备战2024年高考数学二轮复习专题04比较两类方法或者策略的分析问题(原卷版+解析)

这是一份备战2024年高考数学二轮复习专题04比较两类方法或者策略的分析问题(原卷版+解析)，共37页。试卷主要包含了比较比较两类方案等内容，欢迎下载使用。
常见考点
考点一 比较比较两类方案
典例1．为树立和践行“绿水青山就是金山银山”的理念，三明市某公司将于2022年3月12日开展植树活动，为提高职工的积极性，活动期间将设置抽奖环节，具体方案为：根据植树的棵数可以选择在甲箱或乙箱中摸奖，每箱内各有除颜色外完全相同的10个球，甲箱内有红、黄、黑三种颜色的球，其中a个红球、b个黄球、5个黑球（），乙箱内有6个红球、4个黄球．若在甲箱内摸球，则每次摸出一个球后放回原箱，摸得红球奖100元，摸得黄球奖50元，摸得黑球则没有奖金；若在乙箱内摸球，则每次摸出两球后放回原箱，两球均为红球奖150元，否则没有奖金．
(1)据统计，每人的植树棵数X服从正态分布N（15，25），现有1000位植树者，请估计植树的棵数X在区间（10，25）内的人数（结果四舍五入取整数）；
(2)根据植树的棵数，某职工可选择以下两种方案摸奖，方案一：三次甲箱内摸奖机会；方案二：两次乙箱内摸奖机会．请根据奖金的数学期望分析该职工如何选择摸奖方案．
附参考数据：若，则，．
变式1-1．某地区位于甲､乙两条河流的交汇处，夏季多雨，根据统计资料预测，今年汛期甲河流发生洪水的概率为，乙河流发生洪水的概率为（假设两河流发生洪水与否互不影响），今年夏季该地区某工地有许多大型设备，为保护设备，有以下种方案：方案一：不采取措施，当一条河流发生洪水时，设备将受损，损失元.当两河流同时发生洪水时，设备将受损，损失元.方案二：修建保护围墙，建设费为元，但围墙只能抵御一条河流发生的洪水，当两河流同时发生洪水时，设备将受损，损失元.方案三：修建保护大坝，建设费为元，能够抵御住两河流同时发生洪水.
（1）求今年甲､乙两河流至少有一条发生洪水的概率；
（2）从花费的角度考虑，试比较哪一种方案更好，说明理由.
变式1-2．2021年国庆期间，某电器商场为了促销，给出了两种优惠方案，顾客只能选择其中的一种，方案一：每消费满8千元，可减8百元.方案二：消费金额超过8千元（含8千元），可抽取小球三次，其规则是依次从装有2个红色小球､2个黄色小球的一号箱子，装有2个红色小球､2个黄色小球的二号箱子，装有1个红色小球､3个黄色小球的三号箱子各抽一个小球（这些小球除颜色外完全相同），其优惠情况为：若抽出3个红色小球则打6折；若抽出2个红色小球则打7折；若抽出1个红色小球则打8折；若没有抽出红色小球则不打折.
(1)若有两名顾客恰好消费8千元，他们都选中第二方案，求至少有一名顾客比选择方案一更优惠的概率；
(2)若你朋友在该商场消费了1万元，请用所学知识帮助你朋友分析一下应选择哪种付款方案.
变式1-3．为庆祝元旦，班委会决定组织游戏，主持人准备好甲､乙两个袋子.甲袋中有3个白球，2个黑球；乙袋中有4个白球，4个黑球.参加游戏的同学每抽出1个白球须做3个俯卧撑，每抽出1个黑球，须做6个俯卧撑
方案①：参加游戏的同学从甲､乙两个袋子中各随机抽出1个球；
方案②：主持人随机将甲袋中的2个球放入乙袋，然后参加游戏的同学从乙袋中随机抽出1个球；
方案③：主持人随机将乙袋中的2个球放入甲袋，然后参加游戏的同学从甲袋中随机抽出1个球.
