备战2024年高考数学二轮复习专题01离散型随机变量分布列(原卷版+解析)

这是一份备战2024年高考数学二轮复习专题01离散型随机变量分布列(原卷版+解析)，共32页。试卷主要包含了离散型随机变量分布列等内容，欢迎下载使用。
常见考点
考点一 离散型随机变量分布列
典例1．某校组织“百年党史”知识比赛，每组有两名同学进行比赛，有2道抢答题目．已知甲、乙两位同学进行同一组比赛，每人抢到每道题的机会相等．抢到题目且回答正确者得100分，没回答者得0分；抢到题目且回答错误者得0分，没抢到者得50分，2道题目抢答完毕后得分多者获胜．已知甲答对每道题目的概率为．乙答对每道题目的概率为，且两人各道题目是否回答正确相互独立．
(1)求乙同学得100分的概率；
(2)记X为甲同学的累计得分，求X的分布列和数学期望．
变式1-1．第24届冬季奥林匹克运动会（The XXIV Olympic Winter Games），即2022年北京冬季奥运会，于2022年2月4日星期五开幕，2月20日星期日闭幕．北京冬季奥运会设7个大项，15个分项，109个小项．北京赛区承办所有的冰上项目；延庆赛区承办雪车、雪橇及高山滑雪项目；张家口赛区的崇礼区承办除雪车、雪橇及高山滑雪之外的所有雪上项目．某运动队拟派出甲、乙、丙三人去参加自由式滑雪．比赛分为初赛和决赛，其中初赛有两轮，只有两轮都获胜才能进入决赛．已知甲在每轮比赛中获胜的概率均为；乙在第一轮和第二轮比赛中获胜的概率分别为和；丙在第一轮和第二轮获胜的概率分别是p和，其中．
(1)甲、乙、丙三人中，谁进入决赛的可能性最大；
(2)若甲、乙、丙三人中恰有两人进人决赛的概率为，求p的值；
(3)在（2）的条件下，设进入决赛的人数为，求的分布列．
变式1-2．某工厂生产一种产品，由第一､第二两道工序加工而成，两道工序的加工结果相互独立，每道工序的加工结果只有A，B两个等级.两道工序的加工结果直接决定该产品的等级：两道工序的加工结果均为A级时，产品为一等品；两道工序恰有一道.工序加工结果为B级时，产品为二等品；其余均为三等品.每一道工序加工结果为A级的概率如表一所示，一件产品的利润（单位：万元）如表二所示：
表一
表二
(1)用（万元）表示一件产品的利润，求的分布列和均值；
(2)工厂对于原来的生产线进行技术升级，计划通过增加检测成本对第二工序进行改良，假如在改良过程中，每件产品检测成本增加万元（即每件产品利润相应减少万元）时，第二工序加工结果为A级的概率增加，问该改良方案对一件产品的利润的均值是否会产生影响？并说明理由.
变式1-3．对飞机进行射击，按照受损伤影响的不同，飞机的机身可分为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ三个部分.要击落飞机，必须在Ⅰ部分命中一次，或在Ⅱ部分命中两次，或在Ⅲ部分命中三次.设炮弹击落飞机时，命中Ⅰ部分的概率是，命中Ⅱ部分的概率是，命中Ⅲ部分的概率是，射击进行到击落飞机为止.假设每次射击均击中飞机，且每次射击相互独立.
(1)求恰好在第二次射击后击落飞机的概率；
(2)求击落飞机的命中次数的分布列和数学期望.
典例2．高三学生甲、乙为缓解紧张的学习压力，相约本星期日进行“某竞技体育项目”比赛．比赛采用三局二胜制，先胜二局者获胜．商定每局比赛(决胜局第三局除外)胜者得3分，败者得1分，决胜局胜者得2分，败者得0分．已知每局比赛甲获胜的概率为，各局比赛相互独立．
(1)求比赛结束，乙得4分的概率；
(2)设比赛结束，甲得X分，求X的概率分布与数学期望．
变式2-1．现有甲、乙、丙三道多选题，某同学独立做这三道题，根据以往成绩，该同学多选题的得分只有2分和0分两种情况．已知该同学做甲题得2分的概率为，分别做乙、丙两题得2分的概率均为．假设该同学做完了以上三道题目，且做每题的结果相互独立．
(1)求该同学做完了以上三题恰好得2分的概率；
(2)求该同学的总得分的分布列和数学期望．
变式2-2．某运动会中，新增加的“趣味乒乓球单打”是这届运动会的热门项目，比赛规则如下：两人对垒，开局前抽签决定由谁先发球（机会均等），此后均由每个球的赢球者发下一个球，对于每一个球，若发球者贏此球，发球者得1分，对手得0分；若对手赢得此球，发球者得0分，对手得2分.当有一人累计得分超过5分时，比赛就结束，得分高者获胜.已知在选手甲和乙的对垒中，发球一方赢得此球的概率都是0.6，各球结果相互独立.
