备战2024年高考数学二轮复习专题08利用导数处理极值点偏移问题(原卷版+解析)

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常见考点
考点一 极值点偏移问题
典例1．已知函数，．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)若，求的零点个数；
(3)若有两个零点，，证明：．
变式1-1．已知函数，.
(1)若函数的图象在点处的切线方程为，求实数a的值；
(2)若函数在定义域内有两个不同的极值点，.
（i）求实数a的取值范围；
（ii）当时，证明：.
变式1-2．已知函数.
(1)证明：在上为增函数；
(2)若，，证明：.
变式1-3．已知，（其中为自然对数的底数）.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若，函数有两个零点，，求证：.
典例2．已知函数.
(1)求的极值.
(2)若，，证明：.
变式2-1．已知函数（其中e为自然对数的底数，a为常数）．
（1）讨论函数的单调性；
（2）证明：当函数有极大值，且极大值为a时，若方程（m为常数）有两个不等实根则.
变式2-2．已知函数 (，为常数)在内有两个极值点.
（1）求参数的取值范围；
（2）求证：.
变式2-3．已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个零点，求a的取值范围；
（3）满足（2）的条件下，记两个零点分别为，证明：
巩固练习
练习一 极值点偏移问题
1．已知.
(1)若在定义域内单调递增，求的最小值.
(2)当时，若有两个极值点，求证：.
2．已知函数
(1)求f（x）的极值和单调区间；
(2)若函数的两个零点为，证明.
3．已知，，
(1)若恒成立，求的最大值
(2)若，是的两个零点，且求证：
4．已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时，若函数有两个不同的零点，，证明：.
5．已知函数，其中为常数，且．
(1)当时，若在，上的最大值为1，求实数的值；
(2)若，且函数有两个不相等的零点，，证明：．
6．已知函数．
(1)讨论的零点个数．
(2)若有两个不同的零点，证明：．
7．已知.
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时，证明：函数有且仅有两个零点，且.
8．已知函数，，当时，恒成立．
(1)求实数的取值范围；
(2)若正实数、满足，证明：．
第六篇 导数
专题08 利用导数处理极值点偏移问题
常见考点
考点一 极值点偏移问题
典例1．已知函数，．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)若，求的零点个数；
(3)若有两个零点，，证明：．
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）求导，根据几何意义求解即可；
（2）根据题意得，单调递减，，单调递增，故，再根据和讨论函数值的分布求解即可；
（3）结合（2）得，，，使得，进而将问题转化为证明，再根据在上单调递减只需转化为证，再结合证明，再构造函数，再研究函数的单调性得在上恒成立，进而证明.
(1)
解：求导得，
所以，，
故切线方程是：；
(2)
解：由已知，，
所以当，，单调递减，
，，单调递增，
，
当时，趋近于时，函数趋近于，且，趋近于时，函数趋近于，此时函数只有一个零点，
当时，当趋近于时，函数趋近于，趋近于时，函数趋近于，此时函数有2个零点；
(3)
解：由（2）知，，，使得，
，要证，即证，
，，
又且在上单调递减，
需证，即证，
，
即证，
故令，即，
∴，
∵时，，所以，即，
∴函数在上单调递增，
∵，∴在上恒成立，
，得证，
．
【点睛】
本题考查导数的几何意义，利用导数研究函数的零点，极值点偏移问题，考查运算求解能力，逻辑推理能力，是难题.本题第三问解题的关键在于结合极值点偏移问题，将问题转化为证明，，进而构造函数，研究函数的单调性证明.
变式1-1．已知函数，.
(1)若函数的图象在点处的切线方程为，求实数a的值；
(2)若函数在定义域内有两个不同的极值点，.
（i）求实数a的取值范围；
（ii）当时，证明：.
【答案】(1)2
(2)（i）；（ii）证明见解析
【解析】
【分析】
（1）利用切线方程可得，，即可求；
（2）（i）要使在定义域内有两个不同的极值点，，需满足在内有两个不同的零点，，设，得，通过分类讨论参数，可求a的取值范围；
（ii）证法不唯一，可设，由转化得，要证即证，令，通过构造，，结合即可求证；证法二方法类同于一，可作参考.
