备战2024年高考数学二轮复习专题01导数的几何意义的应用(原卷版+解析)

这是一份备战2024年高考数学二轮复习专题01导数的几何意义的应用(原卷版+解析)，共30页。试卷主要包含了求曲线的切线方程，利用切线方程求参数等内容，欢迎下载使用。
常见考点
考点一 求曲线的切线方程
典例1．已知函数，.
(1)若，求曲线在处的切线方程；
(2)设函数在上的最大值和最小值分别为和，若，求的取值范围.
变式1-1．已知函数
(1)过原点作的切线，求的方程；
(2)令，求在恒成立，求的取值范围
变式1-2．已知函数，其中．
(1)当时，求在处的切线方程；
(2)讨论的单调性．
变式1-3．已知函数．
(1)若，求曲线在处的切线方程；
(2)若关于的不等式在上能成立，求实数的取值范围．
考点二 利用切线方程求参数
典例2．设函数．
(1)若曲线在点处的切线方程为，求；
(2)求函数的单调区间．
变式2-1．已知函数，.
(1)若曲线在点处的切线垂直于直线，求的值；
(2)当时，求函数在区间上的最小值.
变式2-2．已知函数，若函数处的切线斜率为2．
(1)求实数的值；
(2)求函数在区间上的最小值．
变式2-3．已知函数在处的切线与x轴平行.
(1)求在区间上的最值；
(2)若恰有两个零点，且在上恒成立，求实数c的取值范围.
巩固练习
练习一 求曲线的切线方程
1．已知函数．
(1)当时，曲线在点处的切线方程；
(2)若为整数，当时，，求的最小值．
2．已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)讨论的单调性与极值点.
3．已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)试讨论函数的单调性.
4．已知函数．
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)若方程有两个根，求a的取值范围．
练习二 利用切线方程求参数
5．已知函数，其中a，b.
(1)若曲线在点P（2，f（2））处的切线方程为，求a，b的值；
(2)若函数f(x)在（1，2）上为单调函数，求实数a的取值范围.
6．已知函数，曲线在点处的切线方程为.
(1)求的解析式；
(2)设，试讨论函数的零点的个数.
7．设函数，曲线在点处切线的斜率为1，为的导函数.
(1)求a；
(2)证明：在上存在唯一的极大值点.
8．已知函数的导函数为，的图象在点处的切线方程为，且，又函数与函数的图象在原点处有相同的切线．
(1)求函数的解析式及k的值．
(2)若对于任意恒成立，求m的取值范围
第六篇 导数
专题01 导数的几何意义的应用
常见考点
考点一 求曲线的 切线方程
典例1．已知函数，.
(1)若，求曲线在处的切线方程；
(2)设函数在上的最大值和最小值分别为和，若，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）直接求导后得到，直接写出切线即可；
（2）直接求导确定单调性，端点作差确定最大值，得到不等式，结合单调性求解即可.
(1)
若，，，
因为，，
所以曲线在处的切线方程为.
(2)
由题意知，则，
因为，所以当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增.
设，
则当时，，
所以当时，.
则在上的最小值为，最大值为，
所以，
设，则当时，，单调递增，
由，可得，
即的取值范围是.
变式1-1．已知函数
(1)过原点作的切线，求的方程；
(2)令，求在恒成立，求的取值范围
【答案】(1)；
(2).
【解析】
【分析】
（1）设切线的方程为，设切点为,求出即得解；
（2）利用导数求出函数在上的单调区间即得解.
(1)
解：设切线的方程为，设切点为,
因为，则
所以切线方程为即
由题得则
∴切线的方程为．
(2)
解：，
当时，；时，，
所以函数在单调递增，在单调递减，
∵，，
因为
所以最小值． .
变式1-2．已知函数，其中．
(1)当时，求在处的切线方程；
(2)讨论的单调性．
【答案】(1)；
(2)答案见解析.
