2024年高考数学第二轮专题复习圆锥曲线 专题28：抛物线的定值问题32页

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1．如图，已知抛物线的焦点为F，过点的直线交抛物线两点，直线分别与抛物线交于点，记直线的斜率为，直线的斜率为，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、解答题
2．在直角坐标系中，曲线的点均在外，且对上任意一点，到直线的距离等于该点与圆上点的距离的最小值．
（1）求曲线的方程；
（2）设为圆外一点，过作圆的两条切线，分别与曲线相交于点、和、．证明：当在直线上运动时，四点、、、的纵坐标之积为定值．
3．已知抛物线：的焦点是F，若过焦点的直线与相交于P，Q两点，所得弦长的最小值为4.
（1）求抛物线的方程；
（2）设A，B是抛物线C上两个不同的动点，O为坐标原点，若，，M为垂足，证明：存在定点N，使得为定值.
4．如图，已知过拋物线的焦点的直线交抛物线于点点在第一象限)，线段的中点为拋物线在点处的切线与以为直径的圆交于另一点.
（1）若，求直线的方程；
（2）试问是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请求出它的最大值.
5．动圆过定点，且与直线相切，其中，设圆心的轨迹为．
（1）求轨迹的方程；
（2）设直线交轨迹于不同的两个点、，当时，直线过定点，请求出定点坐标；
（3）设轨迹上的两个定点、，分别过点、作倾斜角互补的两条直线、分别与轨迹交于、两点，求证：直线的斜率为定值．
6．已知抛物线C：的焦点F与椭圆的右焦点重合，点是抛物线的准线上任意一点，直线，分别与抛物线相切于点，.
（1）求抛物线的标准方程；
（2）设直线，的斜率分别为，，证明：为定值；
（3）求的最小值.
7．如图，已知是抛物线上一点，直线，的斜率互为相反数，与抛物线分别交于，两点，且均在点的下方．
（1）证明：直线的斜率为定值；
（2）求面积的最大值．
8．己知过点的直线l与抛物线交于A，B两点．
（1）分别以A，B为切点作抛物线的两条切线PA，PB，交点为P，当时，求点P的轨迹方程；
（2）若为定值，求m的值．
9．如图，抛物线的焦点为，为过点的弦，设直线的斜率为（）. 的中垂线与轴交于点，抛物线在，两点处切线交于点Q.
（1）当时，求的面积；
（2）判断是否为定值，若是，求出此定值，若不是，请说明理由.
10．已知抛物线的焦点到准线的距离为2，直线与抛物线交于不同的两点，.
（1）求抛物线的方程；
（2）是否存在与的取值无关的定点，使得直线，的斜率之和恒为定值？若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由.
11．已知抛物线，过点作直线与抛物线交于两点，点是抛物线上异于两点的一动点，直线与直线交于两点.
（1）证明：两点的纵坐标之积为定值；
（2）求面积的最小值.
12．如图，已知抛物线，在轴正半轴上有一点，过点作直线，分别交抛物线于点，过点作垂直于轴分别交于点.当，直线的斜率为1时，.
（1）求抛物线的方程；
（2）判断是否为定值，若是，求出此定值；若不是，请说明理由.
13．在平面直角坐标系中，已知焦点为的抛物线上有两个动点、，且满足，过、两点分别作抛物线的切线，设两切线的交点为.
（1）求：的值；
（2）证明：为定值.
14．已知抛物线经过点，过点的直线与抛物线有两个不同的交点，且直线交轴于点，直线交轴于点．
（1）求直线的斜率的取值范围；
（2）设为原点，，求证:为定值．
15．设F是抛物线y2＝4x的焦点，M，P，Q是抛物线上三个不同的动点，直线PM过点F，MQ∥OP，直线QP与MO交于点N．记点M，P，Q的纵坐标分别为y0，y1，y2．
（1）证明：y0＝y1﹣y2；
（2）证明：点N的横坐标为定值．
参考答案
1．D
【分析】设出的坐标，求得直线的方程，由此求得两点的坐标，由此求得.
【解析】依题意，设，所以的方程是，设，则，与抛物线方程联立可得，所以，，所以，即，同理可得，由于，所以，所以.
故选：D
【点评】本小题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于中档题.
2．（1）；（2）证明见解析.
【分析】（1）分析可知，曲线是以为焦点，直线为准线的抛物线，进而可求得曲线的方程；
（2）设的坐标为，设过且与圆相切的直线的斜率存在且不为，分析可知切线、的斜率、为关于的二次方程的两根，可得出，设四点、、、的纵坐标分别为、、、，联立直线与抛物线的方程，可得出的表达式，进一步可得出的表达式，由此可计算得出结果.
