2024年高考数学第二轮专题复习圆锥曲线 专题1：曲线与方程的概念18页

这是一份2024年高考数学第二轮专题复习圆锥曲线 专题1：曲线与方程的概念18页，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题等内容，欢迎下载使用。
1．设方程表示的曲线是
A．一个圆和一条直线B．一个圆和一条射线
C．一个圆D．一条直线
2．方程：所对应的曲线是（ ）
A．B．
C．D．
3．在平面直角坐标系中，定义为两点，的“切比雪夫距离”，又设点及上任意一点，称的最小值为点到直线的“切比雪夫距离”，记作，给出下列三个命题：
①对任意三点、、，都有；
②已知点和直线：，则；
③到定点的距离和到的“切比雪夫距离”相等的点的轨迹是正方形.
其中正确的命题有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
4．方程所表示的曲线的图形是（ ）
A．B．
C． D．
5．如果命题“坐标满足方程的点都在曲线上”不正确，那么以下正确的命题是（ ）
A．曲线上的点的坐标都满足方程
B．坐标满足方程的点有些在上，有些不在上
C．坐标满足方程的点都不在曲线上
D．一定有不在曲线上的点，其坐标满足方程
6．已知直线l的方程是，点不在直线l上，则方程表示的曲线是
A．直线lB．与l垂直的一条直线
C．与l平行的一条直线D．与l平行的两条直线
7．方程表示的曲线满足（ ）
A．关于轴对称B．关于轴对称C．关于原点对称D．以上说法都不对
8．方程表示的曲线是（ ）
A．一条直线B．两条直线C．一个圆D．两个半圆
二、多选题
9．已知点的坐标分别是，经过点的直线相交于点，且它们的斜率分别为，下列命题是真命题的有（ ）
A．若，则的轨迹是椭圆(除去两个点)
B．若，则的轨迹是抛物线(除去两个点)
C．若，则的轨迹是双曲线(除去两个点)
D．若，则的轨迹是一条直线(除去一点)
三、填空题
10．设函数由方程确定，下列结论正确的是________（请将你认为正确的序号都填上）
① 是上的单调递减函数；
② 对于任意，恒成立；
③ 对于任意，关于的方程都有解；
④ 存在反函数，且对任意，总有成立.
11．关于曲线，给出下列四个结论：
①曲线C关于原点对称，但不关于x轴、y轴对称；
②曲线C恰好经过4个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；
③曲线C上任意一点都不在圆的内部；
④曲线C上任意一点到原点的距离都不大于．
其中，正确结论的序号是________．
12．已知点在以原点为圆心的单位圆上运动，则点的轨迹方程是________
13．已知命题方程表示的图形是双曲线的一支和一条直线；命题已知椭圆,过点的直线与椭圆相交于两点,且弦被点平分,则直线的方程为.
则下列四个命题①;②;③;④中,是真命题的是________(只写出序号).
14．关于曲线，有如下结论：
①曲线C关于原点对称；
②曲线C关于直线x±y=0对称；
③曲线C是封闭图形，且封闭图形的面积大于2π；
④曲线C不是封闭图形，且它与圆x2+y2=2无公共点；
⑤曲线C与曲线有4个交点，这4点构成正方形．其中所有正确结论的序号为__．
15．关于曲线的下列说法：（1）关于点对称；（2）关于直线轴对称；（3）关于直线对称；（4）是封闭图形，面积小于；（5）是封闭图形，面积大于；（6）不是封闭图形，无面积可言.其中正确的序号是________.
16．平面直角坐标系中，，若曲线上存在一点，使，则称曲线为“合作曲线”，有下列曲线①；②；③；④；⑤，
其中“合作曲线”是__________．（填写所有满足条件的序号）
参考答案
1．A
【分析】根据题意得到且，或，画出图像，分别判断得到答案.
【解析】，
故且，如图所示：画出图像知，表示一条直线；
或，即表示一个圆.
故选：.
【点评】本题考查了方程表示的曲线，漏解是容易发生的错误.
2．D
【分析】由时，，利用其定义域，奇偶性和值域判断.
【解析】当时，，
因为定义域为，排除C，
该函数为偶函数，排除A,
又，当且仅当时，取等号，排除B,
故选：D.
