2024年高考数学第二轮专题复习专题14：构造函数13页

这是一份2024年高考数学第二轮专题复习专题14：构造函数13页，共13页。试卷主要包含了已知函数，，其中，均为实数，已知，已知函数，已知函数为常数）有两个极值点，记，表示，中的最大值，已知函数，等内容，欢迎下载使用。

（1）求的极值；
（2）设，，若对任意的，，，恒成立，求的最小值；
（3）设，若对任意给定的，，在区间，上总存在、，使得成立，求的取值范围．
【解析】（1），令，解得，
，时，；时，，根据极大值的定义知：极大值是（1），无极小值．
（2）当，时，，所以在，上，所以在，上是增函数．
设，所以在，上，所以在，上为增函数．
设，则恒成立，变成恒成立，即：恒成立，即：．设，则在，上为减函数．
在，上恒成立．
恒成立．设，所以，因为，，所以，所以，所以为减函数．
在，上的最大值为（3）．
，的最小值为：．
（3）由（1）知在，上单调递增，在，单调单调递减，又，（e），所以的值域是，．
；
当时，，在，为减函数，由题意知，在，不是单调函数；故不合题意；
当时，，由于在，上不单调，所以，即；①
此时在递减，在，递增；
（e），即，解得；②
所以由①②，得；
，，（1）满足条件．
下证存在，使得；
取，先证，即证；③
设，则在，时恒成立；
在，上递增，，所以③成立；
再证；
，时，命题成立．
所以的取值范围是：，．
2．已知．
（1）当时，
①求的图象在点处的切线方程；
②当时，求证：．
（2）若存在，，使得成立，求实数的取值范围．
【解析】（1）时，，，
①可得，，
所以在处的切线方程为；
②证明：设，
，，
所以，在，上递增，所以，
所以，在，上递增，所以，
即有当时，；
（2）存在，，使得成立
存在，，使得，
设，
，，
可得在，单调增，即有，
①当时，，
可得在，单调增，
则，
解得；
②当时，，
设，，
，
另可得，可得，
则在单调递减，在，单调递增．
则．
设，，
，
，
可得在单调递增，
即有，
则在单调递增，
则，
则，
则当时，恒成立，不合题意．
综上可得，的取值范围为．
3．已知函数．
（Ⅰ）当时，求的单调区间；
（Ⅱ）设，且有两个极值点，，其中，若恒成立，求的取值范围．
【解析】（Ⅰ）易求 的定义域，，
，
，
，解得： 或，解得：，
所以函数的单调递增区间为和，
单调递减区间为，．
（Ⅱ）由题意知，
，
令，则，由有两个极值点，，
得，
又因为，
所以，
所以
，
令，，
，
因为，
，
所以在，1单调递减，故（1），
综上所述．
4．已知函数为常数）有两个极值点．
（1）求实数的取值范围；
（2）设的两个极值点分别为，，若不等式恒成立，求的最小值．
【解析】（1）由题设知，函数的定义域为，
且有两个不同的正根，即两个不同的正根，，
则，，
，，，，，，，，
，是的两个极值点，符合题意，
；
（2），
，
令，则，
，
，
在上单调递减，
，
不等式恒成立，，
是的最小值．
5．记，表示，中的最大值．如，．已知函数，，，．
（1）求函数在，上的值域；
（2）试探讨是否存在实数，使得对恒成立？若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由．
【解析】（1）由题意设，则，
所以时，递增，时递减，
所以（1），所以即，
所以，其在，上的最大值为时函数值3，取最小值为，
所以函数在，上的值域，；
（2）①当时，因为，所以，
所以，所以，当对恒成立，
则对恒成立，设，则，
令得，递增，令得，递减，
所以（2），所以，又，所以，．
②当时，由①知对恒成立，
若对恒成立，则对恒成立，
即对恒成立，显然不成立，
即时，不满足对恒成立；
综上，存在实数使得，
对恒成立，的取值范围是，．
6．已知函数，．
（1）若曲线在处的切线的方程为，求实数的值；
（2）设，若对任意两个不等的正数，，都有恒成立，求实数的取值范围．
【解析】（1）的导数为，
曲线在处的切线斜率为，
由切线的方程为，可得，
解得；
（2），
对任意两个不等的正数，，都有恒成立，即，
令，则在递增，
故恒成立，即恒成立，
因为，所以，
即的取值范围是，．
7．已知函数．
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）证明当时，关于的不等式恒成立；
（Ⅲ）若正实数，满足，证明．
【解析】（Ⅰ），
由，得，
又，所以．
所以的单调减区间为，函数的增区间是．
（Ⅱ）令，
所以．
因为，
所以．
令，得．
所以当，；
当时，．
因此函数在是增函数，在，是减函数．
故函数的最大值为．
令，因为，
又因为（a）在是减函数．
所以当时，（a），
即对于任意正数总有．
所以关于的不等式恒成立．
（Ⅲ）由，
即，
从而．
令，则由得，．
可知，在区间上单调递减，在区间上单调递增．
所以（1），
所以，
又，
因此成立．
8．设，已知定义在上的函数在区间内有一个零点，为的导函数．
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）设，，，函数，求证：；
（Ⅲ）求证：存在大于0的常数，使得对于任意的正整数，，且，，，满足．
【解析】（Ⅰ）由，可得，
进而可得．令，解得，或．
当变化时，，的变化情况如下表：
所以，的单调递增区间是，，，单调递减区间是．
（Ⅱ）证明：由，得，
．
令函数，则．
由（Ⅰ）知，当，时，，
故当，时，，单调递减；
当，时，，单调递增．
因此，当，，时，，可得即，
令函数，则．
由（Ⅰ）知，在，上单调递增，
故当，时，，单调递增；
当，时，，单调递减．
因此，当，，时，，
可得得，即，．
所以，．
（Ⅲ）对于任意的正整数，，且，
令，函数．
由（Ⅱ）知，当，时，在区间内有零点；
当，时，在区间，内有零点．
所以在内至少有一个零点，不妨设为，
则．
由（Ⅰ）知在，上单调递增，故（1）（2），
于是．
因为当，时，，故在，上单调递增，
所以在区间，上除外没有其他的零点，而，故．
又因为，，均为整数，
所以是正整数，
从而．
所以．
所以，只要取（2），就有．
，