2024年高考数学第二轮专题复习专题11：参数的值或范围问14页

这是一份2024年高考数学第二轮专题复习专题11：参数的值或范围问14页，共14页。试卷主要包含了已知函数，，已知函数，为常数），已知函数在处的切线与直线垂直，已知函数，已知函数的最小值为0，其中，设函数等内容，欢迎下载使用。

（1）求函数在区间，上的最小值；
（2）令，，，，是函数图象上任意两点，且满足，求实数的取值范围；
（3）若，，使成立，求实数的最大值．
【解析】（1），令，则，
当时，在，上单调递增，的最小值为；（1分）
当时，在区间上为减函数，在区间上为增函数，的最小值为（1）．
综上，当时，；当时，．（3分）
（2），对于任意的，，不妨取，则，
则由，可得，
变形得恒成立，（5分）
令，
则在上单调递增，
故在恒成立，（7分）
在恒成立．
，当且仅当时取“”， ；（10分）
（3），．
，，，，
，使得成立．
令，则，（12分）
令，则由，可得或（舍．
当时，，则在上单调递减；
当时，，则在上单调递增．
，在，上恒成立．
在，上单调递增．则（1），即．（15分）
实数的最大值为1．（16分）
2．已知函数，．
（Ⅰ）求在，上的最小值；
（Ⅱ）若存在，是常数，使不等式成立，求实数的取值范围；
（Ⅲ）证明对一切都有成立．
【解析】（Ⅰ），当，，单调递减，
当，，，单调递增．
①，无解；
②，即时，；
③，即时，在，上单调递增，；
．
（Ⅱ）由题意知，则，
设，则，
，，，单调递减，，，，单调递增，
所以，（e）
因为存在，，恒成立，所以；
因为，（e），
所以（e），
所以；
（Ⅲ） 问题等价于证明，
由（Ⅰ）知，的最小值是，当且仅当时取到
设，则，（1），
当且仅当时取到，从而对一切，都有成立．
3．已知函数，
（Ⅰ）求函数在，上的最小值；
（Ⅱ）若函数有两个不同的极值点，且，求实数的取值范围．
【解析】（Ⅰ）由，可得，
①，时，函数在上单调递减，在，上单调递增，
函数在，上的最小值为，
②当时，在，上单调递增，
，
；
（Ⅱ），则
题意即为有两个不同的实根，，
即有两个不同的实根，，
等价于直线与函数的图象有两个不同的交点
，在上单调递减，在，上单调递增，
画出函数图象的大致形状（如右图），
由图象知，当时，，存在，且的值随着的增大而增大而当时，由题意，
两式相减可得
代入上述方程可得，
此时，
所以，实数的取值范围为；
4．已知函数，为常数）．
（1）函数的图象在点，（1）处的切线与函数的图象相切，求实数的值；
（2）若，，、，使得成立，求满足上述条件的最大整数；
（3）当时，若对于区间，内的任意两个不相等的实数，，都有成立，求的取值范围．
【解析】（1），，（1），
函数的图象在点，（1）处的切线方程为，（2分）
直线与函数的图象相切，由 消去得，
则△，解得或（4分）
（2）当时，，
，（5分）
当，时，，在，上单调递减，
（1），（2），（7分）
则，
，故满足条件的最大整数是．（9分）
（3）不妨设，函数在区间，上是增函数，，
函数图象的对称轴为，且，函数在区间，上是减函数，
，（10分）
等价于，
即，（11分）
等价于 在区间，上是增函数，
等价于在区间，上恒成立，（12分）
等价于在区间，上恒成立，
，又，．（14分）
5．设函数，，其中，为自然对数的底数．
（1）讨论的单调性；
（2）证明：当时，；
（3）确定的所有可能取值，使得在区间内恒成立．
【解析】（Ⅰ）由，得，
当时，在成立，则为上的减函数；
当时，由，得，
当时，，当，时，，
则在上为减函数，在，上为增函数；
综上，当时，为上的减函数，当时，在上为减函数，在，上为增函数；
（Ⅱ）证明：要证，即，
即证，也就是证，
令，则，
在上单调递增，则（1），
即当时，，当时，；
（Ⅲ）由 （Ⅱ） 知，当 时，，
当，时，，
故当在区间内恒成立时，必有，
当 时，
由 （Ⅰ）有，而，
此时 在区间 内不恒成立；
当 时，令，
当 时
，
因此 在区间上单调递增，
又（1），当 时，，
即 恒成立，
综上．
6．已知函数在处的切线与直线垂直．
（Ⅰ）求实数的值；
（Ⅱ）函数，若函数存在单调递减区间，求实数的取值范围；
（Ⅲ）设，是函数的两个极值点，若，求的最小值．
【解析】（Ⅰ）根据题意，，则，
又由切线与直线垂直，则有（1），即，
（Ⅱ）根据题意，，则，
，
由题知在上有解，
设，
而，所以要使在上有解，则只需，
即，所以的取值范围为．
（Ⅲ），
令，得，
，是函数的两个极值点，则，是的两个根，
，，
，
令，则，
，
又，所以，所以，
整理有，解得，
，
而，所以在单调递减，则有；
故的最小值是．
7．已知函数
（1）当时，求在区间上的最值
（2）讨论函数的单调性
（3）当时，有恒成立，求的取值范围．
【解析】（1）当时，，
．
的定义域为，
由得．
在区间上的最值只可能在取到，
而，．
（2）．
①当，即时，，在单调递减；
②当时，，在单调递增；
③当时，由得，或（舍去）
在单调递增，在上单调递减；
综上，当时，在单调递增；
当时，在单调递增，在上单调递减．
当时，在单调递减；
（3）由（2）知，当时，
即原不等式等价于，
即整理得
，
又，
的取值范围为．
8．已知函数的图象在点为自然对数的底数）处的切线的斜率为3．
（Ⅰ）求实数的值；
（Ⅱ）若对任意成立，求实数的取值范围；
（Ⅲ）当时，证明：．
【解析】（Ⅰ）求导数，得．
由已知，得（e），即
．
（Ⅱ）由（Ⅰ），知，
对任意成立对任意成立，
令，则问题转化为求的最大值．
求导数，得，令，解得．
当时，，在上是增函数；
当时，，在上是减函数．
故在处取得最大值（1）．
即为所求．
（Ⅲ）证明：令，则．
由（Ⅱ），知，，
是上的增函数．
，，即，
，
即，
即，
即，
，
．
9．已知函数的最小值为0，其中．设，
（1）求的值；
（2）对任意，恒成立，求实数的取值范围；
（3）讨论方程在，上根的个数．
【解析】（1）的定义域为．．
由，解得．
当变化时，，的变化情况如下表：
因此，在处取得最小值，
故由题意，所以．（4分）
（2）由知对恒成立
即是上的减函数．
对恒成立，对恒成立，
，（8分）
（3）由题意知，
由图象知时有一个根，时无根．（12分）
或，，，
又可求得时，
在时 单调递增．时，，时有一个根，时无根．
10．设函数．
（Ⅰ）讨论：的单调性；
（Ⅱ）当有最大值，且最大值大于时，求的取值范围．
【解析】（Ⅰ）的定义域为，
，
若，则，函数在上单调递增，
若，则当时，，当，时，，所以在上单调递增，在，上单调递减，
（Ⅱ），由（Ⅰ）知，当时，在上无最大值；当时，在取得最大值，最大值为，
，
，
令（a），
（a）在单调递增，（1），
当时，（a），
当时，（a），
的取值范围为．
0
减函数
极小值
增函数