数的定义域为，对求导，得．
①若，对一切有，函数的单调递增区间是．
②若，当时，；当，时，．
所以函数的单调递增区间是，单调递减区间是，．
（2）设切线的方程为，切点为，，则，，
所以，，则．
由题意知，切线的斜率为，的方程为．
设与曲线的切点为，，则，
所以，．
又因为，消去和后，整理得．
令，则，
在上单调递减，在上单调递增．
若，因为，（1），所以，，
而在，上单调递减，所以．
若，因为在上单调递增，且（e），则，
所以（舍去）．
综上可知，
（3）证明：，．
①当时，因为，所以，
在，上递增，恒成立，符合题意．
②当时，因为，
所以在，上递增，且，则存在，使得．
所以在上递减，在，上递增，
又，所以不恒成立，不合题意．
综合①②可知，所求实数的取值范围是，．



，
2


0
0

增
极大值
减
极小值
增