(1)假设开局前抽签结果是甲发第一个球，求比赛出现比分的概率；
(2)已知现在比分，接下来由甲发球，两人又打了X个球后比赛结束，求X的分布列及数学期望.
变式2-3．为进一步加强未成年人心理健康教育，如皋市教育局决定在全市深入开展“东皋大讲堂”进校园心理健康教育宣讲活动，为了缓解高三学生压力，高三年级某班级学生在开展“东皋大讲堂”过程中，同座两个学生之间进行了一个游戏，甲盒子中装有2个黑球1个白球，乙盒子中装有3个白球，现同座的两个学生相互配合，从甲、乙两个盒子中各取一个球，交换后放入另一个盒子中，重复进行n次这样的操作，记甲盒子中黑球的个数为，恰好有2个黑球的概率为，恰好有1个黑球的概率为.
(1)求第二次操作后，甲盒子中没有黑球的概率；
(2)求的概率分布和数学期望.
巩固练习
练习一 离散型随机变量分布列
1．暑假里大学二年级的H同学去他家附近的某个大型水果超市打工．他发现该超市每天以10元/千克的价格从中心仓库购进若干A水果，然后以15元/千克的价格出售；若有剩余，则将剩余的水果以8元/千克的价格退回中心仓库．H同学记录了打工期间A水果最近50天的日需求量（单位：千克），整理得下表：
以上表中各日需求量的频率作为各日需求量的概率，解答下面的两个问题．
(1)若超市明天购进A水果150千克，求超市明天获得利润X（单位：元）的分布列及期望；
(2)若超市明天可以购进A水果150千克或160千克，以超市明天获得利润的期望为决策依据，在150千克与160千克之中应当选择哪一个？若受市场影响，剩余的水果只能以7元/千克的价格退回水果基地，又该选哪一个？请说明理由．
2.从甲地到乙地要经过个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为，，．
(1)若有一辆车独立地从甲地到乙地，求这一辆车未遇到红灯的概率；
(2)记表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量的分布列和数学期望．
3．2022年北京冬奥会有包括中国队在内的12支男子冰球队参加比赛，12支参赛队分为三组，每组四队，2月9号至13号将进行小组赛，小组赛采取单循环赛制，即每个小组的四支参赛队在比赛中均能相遇一次，最后按各队在比赛中的得分多少来排列名次．小组赛结果的确定规则如下：
①在常规时间里，获得最多进球的队为获胜者，获胜者得3分；
②在常规时间里，如果双方进球相等，每队各得1分．比赛继续进行，以突然死亡法（即在规定的时间内有一方进球）加时赛决出胜负，突然死亡法加时赛中获胜的队将额外获得1分；
③在突然死亡法加时赛中，如果双方都没有得分，那么进行点球赛，直至决出胜负，在点球赛中获胜的队将额外获得1分．
若在小组赛中，甲队与乙队相遇，在常规时间里甲队获胜的概率为，进球数相同的概率为；在突然死亡法加时赛中，甲队获胜的概率为，双方都没有得分的概率为；在点球赛中，甲队获胜的概率为，假设各比赛结果相互独立．
(1)在甲队与乙队的比赛中，求甲队得2分获胜的概率；
(2)在甲队与乙队的比赛中，求甲队得分的分布列及数学期望．
4．为进一步完善公共出行方式，倡导“绿色出行”和“低碳生活”，某市建立了公共自行车服务系统，为了鼓励市民租用公共自行车出行，同时希望市民尽快还车，方便更多的市民使用，公共自行车按每次的租用时间进行缴费，具体缴费标准如下：①租用时间不超过1小时，免费；②超出一小时后每小时1元（不足一小时按一小时计算），一天24小时最高收费10元.某日甲、乙两人独立出行，各租用公共自行车一次，且两人租车时间都不会超过3小时，设甲、乙租用时间不超过一小时的概率分别是0.5，0.4；租用时间为1小时以上且不超过2小时的概率分别是0.2，0.4.
(1)求甲比乙付费多的概率；
(2)设甲、乙两人付费之和为随机变量，求的分布列和数学期望.
