2024年高考数学第二轮专题复习圆锥曲线 专题18：双曲线的定值问题25页

这是一份2024年高考数学第二轮专题复习圆锥曲线 专题18：双曲线的定值问题25页，共25页。试卷主要包含了已知双曲线的离心率为，点在上，已知等轴双曲线C，已知双曲线，已知双曲线过点，且，已知双曲线的方程等内容，欢迎下载使用。
（1）求双曲线的方程.
（2）设为双曲线上一点，点，在双曲线的渐近线上，且分别位于第一、四象限，若恰为线段的中点，试判断的面积是否为定值?若为定值，请求出这个定值；若不为定值，请说明理由.
2．已知双曲线的离心率为，点在上．
（1）求双曲线的方程；
（2）设过点的直线l与曲线交于M，N两点，问在x轴上是否存在定点Q，使得为常数？若存在，求出Q点坐标及此常数的值，若不存在，说明理由．
3．已知等轴双曲线C：(a>0，b>0)经过点(，).
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）已知点B(0，1).
①过原点且斜率为k的直线与双曲线C交于E，F两点，求∠EBF最小时k的值；
②点A是C上一定点，过点B的动直线与双曲线C交于P，Q两点，为定值，求点A的坐标及实数的值.
4．已知双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为，过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于点，．当时，的面积为5．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）若直线与轴交于点，且，，求证：为定值．
5．已知双曲线的左、右顶点分别为A，B，过右焦点F的直线l与双曲线C的右支交于P，Q两点（点P在x轴上方）．
（1）若，求直线l的方程；
（2）设直线的斜率分别为，证明：为定值．
6．已知双曲线，过圆上任意一点作圆的切线，若交双曲线于，两点，证明：的大小为定值.
7．已知点、为双曲线的左、右焦点，过作垂直于x轴的直线，在x轴上方交双曲线C于点M，且，圆O的方程是．
（1）求双曲线C的方程；
（2）过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为、，求证：为定值；
（3）若过圆O上点作圆O的切线l交双曲线C于A、B两点，求证：．
8．已知双曲线: 过点，两条渐近线的夹角为60°，直线交双曲线于、两点．
（1）求双曲线的方程；
（2）若过原点，为双曲线上异于、的一点，且直线、的斜率，均存在，求证：为定值；
9．已知双曲线过点，且．
（1）求双曲线的方程；
（2）过点的直线交双曲于点，直线分别交直线于点．试判断是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
10．已知双曲线的方程．
（1）求点到双曲线上的点的距离的最小值；
（2）已知直线与圆相切
①求和的关系
②若与双曲线交于、两点，那么是否为定值？如果是，求出定值；如果不是，请说明理由．
11．已知双曲线的渐近线倾斜角分别为和，为其左焦点，为双曲线右支上一个动点.
（1）求的取值范围，并说明理由；
（2）过点分别作两渐近线的垂线，垂足分别为，求证：为定值.
12．已知双曲线的焦距为，且过点，直线与曲线右支相切（切点不为右顶点），且分别交双曲线的两条渐近线与、两点，为坐标原点.
（1）求双曲线的方程；
（2）求证：面积为定值，并求出该定值.
13．已知点P是圆上任意一点，定点，线段的垂直平分线l与半径相交于M点，P在圆周上运动时，设点M的运动轨迹为.
（1）求点M的轨迹的方程；
（2）若点N在双曲线(顶点除外)上运动，过点N，R的直线与曲线相交于，过点的直线与曲线相交于，试探究是否为定值，若为定值请求出这个定值，若不为定值，请说明理由.
14．已知双曲线的左、右顶点分别为、，动直线与圆相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为.
（1）求的取值范围，并求的最小值；
（2）记直线的斜率为，直线的斜率为，那么，是定值吗？证明你的结论.
参考答案
1．（1）；（2）是定值，2.
【分析】（1）由可得，求出即可得出方程；
（2）设出点，的坐标，可得点的坐标，代入双曲线的方程，可得，设，利用渐近线方程的斜率得角的正切值，再利用三角函数的基本关系式及二倍角公式得，由，的坐标得，，结合及三角形面积公式即可求出.
【解析】（1）由题意，易得，，
则由，可得，
，即.
又，解得（负值舍去），，
解得，
双曲线的方程为.
（2）由（1）可知双曲线Ｃ的渐近线方程为，
设，，其中，.
为线段的中点，，
将点的坐标代入双曲线的方程得，解得.
设，则.
又，，，
，，
.
又，，
，
的面积为定值2.
【点评】关键点睛：本题考查双曲线中三角形面积的定值问题，解题的关键是设出点，的坐标，设，得出和.
2．（1）；（2）存在；；定点．
【分析】（1）由已知得到a、b、c的方程组，解出a、b、c，即可求出双曲线的方程；
（2）设直线的方程为，设定点，联立方程组，用“设而不求法”表示出为常数，求出t，即可求出定点Q.