【解析】
【分析】
（1）求导求出切线的斜率和切点坐标，即得解；
（2）求导，再对分四种情况讨论得解.
(1)
解：由题得，
所以切线的斜率，
所以切线方程为，即.
所以切线方程为.
(2)
解：由题得，
当时，，令，
令，
所以此时函数的增区间为，减区间为.
当时，，所以函数在上单调递增；
当时，令或，
令，
所以此时函数的增区间为，减区间为.
当时，令或，
令，
所以此时函数的增区间为，减区间为.
综合得当时，函数的增区间为，减区间为；
当时，函数的增区间为，减区间为；
当时，函数在上单调递增；
当时，函数的增区间为，减区间为.
变式1-3．已知函数．
(1)若，求曲线在处的切线方程；
(2)若关于的不等式在上能成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）依据导数几何意义即可求得曲线在处的切线方程；
（2）构造新函数，由新函数最小值小于0即可求得实数的取值范围．
(1)
依题意，，故．
则；而，
故所求切线方程为，即．
(2)
依题意，，
令，，则函数在上的最小值小于0，．
①当，即时，，在上单调递减，
则函数在上的最小值，故，舍去．
②当，即时，， 在上单调递增，
所以在上的最小值，
解得，又，故．
③当时，即时，
在上单调递减，在上单调递增
所以在上的最小值为．
因为，所以，所以，
所以，不合题意，舍去．
综上所述，实数的取值范围为．
考点二 利用切线方程求参数
典例2．设函数．
(1)若曲线在点处的切线方程为，求；
(2)求函数的单调区间．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【解析】
【分析】
（1）求出，建立方程关系，即可求出结论；
（2）对分类讨论，求出的单调区间.
(1)
由于切点在切线上，所以，函数通过点
又，根据导数几何意义，
；
(2)
由可知
当时，则；
当时，则；
当时，的单调递减区间为，单调递增区间为
当时，单调递增区间为，单调递减区间为.
变式2-1．已知函数，.
(1)若曲线在点处的切线垂直于直线，求的值；
(2)当时，求函数在区间上的最小值.
【答案】(1)
(2)当时，最小值为；当时，最小值为
【解析】
【分析】
（1）首先求出函数的导函数，再根据，得到方程，解得即可；
（2）依题意可得，再对分、、三种情况讨论，分别求出函数的单调性，即可求出函数的最小值；
(1)
解：因为，所以，
∵曲线在点处的切线垂直于直线，
又直线的斜率为1，
∴，
∴；
(2)
解：∵，，
①当时，在区间上，此时函数在区间上单调递减，
则函数在区间上的最小值为.
②当，即时，在区间上，此时函数在区间上单调递减，在区间上，此时函数在区间上单调递增，则函数在区间上的最小值为.
③当，即时，在区间上，此时函数在区间上单调递减，则函数在区间上的最小值.
综上所述，当时，函数在区间上的最小值为，当时，函数在区间上的最小值为.
变式2-2．已知函数，若函数处的切线斜率为2．
(1)求实数的值；
(2)求函数在区间上的最小值．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）求导，然后根据在切点处的导数等于切线斜率可得；
（2）讨论函数在区间上的单调性，然后可得.
(1)
，，
因为函数在处的切线斜率为2，所以．
(2)
，
，
因为，所以，，
所以，在上单调递减，
所以在上的最小值为．
变式2-3．已知函数在处的切线与x轴平行.
(1)求在区间上的最值；
(2)若恰有两个零点，且在上恒成立，求实数c的取值范围.
【答案】(1)最小值为，最大值为；
(2).
【解析】
【分析】
（1）由题可得，进而可得，即求；
（2）由题可得函数极大值大于零结合条件可知函数极小值为零，进而可得，即得.
(1)
依题意，，由已知，
即，解得.
所以，
∴当x变化时，变化如下：
由上表可知的最小值为，最大值为.
(2)
由（1）知的极大值点为，
因为，所以的极大值，
故若恰有两个零点，则的极小值.