5．随着2022年北京冬季奥运会的如火如茶的进行.2022年北京冬季奥运会吉祥物“冰墩墩”受到人们的青睐，现某特许商品专卖店每天均进货一次，卖一个吉祥物“冰墩墩”可获利50元，若供大于求，则每天剩余的吉祥物“冰墩墩”需交保管费10元/个；若供不应求，则可从其他商店调剂供应，此时调剂的每一个吉祥物“冰墩墩”该店仅获利20元．该店调查上届冬季奥运会吉祥物每天(共计20天)的需求量(单位：个)，统计数据得到下表：
以上述20天吉祥物的需求量的频率作为各需求量发生的概率．记X表示每天吉祥物“冰墩墩”的需求量．
(1)求X的分布列；
(2)若该店某一天购进164个吉祥物“冰墩墩”，则当天的平均利润为多少元．
6．在中国共产党的正确领导下，我国顺利实现了第一个百年奋斗目标——全面建成小康社会.某地为了巩固扶贫成果，决定继续对甲、乙两家乡镇企业进行指导.指导方式有两种，一种是精准指导，一种是综合指导.已知对甲企业采用精准指导时，投资50万元，增加100万元收入的概率为0.2，增加200万元收入的概率为0.8，采用综合指导时，投资100万元，增加200万元收入的概率为0.6，增加400万收入的概率为0.4；对乙企业采用精准指导时，投资50万元，增加100万元收入的概率为0.3，增加200万元收入的概率为0.7，采用综合指导时，投资100万元，增加200万元收入的概率为0.7，增加400万元收入的概率为0.3.指导结果在两家企业之间互不影响.
(1)若决策部门对甲企业进行精准指导、对乙企业进行综合指导，设两家企业增加的总收入为万元，求的分布列；
(2)若有150万元无息贷款可供甲、乙两家企业使用，对两家企业应分别进行哪种指导总收入最高？请说明理由.
7．2021年10月16日，神舟十三号载人飞船与天宫空间站组合体完成自主快速交会对接，航天员翟志刚、王亚平、叶光富顺利进驻天和核心舱，由此中国空间站开启了有人长期驻留的时代．为普及航天知识，某航天科技体验馆开展了一项“摸球过关”领取航天纪念品的游戏，规则如下：不透明的口袋中有3个红球，2个白球，这些球除颜色外完全相同．参与者每一轮从口袋中一次性取出3个球，将其中的红球个数记为该轮得分X，记录完得分后，将摸出的球全部放回袋中．当参与完成第n轮游戏，且其前n轮的累计得分恰好为2n时，游戏过关，可领取纪念品，同时游戏结束，否则继续参与游戏．若第3轮后仍未过关，则游戏也结束．每位参与者只能参加一次游戏．
(1)求随机变量X的分布列及数学期望；
(2)若甲参加该项游戏，求甲能够领到纪念品的概率．
8．为庆祝中国共产党建党100周年，某单位举办了以“听党召唤，使命在肩”为主题的知识竞赛活动，经过初赛､复赛，小张和小李进入决赛，决赛试题由3道小题组成，每道小题选手答对得1分，答错得0分，假设小张答对第一､第二､第三道小题的概率依次是，，，小李答对每道小题的概率都是.且他们每道小题解答正确与否相互之间没有影响，用X表示小张在决赛中的得分，用Y表示小李在决赛中的得分.
(1)求随机变量X的分布列和数学期望E（X），并从概率与统计的角度分析小张和小李在决赛中谁的得分能力更强一些；
(2)求在事件“”发生的条件下，事件“”的概率.
工序
第一工序
第二工序
概率
0.8
0.6
等级
一等品
二等品
三等品
利润
50
20
10
日需求量
140
150
160
170
180
190
200
频数
5
10
8
8
7
7
5
每天需求量
162
163
164
165
166
频数
2
4
6
5
3
第四篇 概率与统计
专题01 离散型随机变量分布列
常见考点
考点一 离散型随机变量分布列
典例1．某校组织“百年党史”知识比赛，每组有两名同学进行比赛，有2道抢答题目．已知甲、乙两位同学进行同一组比赛，每人抢到每道题的机会相等．抢到题目且回答正确者得100分，没回答者得0分；抢到题目且回答错误者得0分，没抢到者得50分，2道题目抢答完毕后得分多者获胜．已知甲答对每道题目的概率为．乙答对每道题目的概率为，且两人各道题目是否回答正确相互独立．
(1)求乙同学得100分的概率；
(2)记X为甲同学的累计得分，求X的分布列和数学期望．
【答案】(1)；
(2)分布列见解析，.
【解析】
【分析】
（1）应用独立事件乘法公式及互斥事件的概率求法，求乙同学得100分的概率；
（2）由题意知可能值为，分别求出对应概率，写出分布列，进而求期望.
(1)
由题意，乙同学得100分的基本事件有{乙抢到两题且一道正确一道错误}、{甲乙各抢到一题都回答正确}、{甲抢到两题且回答错误}，
所以乙同学得100分的概率为.
(2)
由题意，甲同学的累计得分可能值为，
；；
；；；
分布列如下：
所以期望.