(1)若同学小北选择方案①，求小北做6个俯卧撑的概率；
(2)若同学小北选择方案，设小北做俯卧撑的个数为，求的分布列；
(3)如果你可以选择按方案②或方案③参加游戏，且希望少做俯卧撑，那么你应该选择方案②还是方案③，还是两个方案都一样？（直接写出结论）
典例2．如图所示，用4个电子元件组成一个电路系统，有两种连接方案可供选择，当且仅当从A到B的电路为通路状态时，系统正常工作，系统正常工作的概率称为该系统的可靠性.这4个电子元件中，每个元件正常工作的概率均为，且能否正常工作相互独立，当某元件不能正常工作时，该元件在电路中将形成断路.
(1)求方案①中从A到C的电路为通路的概率.（用p表示）；
(2)分别求出按方案①和方案②建立的电路系统正常工作的概率、（用p表示）；比较与的大小，并说明哪种连接方案更稳定可靠.
变式2-1．某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案.方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过.方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过.假设某应聘者这三门指定课程考试及格的概率分别是a，b，c，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响.
(1)若应聘者这三门指定课程考试及格的概率都为0.6，则用方案一和方案二时考试通过的概率分别为多少？
(2)如果你是应聘者，你会选择哪种方案？说明理由.
变式2-2．某网络科技公司在年终总结大会上，为增添喜悦､和谐的气氛，设计了闯关游戏这一环节，闯关游戏必须闯过若干关口才能成功.其中第一关是答题，分别设置“文史常识题”“生活常识题”“影视艺术常识题”这道题目，规定有两种答题方案：
方案一：答题道，至少有两道答对；
方案二：在这道题目中，随机选取道，这道都答对.
方案一和方案二中只要完成一个，就能通过第一关.假设程序员甲和程序员乙答对这3道题中每一道题的概率都是，且这道题是否答对相互之间没有影响.程序员甲选择了方案一，程序员乙选择了方案二.
(1)求甲和乙各自通过第一关的概率；
(2)设甲和乙中通过第一关的人数为，是否存在唯一的的值，使得？并说明理由.
变式2-3．为了推进产业转型升级，加强自主创新，发展高端创造、智能制造，把我国制造业和实体经济搞上去，推动我国经济由量大转向质强，许多企业致力于提升信息化管理水平，一些中小型工厂的规模不大，在选择管理软件时都要进行调查统计．某一小型工厂自己没有管理软件的高级技术员，欲购买管理软件服务公司的管理软件，并让其提供服务．某一管理软件服务公司有如下两种收费方案：
方案一：管理软件服务公司每月收取工厂4800元，对于提供的软件服务每次另外收费200元；
方案二：管理软件服务公司每月收取工厂7600元，若每月提供的软件服务不超过15次，不另外收费；若超过15次，超过部分的软件服务每次另外收费500元．
(1)设管理软件服务公司月收费为y元，每月提供的软件服务的次数为x，试写出两种方案中y与x的函数关系式；
(2)该工厂对该管理软件服务公司为另一个工厂过去20个月提供的软件服务的次数进行了统计，得到如图所示的条形统计图．依据条形统计图中的数据，把频率视为概率，从节约成本的角度考虑，该工厂选择哪种方案更合适，请说明理由．
巩固练习
练习一 比较比较两类方案
1．某冰糖橙是甜橙的一种，以味甜皮薄著称.该橙按照等级可分为四类：珍品、特级、优级和一级.某采购商打算订购一批橙子销往省外，并从采购的这批橙子中随机抽取100箱（每箱有5kg），利用橙子的等级分类标准得到的数据如下表：
(1)若将频率作为概率，从这100箱橙子中有放回地随机抽取4箱，求恰好有2箱是一级品的概率；
(2)利用样本估计总体，果园老板提出两种方案供采购商参考：方案一：不分等级出售，价格为27元/kg；方案二：分等级出售，橙子价格如下表.
从采购商的角度考虑，应该采用哪种方案？
(3)用分层随机抽样的方法从这100箱橙子中抽取10箱，再从抽取的10箱中随机抽取3箱，X表示抽取的珍品的箱数，求X的分布列及均值.
