2024年高考数学第二轮专题复习专题27：找点专题18

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（1）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围；
（2）当时，讨论函数的零点个数，并给予证明．
【解析】（1）
由题意得，即在区间上恒成立．
当时，，所以，
故实数的取值范围为．
（2）由已知得，
则．
当时，，函数单调递减，
又，，故函数有且只有一个零点．
当时，令，得，函数单调递减，
令，得，函数单调递增，
而，，
（在上恒成立）
由于，所以，所以在上存在一个零点．
又，且，
设，则在上恒成立，
故在上单调递增．
而，所以在上恒成立，所以，
所以在上存在一个零点．
综上所述，当时，函数有且只有一个零点；
当时，函数有两个零点．
2．已知函数.(是自然对数的底数)
（1）求的单调区间；
（2）记，，试讨论在上的零点个数.(参考数据：)
【解析】（1）由题意，函数，其定义域为，
可得，
令，即，解得
解得.
令，即，解得
解得.
所以的减区间为，增区间为.
（2）由，可得，
令，则，
因为，当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
即在上单调递增，在上单调递减，
因为，，，
①当时，即时，，
所以，使得，所以当时，；
当时，，所以在上单调递增，上单调递减，
所以，所以，
又因为，由零点存在性定理可得，此时在上仅有一个零点.
②若时，，
又因为在上单调递增，在上单调递减，
而，所以，，使得，，
且当､时，；当时，，
所以在和上单调递减，在上单调递增.
因为，所以，
因为，所以.
又因为，
由零点存在性定理可得，在和内各有一个零点，
即此时在上有两个零点.
综上所述，当时，在上仅有一个零点；
当时，在上有两个零点.
3．已知函数，其中，为自然对数的底数.
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）讨论函数的零点个数.
【解析】（1）当时，，函数的定义域为
所以，设，则
所以函数在上单调递增.
又，所以当时，；当时，
所以当时，函数的单调递减区间是，单调递增区间是.
（2）当时，由（1）可知，函数的单调递减区间是，单调递增区间是，
所以，所以函数有且仅有一个零点.
当时，，所以函数没有零点.
当时，，设，则，
所以函数在上单调递增，
又，，所以存在，使得，
当时，；当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增.
又且，所以，，所以.
令，则且.
令，则且.
下面先证：，令，则
故函数在上单调递增，所以，所以
所以.
令，则
所以函数在上单调递减，所以
所以，所以函数在和内各有一个零点，所以函数有两个零点
综上，当时，函数没有零点；当时，函数有且仅有一个零点；当时，函数有两个零点.
4．已知函数，其中，.
（1）当时，证明不等式恒成立；
（2）若()，证明有且仅有两个零点.
【解析】（1）令，则，
当时，，∴在上单调递减，
∴，即不等式恒成立；
（2）的定义城为，且，
令，，则在上单调递增，
当时，，∴，
，
故在上有唯一解，从而在上有唯一解，
不妨设为，则，
当时，，∴在上单调递减，
当时，，∴在上单调递增，
因此是唯一极值点，
∵，∴，即在上有唯一零点，
，
∵，由（1）可知，∴，
即在上有唯一零点，
综上，在上有且仅有两个零点.
5．已知函数.
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）讨论函数的零点个数.
【解析】（1）当时，，
定义域为，，
又，，
∴曲线在处的切线方程是，
即；
（2）显然，函数的定义域为，，
令，则，
当时，，当时，，
∴在上单调递增，在上单调递减，
∴有最大值，
当，即时，，于是，即，
∴在上单调递减，又，∴只有一个零点，
当，即时，，，
令()，则，
∴在上单调递减，，∴；
∴，
又且在上单调递增，在上单调递减，
∴存在，使得，存在，使得，
∴当时，，当时，，当时，
即在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
又，且，∴在内有唯一零点，且、，
又，，
∴在与内均有唯一零点，
故当时，函数有三个零点，
因此当时，函数有一个零点，当时，函数有三个零点.
6．已知函数，．
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）讨论函数的零点个数．
【解析】（1）当时，，，，，
所以曲线在处的切线方程为．
（2）函数的定义域为，．
①当时，，无零点．
②当时，，令，得，令，
得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以有最大值．
当，即时，无零点．
当，即时，只有一个零点．
当，即时，，，
令，则，则在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以，
因此当时，，．
因为，所以，于是．
又在上单调递增，，且，所以在上有唯一零点．
，
当时，，令，其中，则，
令，，则，
所以在上单调递增，，
所以在上单调递增，，
故当时，．因为，所以，即，
所以．
由，得，即，得，于是．
又，，在上单调递减，所以在上有唯一零点．故时，有两个零点．
③当时，由，得，则，又当时，，所以，无零点．
综上可知，或时，无零点；时，只有一个零点；时，有两个零点．
7．已知函数．
（Ⅰ）设函数，当时，证明：当时，；
（Ⅱ）若有两个不同的零点，求的取值范围.