变式1-1．第24届冬季奥林匹克运动会（The XXIV Olympic Winter Games），即2022年北京冬季奥运会，于2022年2月4日星期五开幕，2月20日星期日闭幕．北京冬季奥运会设7个大项，15个分项，109个小项．北京赛区承办所有的冰上项目；延庆赛区承办雪车、雪橇及高山滑雪项目；张家口赛区的崇礼区承办除雪车、雪橇及高山滑雪之外的所有雪上项目．某运动队拟派出甲、乙、丙三人去参加自由式滑雪．比赛分为初赛和决赛，其中初赛有两轮，只有两轮都获胜才能进入决赛．已知甲在每轮比赛中获胜的概率均为；乙在第一轮和第二轮比赛中获胜的概率分别为和；丙在第一轮和第二轮获胜的概率分别是p和，其中．
(1)甲、乙、丙三人中，谁进入决赛的可能性最大；
(2)若甲、乙、丙三人中恰有两人进人决赛的概率为，求p的值；
(3)在（2）的条件下，设进入决赛的人数为，求的分布列．
【答案】(1)甲进入决赛可能性最大
(2)
(3)分布列见解析
【解析】
【分析】
（1）分别求出甲、乙、丙三人初赛的两轮均获胜的概率，然后比较即可；
（2）利用相互独立事件的概率的求法分别求出甲和乙进入决赛的概率、乙和丙进入决赛的概率、甲和丙进入决赛的概率，即可通过甲、乙、丙三人中恰有两人进人决赛的概率为，列方程求解；
（3）先确定进入决赛的人数为的取值，依次求出每一个值所对应的概率，列表即可.
(1)
甲在初赛的两轮中均获胜的概率为：
乙在初赛的两轮中均获胜的概率为：
丙在初赛的两轮中均获胜的概率为：
∵，∴，
∴
∴甲进入决赛可能性最大．
(2)

整理得，解得或，
又∵，∴；
(3)
由（2）得，丙在初赛的两轮中均获胜的概率为：，
进入决赛的人数为可能取值为， ，，，
，
，
，
，
∴的分布列为
变式1-2．从甲地到乙地要经过个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为，，．
(1)若有一辆车独立地从甲地到乙地，求这一辆车未遇到红灯的概率；
(2)记表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量的分布列和数学期望．
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【解析】
【分析】
（1）利用相互独立事件概率计算公式，计算出所求概率.
（2）结合相互独立事件概率计算公式，计算出分布列并求得数学期望.
(1)
设“一辆车未遇到红灯”为事件，
则.
(2)
随机变量的所以可能的取值为，
则
.
.
.
随机变量的分布列：
随机变量的数学期望：.
变式1-3．对飞机进行射击，按照受损伤影响的不同，飞机的机身可分为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ三个部分.要击落飞机，必须在Ⅰ部分命中一次，或在Ⅱ部分命中两次，或在Ⅲ部分命中三次.设炮弹击落飞机时，命中Ⅰ部分的概率是，命中Ⅱ部分的概率是，命中Ⅲ部分的概率是，射击进行到击落飞机为止.假设每次射击均击中飞机，且每次射击相互独立.
(1)求恰好在第二次射击后击落飞机的概率；
(2)求击落飞机的命中次数的分布列和数学期望.
【答案】(1)；
(2)分布列见解析，.
【解析】
【分析】
(1)把恰好在第二次射击后击落飞机的事件拆成两个互斥事件的和，再利用独立事件概率公式计算作答.
(2)求出的可能值，并求出每个取值的概率，列出分布列并求出期望作答.
(1)
设恰好第二次射击后击落飞机为事件是第一次未击中Ⅰ部分，在第二次击中Ⅰ部分的事件与两次都击中Ⅱ部分的事件的和，它们互斥，
所以.
(2)
依题意，的可能取值为1，2，3，4，
的事件是射击一次击中Ⅰ部分的事件，，由(1)知，，
的事件是前两次射击击中Ⅱ部分、Ⅲ部分各一次，第三次射击击中Ⅰ部分或Ⅱ部分的事件，与前两次射击击中Ⅲ部分，
第三次射击击中Ⅰ部分或Ⅲ部分的事件的和，它们互斥，，
的事件是前三次射击击中Ⅱ部分一次，Ⅲ部分两次，第四次射击的事件，，
所以的分布列为：
的数学期望.
【点睛】
关键点睛：利用概率加法公式及乘法公式求概率，把要求概率的事件分拆成两两互斥事件的和，相互独立事件的积是解题的关键.
典例2．高三学生甲、乙为缓解紧张的学习压力，相约本星期日进行“某竞技体育项目”比赛．比赛采用三局二胜制，先胜二局者获胜．商定每局比赛(决胜局第三局除外)胜者得3分，败者得1分，决胜局胜者得2分，败者得0分．已知每局比赛甲获胜的概率为，各局比赛相互独立．
(1)求比赛结束，乙得4分的概率；
(2)设比赛结束，甲得X分，求X的概率分布与数学期望．
【答案】(1)；
(2)分布列见解析，.
【解析】
【分析】
（1）根据题意，求得得分的事件，即可求得其概率；
（2）根据题意，求得的取值，再求概率从而求得分布列，再根据分布列求得数学期望即可.
(1)
若比赛结束，乙得4分，则比赛结果是甲以获胜，
故前两局比赛，甲胜1场，败1场，最后一局比赛，甲胜.