(1)
因为，则，
又，所以在点处的切线方程为，即，
又该切线为，则且，所以；
(2)
（i）函数定义域为，
因为函数在内有两个不同的极值点，，
即等价于函数在内有两个不同的零点，.
设，由，
当时，，在上单调递增，至多只有一个零点；
当时，在上，单调递增；
在上，单调递减，
所以，当时，，
函数有两个零点，则必有，
即，解得，
又，
易证，证明如下：
令，，
当时，，单减，当时，单增，
故，故，得证.
，所以在和上各有一个零点，
故有两个零点时，a的范围为；
（ii）法1：由（i）可知，是的两个零点，不防设，
由且，得.
因为
令，则，
记，，
由，令，.
又，则，即，
所以在上单调递增，故，即成立.
所以不等式成立.
法2：欲证，由，，则只需证：.
不妨设，则且，
则，
所以
令，则，
记，，
由，即在上单调递增，
故，即成立.
故.
【点睛】
本题考查由切线方程求参数，由函数极值点个数求参数范围，函数不等式恒成立的证明，难度较大.对于含参极值点个数判断问题，需对参数进行分类讨论，将问题细化，才能进一步确定参数范围.不等式恒成立证明往往需要将所求问题等价转化，构造新函数，借鉴放缩法进行证明，本题中令，代换成对数函数证明的方法，往往用于处理零点（极值点）不等式问题，需要多多积累，方能游刃有余.
变式1-2．已知函数.
(1)证明：在上为增函数；
(2)若，，证明：.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）由题可知，利用导数可求最小值，即证；
（2）由题可得，要证，只需证，，构造函数，利用导数即证.
(1)
由题意，，
令，则，令，则，
故在区间上，，为减函数；
在区间上，，为增函数，
∴，
故，故在上为增函数.
(2)
由（1）知为增函数，且，故由，，
可得，则.
欲证：，只需证：，即证：，即证：.
令，则，
令，则，
故为增函数，，故为增函数，，
故，则，
∴.
变式1-3．已知，（其中为自然对数的底数）.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若，函数有两个零点，，求证：.
【答案】(1)时，增区间为：，减区间为：；时，增区间为：；时，增区间为：，减区间为：
(2)证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）求导函数，讨论参数的取值范围即可求解单调区间；
（2）解法一：先证：，即证：，令函数，通过求导判断单调性可证明，从而得；
解法二：由，令利用导数判断单调性，再构造，求导分析单调性即可证明，从而有，即.
(1)
解：
∵，∴时，，
∴时，增区间为：，减区间为：；
时，，∴时，增区间为：；
时，，，
∴时，增区间为：，减区间为：；
综上，时，增区间为：，减区间为：；时，增区间为：；时，增区间为：，减区间为：
(2)
解：由（1）知，时，增区间为：，减区间为：；
且时，，，函数的大致图像如下图所示
因为时，函数有两个零点，，
所以，即，
不妨设，则；
先证：，即证：
因为，所以，又在单调递增，
所以即证：
又，
所以即证：，即
令函数，，
则
因为，所以，，故
函数在单调递增，所以
因为，所以，，即
所以，所以
（2）解法二：因为时，函数有两个零点，，
则两个零点必为正实数，（）
等价于有两个正实数解；
令（）
则（），在单调递增，在单调递减，且
令，，则
所以在单调递增，
又，故，
又，所以，
又，所以，，
又在单调递增，所以
所以，所以
【点睛】
关键点点睛：本题的第二问关键在于构造新函数，通过求导，层层地分析单调性，从而证明，再结合均值不等式求得结果．
典例2．已知函数.
(1)求的极值.
(2)若，，证明：.
【答案】(1)极大值为，的极小值为
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）利用导数求出函数的单调性即得解；
（2）由（1）可知，设，，证明在上恒成立，即得解.
(1)
（1）由题意可得.
当或时，；当时，.
所以在与上单调递增，在上单调递减.
故的极大值为，的极小值为.
(2)
证明：由（1）可知.
设，，
则
.
设，则.
因为，所以在上恒成立，即在上单调递增，
因为，所以在上恒成立，即在上单调递增，
因为，所以在上恒成立.