【解析】 （1）由题意，，解得，．
∴双曲线方程为；
（2）设直线的方程为，设定点，
联立，得．
∴，且，解得且．
设，，
∴，，
∴，
．
∴
为常数，与无关，
∴，即，此时．
∴在轴上存在定点，使得为常数．
【点评】（1）待定系数法、代入法可以求二次曲线的标准方程；
（2）“设而不求”是一种在解析几何中常见的解题方法，可以解决直线与二次曲线相交的问题.
3．（1）；（2）①；②或者.
【分析】（1）由题意，代入已知点建立方程，解之可得双曲线的标准方程.
（2）①由对称性可设，且，运用向量数量积的坐标运算表示，又由可得，由此可得最小时，的值.
②设过点的动直线为：设与双曲线的方程联立得，根据根的判别式和根与系数的关系可求得且，由直线的斜率公式得，再由恒等式的思想可求得点A的坐标及实数的值.
【解析】 （1）由题意，且解得，
所以双曲线的标准方程为
（2）①由对称性可设，且，则，
因为点在双曲线上，所以，所以，所以，
当时，为直角，
当吋，为钝角.
因此，最小时，.
②设过点的动直线为：
设联立得，
所以，由且，解得且，
，即即，
化简得，
所以，
化简得，
由于上式对无穷多个不同的实数都成立，
所以
如果那么此时不在双曲线上，舍去.
因此从而代入解得.
此时在双曲线上.
综上，或者.
【点评】关键点点睛：本题考查直线与双曲线位置关系之定值问题，属于较难题，关键在于将直线与双曲线的方程联立，得出根与系数的关系，继而将目标条件转化到曲线上的点的坐标上去.
4．（1）；（2）证明见解析.
【分析】（1）当时，由勾股定理和三角形面积公式可得，再由双曲线定义，即可得出结果.
（2）当直线与轴垂直时，点与原点重合,求出定值；
当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，由渐近线可得，联立直线与双曲线方程，由韦达定理结合向量知识，即可得出定值.
【解析】（1）当时，，，
可得．
由双曲线的定义可知，，
两边同时平方可得，，
所以．①
又双曲线的离心率为，所以．②
由①②可得，，，所以，
所以双曲线的标准方程为．
（2）当直线与轴垂直时，点与原点重合，
此时，，，所以，，．
当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，，，
由题意知且，
将直线的方程与双曲线方程联立，消去得，，
则，，．
易知点的坐标为，
则由，可得，
所以，
同理可得．
所以．
综上，为定值．
【点评】易错点点睛：直线与双曲线左、右分支各交于一点，直线斜率的取值范围容易忽略.本题考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于一般题目.
5．（1）；（2）证明见解析.
【分析】（1）设直线方程为，，，根据条件得出，分别求出的纵坐标，由条件可得可得答案.
（2）由，所以 ,所以，要证为定值，只需证为定值，由，可得答案.
【解析】 （1）设直线方程为，，
由过右焦点F的直线l与双曲线C的右支交于P，Q两点，则
，
由点P在x轴上方，则
∴直线l方程为
（2）由方程可得，设，
则，
所以 ,所以
要证为定值，只需证为定值
由（1）可知，
∴为定值．
【点评】关键点睛：本题考查直线与双曲线的位置关系求直线方程和考查定值问题，解答本题的关键是先得出，所以 ,所以，要证为定值，只需证为定值，属于中档题.
6．证明见解析.
【分析】过圆上一点作切线，找到切线方程是关键，分切线的斜率不存在时切线方程为，切线的斜率存在时，设切线方程为，则分析，联立化简，求出即可.
【解析】当切线的斜率不存在时，切线方程为.
当时，代入双曲线方程，得，即，，此时，
同理，当时，.
当切线的斜率存在时，设切线方程为，则，即.
由直线方程和双曲线方程消掉，得，
由直线与双曲线交于，两点.故.设，.
则，
+，
故，由于，
故，即，.
综上可知，若交双曲线于，两点，则的大小为定值.
【点评】本题考查双曲线的标准方程，圆的切线方程，直线与双曲线的位置关系，此类问题可以先取特殊值探索，比如此题中，可以先分析切线斜率不存在的情况，然后有针对性的验证即可.
7．（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析．
【分析】（1）设，的坐标，利用点在双曲线上，，可得，利用双曲线的定义，可得双曲线的方程；
（3）确定两条渐近线方程，设双曲线上的点，，求出点到两条渐近线的距离，利用，在双曲线上，及向量的数量积公式，即可求得结论．
（3）设，，，，切线的方程为：代入双曲线中，利用韦达定理，结合向量的数量积，可得结论．
【解析】 （1）设，的坐标分别为
因为点在双曲线上，所以，即，所以
在△中，，，所以
由双曲线的定义可知：
故双曲线的方程为：
（3） 由条件可知：两条渐近线分别为，
设双曲线上的点，，则点到两条渐近线的距离分别为，
所以
因为，在双曲线上，所以
故
设和的夹角为，则由，可得
所以
（3）设，，，，切线的方程为：
①当时，切线的方程代入双曲线中，化简得：
所以：
又
所以
②当时，易知上述结论也成立．
所以
所以
【点评】解决直线与双曲线的综合问题时，要注意：
(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、双曲线的条件；
(2)强化有关直线与双曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．
8．（1）；（2）证明见解析.