则比赛结束，乙得4分的概率为.
(2)
若甲连胜2局结束比赛，甲得分，其概率为；
若甲连败2局结束比赛，甲得2分，其概率为；
若甲以结束比赛，甲得分，其概率为；
若乙以结束比赛，甲得4分，其概率为；
故X的分布列如下所示：
故.
变式2-1．现有甲、乙、丙三道多选题，某同学独立做这三道题，根据以往成绩，该同学多选题的得分只有2分和0分两种情况．已知该同学做甲题得2分的概率为，分别做乙、丙两题得2分的概率均为．假设该同学做完了以上三道题目，且做每题的结果相互独立．
(1)求该同学做完了以上三题恰好得2分的概率；
(2)求该同学的总得分的分布列和数学期望．
【答案】(1)
(2)分布列见解析，数学期望
【解析】
【分析】
（1）根据相互独立事件的概率公式进行求解即可；
（2）写出随机变量的所有可能取值，求出对应概率，从而可求出分布列，再根据期望公式即可求出期望.
(1)
解：记“该同学做完了以上三题恰好得2分”为事件A，“该同学做甲题得2分”为事件B，“该同学做乙题得2分”为事件C．“该同学做丙题得2分”为事件D，由题意知，
因为，
所以
；
(2)
解：根据题意，X的可能取值为0，2，4，6，
所以．
由（1）知，
，
故X的分布列为
所以．
变式2-2．某运动会中，新增加的“趣味乒乓球单打”是这届运动会的热门项目，比赛规则如下：两人对垒，开局前抽签决定由谁先发球（机会均等），此后均由每个球的赢球者发下一个球，对于每一个球，若发球者贏此球，发球者得1分，对手得0分；若对手赢得此球，发球者得0分，对手得2分.当有一人累计得分超过5分时，比赛就结束，得分高者获胜.已知在选手甲和乙的对垒中，发球一方赢得此球的概率都是0.6，各球结果相互独立.
(1)假设开局前抽签结果是甲发第一个球，求比赛出现比分的概率；
(2)已知现在比分，接下来由甲发球，两人又打了X个球后比赛结束，求X的分布列及数学期望.
【答案】(1)0.304；
(2)分布列见解析，.
【解析】
【分析】
(1)把比赛出现比分的事件拆成两个互斥的和，再分别求出每个事件的概率即可得解.
(2)求出X的所有可能值，再分析计算求出各个值的概率，列出分布列，求出期望作答.
(1)
比赛出现比分的事件A是甲发三球，前两球甲赢，第三球乙赢的事件与甲发球乙赢、乙发球甲赢的事件的和，
事件与互斥，，，
因此，，
所以比赛出现比分的概率为0.304.
(2)
的所有可能值为：2，3，4，
因比分已是，接下来由甲发球，且有一人累计得分超过5分时，比赛就结束，
的事件是甲发球乙赢，乙发球乙赢比赛结束的事件，，
的事件是以下3个互斥事件的和：甲发三球甲赢，比赛结束的事件；甲发第一球甲赢，发第二球乙赢，
乙发球比赛结束的事件；甲发第一球乙赢，乙发第二球甲赢，甲发球比赛结束的事件，
，
的事件是甲发前两球甲赢，发第三球乙赢，乙再发球比赛结束的事件，
，
所以的分布列为：
的数学期望：.
变式2-3．为进一步加强未成年人心理健康教育，如皋市教育局决定在全市深入开展“东皋大讲堂”进校园心理健康教育宣讲活动，为了缓解高三学生压力，高三年级某班级学生在开展“东皋大讲堂”过程中，同座两个学生之间进行了一个游戏，甲盒子中装有2个黑球1个白球，乙盒子中装有3个白球，现同座的两个学生相互配合，从甲、乙两个盒子中各取一个球，交换后放入另一个盒子中，重复进行n次这样的操作，记甲盒子中黑球的个数为，恰好有2个黑球的概率为，恰好有1个黑球的概率为.
(1)求第二次操作后，甲盒子中没有黑球的概率；
(2)求的概率分布和数学期望.
【答案】(1)；
(2)答案见解析，
【解析】
【分析】
（1）由题意得，然后分析第二次操作后，甲盒子中没有黑球的情况，从而求解出对应概率；（2）先计算，判断的取值为，分别计算对应的概率，列出分布列，利用期望公式求解.
(1)
由题意知，，两次后甲盒子没有黑球时，必须第一次甲盒子中取出一个黑球，第二次甲盒子（黑1白2）再取出一个黑球，乙盒子中（黑1白2）取出一个白球，则
(2)
，，由题意，的取值为，则，，
所以的分布列为
所以
【点睛】
求解分布列的问题时，一般需要先判断变量的可能取值，然后分析题目中的情况计算每个取值对应的概率，从而列出分布列，代入期望公式求解期望.