2．某健身机构统计了去年该机构所有消费者的消费金额（单位：元），如图所示：
(1)将去年的消费金额超过3200元的消费者称为“健身达人”，现从所有“健身达人”中随机抽取2人，求至少有1位消费者，其去年的消费金额超过4000元的概率；
(2)针对这些消费者，该健身机构今年欲实施入会制．规定：消费金额为2000元、2700元和3200元的消费者分别为普通会员、银卡会员和金卡会员．预计去年消费金额在、、内的消费者今年都将会分别申请办理普通会员、银卡会员和金卡会员．消费者在申请办理会员时，需一次性预先缴清相应等级的消费金额．该健身机构在今年年底将针对这些消费者举办消费返利活动，预设有如下两种方案：方案1：按分层抽样从普通会员，银卡会员，金卡会员中总共抽取25位“幸运之星”给予奖励．其中，普通会员、银卡会员和金卡会员中的“幸运之星”每人分别奖励500元、600元和800元．方案2：每位会员均可参加摸奖游戏，游戏规则如下：从一个装有3个白球、2个红球（球只有颜色不同）的箱子中，有放回地摸三次球，每次只能摸一个球．若摸到红球的总数为2，则可获得200元奖励金；若摸到红球的总数为3，则可获得300元奖励金；其他情况不给予奖励．如果每位普通会员均可参加1次摸奖游戏；每位银卡会员均可参加2次摸奖游戏；每位金卡会员均可参加3次摸奖游戏（每次摸奖的结果相互独立）．以方案的奖励金的数学期望为依据，请你预测哪一种方案投资较少？并说明理由．
3．某保险公司针对一个拥有20000人的企业推出一款意外险产品，每位职工每年只要交少量保费，发生意外后可一次性获得若干赔偿金．保险公司把企业的所有岗位分为A、B、C三类工种，从事三类工种的人数分布比例如图所示，根据历史数据统计出三类工种的赔付频率如下表所示（并以此估计赔付概率）．
A、B、C工种职工每人每年的保费分别为a元，a元，b元，出险后获得的赔偿金额分别为100万元，200万元，50万元，保险公司在开展此项业务过程中的固定支出为每年10万元．
(1)若保险公司要求利润的期望不低于保费的20%，试确定保费a，b所要满足的条件．
(2)现有如下两个方案供企业选择：方案一、企业不与保险公司合作，企业自行拿出与保险公司赔付金额相同的赔偿金付给出险职工；方案二、企业与保险公司合作，企业负责职工保费的60%，职工个人负责保费的40%，出险后赔偿金由保险公司赔付．若企业选择方案二的支出期望（不包括职工支出）低于选择方案一的，求a，b所要满足的条件，并判断企业是否与保险公司合作（若企业选择方案二的支出期望低于方案一，且与（1）中保险公司所提条件不矛盾，则企业与保险公司合作）．
4．某夜市街上有“十元套圈”小游戏，游戏规则为每个顾客支付十元便可获得3个套圈，顾客使用套圈所套得的奖品，即归顾客所有．奖品分别摆放在1，2，3三个相互间隔的区域中，且1，2，3三个区域的奖品价值分别为5元，15元，20元，每个套圈只能使用一次，每次至多能套中一个．小张付十元参与这个游戏，假设他每次在1，2，3三个区域套中奖品的概率分别为0.6，0.2，0.1，且每次的结果互不影响．
(1)求小张分别在1，2，3三个区域各套一次后，所获奖品不超过1件的概率．
(2)若分别在1，2，3三个区域各套一次为方案甲，所获奖品的总价值为X元；在2区域连套三次为方案乙，所获奖品的总价值为Y元．以三次所套奖品总价值的数学期望为依据，小张应该选择方案甲还是方案乙？
5．新冠疫情在西方国家大流行，国际卫生组织对某国家进行新型冠状病毒感染率抽样调查．在某地抽取n人，每人一份血样，共份，为快速有效地检验出感染过新型冠状病毒者，下面给出两种方案：
方案甲：逐份检验，需要检验n次；
方案乙：混合检验，把受检验者的血样分组，假设某组有份，分别从k份血样中取出一部分血液混合在一起检验，若检验结果为阴性，则说明这k个人全部为阴性，因而这k个人的血样只要检验这一次就够了；若检验结果为阳性，为了明确这k个人中究竟哪些人感染过新型冠状病毒，就要对这k个人的血样再逐份检验，因此这k个人的总检验次数就为．
假设在接受检验的人中，每个人血样检验结果是阳性还是阴性是相互独立的，且每个人血样的检验结果是阳性的概率为．
(1)若，，用甲方案进行检验，求5人中恰有2人感染过新型冠状病毒的概率；
(2)记为用方案乙对k个人的血样总共需要检验的次数．
①当，时，求；
②从统计学的角度分析，p在什么范围内取值，用方案乙能减少总检验次数？（参考数据：）
6．某县种植的脆红李在2021年获得大丰收，依据扶贫政策，所有脆红李由经销商统一收购.为了更好的实现效益，质监部门从今年收获的脆红李中随机选取100千克，进行质量检测，根据检测结果制成如图所示的频率分布直方图.下表是脆红李的分级标准，其中一级品､二级品统称为优质品.