因为，所以，
因为，所以.
由（1）可知在上单调递增，且，，
则，即.
变式2-1．已知函数（其中e为自然对数的底数，a为常数）．
（1）讨论函数的单调性；
（2）证明：当函数有极大值，且极大值为a时，若方程（m为常数）有两个不等实根则.
【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）求导函数，讨论参数与即可分析函数的单调性；
（2）当时，函数有极大值，即可求出，求导分析单调性，构造函数求导分析单调性即可证明结果．
【详解】
（1）解：由题意可得.
①当时，在上恒成立，∴函数在上单调递减；
②当时，令，令，
∴函数在上单调递增，在上单调递减；
综上所述：当时，函数在上单调递减；
当时，函数在上单调递增，在上单调递减.；
（2）证明：由（1）可知，当时，函数有极大值，
且，解得，
∴（其中），则，
当时，在上单调递减；
当时，在上单调递增.
不妨设，则，
当时，则.
令，
则，
∴在上单调递减，于是，即，
当时，，
又，∴，
又，且在上单调递减，
，即．
变式2-2．已知函数 (，为常数)在内有两个极值点.
（1）求参数的取值范围；
（2）求证：.
【答案】（1）；（2）证明见解析．
【解析】
【分析】
（1）函数有两个极值点，转化为在内有两个不相等的实数解，利用函数的单调性和零点存在性定理即可得实数a的取值范围；
（2）要证，即证，构造新函数，利用单调性即可证明．
【详解】
解：(1)由，得.
记，由题意知，在上存在两个零点.
因为，则
当时，，在上递增，至多只有一个零点，不合题意；
当时，令，得．
（i）若，即时，在上递减，在上递增，
则 .
当，且，，此时，
从而在和上各有一个零点，
所以，在上存在两个零点.
（ii）若，即时，在上递减，至多只有一个零点，不合题意.
（iii）若，且，即时，此时在上只有一个零点，而在上没有零点，不合题意.
综上所述，；
（2）若函数在上存在两个零点，
即，则，两式相减可得
要证，即证
即
令，即
设，则
所以在区间上单调递增，则
即，那么原不等式成立
变式2-3．已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个零点，求a的取值范围；
（3）满足（2）的条件下，记两个零点分别为，证明：
【答案】（1）时，在定义域内为单调减函数，时，在上为单调减函数，在上为单调增函数；（2）；（3）证明见解析．
【解析】
【分析】
（1）运用导函数并结合分类讨论分析函数的单调性即可得出结果；
（2）由（1）的结论结合函数的极值、最值，讨论即可求解参数的范围；
（3）构造新函数，运用极值点偏移的证明方法证明即可.
【详解】
（1）函数的定义域为，
时，恒成立，所以在上单调递减，
时，令得，
当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增．
综上，时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增；
（2）时，由（1）知至多有一个零点，
时，由（1）知当时，取得最小值，最小值为
①当时，由于，故只有一个零点，
②当时，即，故没有零点，
③当时，即，
又，
由（1）知在上有一个零点．
又，
由（1）知）在有一个零点．
所以在上有两个零点．
综上，a的取值范围为；
（3）由（2）知，当时，在上有两个零点，不妨设，
则由（2）知，，且
令
有
由于
（且仅当等号成立）
所以当时，，当时，，
所以在单调递减，又，
所以即，
又，所以，
又由于，且在上单调递增，
所以
所以.
【点睛】
关键点点睛：解决极值点偏移问题的关键是通过构造函数，结合新函数及原函数的单调性确定证明结果.
巩固练习
练习一 极值点偏移问题
1．已知.
(1)若在定义域内单调递增，求的最小值.
(2)当时，若有两个极值点，求证：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）由在定义城内单调递增，得到在上恒成立，取，可得;
（2）当时，由有两个极值点，得到，令，利用导数求出，判断出，利用对数均值不等式即可证明.
(1)
方法一：，取，得，
所以，，
时，，
所以取，时，，
，分子随增大而增大，
而，所以当时，单调递减，当时，单调递增，
而，得，符合单调递增，所以.