【分析】（1）利用双曲线过点，两条渐近线的夹角为60°，列出方程组解出即可；
（2）设，由双曲线的对称性，可得的坐标，设，结合题意，又由A、B在双曲线上，可得，将其坐标代入中，计算可得答案.
【解析】（1）由题意，双曲线：过点，两条渐近线的夹角为60°，
可得，解得，，或，无解．
所以双曲线的方程为．
（2）设，由双曲线的对称性，可得，设，
则，因为，，
所以，
即为定值3．
【点评】关键点点睛：（1）根据渐近线的夹角得到或者两种情形；
（2）双曲线上点的坐标满足双曲线的方程，利用整体代换.
9．（1）；（2）
【分析】（1）将点，代入，求出，进一步得出，即求.
（2）设直线所在的直线方程，与双曲线方程联立，设出的坐标，写出所在的直线方程，求出的纵坐标，结合根与系数的关系可得，从让他可得.
【解析】（1）将点，代入，
可得，解得，则，
双曲线的方程为.
（2）由题意可知，直线的斜率存在，
设直线的方程为，
联立，可得，
由，
解得，
设，，
则，，
又点，
的方程为，
令，得
，
同理可得，
，
，即，
，
为定值.
【点评】关键点点睛：本题考查了双曲线方程的求法，考查了直线与双曲线的位置关系，解题的关键是利用韦达定理得出，考查了运算求解能力.
10．（1）；（2）（i）；（ii）为定值．
【分析】（1）设为双曲线上的点，代入双曲线的方程，结合两点的距离公式和二次函数的最值，可得最小值；
（2）设直线的方程为，由直线和圆相切可得，设，，，，联立双曲线的方程，消去可得的二次方程，运用韦达定理和向量的数量积的坐标表示，计算可得为定值．
【解析】 （1）设为双曲线上的点，则，
则，
当时最小，且为，
所以点到从曲线上点的距离的最小值为；
（2）①设直线线的方程为，
由直线与圆相切，可得，即，
②设，联立得，
则，
所以
，
所以，
所以为定值．
【点评】本题考查双曲线的方程和运用，以及直线和双曲线的位置关系，注意联立直线方程和双曲线的方程，运用韦达定理和向量的坐标运算，考查方程思想和运算能力、推理能力．
11．（1），理由见解析；（2）证明见解析.
【分析】（1）由渐近线求出双曲线方程，得焦点坐标，利用两点间的距离及二次函数求最值即可；
（2）由点到直线的距离求出，求积后由双曲线方程化简即可.
【解析】（1）双曲线渐近线方程为，又，所以，
双曲线的标准方程为，
则，设，
则
所以…
所以的取值范围是
（2）因为
又，所以为定值.
【点评】关键点点睛：，利用点到直线的距离求出后，根据点在双曲线上，化简求值是解题关键.
12．（1）；（2）证明见解析，面积为.
【分析】（1）根据题意可得关于、、的方程组，求出、的值，由此可得出双曲线的标准方程；
（2）设直线的方程，将直线的方程与双曲线的方程联立，由可得出、所满足的等式，求出点、的坐标，利用三角形的面积公式可计算出的面积.
【解析】（1）设双曲线的焦距为，
由题意可得：，则双曲线的方程为；
（2）由于直线与双曲线右支相切（切点不为右顶点），则直线的斜率存在，
设直线的方程为，
则消得，
，①
设与轴交于一点，，
，
双曲线两条渐近线方程为：，
联立，联立，
则（定值）.
【点评】关键点点睛：解答本题的关键就是利用直线与双曲线得出，并求出点、的坐标，再结合三角形的面积计算出为定值.
13．（1）；（2）存在，定值为：.
【分析】（1）根据椭圆定义即可求出结果；（2）设得直线的斜率乘积，利用点斜式方程设出直线NR，NQ的方程，与（1）的方程联立，写出根与系数的关系，利用弦长公式求出|AB|，|CD|的长度，然后求和，通过计算可得出结果．
【解析】（1）依题意：，
且，
由椭圆定义知点M的轨迹为以R，Q为焦点，长轴长为，焦距为4的椭圆，
即：，
故.
（2）设，则，
∴直线的斜率都存在，分别设为，
则，
将直线的方程代入得，
设，则，
∴，
同理可得，
【点评】本题考查了椭圆定义以及根与系数的关系，弦长公式，考查了学生的运算转化能力，属于中档题．
14．（1）的取值范围为；取最小值；（2）是定值；证明见解析.
【分析】（1）根据直线与圆相切，可得，联立直线与双曲线，根据可得的范围，根据韦达定理以及可得最小值；
（2）根据斜率公式以及韦达定理，将变形化简可得结果.
【解析】（1）与圆相切，，，
由，得，
，
，
故的取值范围为.
由于，
，当时，即时，取最小值.
（2）由已知可得的坐标分别为，
，
，
又因为，所以，
为定值.
【点评】本题考查了直线与圆相切，考查了直线与双曲线相交，考查了斜率公式、韦达定理，考查了运算求解能力，属于中档