2024年高考数学第二轮专题复习专题26：筷子夹汤圆专题17

这是一份2024年高考数学第二轮专题复习专题26：筷子夹汤圆专题17，共17页。试卷主要包含了已知函数，，已知函数，，其中，且，已知函数在点，处的切线方程为，已知函数，已知函数，曲线在原点处的切线为，已知函数，是的极值点等内容，欢迎下载使用。
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）设曲线与轴正半轴的交点为，曲线在点处的切线方程为，求证：对于任意的实数，都有；
（Ⅲ）若方程为实数）有两个实数根，，且，求证：．
【解析】（Ⅰ）由，可得．
当，即时，函数单调递增；
当，即时，函数单调递减．
的单调递增区间为，单调递减区间为．
（Ⅱ）证明：设点的坐标为，，则，，
曲线在点处的切线方程为，即，
令函数，即，
则．
，当时，；当，时，，
在上单调递增，在，上单调递减，
对于任意实数，，即对任意实数，都有；
（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知，，设方程的根为，可得．
在上单调递减，又由（Ⅱ）知，
因此．
类似地，设曲线在原点处的切线方程为，可得，
对于任意的，有，即．
设方程的根为，可得，
在上单调递增，且，
因此，
由此可得．
2．已知函数，．其中．．
（1）讨论的单调性；
（2）设曲线与轴正半轴的交点为，曲线在点处的切线方程为，求证：对于任意的正实数，都有；
（3）设，若关于的方程为实数）有两个正实根，，求证：．
【解析】（1）由，可得，其中，且．
下面分两种情况讨论：
①当为奇数时，令，解得，或，
当变化时，，的变化情况如下表：
所以，在，上单调递减，在单调递增；
②当为偶数时，
当，即时，函数单调递增；
当，即时，函数单调递减；
所以，在单调递增，在上单调递减；
（2）证明：设点的坐标为，，则，，
曲线在点处的切线方程为，
即，
令，即，
则．
由于在上单调递减，故在上单调递减，
又因为，所以当时，，当，时，，
所以在内单调递增，在，上单调递减，
所以对应任意的正实数，都有，
即对于任意的正实数，都有．
（3）证明：不妨设，
由（2）知，设方程的根为，
可得，由（Ⅱ）知，可得．
类似地，设曲线在原点处的切线方程为，可得，
当，，
即对于任意的，，
设方程的根为，可得，
因为在上单调递增，
且，因此，
由此可得：，
因为，所以，
故：．则，
所以当时，即有．
3．已知函数，，其中，且．
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）设曲线与轴正半轴的交点为，曲线在点处的切线方程为，求证：对于任意的正实数，都有；
（Ⅲ）若关于的方程为实数）有两个正实数根，，求证：．
【解析】（本题满分为14分）
（Ⅰ）由，可得，其中，且．
下面分两种情况讨论：
（1）当为奇数时，令，解得，或，当变化时，，的变化情况如下表：
所以，在，上单调递减，在单调递增．
（2）当为偶数时，
当，即时，函数单调递增；
当，即时，函数单调递减；
所以，在单调递增，在上单调递减；
（Ⅱ）证明：设点的坐标为，，则，，
曲线在点处的切线方程为，即，
令，即，则．
由于在上单调递减，故在上单调递减，
又因为，所以当时，，当，时，，
所以在内单调递增，在，上单调递减，
所以对应任意的正实数，都有，
即对于任意的正实数，都有．
（Ⅲ）证明：不妨设，
由（Ⅱ）知，
设方程的根为，可得，
由（Ⅱ）知，可得．
类似地，设曲线在原点处的切线方程为，
可得，当，，
即对于任意的，，
设方程的根为，可得，
因为在上单调递增，且，
因此，
由此可得：，
因为，所以，
故：．
所以：．
4．已知函数在点，处的切线方程为．
（1）求，；
（2）设曲线与轴负半轴的交点为点，曲线在点处的切线方程为，求证：对于任意的实数，都有；
（3）若关于的方程有两个实数根，，且，证明：．
【解析】（1）将代入切线方程中，有，
所以，即，
又，
所以．
若，则，与矛盾，
故．
（2）证明：由（1）可知，
令，有或，
故曲线与轴负半轴的唯一交点为．
曲线在点处的切线方程为，
则，
令，
则，
所以，．
当时，
若，，，
若，，在时单调递增，．
故，在上单调递减，
当时，
由知在时单调递增，，在上单调递增．
所以，即成立．
（3）证明：，设的根为，
则，
又单调递减，且，
所以，
设曲线在点处的切线方程为，有，
令，，
当时，，
当时，，
故函数在上单调递增，
又，
所以当时，，当时，，
所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以，