巩固练习
练习一 离散型随机变量分布列
1．暑假里大学二年级的H同学去他家附近的某个大型水果超市打工．他发现该超市每天以10元/千克的价格从中心仓库购进若干A水果，然后以15元/千克的价格出售；若有剩余，则将剩余的水果以8元/千克的价格退回中心仓库．H同学记录了打工期间A水果最近50天的日需求量（单位：千克），整理得下表：
以上表中各日需求量的频率作为各日需求量的概率，解答下面的两个问题．
(1)若超市明天购进A水果150千克，求超市明天获得利润X（单位：元）的分布列及期望；
(2)若超市明天可以购进A水果150千克或160千克，以超市明天获得利润的期望为决策依据，在150千克与160千克之中应当选择哪一个？若受市场影响，剩余的水果只能以7元/千克的价格退回水果基地，又该选哪一个？请说明理由．
【答案】(1)分布列见解析，数学期望为元
(2)超市应购进160千克，理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）求出X的可能取值及相应的概率，进而得到分布列及数学期望；（2）设该超市一天购进水果160千克，当天利润为Y元，求出Y的可能取值及相应的概率，求出数学期望，与第一问求出的期望值相比，得到结论.
(1)
若A水果日需求量为140千克，则，且，
若A水果日需求量不少于150千克，则，且，故X的分布列为：
元
(2)
设该超市一天购进水果160千克，当天利润为Y元，则Y的可能取值为140×5-20×2，150×5-10×2,160×5，即660,730,800
且，，，则，因为772>743，所以超市应购进160千克.
2．某工厂生产一种产品，由第一､第二两道工序加工而成，两道工序的加工结果相互独立，每道工序的加工结果只有A，B两个等级.两道工序的加工结果直接决定该产品的等级：两道工序的加工结果均为A级时，产品为一等品；两道工序恰有一道.工序加工结果为B级时，产品为二等品；其余均为三等品.每一道工序加工结果为A级的概率如表一所示，一件产品的利润（单位：万元）如表二所示：
表一
表二
(1)用（万元）表示一件产品的利润，求的分布列和均值；
(2)工厂对于原来的生产线进行技术升级，计划通过增加检测成本对第二工序进行改良，假如在改良过程中，每件产品检测成本增加万元（即每件产品利润相应减少万元）时，第二工序加工结果为A级的概率增加，问该改良方案对一件产品的利润的均值是否会产生影响？并说明理由.
【答案】(1)分布列答案见解析，
(2)该改良方案对一件产品的利润的均值会产生影响，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）由题意的可能取值为50，20，10，分别求出其概率得分布列，再由期望公式计算出期望；
（2）设改良后一件产品的利润为，同（1）求出的各可能取值的概率，计算出期望，由期望函数与比较可得结论．
(1)
由题意可知，的可能取值为50，20，10，
产品为一等品的概率为0.8×0.6=0.48，
产品为二等品的概率为0.8×0.4+0.2×0.6=0.44，
产品为三等品的概率为1-0.48-0.44=0.08，
所以的分布列为
.
(2)
改良方案对一件产品的利润的均值会产生影响，理由如下：
由题意可知，改良过程中，每件产品检测成本增加万元时，第二工序加工结果为级的概率增加，
设改良后一件产品的利润为，则可能的取值为，，，
所以一等品的概率为，
二等品的概率为，
三等品的概率为，
所以
，
因为在上单调递增，故当时，取到最大值为40，
又因为，
所以该改良方案对一件产品的利润的均值会产生影响.
3．2022年北京冬奥会有包括中国队在内的12支男子冰球队参加比赛，12支参赛队分为三组，每组四队，2月9号至13号将进行小组赛，小组赛采取单循环赛制，即每个小组的四支参赛队在比赛中均能相遇一次，最后按各队在比赛中的得分多少来排列名次．小组赛结果的确定规则如下：
①在常规时间里，获得最多进球的队为获胜者，获胜者得3分；
②在常规时间里，如果双方进球相等，每队各得1分．比赛继续进行，以突然死亡法（即在规定的时间内有一方进球）加时赛决出胜负，突然死亡法加时赛中获胜的队将额外获得1分；
③在突然死亡法加时赛中，如果双方都没有得分，那么进行点球赛，直至决出胜负，在点球赛中获胜的队将额外获得1分．
若在小组赛中，甲队与乙队相遇，在常规时间里甲队获胜的概率为，进球数相同的概率为；在突然死亡法加时赛中，甲队获胜的概率为，双方都没有得分的概率为；在点球赛中，甲队获胜的概率为，假设各比赛结果相互独立．
(1)在甲队与乙队的比赛中，求甲队得2分获胜的概率；
(2)在甲队与乙队的比赛中，求甲队得分的分布列及数学期望．
【答案】(1)；
(2)分布列见解析；.