【解析】（1）由题设知，曲线上任意一点M到圆心的距离等于它到直线的距离，因此，曲线是以为焦点，直线为准线的抛物线，
故曲线的方程为；
（2）当点在直线上运动时，的坐标为，又，
则过且与圆相切的直线的斜率存在且不为，
每条切线都与抛物线有两个交点，切线方程为，即，
于是，整理得，①
设过所作的两条切线、的斜率分别为、，
则、是关于的方程的两个实根，
故②，
由，得③，
设四点、、、的纵坐标分别为、、、，
则、是方程③的两个实根，所以④，同理可得⑤，
于是由②④⑤三式得
．
所以当在直线上运动时，四点、、、的纵坐标之积为定值．
【点评】 求定值问题常见的方法有两种：
（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
3．（1）；（2）证明见解析.
【分析】（1）根据题意，设出直线方程，与抛物线方程联立，求得弦长，得到取最小值时参数的值，得到抛物线方程；
（2）直线的斜率不为0，故可设直线的方程为，，.将直线方程与抛物线方程联立，根据垂直，得到坐标之间的关系，求得参数的值，进而求得结果，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到定值，证得结果.
【解析】（1）显然直线的斜率不为0，故可设置的方程为，
，所以，.
所以.
，
所以当时，最小，所以，
故所求抛物线的方程为.
（2）直线的斜率不为0，
故可设直线的方程为，，.
，所以，.
.
因为，所以，
所以，即
解得或.
若，则直线过点，不符合题意.
则有，此时直线的方程为，
所以直线过定点.
又，所以，所以点在以为直径的圆上，
所以.
此时.
【点评】 该题考查的是有关直线与抛物线的综合题，解题方法如下：
（1）根据题意，设出直线方程，与抛物线的方程联立，求弦长，得到取最小值时参数的值，得到抛物线的方程；也可以利用抛物线的焦点弦长最短是通径，得到结果；
（2）根据题意，设出直线方程，与抛物线方程联立，根据垂直关系，得到坐标之间的关系，从而求得参数的值，再根据直角三角形的外心为斜边中点，得到结果.
4．（1）；（2）是定值，定值为.
【分析】（1）设直线的方程为，，联立直线与抛物线，结合韦达定理，再由，可得的值；
（2）设过点的切线的方程为：，代入由得所以的方程为：，进而确定点，，，，再由，可得.
【解析】解：（1）设
由得
则
因为所以
从而
所以直线的方程为；
（2）设过点的切线的方程为：，
代入由得
所以的方程为：.
设直线与轴交点为令得，
,
,
,
.
【点评】(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；
(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．
5．（1）；（2）；（3），证明见解析．
【分析】（1）利用抛物线的定义可知轨迹为抛物线，确定该抛物线的焦点和准线方程，即可得出轨迹的方程；
（2）设直线的方程为，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，求出的值，即可得出直线所过定点的坐标；
（3）设点、，根据可得出，再利用直线的斜率公式可证得结论成立.
【解析】（1）由题意可知，圆心到点的距离等于圆心到直线的距离，
所以，点的轨迹是以点为焦点，以直线为准线的抛物线，
因此，轨迹的方程为；
（2）若直线垂直于轴，则直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意.
设直线的方程为，联立，消去可得，
由韦达定理可得，，解得，
所以，直线的方程为，因此，直线过定点；
（3）设点、，
则，
同理可得，，
由于直线、的倾斜角互补，则，可得，
所以，，
因此，直线的斜率为（定值）.
【点评】 求解直线过定点问题常用方法如下：
（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；
（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；
（3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明.
6．（1）；（2）证明见解析；（3）4.
【分析】（1）由椭圆的方程可得右焦点的坐标，由题意可得抛物线的焦点坐标，进而可得抛物线的方程；
（2）可设的坐标，设过点的直线方程为，与抛物线方程联立，消去得：，利用判别式等于零可得结论；
（3）设，的坐标，由（2）可得参数，的关系，代入过的切线方程与抛物线的方程中，可得，用参数，表示的坐标，代入弦长公式中求的表达式，由参数的范围求出的最小值．
【解析】（1）由椭圆方程得，椭圆的右焦点为
抛物线的焦点为，，
所以抛物线的标准方程：．
（2）抛物线的准线方程为．
设，
设过点的直线方程为，
与抛物线方程联立，消去得：．
其判别式△，令△，得：．
由韦达定理知，，
故（定值）．
（3）设，，，，由，得，
故，
所以，代入抛物线方程得，
所以，，，，
因为，，
所以
，
当且仅当时取等号．
当且仅时取等号．
故的最小值为4．
【点评】求曲线弦长的方法：（1）利用弦长公式；（2）利用；（3）如果交点坐标可以求出，利用两点间距离公式求解即可.