由（1）在上的最小值为0.
即有.
所以.
巩固练习
练习一 求曲线的 切线方程
1．已知函数．
(1)当时，曲线在点处的切线方程；
(2)若为整数，当时，，求的最小值．
【答案】(1)
(2)2
【解析】
【分析】
（1）求出函数的导函数，再根据导数的几何意义即可得出答案；
（2）由，可得，求导，再令，用导数法得到时，取得极小值，分和时，即论证，再验证是否成立即可.
(1)
解：当时，，
则，
则，，
所以曲线在点处的切线方程为；
(2)
因为当时，，
所以，即，
所以，则，
令，则，
因为，
所以在递增，又，
当时，，递减，当时，，递增，
所以当时，取得极小值，
当时，，即，
所以在上递增，则，
又，
令，在上递增，
所以，
所以，满足题意；
当时，因为a为整数，则，此时，
则，，
因为函数在都是增函数，
所以函数在是增函数，
又，
所以存在，使得，
则当时，，故函数递减，
当时，，故函数递增，
又，
所以存在，使得，
则当时，，故函数递减，
当时，，故函数递增，
所以，
而，即，所以，
所以，
令，
则，
令，
则，
所以函数在上递减，
所以，
所以，
所以函数在上递减，
所以,
所以，即，满足题意；
当时，，则，
，
因为函数在都是增函数，
所以函数在是增函数，
且，
所以在上递增，又，
所以存在，使得，
当时，，故函数递减，，不满足题意，
综上：整数的最小值为2.
【点睛】
思路点睛：本题第二问基本思路是由确定，再由，当时，取得极小值，确定分类标准而得解，特别注意是验证是否成立是本题的关键.
2．已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)讨论的单调性与极值点.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【解析】
【分析】
（1）由已知，把带入函数，先计算出，然后再求导，计算，最后利用点斜式写出切线方程即可；
（2）对函数进行求导，然后进行因式分解，通过对进行分类讨论，比较两根大小，来判断的单调性与极值点..
(1)
当时，，则，且，
所以所求切线的斜率为，
故所求的切线方程为，
即.
(2)
的定义域为，
.
①当时，
当时，；当时，.
所以在上单调递减，在上单调递增.此时，
的极小值点为1.
②当时，令，得或，
（i）当时，，
当时，；当时，.
所以在和上单调递增，在上单调递减.
此时，的极小值点为1，极大值点为.
（ii）当时，对恒成立，
所以在上单调递增，无极值点.
（ⅲ）当时，，
当时，；当时，.
所以在和上单调递增，在上单调递减.
此时，的极小值点为，极大值点为1.
综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增，的极小值点为1，无极大值；
当时，在和上单调递增，在上单调递减，的极小值点为1，极大值点为；
当时，在上单调递增，无极值点；
当时，在和上单调递增，在上单调递减，的极小值点为，极大值点为1.
3．已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)试讨论函数的单调性.
【答案】(1)
(2)详见解析.
【解析】
【分析】
（1）由，求导，得到，写出切线方程；
（2）求导，再分，，讨论求解.
(1)
解：因为，
所以，则，
所以，
所以曲线在点处的切线方程是，
即；
(2)
因为，
所以，
当时，成立，则在上递减；
当时，令，得，
当时，，当时，，
所以在上递减，在上递增；
综上：当时，在上递减；
当时， 在上递减，在上递增；
4．已知函数．
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)若方程有两个根，求a的取值范围．
【答案】(1)；
(2).
【解析】
【分析】
（1）当时，求出函数的导数，再利用导数的几何意义直接求出切线方程作答.
（2）求出函数的导数，构造函数，再探讨其性质，利用直线与曲线有两个公共点求解作答.
