2024年高考数学第二轮专题复习专题15：不等式放缩法9页

这是一份2024年高考数学第二轮专题复习专题15：不等式放缩法9页，共9页。试卷主要包含了已知，，其中为自然对数的底数，已知函数，曲线在处的切线方程为，已知，曲线在，处的切线方程为，设函数，已知在处有极值等内容，欢迎下载使用。
（1）若恒成立，求实数的取值范围；
（2）若在（1）的条件下，当取最大值时，求证：．
【解析】（1）法一：（分类讨论法）．因为，．
①当时，，所以，
故在，上单调递增，
所以，所以．
②当时，令，
若，；若，，
所以在上单减，在上单增；
所以，
解得，此时无解，
综上可得．
法二：（分离参数法）．恒成立在，上恒成立．
令，则，
所以在，上单增，
故，所以．
（2）证明：由题意可知，．
要证，
先证明：时，．
令．
当时，，所以在，上单减，
所以（1），所以．
所以要证明式成立，只需要证明． （8分）
令，则，，
令
又在，上单调递增，则在，上，，
在，，．
所以，在，上单减，在，上单增，
所以，
所以在，上单调递增，所以（1）．
所以成立，也即是式成立．故．
2．已知函数，，且曲线在处的切线方程为．
（1）求，的值；
（2）求函数在，上的最小值：
（3）证明：当时，．
【解析】（1），
，
（1），（1），
，．
（2）由（1）得：，
，，
在上递减，在上递增．
，
在，上递增，
，
在，上的最小值为1．
（3）证明：，由（2）得过
且在处的切线方程为，
故可猜测，时，的图象恒在切线的上方，
下面证明当时，
设，，
，
，
由（2）知：在上递减，在上递增，
，（1），，
，
存在，使得，
，，时，；
，时，，
故在上递增，在，上递减，在上递增，
又（1），
当且仅当时等号成立．
故，，
令，则，
时，，时，，
在上递增，在上递减，
（1），
，
即．
，
，
即成立，
时，，
综上所述，时，．
3．已知函数，曲线在处的切线方程为．
（1）求实数、的值；
（2）且时，证明：曲线的图象恒在切线的上方；
（3）证明不等式：．
【解析】（1），由曲线在处的切线方程为，
由（1），（1），
解得，；
（2）由题意只需证：当且时，，
设，则，，
易知在单调递增；且（1），，
必定存在，使得，
则在单调递减，在，单调递增，其中，（1），即在单调递减，在单调递增，
（1），即当且时，成立；
所以当且时，曲线的图象在切线的上方；
（3）要证：，只需证，
由（2）知时，，
故只需证，即证，
设，则，
故在单调递减，在单调递增，
（1）；
即不等式：成立．
4．已知，曲线在，（1）处的切线方程为．
（1）求，的值；
（2）求在，上的最大值；
（3）证明：当时，．
【解析】（1），
（1），（1），
解得：，；
（2）由（1）得：，
，，
在递减，在递增，
，
在，递增，
（1）；
（3），由（2）得过，
且在处的切线方程是，
故可猜测，时，的图象恒在切线的上方，
下面证明时，，
设，，
，，
由（2）得：在递减，在递增，
，（1），，
，
存在，使得，
，，时，，
，时，，
故在递增，在，递减，在递增，
又（1），当且仅当时取“”，
故，，
由（2）得：，故，
，当且仅当时取“”，
，
即，
，
即成立，
当且仅当时“”成立．
5．设函数，已知在处有极值．
（1）求实数的值；
（2）当（其中是自然对数的底数）时，证明：；
（3）证明：对任意的，，不等式恒成立．
【解析】（1）由题意函数，已知在处有极值，
所以（1）解得：．
（2），
，
由，
，
函数的单调递增区间为．，单调的减区间为，
，又（e），
（e）（1）
即：
即：
；
（3），函数的单调递减区间为，单调递增区间为，
当时，函数在处取得最小值，
，
由于以上各式并不都能取等号，所以把以上各式相加，变形得：
．