方法二：，，
因为在定义城内单调递增，
所以在上恒成立，
故，设，
若，则当时，，故在上恒成立，这不可能.
若，则在上恒成立，取，则有，故.
若，此时，
令，则为上的减函数，
而，
取，则当时，
有，故在上存在唯一零点，
设该零点为，由零点存在定理可得.
故当时，；当时，，
故在为增函数，在上为减函数，故.
所以，
因为，故，
所以，其中.
设，，则，
当时，，当时，，
故在为减函数，在为增函数，
故，故即的最小值为.
(2)
方法一：当时，，，，
则，令，，
令，下证恒成立，
，设分子为，
，所以在上单调递增，，
所以在上恒大于，即在上恒大于，
所以，取，则，
所以，即.
方法二：当时，，
因为有两个极值点，
所以，即，从而，
令，则，
当时，，当时，，
所以函数在上递增，在上递减，
所以，
又因当时，，当时，，
所以，
由对数均值不等式得，从而，
所以.
2．已知函数
(1)求f（x）的极值和单调区间；
(2)若函数的两个零点为，证明.
【答案】(1)极小值，无极大值，（0，2）是单调递减区间，在）是单调递增区间
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）直接求导确定单调性及极值；
（2）构造函数，求导确定其单调性，证明，结合的单调性，得到.
(1)
令得，
令得.
所以f（x）在（0，2）上单调递减，在）上单调递增，
当时，f（x）取得极小值，无极大值，
f（x）的单调递增区间为），单调递减区间为（0，2）.
(2)
设，则为g（x）的两个零点；
所以.不妨设，
由（1）知，g（x）在（0，2）上单调递减，在上单调递增；
所以.
所以证明不等式等价于，
又因为，，g（x）在上单调递增，
因此证明不等式等价于证明，
即证明，
即，
即恒成立，
令，
则，
所以h（x）在（0，2）上为减函数，
所以，
即恒成立，
因此不等式恒成立，
即
【点睛】
本题关键点在于构造函数，借助单调性证明，进而得出结论，属于极值点偏移的常规解法，注意积累掌握.
3．已知，，
(1)若恒成立，求的最大值
(2)若，是的两个零点，且求证：
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）将问题转化为，再求最小值，然后解不等式即可；
（2）通过构造函数，再研究其单调性，通过单调性解不等式即可.
(1)
时，，
设，则恒成立恒成立，
易知符合要求，下面考虑的情形，
由，得时，；时，，
因此，在区间上为减函数，在上为增函数，故的最小值为，
由，得，解得，
所以的最大值为.
(2)
由（1）知，，是的两个零点，结合的单调性可知，，
若，则显然成立，
若，设（），
则，，
所以，在区间上为增函数，因此有，
因此，，，
又，，且在区间上为减函数，
所以，，即.
综上，.
4．已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时，若函数有两个不同的零点，，证明：.
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）求出，分、讨论可得答案；
（2）记，求出，分、讨论时有两个零点，求出得，设，即证，即证，构造函数，利用的单调性可得答案.
(1)
，得，
当时，，单调递减，当时，令，解得，
所以当，，函数单调递减，
当，，函数单调递增，
综上所述，当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
(2)
由题可知函数有两个零点，，
记，则，
当时，，单调递增，不可能有两个零点，
当时，令，得，
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减，因为有两个零点，
所以，解得.所以不妨设，
要证，即证，
因为，，又在单调递减，
所以即证，即证，
构造函数，
所以
，
所以函数在单调递增，且，
所以当时，，
即，所以，即，得证.
【点睛】
本题考查了导数极值点偏移问题，解题的关键点是构造函数，其步骤有 (1)求解原函数的单调性；(2)利用分析法反推，把自变量的大小关系转化为函数的大小关系；(3)利用得出的函数大小关系构造新函数；(4)对新函数进行求导，利用其单调性以及函数取值的上或下界限即可证.
5．已知函数，其中为常数，且．
(1)当时，若在，上的最大值为1，求实数的值；
(2)若，且函数有两个不相等的零点，，证明：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）由题知，进而分，，，四种情况讨论求解即可得答案；
（2）根据题意，不妨设，则，，再构造函数，结合函数的单调性证明即可.