经销商与某农户签订了脆红李收购协议，规定如下：从一箱脆红李中任取4个进行检测，若4个均为优质品，则该箱脆红李定为A类；若4个中仅有3个优质品，则再从该箱中任意取出1个，若这一个为优质品，则该箱脆红李也定为A类；若4个中至多有一个优质品，则该箱脆红李定为C类；其他情况均定为B类.已知每箱脆红李重量为10千克，A类､B类､C类的脆红李价格分别为每千克10元､8元､6元.现有两种装箱方案：方案一：将脆红李采用随机混装的方式装箱；方案二：将脆红李按一､二､三､四等级分别装箱，每箱的分拣成本为1元.以频率代替概率解决下面的问题.
(1)如果该农户采用方案一装箱，求一箱脆红李被定为A类的概率；
(2)根据统计学知识判断，该农户采用哪种方案装箱收入更多，并说明理由.
7．在实验室中，研究某种动物是否患有某种传染疾病，需要对其血液进行检验．现有份血液样本，有以下两种检验方式：一是逐份检验，则需要检验n次；二是混合检验，将其中k（且）份血液样本分别取样混合在一起检验，如果检验结果为阴性，这k份的血液全为阴性，因而这k份血液样本只要检验一次就够了；如果检验结果为阳性，为了明确这k份究竟哪些为阳性，就需要对它们再次取样逐份检验，那么这k份血液的检验次数共为次．假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的．且每份样本是阳性结果的概率为．
(1)假设有5份血液样本，其中只有2份血液样本为阳性，若采用逐份检验方式，求恰好经过3次检验就能把阳性样本全部检测出来的概率；
(2)假设有4份血液样本，现有以下两种方案：
方案一：4个样本混合在一起检验；方案二：4个样本平均分为两组，分别混合在一起检验．
若检验次数的期望值越小，则方案越优．现将该4份血液样本进行检验，试比较以上两个方案中哪个更优？
8．小明在某物流派送公司找到了一份派送员的工作，该公司给出了两种日薪薪酬方案.甲方案：底薪100元，每派送一单奖励1元；乙方案：底薪140元，每日前54单没有奖励，超过54单的部分每单奖励20元.
(1)请分别求出甲、乙两种薪酬方案中日薪y（单位：元）与送货单数n的函数关系式；
(2)根据该公司所有派送员100天的派送记录，发现派送员的日平均派送单数满足以下条件：在这100天中的派送量指标满足如图所示的直方图，其中当某天的派送量指标在时，日平均派送量为单.若将频率视为概率，回答下列问题：
①估计这100天中的派送量指标的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表) ；
②根据以上数据，设每名派送员的日薪为（单位：元），试分别求出甲、乙两种方案的日薪的分布列及数学期望. 请利用数学期望帮助小明分析他选择哪种薪酬方案比较合适？并说明你的理由.
