备战2024年高考数学二轮复习专题07利用导数处理双变量问题(原卷版+解析)

这是一份备战2024年高考数学二轮复习专题07利用导数处理双变量问题(原卷版+解析)，共35页。试卷主要包含了双变量问题等内容，欢迎下载使用。
常见考点
考点一 双变量问题
典例1．已知函数．
（1）当时，求的单调区间；
（2）已知为函数的两个极值点，求的最大值．
变式1-1．已知函数（为常数）.
（1）若是定义域上的单调函数，求的取值范围；
（2）若函数存在两个极值点，，且，求的范围.
变式1-2．已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）函数有两个不同的极值点，求的取值范围.
变式1-3．已知函数有两个零点，.
（1）求实数的取值范围；
（2）求证：.
典例2．已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）求函数在上的最大值；
（3）若存在，使得，证明：.
变式2-1．已知函数在时取得极值且有两个零点.
（1）求的值与实数的取值范围；
（2）记函数两个相异零点，求证：.
变式2-2．已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）证明：，，.
16．已知函数，且是函数的导函数，
(1)求函数的极值；
(2)当时，若方程有两个不等实根．
（ⅰ）证明：；
（ⅱ）证明：．
巩固练习
练习一 双变量问题
1．已知函数
(1)当，研究的单调性；
(2)令，若存在使得，求证.
2．已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)设，（）是的两个零点，是的导函数，证明：.
3．已知函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)若，且，证明：.
4．已知函数.
(1)若在定义域上单调递增，求ab的最小值；
(2)当，，有两个不同的实数根，，证明：.
5．已知函数．
(1)讨论函数的零点个数；
(2)若函数存在两个不同的零点，证明：．
6．设，是函数的两个极值点，其中，．
(1)求实数a的取值范围；
(2)若，求的最大值（注：e是自然对数的底数）
7．已知函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)设存在两个极值点，且，若，求证：.
8．已知函数（），.
（Ⅰ）讨论函数的单调性；
（Ⅱ）当时，若函数有两个极值点，（），求证：.
第六篇 导数
专题07 利用导数处理双变量问题
常见考点
考点一 双变量问题
典例1．已知函数．
（1）当时，求的单调区间；
（2）已知为函数的两个极值点，求的最大值．
【答案】（1）在和单调递增，单调递减；（2）.
【解析】
【分析】
（1）当时，求出导函数，利用导数求单调区间；
（2）先由为函数的两个极值点，得到，令，则由，求出；
对于换元后得到利用导数判断单调性，求出最大值即可.
【详解】
定义域为.
（1）当时，
令，
当时，；
当时，，
∴在和单调递增，单调递减．
（2）由题得，
因为为函数的两个极值点，则为方程的两个实根，∴，所以
∴，∴，
所以令，则有，∴，∴
对于，
令则
当时，有；当，有，
所以在为增函数，时为减函数，所以
所以y有最大值为．
【点睛】
（1）函数的单调性与导数的关系：
已知函数在某个区间内可导，①如果>0，那么函数在这个区间内单调递增；如果