【解析】（Ⅰ）
，
所以在上为单调递增函数，
且，
当时，.
（Ⅱ）设函数，则，
令，
当时，当时，，
当时，，得，
所以当时，，
在上为单调递增函数，此时至多有一个零点，
至多一个零点不符合题意舍去.
当时，有，
此时有两个零点，设为，且．
又因为，，
所以.
得在，为单调递增函数，
在上为单调递减函数，且，
所以，，
又因为，，
且图象连续不断，
所以存在唯一，使得，
存在唯一，使得，
又因为，
所以，当有两个不同的零点时，.
8．已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）令，当时，证明∶函数有2个零点.
【解析】（1）
（2）当时，，∴是的一个零点，
由，设，则.
因为，
①当时，，∴，∴在单调递增，
∴，
∴在单调递增，∴，此时在无零点
②当时，，有，此时在无零点.
③当时，，，∴在单调递增，又，，
由零点存在性定理知，存在唯一，使得.
当时，，在单调递减；当时，，在单调递增；
又，，所以在上有1个零点.
综上，当时，有2个零点．
9．已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）函数，当时，讨论零点的个数.
【解析】（1）函数的定义域为，.
①当时，，所以在上单调递减；
②当时，令得.
若，；
若，；
所以在单调递减，在单调递增.
综上所述，当时，在上单调递减；
当时，在单调递减；在单调递增.
（2）
设函数
因为，所以得.
当时，，在上单调递减.
当时，，在上单调递增.
所以当时，取最小值，最小值为.
若时，，所以函数只有1个零点；
若时，，所以函数无零点；
若时，，，
，故，；
所以函数在和各有一个零点，所以函数有两个零点.
综上所述，当时，函数只有1个零点；当时，函数无零点；
当时，函数有两个零点
10．已知函数，．
（1）若曲线在点处的切线平行于直线，求该切线方程；
（2）若，求证：当时，；
（3）若恰有两个零点，求a的值．
【解析】（1）因为，所以，故．
所以．
所求切线方程为，即．
（2）当时，，．
当时，；当时，．
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增．
所以的最小值为．
故时，．
（3）对于函数，．
（i）当时，，没有零点；
（ii）当时，．
当时，，所以在区间上单调递增；
当时，，所以在区间上单调递减；
当时，，所以在区间上单调递增．
所以是的极大值，是的极小值．
因为，
所以在上有且只有一个零点．
由于，
①若，即，在区间上没有零点；
②若，即，在区间上只有一个零点；
③若，即，由于，所以在区间上有一个零点．
由（2）知，当时，，
所以．
故在区间上有一个零点．
因此时，在区间上有两个零点．
综上，当有两个零点时，．
11．已知函数．
（1）若，求函数的单调性；
（2）若函数有两个零点，求实数的取值范围．
【解析】（1），，
设，在上恒成立，
所以函数在上单调递增，
又，故时，，即在区间单调递减，
当时，，即在区间单调递增．
所以当时，单调递减，时，单调递增；
（2）函数的定义域为．
由．
①当时，，此时单调递增，最多只有一个零点；
②当时，令．
由，可知函数单调递增，
又，，
可得存在，使得，
有，可知函数的减区间为，增区间为．
若函数有两个零点，必有
，
得．
又由．
令，有，
令，可得，
故函数的增区间为，减区间为，有．
当时，，．
可得此时函数有两个零点．
由上可知，若函数有两个零点，则实数的取值范围是．
12．已知函数.
（1）求函数的定义域；
（2）求函数的零点个数.
【解析】（1）要使函数有意义，则，可得，所以函数的定义域为；
（2）求得．
对函数求导得，
是增函数，
若，则有下表
在定义域上有且只有0一个零点；
若，在是增函数，
且，
存在唯一的，使得，
则有下表
，
所以在有且仅有1个零点；
令，则，
，，
，
，
所以在有且仅有1个零点；
则在定义域上有且只有两个零点，
综上，时有1个零点，时有2个零点
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极小值
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