等级
珍品
特级
优级
一级
箱数
40
30
10
20
等级
珍品
特级
优级
一级
价格/（元∕kg）
36
30
24
18
工种类别
A
B
C
赔付频率
等级
四级品
三级品
二级品
一级品
脆红李横径/mm
第四篇 概率与统计
专题04 比较两类方法或者策略的分析问题
常见考点
考点一 比较比较两类方案
典例1．为树立和践行“绿水青山就是金山银山”的理念，三明市某公司将于2022年3月12日开展植树活动，为提高职工的积极性，活动期间将设置抽奖环节，具体方案为：根据植树的棵数可以选择在甲箱或乙箱中摸奖，每箱内各有除颜色外完全相同的10个球，甲箱内有红、黄、黑三种颜色的球，其中a个红球、b个黄球、5个黑球（），乙箱内有6个红球、4个黄球．若在甲箱内摸球，则每次摸出一个球后放回原箱，摸得红球奖100元，摸得黄球奖50元，摸得黑球则没有奖金；若在乙箱内摸球，则每次摸出两球后放回原箱，两球均为红球奖150元，否则没有奖金．
(1)据统计，每人的植树棵数X服从正态分布N（15，25），现有1000位植树者，请估计植树的棵数X在区间（10，25）内的人数（结果四舍五入取整数）；
(2)根据植树的棵数，某职工可选择以下两种方案摸奖，方案一：三次甲箱内摸奖机会；方案二：两次乙箱内摸奖机会．请根据奖金的数学期望分析该职工如何选择摸奖方案．
附参考数据：若，则，．
【答案】(1)819名；
(2)答案见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据题意，先通过正态分布求出1000位植树者中植树的棵数在（15，25）内的概率，进而求出估计的人数；
（2）根据题意，先求出两种方案摸奖所得奖金的期望，进而比较两个方案奖金期望的大小，然后选择较大的期望即可.
(1)
由题知，，，所以
，所以1000位植树者中植树的棵数在（15，25）内的人数估计为人.
(2)
甲箱内一次摸奖，奖金的所有可能值为0，50，100，
且，，，，
则，
所以甲箱中三次摸奖所得奖金的期望为，.
乙箱内一次摸奖，奖金的所有可能值为0，150，
且，
所以乙箱中两次摸奖所得奖金的期望为．
所以，当时，，建议该职工选择方案二；
当时，，建议该职工选择方案一；
当时，，建议该职工选择方案一；
当时，，建议该职工选择方案一.
变式1-1．某地区位于甲､乙两条河流的交汇处，夏季多雨，根据统计资料预测，今年汛期甲河流发生洪水的概率为，乙河流发生洪水的概率为（假设两河流发生洪水与否互不影响），今年夏季该地区某工地有许多大型设备，为保护设备，有以下种方案：方案一：不采取措施，当一条河流发生洪水时，设备将受损，损失元.当两河流同时发生洪水时，设备将受损，损失元.方案二：修建保护围墙，建设费为元，但围墙只能抵御一条河流发生的洪水，当两河流同时发生洪水时，设备将受损，损失元.方案三：修建保护大坝，建设费为元，能够抵御住两河流同时发生洪水.
（1）求今年甲､乙两河流至少有一条发生洪水的概率；
（2）从花费的角度考虑，试比较哪一种方案更好，说明理由.
【答案】（1）；（2）方案二最好，理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）先计算甲、乙两条河流均不发生洪水的概率，再利用对立事件的概率公式即可求解；
（2）设损失费为，分别求出三种方案中的，最小的方案最好.
【详解】
（1）由题意，甲河流发生洪水的概率为，乙河流发生洪水的概率为，
则甲､乙两条河流均不发生洪水的概率为，
所以今年甲､乙两河流至少有一条发生洪水的概率为；
（2）设损失费为.
方案一：的可能取化为，，.
，
，
，
所以元；
方案二：建围墙，需要花费元，但围墙只能抵御一条河流发生的洪水，
当两河流同时发生洪水时，设备将受损，损失元，
两条河流都发生洪水的概率，
所以该方案中元；
方案三：修建保护大坝，建设费为元，设备不会受损，方案中的花费为元，
因为方案二中损失费用的期望即平均费用最少，所以方案二最好.