3．C
【分析】①讨论，，三点共线，以及不共线的情况，结合图象和新定义，即可判断；
②设点是直线上一点，且，可得，，讨论，的大小，可得距离，再由函数的性质，可得最小值；
③设定点，且相等距离为1，从而可判断出命题的真假.
【解析】① 对任意三点、、，若它们共线，设，、，，，，如图，结合三角形的相似可得，，为，，，或，，，则；
若，或，对调，可得；
若，，不共线，且三角形中为锐角或钝角，如图，
由矩形或矩形，
；
则对任意的三点，，，都有，故①正确；
②设点是直线上一点，且，
可得，，
由，解得，即有，
当时，取得最小值；
由，解得或，即有，
的范围是，无最值；
综上可得，，两点的“切比雪夫距离”的最小值为；故②正确；
③假设定点，到定点的距离和到的“切比雪夫距离”相等且距离为1的点为，则到定点的距离为1的点的轨迹为单位圆；到的“切比雪夫距离”的距离为1的点，所以，即或显然点的轨迹为正方形，所以只有四个点符合要求，故③错误；
故选：C
【点评】本题考查新定义的理解和运用，考查数形结合思想方法，以及运算能力和推理能力，属于难题．
4．D
【分析】根据所给曲线方程可知，曲线由和构成，即可选出.
【解析】因为方程
所以可得或，
即或，且
所以曲线为直线与圆在直线的右边部分构成，
故选D.
【点评】本题主要考查了方程与曲线的概念及直线与圆的方程，属于中档题.
5．D
【分析】利用曲线与方程的关系，命题的否定即可得出答案.
【解析】因为命题“坐标满足方程的点都在曲线上”不正确，
所有命题“坐标满足方程的点不都在曲线上”正确，即“一定有不在曲线C上的点，其坐标满足方程，因此D正确.
故选：D.
6．C
【分析】根据两直线方程和特征，判定其平行 即可.
【解析】因为点不在直线l上，所以是不为0的常数，所以方程表示过点且与直线l平行的一条直线.
故选: C.
【点评】本题考查了利用两直线方程判定直线平行，属于基础题.
7．C
【分析】根据对称的性质，将方程中的用替换，用替换，看方程是否与原方程相同．
【解析】依题意得，在方程中，用替换，用替换得：
，即方程不变，
而点与点关于原点对称，
所以方程表示的曲线关于原点对称.
故选：C.
【点评】本题考查点关于轴的对称点为；关于轴的对称点为；
关于原点的对称点为；关于的对称点为．
8．D
【分析】方程两边平方后可整理出方程，由于|x|＞1，从而可推断出方程表示的曲线为两个相离的半圆．
【解析】 由题意，首先|x|＞1，平方整理得（|x|-1）2+（y-1）2=1，
若x＞1，则是以（1，1）为圆心，以1为半径的右半圆
若x＜-1，则是以（-1，1）为圆心，以1为半径的左半圆
总之，方程表示的曲线是以（1，1）为圆心，以1为半径的右半圆与以 （-1，1）为圆心，以1为半径的左半圆合起来的图形
故选D．
【点评】本题的考点是曲线与方程，主要考查了曲线与方程的关系．解题的过程中注意x的范围，注意数形结合的思想．
9．BCD
【分析】设，根据条件求出点的轨迹方程，确定轨迹．
【解析】设，
A．，化简得，不是椭圆方程，A错；
B．，化简得，是抛物线方程，轨迹是抛物线（去掉的两点），B正确；
C．，化简得，双曲线方程，轨迹是双曲线（除去两顶点），C正确；
D．，，，化简得，轨迹是直线，去除点，D正确，
故选：BCD．
【点评】本题考查求动点的轨迹，解题方法是求出动点的轨迹方程，通过方程确定轨迹．
10．①②③④
【分析】首先化简所给的方程，画出其对应的图像，然后逐一考查所给的结论是否正确即可.
【解析】方程等价于：
，
绘制其对应的曲线如图所示：
据此考查所给的性质：
① 由函数图像可知是上的单调递减函数；
② 注意到两段双曲线的渐近线均为，
故对于任意，恒成立；
③ 很明显函数的值域为R，故对于任意，关于的方程都有解；
④ 很明显单调递减函数的定义域、值域均为，且函数关于直线对称，
故存在反函数，且对任意，总有成立.