7．（1）证明见解析，（2）
【分析】（1）先把点的坐标代入抛物线中求出的值，设直线的方程为，联立，得，结合已知可得，，然后利用斜公式化简可得结果；
（2）设直线的方程为，和抛物线方程联立方程组，消元后利用根与系数的关系，再利用弦长公式求出，再利用点到直线的距离公式求出点到直线的距离，则，然后令，构造函数可求出面积的最大值
【解析】（1）证明：因为是抛物线上一点，
所以，得，所以抛物线方程为，
设直线的方程为，
由，得，
所以，所以，
因为直线，的斜率互为相反数，
所以直线的方程为，
同理可得，
所以，
所以直线的斜率为定值，
（2）解：由（1）设直线的方程为，
由，得，
因为直线与抛物线有两个交点，
所以，得，
，
所以
，
点到直线的距离为，
所以的面积为，
令，则，
所以，
令，则，令，得或（舍去），
当时，，当时，，
所以在递增，在上递减，
所以当时，取最大值，即，
所以的面积的最大值为，此时直线为
【点评】此题考查了直线与抛物线位置关系的应用，考查点到直线的距离公式，弦长公式，考查计算能力，考查转化思想，属于较难题.
8．（1）；（2）．
【分析】（1）设直线l的方程为，联立方程组，根据根与系数的关系，求得，结合抛物线的方程，求得分别以点为切点的切线方程，联立方程组，求得交点坐标，即可求解；
（2）设直线l的方程为与抛物线的方程，联立方程组，利用根与系数的关系，分别求得，得到，根据为定值，列出方程组，即可求解.
【解析】（1）设点，，直线l的方程为，
联立方程组，整理得，
则，，
由抛物线方程，可得，则，
所以以点A为切点的切线方程是，即，
同理，以点B为切点的切线方程是．
联立方程组，解得，
∴点P的坐标为，即，
∴点P的轨迹方程是．
（2）设直线l的方程为代入，化简得，
又设，，则，，
所以，
同理可得：，
所以，
因为为定值，令（C为常数），
则，可得，解得．
【点评】本题主要考查抛物线方程、及直线与抛物线的位置关系的综合应用,解答此类题目，通常联立直线与抛物线方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等．
9．（1）；（2）1.
【分析】（1）设AB所在直线方程为，，由，得，然后根据，利用，求得斜率k，得到直线AB的中垂线方程，进而得到点P坐标，求得点P到直线AB的距离d，由 求解.
（2）由（1）方法：得到 ，由，得，求导，得到直线的方程 ；直线的方程，联立求得，进而得到点Q到直线AB的距离为：，得到，再代入求解.
【解析】（1）设AB所在直线方程为，，
由，得，
由韦达定理得：，
因为，
所以，
解得，因为，
所以，
则，
所以，则直线AB的中垂线方程为：，
令得，
所以点，
所以点P到直线AB的距离为：，
所以.
（2）由（1）知：，
则直线AB的中垂线方程为：，
令得，
所以点，
所以点P到直线AB的距离为：，
所以.
由，
得，
所以，
则直线的方程为：，即；
直线的方程为，即；
由，解得，
由，得：，
解得，
，
所以，
所以，
所以，
所以点Q到直线AB的距离为：，
所以.
为定值，
【点评】本题主要考查直线与抛物线的位置关系，弦长公式，点到直线的距离以及定值问题，还考查了运算求解的能力，属于难题.
10．（1）；（2）存在，.
【分析】（1）本题可根据题意得出焦点坐标以及准线方程，然后根据焦点到准线的距离为2即可求出，最后根据即可求出抛物线方程；
（2）本题首先可设出、、，然后联立方程并通过韦达定理得出，再然后对进行化简并根据为与无关的常数得出，最后通过计算即可得出结果.
【解析】（1）由题意得，准线方程：，所以，抛物线方程为.
（2）假设存在定点满足题意，设，，，
联立方程，消去得，由韦达定理得，
因为直线、的斜率为、，
所以
.
要使为与无关的常数，只能，解得，，
此时为常数，
综上所述，存在定点，使得直线、的斜率之和恒为定值0.