即，
设的根为，
则，
又函数单调递增，
故，
故．
又，
所以．
5．已知函数．
（1）求在点，处的切线方程；
（2）若，证明：在，上恒成立；
（3）若方程有两个实数根，，且，证明：．
【解析】（1）函数，由，
由，，
所以切线方程为，
（2）当，时，，所以．
故只需证，
构造，
，
又在，上单调递增，且（1），知在，上单调递增，
故（1）．因此，得证．
（3）由（1）知在点，处的切线方程为．
构造，，．
当时，；当时，；
所以在上单调递减，在上单调递增．
又，，，所以在上单调递减，在上单调递增．
所以．
设方程的根．又，由在上单调递减，所以．
另一方面，在点处的切线方程为．
构造．
，．
当时，；当时，；
所以在上单调递减，在上单调递增．
又，，（1），所在上单调递减，在上单调递增．
所以（1）．
设方程的根．
又，由在上单调递增，
所以．
，，
，
所以，得证．
6．已知函数，曲线在原点处的切线为．
（1）证明：曲线与轴正半轴有交点；
（2）设曲线与轴正半轴的交点为，曲线在点处的切线为直线，求证：曲线上的点都不在直线的上方；
（3）若关于的方程为正实数）有不等实根，，求证：．
【解析】证明：（1）因为，由已知得：，解得，
即，所以在上单调递增，在上单调递减，
又，，（2），
所以，存在，使得．
即曲线与轴正半轴有交点，；
（2）曲线在点处的切线，
令，，
则，
又
当时，，单调递增，
当，时，，单调递减，
所以对任意实数都有，
即对任意实数都有，
故曲线上的点都不在直线的上方；
（3）因为，所以为减函数，
设方程的根为，
由（2）可知，所以
记，则，
当时，，单调递增，
当时，，，单调递减，
所以，对任意的实数，都有，即
设方程的根，则，所以
于是，
令，又，则，
所以在，上为增函数，又，
所以，，
所以．
7．已知函数，．
（Ⅰ）求函数的极值；
（Ⅱ）设曲线与轴正半轴的交点为，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅲ）若方程为实数）有两个实数根，且，求证：．
【解析】（Ⅰ）由已知得：由得：
又当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
当时取得极大值，极大值为（1），无极小值．（3分）
（Ⅱ）设，，则，，
曲线在点处的切线方程为：，
即曲线在点处的切线方程为：（6分）
（Ⅲ）设，令
即，则
由于在单调递减，故在单调递减，又，
当时，当，时，，
在单调递增，在，单调递减，
，，即，都有；
设方程的根为，．
在单调递减，且
，
设曲线在点原点处的切线方程为：，则易得，
，有，即，
设方程的根为，则，
在单调递增，且，
，
即．
8．已知函数，是的极值点．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）设曲线与轴正半轴的交点为，曲线在点处的切线为直线．求证：曲线上的点都不在直线的上方；
（Ⅲ）若关于的方程有两个不等实根，，求证：．
【解析】（Ⅰ）；
由题意知，；
；
（Ⅱ）证明：设曲线在，处切线为直线；
令；
；
；
在上单调递增，在，上单调递减；
；
，即，即上的点都不在直线的上方；
（Ⅲ）由（Ⅱ）设方程的解为；
则有，解得；
由题意知，；
令，；
；
在上单调递增；
；
的图象不在的下方；
与交点的横坐标为；
则有，即；
；
关于的函数在上单调递增；
．
9．已知函数，其中，是自然对数的底数．
设曲线与轴正半轴相交于点，，曲线在点处的切线为，求证：曲线上的点都不在直线的上方；
若关于的方程为正实数）有两个不等实根，，求证：．
【解析】证明：由题意可得：，，．
，，
可得：曲线在点处的切线为，
令，．
，，
可得函数在上单调递减，
在，上单调递增．
，
因此：曲线上的点都不在直线的上方．
由可得：，解得．
．
．
曲线在点处的切线为，．
同理可得：在点处的切线为：．
与，的交点的横坐标分别为，．
则，．
．
下面证明：．
．
．
．
10．已知函数，，在点，（1）处的切线方程记为，令．
设函数的图象与轴正半轴相交于，在点处的切线为，证明：曲线上的点都不在直线的上方；
关于的方程为正实数）有两个实根，，求证：．
【解析】证明：（1），，（1）．
在点处的切线方程为：，记为，
．
由．，解得．，．
，．
在点处的切线为．
令．．
．
可得函数在上单调递减，在，上单调递增．
，
．
因此曲线上的点都不在直线的上方．
在点处的切线为．
同理可得：在点处的切线为：．
与，的交点的恒坐标分别为，．
，
则，．
．
．






递减
递增
递减