综上可得，结论正确的是①②③④.
故答案为①②③④．
【点评】本题主要考查分类讨论的数学思想，反函数的性质，双曲线的渐近线，圆的方程及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
11．①④
【分析】根据关于原点、x轴、y轴对称的横纵坐标特点，代入即可判断①；取的整数值，代入求得的值即可判断②；由基本不等式确定的最大值，即可判断③；由两点间距离公式及基本不等式，化简即可判断④；
【解析】曲线，
对于①，将替换，替换，代入可得，所以曲线C关于原点对称；
将替换，代入可得，所以曲线C不关于y轴对称；
将替换，代入可得，所以曲线C不关于轴对称；所以①正确；
对于②，当时，代入可得，所以经过；
当时，代入可得，所以经过；
当时，代入可得，所以经过；
当时，代入可得，所以经过；
所以至少有六个整点在曲线C上，所以②错误；
对于③，由可知，
而，
所以，解得，
即，则，
同理，解得，
所以，则③错误；
对于④，由③可知，
所以，故④正确，
综上可知，正确的为①④，
故答案为：①④.
【点评】本题考查了由曲线方程研究曲线性质的应用，由基本不等式确定取值范围的应用，属于中档题.
12．
【分析】先设出点的坐标，进而根据定义得出和，利用圆的半径为1，代入圆的方程，进而求得和的关系，则得出点的轨迹方程.
【解析】设，则
因为点在以原点为圆心的单位圆上，所以，
则：，
且
所以点的轨迹方程是，
即.
故答案为：.
【点评】本题主要考查点的轨迹方程，通过两点坐标关系，代入已知方程得出所需的点的关系式即为轨迹方程．
13．②④.
【分析】先判定命题和命题真假,根据复合命题真假判定,即可求得答案.
【解析】求解命题
方程
或
当时,即,此时表示的是双曲线
当时,即(),此时表示的是射线
故命题是假命题
求解命题
直线与椭圆相交于,两点,设
则
两式相减:
为的中点,
直线的方程为
整理得:.
故命题是真命题
根据复合命题真假判定可知:
对于①,是假命题;
对于②,是真命题;
对于③,是假命题;
对于④,是真命题.
故答案为:②④.
【点评】本题考查了复合命题真假判断,解题关键是掌握复合命题基础知识和椭圆的中点弦求法,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.
14．①②④⑤
【分析】分析关于原点对称的两点与，是否都在曲线上，即可判断①；分析关于直线与对称，点与，点与是否都在曲线上，即可判断②；根据，，可判断③；联立方程，可判断④⑤；
【解析】 对于①，将方程中的换成，换成方程不变，故①正确；
对于②，将方程中的换成，换成方程不变；或将方程中的换成，换成方程不变，故②正确；
对于③，由方程得，，故曲线不是封闭图形，故③错；
对于④，联立曲线圆，方程组无解，无公共点，故④正确；
对于⑤，当，时，联立曲线与只有一解，根据对称性，共有有4个交点，这4点构成正方形，正确．
故答案为：①②④⑤
【点评】本题考查了命题真假的判定，属于基础题.
15．（1）（2）（5）
【分析】将方程中换成,换成,可判断（1）（2）;将互换可判断（3）;根据的有界性和取值范围可判断（4）（5）（6）.
【解析】曲线方程
将方程中换成,换成,曲线C的方程都不变,所以（1）（2）正确;
将互换,方程变为,方程发生改变,所以（3）错误;
在曲线上任取一点,则
即,所以是封闭图形,（6）错误;
因为,所以因而
即,所以在圆的外面
所以封闭图形的面积大于,所以（4）错误,（5）正确.
综上可知, 正确的序号是（1）（2）（5）
故答案为: （1）（2）（5）
【点评】本题考查了曲线的方程及性质的综合应用,属于中档题.
16．①③④
【解析】由题意，满足合作曲线，则说明曲线过单位圆内，如图，曲线①（黄色圆）、曲线③（蓝色双曲线）、曲线④（绿色椭圆）过单位圆内，为合作曲线，即答案为①③④．