【点评】本题考查抛物线的方程的求法以及抛物线中的定值问题，考查直线与抛物线相交的相关问题，考查韦达定理的灵活应用，考查化归与转化思想，考查计算能力，是难题.
11．（1）证明见解析（2）
【分析】(1) 设直线,联立直线与抛物线:,根据韦达定理求得,再根据直线的方程求出的纵坐标,然后相乘可证;
(2)利用面积公式求得面积的表达式,再用基本不等式求得最值即可.
【解析】（1）证明:设直线，设，
由消去并整理得：
∴，
∵直线分别与直线分别交于两点，
∴，∴，
直线，
令，
同理：，
∴
,
所以两点的纵坐标之积为定值-8.
（2）设直线与轴交于点，
∵，∴，
当且仅当时取等号，
∴的面积的最小值为.
【点评】本题考查了直线与抛物线的位置关系,直线方程,斜率公式,面积公式,基本不等式,字母运算求解能力,本题属于中档题.
12．（1）（2）是，定值1
【分析】（1），得为焦点，所以，再由直线与抛物线联立，利用根与系数的关系代入求解；
（2）设，，，，直线，，分别联立抛物线方程可得，，，.设，，由，，三点共线，通过计算可得，即，关于轴对称，从而使问题得到解决.
【解析】（1）设，，
将直线与抛物线联立，
得，所以.
由，得即为焦点，
所以，即，
所以抛物线的方程为.
（2）由题意可知，，斜率存在且不为0.
设，，，
设直线，，
与抛物线联立得，，，
所以，，，.
设，，由，，三点共线，又，，
得
.
同理，
.
所以
.
即，关于轴对称.
所以，为定值.
【点评】本题主要考查直线与抛物线的位置关系中的定值问题，做此类题时，一般要由直线与抛物线方程联立并利用根与系数的关系解题.考查学生的数学运算求解能力，是一道有一定难度的题.
13．（1）（2）证明见解析
【分析】（1）设，，将向量分别用坐标表示出来，再进行向量数量积的坐标运算，即可得答案；
（2）求出两切线交点的坐标为，再代入进行坐标运算，即可得到定值
【解析】（1）设，，
∵焦点，∴，，
∵，∴消得，
化简整理得，
∵，∴，∴.
∴（定值）.
（2）抛物线方程为，∴，
∴过抛物线、两点的切线方程分别为和，
即和，
联立解出两切线交点的坐标为，
∴（定值）.
【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系中的定值问题，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意坐标法思想的应用.
14．（1）（2）求证见解析
【分析】（1）先求出抛物线方程，设出直线的方程，由直线与抛物线有两个交点得斜率的范围，还要考虑直线与轴相交可得，最终可得所求范围；
（2）设，由韦达定理得，写出直线方程，求出点横坐标，表示出，同理得，然后计算可得．
【解析】（1）由已知，，∴抛物线的方程为，
设直线的方程为，代入抛物线方程得，即.
由于有两个交点，则，即或；
又由于直线与轴有交点，所以直线不过点和点，所以.综上，斜率的取值范围为.
（2）设点，根据韦达定理知，，直线的方程为，令，知，
则，同理:.
那么.
【点评】本题考查抛物线方程，考查直线与抛物线相交中的定值问题，解析几何中求解定值问题常用的方法
(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
15．(1)证明见解析 (2) 证明见解析
【分析】（1） 由两直线平行的条件：斜率相等，运用直线的斜率公式，结合点在抛物线上，化简可得结论（2） 因为直线过点，所以，求得直线，的方程，设点坐标为，又因为直线，交于点，化简整理可得，的方程，分解因式即可得到定值．
【解析】证明：（1） 因为MQ∥OP，所以kMQ＝kOP，
所以，所以y0＝y1﹣y2；
（2） 因为直线PM过点F，
可得，
所以y1y0＝﹣4，
由（1）得y0＝y1﹣y2，所以y1，y2y0，
因为OM：yx，
PQ：y﹣y1（x），
即4x﹣（y1+y2）y+y1y2＝0，
设点N坐标为（m，n），又因为直线QP，MO交于点N，
所以nm，4m﹣（y1+y2）n+y1y2＝0，
可得y0，4m﹣（y0）n+（）（y0）＝0，
消去y0得2mn2+n2+8m3+4m2＝0，
所以（2m+1）n2+4m2（2m+1）＝0，
所以（2m+1）（n2+4m2）＝0，
因为n2+4m2≠0，
所以2m+1＝0，即m，
所以点N的横坐标为定值．
【点评】本题主要考查了抛物线的方程的运用，以及直线方程的运用，考查化简整理的运算能力和推理能力，属于中档