(1)
解：（1）函数的定义域为，
①当，即时，函数在，上单调递增，其最大值为，不符合题意；
②当，即时，函数在，，上单调递增，在单调递减，
，，所以，不符合题意；
③当，即时，函数在，，在，单调递减，其最大值为，不符合题意；
④当，即时，函数在，，上单调递增，在，单调递减，
，，所以，符合题意；
综上所述，实数的值为；
(2)
证明：，
令，得，
当时，函数在，递减，在单调递增，
函数有两个不相等的零点，，
不妨设，则，，
构造函数，，则，
，
在单调递减，，
，恒成立．
，恒成立．
即，
，，且函数在单调递增，
，．
【点睛】
本题考查利用导数研究函数的的最值，极值点偏移问题，考查运算求解能力，逻辑推理能力，分类讨论思想等，是难题.本题第一问解题的关键在于求导得，进而分类讨论求解；第二问解题的关键在于结合函数的性质得，，进而构造函数，，结合函数的单调性求解.
6．已知函数．
(1)讨论的零点个数．
(2)若有两个不同的零点，证明：．
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）先通过求导得到函数的单调区间，再运用数形结合思想分类讨论即可求解；
（2）将问题转化为研究函数的单调性后再求解即可.
(1)
因为，所以1不是的零点．
当，可变形为，
令，则的零点个数即直线与图象的交点个数．
因为，，得，又，
所以在上单调递减，在上单调递增．
因为，且当时，，
所以当时，没有零点；
当时，有一个零点；
当时，有两个零点．
(2)
证明：由（1）知，当时，有两个零点．
设，则，
由得，
所以，即．
令，则，
易得在上单调递减，在上单调递增．
要证，即证．
因为，且在上单调递增，所以只需证．
因为，所以即证．
令，
则，
所以在上单调递减．
因为，所以．
因为，所以，故．
7．已知.
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时，证明：函数有且仅有两个零点，且.
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）分类讨论并利用导数去判定函数的单调性即可解决；
（2）构造新函数并利用导函数与函数单调性的关系去证明转化后的不等式即可解决.
(1)
的定义域为.
当时，在上单调递增；
当时，由，得，由，得，
故在上单调递增，在上单调递减.
(2)
当时，，由（1）知，在单调递增，在单调递减，所以
，所以在区间上存在零点，
因为在单调递增，故在区间上存在唯一的零点；
因为，所以在区间上存在零点，
因为在单调递减，所以在区间存在唯一的零点.
所以，函数有且仅有两个零点.
不妨设.
要证，只需证明，
因为在，e）单调递增且，所以只需证明
，又，只需证明
设，
，
当时，，
所以，所以在上单调递增，
所以，所以，
所以成立.故有.
【点睛】
导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
8．已知函数，，当时，恒成立．
(1)求实数的取值范围；
(2)若正实数、满足，证明：．
【答案】(1)；
(2)证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据题意，求出导函数，分类讨论当和两种情况，利用导数研究函数的单调性，结合时，恒成立，从而得出实数的取值范围；
（2）不妨设，由得出，从而可知只要证明，构造新函数，求出，利用导数研究函数的单调性得出在区间上单调增函数，进而可知当时，成立，即，从而即可证明.
(1)
解：根据题意，可知的定义域为，
而，
当时，，，
为单调递增函数，
当时，成立；
当时，存在大于1的实数，使得，
当时，成立，
在区间上单调递减，
当时，；
不可能成立，
所以，即的取值范围为.
(2)
证明：不妨设，
正实数、满足，
有（1）可知，，
又为单调递增函数，
所以，
又，
所以只要证明：，
设，则，
可得，
当时，成立，
在区间上单调增函数，
又，
当时，成立，即，
所以不等式成立，
所以.
【点睛】
思路点睛：解决含参数问题及不等式问题注意两个转化：
（1）利用导数解决含有参数的单调性问题可将问题转化为不等式恒成立问题，要注意分类讨论和数形结合思想的应用；
（2）将不等式的证明、方程根的个数的判定转化为函数的单调性问题处理，一般需要通过构造新函数解决导数问题．