(1)
当时，函数定义域为，求导得：，
则，而，则有，即，
所以所求切线方程为：．
(2)
函数定义域为，求导得：，
而方程，则有两个根即直线与曲线有两个公共点，
令，，则，当时，，当时，，
即函数在上单调递增，在上单调递减，，
因为，且当时，，在同一坐标系内作出直线及函数的图象，如图，
观察图象得，直线与曲线有两个公共点时，，
所以a的取值范围是．
练习二 利用切线方程求参数
5．已知函数，其中a，b.
(1)若曲线在点P（2，f（2））处的切线方程为，求a，b的值；
(2)若函数f(x)在（1，2）上为单调函数，求实数a的取值范围.
【答案】(1)8，b=9；
(2)或.
【解析】
【分析】
（1）根据导数的几何意义进行求解即可；
（2）根据函数导数与单调性的关系分类讨论进行求解即可.
(1)
，由导数的几何意义得，
于是，
由切点P（2，f（2））在直线上可得，解得b=9.
(2)
函数f(x)在（1，2）上为单调函数，
①若f(x)在（1，2）上为单调递增函数，则当x（1，2）恒成立，即当x（1，2）恒成立，；
②若f(x)在（1，2）上为单调递减函数，则当x（1，2）恒成立，即当x（1，2）恒成立，
综上所述：或.
6．已知函数，曲线在点处的切线方程为.
(1)求的解析式；
(2)设，试讨论函数的零点的个数.
【答案】(1)；
(2)详见解析.
【解析】
【分析】
（1）由题可得，即求；
（2）由题可将函数的零点的个数转化为直线与函数的图象交点个数，利用导数研究函数的性质，利用数形结合即得.
(1)
∵，
∴，，又曲线在点处的切线方程为，
∴，解得，
∴；
(2)
∵，
∴，
由，得，
令，则，
令，则，
∴函数在上单调递减，又，
∴当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
∴当时，函数有最大值，
画出函数的大致图象，
由图可知，当，即时，直线与函数的图象没有交点，即函数没有零点，
当，即时，直线与函数的图象有一个交点，即函数有一个零点，
当，即时，直线与函数的图象有两个交点，即函数有两个零点.
综上，当时，函数的零点个数为0，当时，函数的零点个数为1，当时，函数的零点个数为2.
7．设函数，曲线在点处切线的斜率为1，为的导函数.
(1)求a；
(2)证明：在上存在唯一的极大值点.
【答案】(1)1；
(2)证明见解析.
【解析】
【分析】
(1)根据导数的几何意义即可求a；
(2)令，求，令h(x)＝，求，根据的正负判断的单调性，用的正负判断单调性和极值即可.
(1)
由题可知且，得；
(2)
令，
则，令h(x)＝，
则，，
当时，csx＞sinx，，单调递增；
当时，csx＜sinx，，单调递减；
又∵，
由零点存在性定理可知，在上存在唯一的使得，
则当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
∴在上存在唯一的极大值点.
【点睛】
本题关键是多次求导，用导数的正负依次求原函数的单调性和正负，逐层倒推即可得结论.
8．已知函数的导函数为，的图象在点处的切线方程为，且，又函数与函数的图象在原点处有相同的切线．
(1)求函数的解析式及k的值．
(2)若对于任意恒成立，求m的取值范围
【答案】(1)，
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据导数的几何意义，以及切线方程，建立方程关系，即可求出，，的取值，
（2）依题意对于任意，恒成立，进行参变分离，利用导数求函数最值，即可求实数的取值范围．
(1)
解： ，
，，
，，即，①
的图象在点处的切线方程为，
当时，，且切线斜率，
则，②，
，③，
联立解得，，，即，
函数，
函数在原点处的切线斜率为1，
，．
(2)
解：若对于任意恒成立，
则等价为对于任意恒成立，
即恒成立，
则只需要求出在上的最小值即可，
设，
则，，则当时，当时，所以在上单调递减，在上单调递增，
，，
，必有一个实根，且，使得即，
当时，，当时，，
的最小值为，
则，，所以在上的最小值，从而，即．
【点睛】
导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
x
2
4
+
0
-
0
+
递增
递减
递增