【解析】
【分析】
（1）由题可得甲队得2分获胜有两种情况，甲在加时赛中获胜或甲在点球赛中获胜，分别计算概率即得；
（2）由题可得可取0,1,2,3，分别计算概率即得分布列，然后利用期望计算公式即得.
(1)
设甲在加时赛中获胜为事件A，甲在点球赛中获胜为事件B，
则，
∴甲队得2分获胜的概率为.
(2)
甲队得分可取0,1,2,3，
，
，
，
，
∴的分布列为
∴甲队得分的数学期望为.
4．为进一步完善公共出行方式，倡导“绿色出行”和“低碳生活”，某市建立了公共自行车服务系统，为了鼓励市民租用公共自行车出行，同时希望市民尽快还车，方便更多的市民使用，公共自行车按每次的租用时间进行缴费，具体缴费标准如下：①租用时间不超过1小时，免费；②超出一小时后每小时1元（不足一小时按一小时计算），一天24小时最高收费10元.某日甲、乙两人独立出行，各租用公共自行车一次，且两人租车时间都不会超过3小时，设甲、乙租用时间不超过一小时的概率分别是0.5，0.4；租用时间为1小时以上且不超过2小时的概率分别是0.2，0.4.
(1)求甲比乙付费多的概率；
(2)设甲、乙两人付费之和为随机变量，求的分布列和数学期望.
【答案】(1)0.32
(2)分布列见解析，1.6
【解析】
【分析】
（1）用合适的字母表达每个事件，并按照题意搞清楚事件之间的关系以及每个事件的概率即可;
(2)求分布列和数学期望就是要搞清楚随机变量的可能取值范围，以及每个值都是由那些事件构成的.
(1)
根据题意，记“甲付费为0元、1元、2元、”为事件，，
它们彼此互斥，且，，，
同理，记“乙付费为0元、1元、2元”为事件，，
它们彼此互斥，且，，，
由题知，事件，，与事件，，
相互独立记，甲比乙付费多为事件M，则有：
可得：
故：甲比乙付费多的概率为：0.32；
(2)
由题知，的可能取值为：0，1，2，3，4
则有：，
，
，
，
；
所以的分布列为：
的数学期望：，
故答案为：0.32，1.6.
5．随着2022年北京冬季奥运会的如火如茶的进行.2022年北京冬季奥运会吉祥物“冰墩墩”受到人们的青睐，现某特许商品专卖店每天均进货一次，卖一个吉祥物“冰墩墩”可获利50元，若供大于求，则每天剩余的吉祥物“冰墩墩”需交保管费10元/个；若供不应求，则可从其他商店调剂供应，此时调剂的每一个吉祥物“冰墩墩”该店仅获利20元．该店调查上届冬季奥运会吉祥物每天(共计20天)的需求量(单位：个)，统计数据得到下表：
以上述20天吉祥物的需求量的频率作为各需求量发生的概率．记X表示每天吉祥物“冰墩墩”的需求量．
(1)求X的分布列；
(2)若该店某一天购进164个吉祥物“冰墩墩”，则当天的平均利润为多少元．
【答案】(1)
(2)8187（元）
【解析】
【分析】
（1）可取162，163，164，165，166，求出对应概率，然后再写出分布列即可；
（2）设表示每天的利润，求出所有的取值，再根据期望公式即可得解.
(1)
解：可取162，163，164，165，166，
，
，
，
，
，
所以分布列为：
(2)
设表示每天的利润，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
所以平均利润为（元）.
6．在中国共产党的正确领导下，我国顺利实现了第一个百年奋斗目标——全面建成小康社会.某地为了巩固扶贫成果，决定继续对甲、乙两家乡镇企业进行指导.指导方式有两种，一种是精准指导，一种是综合指导.已知对甲企业采用精准指导时，投资50万元，增加100万元收入的概率为0.2，增加200万元收入的概率为0.8，采用综合指导时，投资100万元，增加200万元收入的概率为0.6，增加400万收入的概率为0.4；对乙企业采用精准指导时，投资50万元，增加100万元收入的概率为0.3，增加200万元收入的概率为0.7，采用综合指导时，投资100万元，增加200万元收入的概率为0.7，增加400万元收入的概率为0.3.指导结果在两家企业之间互不影响.
(1)若决策部门对甲企业进行精准指导、对乙企业进行综合指导，设两家企业增加的总收入为万元，求的分布列；
(2)若有150万元无息贷款可供甲、乙两家企业使用，对两家企业应分别进行哪种指导总收入最高？请说明理由.
【答案】(1)分布列见解析；
(2)对甲企业进行综合指导、对乙企业进行精准指导总收入最高，理由见解析.
【解析】
【分析】
(1)根据题意确定随机变量的所有可能取值，再求出每个取值对应事件的概率并列出分布列即可；
(2)由条件知指导方案共有三种：对两家企业均进行精准指导；对甲企业精准指导、对乙企业综合指导；对甲企业综合指导、对乙企业精准指导，然后求出每种方案增加的总收入的数学期望，比较它们大小即可.
(1)
由题意知可能取值为300，400，500，600，
则，，
，，
∴当决策部门对甲企业进行精准指导、对乙企业进行综合指导时，两家企业增加的总收入的分布列为
(2)
指导方案1：对甲、乙两家企业均进行精准指导.设两家企业增加的总收入为万元，则可能取值为200，300，400，
且，，
，(万元)；
指导方案2：对甲企业进行精准指导、对乙企业进行综合指导.
由(1)得(万元)；
指导方案3：对甲企业进行综合指导、对乙企业进行精准指导.
设两家企业增加的总收入为，则的可能取值为300，400，500，600，
且，，
，，
(万元).
∵，
∴指导方案3：对甲企业进行综合指导、对乙企业进行精准指导总收入最高.
7．2021年10月16日，神舟十三号载人飞船与天宫空间站组合体完成自主快速交会对接，航天员翟志刚、王亚平、叶光富顺利进驻天和核心舱，由此中国空间站开启了有人长期驻留的时代．为普及航天知识，某航天科技体验馆开展了一项“摸球过关”领取航天纪念品的游戏，规则如下：不透明的口袋中有3个红球，2个白球，这些球除颜色外完全相同．参与者每一轮从口袋中一次性取出3个球，将其中的红球个数记为该轮得分X，记录完得分后，将摸出的球全部放回袋中．当参与完成第n轮游戏，且其前n轮的累计得分恰好为2n时，游戏过关，可领取纪念品，同时游戏结束，否则继续参与游戏．若第3轮后仍未过关，则游戏也结束．每位参与者只能参加一次游戏．
(1)求随机变量X的分布列及数学期望；
(2)若甲参加该项游戏，求甲能够领到纪念品的概率．
【答案】(1)分布列见解析，数学期望为
(2)
【解析】
【分析】
（1）先得出随机变量X可取的，并求出相应概率，列出分布列，计算数学期望；
（2）分别求出甲取球1次后、取球2次后、取球3次后可领取纪念的概率，再相加得出甲能够领到纪念品的概率．
(1)
由题意得，随机变量X可取的值为1，2，3，
易知，，所以，
则随机变量X的分布列如下：
所以
(2)
由（1）可知，参与者每轮得1分，2分，3分的概率依次为0.3，0.6，0.1，
记参与者第i轮的得分为，则其前n轮的累计得分为，
若参与者取球1次后可领取纪念品，即参与者得2分，则；
若参与者取球2次后可领取纪念品，即参与者获得的分数之和为4分，有“”、“”的情形，
则；
若参与者取球3次后可领取纪念品，即参与者获得的分数之和为6分，
有“”、“”的情形，则；
记“参与者能够领取纪念品”为事件A，则
．
8．为庆祝中国共产党建党100周年，某单位举办了以“听党召唤，使命在肩”为主题的知识竞赛活动，经过初赛､复赛，小张和小李进入决赛，决赛试题由3道小题组成，每道小题选手答对得1分，答错得0分，假设小张答对第一､第二､第三道小题的概率依次是，，，小李答对每道小题的概率都是.且他们每道小题解答正确与否相互之间没有影响，用X表示小张在决赛中的得分，用Y表示小李在决赛中的得分.
(1)求随机变量X的分布列和数学期望E（X），并从概率与统计的角度分析小张和小李在决赛中谁的得分能力更强一些；
(2)求在事件“”发生的条件下，事件“”的概率.
【答案】(1)分布列答案见解析，数学期望：，小李的得分能力更强一些
(2)
【解析】
【分析】
（1）结合相互独立事件、独立重复试验的知识计算出的分布列以及，由此作出判断.
（2）利用条件概型概率计算公式，计算出事件“”的概率.
(1)
由题设知X的可能取值为0，1，2，3
所以；
，
，
所以随机变量X的分布列为
数学期望
而，所以，
所以，小李的得分能力更强一些.
(2)
设“”为事件A，“”为事件B，
因为；；
，
，
，
所以，所以在的条件下，的概率是.
0
50
100
150
200
0
1
2
3
P
0
1
2
3
1
2
3
4
X
2
4
6
P(X)
X
0
2
4
6
P




2
3
4
0.24
0.616
0.144
日需求量
140
150
160
170
180
190
200
频数
5
10
8
8
7
7
5
X
680
750
P
0.1
0.9
工序
第一工序
第二工序
概率
0.8
0.6
等级
一等品
二等品
三等品
利润
50
20
10
50
20
10
0.48
0.44
0.08
X
0
1
2
3
P
0
1
2
3
4
P
0.2
0.28
0.3
0.16
0.06
每天需求量
162
163
164
165
166
频数
2
4
6
5
3
162
163
164
165
166
162
163
164
165
166
300
400
500
600
0.14
0.56
0.06
0.24
X
1
2
3
P
0.3
0.6
0.1
X
0
1
2
3
P