变式1-2．2021年国庆期间，某电器商场为了促销，给出了两种优惠方案，顾客只能选择其中的一种，方案一：每消费满8千元，可减8百元.方案二：消费金额超过8千元（含8千元），可抽取小球三次，其规则是依次从装有2个红色小球､2个黄色小球的一号箱子，装有2个红色小球､2个黄色小球的二号箱子，装有1个红色小球､3个黄色小球的三号箱子各抽一个小球（这些小球除颜色外完全相同），其优惠情况为：若抽出3个红色小球则打6折；若抽出2个红色小球则打7折；若抽出1个红色小球则打8折；若没有抽出红色小球则不打折.
(1)若有两名顾客恰好消费8千元，他们都选中第二方案，求至少有一名顾客比选择方案一更优惠的概率；
(2)若你朋友在该商场消费了1万元，请用所学知识帮助你朋友分析一下应选择哪种付款方案.
【答案】(1)
(2)选择方案二更划算
【解析】
【分析】
（1）要使方案二比方案一优惠，则需要抽出至少一个红球，求出没有抽出红色小球的概率，再根据对立事件的概率公式即可得出答案；
（2）若选择方案一，则需付款（元），若选择方案二，设付款金额为元，则可取6000，7000，8000，10000，求出对应概率，从而可求得的期望，在比较的期望与9200的大小即可得出结论.
(1)
解：根据题意得要使方案二比方案一优惠，则需要抽出至少一个红球，
设没有抽出红色小球为事件，
则，
所以所求概率；
(2)
解：若选择方案一，则需付款（元），
若选择方案二，设付款金额为元，
则可取6000，7000，8000，10000，
，
，
，
，
故的分布列为
所以（元），
因为，
所以选择方案二更划算.
变式1-3．为庆祝元旦，班委会决定组织游戏，主持人准备好甲､乙两个袋子.甲袋中有3个白球，2个黑球；乙袋中有4个白球，4个黑球.参加游戏的同学每抽出1个白球须做3个俯卧撑，每抽出1个黑球，须做6个俯卧撑
方案①：参加游戏的同学从甲､乙两个袋子中各随机抽出1个球；
方案②：主持人随机将甲袋中的2个球放入乙袋，然后参加游戏的同学从乙袋中随机抽出1个球；
方案③：主持人随机将乙袋中的2个球放入甲袋，然后参加游戏的同学从甲袋中随机抽出1个球.
(1)若同学小北选择方案①，求小北做6个俯卧撑的概率；
(2)若同学小北选择方案，设小北做俯卧撑的个数为，求的分布列；
(3)如果你可以选择按方案②或方案③参加游戏，且希望少做俯卧撑，那么你应该选择方案②还是方案③，还是两个方案都一样？（直接写出结论）
【答案】(1)；
(2)分布列见解析；
(3)方案③.
【解析】
【分析】
(1)根据条件结合独立事件的乘法公式求出小北每个袋各抽一个白球的概率即可.
(2)先求出从甲袋分别取2白球、1白1黑、2黑球的事件的概率，再求出的可能值，并求出对应的概率即可作答.
(3)同(2)的方法，求出做3个俯卧撑的概率，再比对即可作答.
(1)
按方案①，小北做6个俯卧撑的事件是从甲、乙两袋中各抽出1个白球的事件，而每个袋中抽球是相互独立的，
所以小北做6个俯卧撑的概率.
(2)
从甲袋中任取2个球有三种情况，当选的2个球为白球时的概率为：，
当选的2个球为1白1黑的两球时的概率为：，当选的2个球为黑球时的概率为：，
而的可能值为3，6，
，，
所以的分布列为：
(3)
从乙袋中任取2个球有三种情况，当选的2个球为白球时的概率为：，
当选的2个球为1白1黑的两球时的概率为：，当选的2个球为黑球时的概率为：，
小北抽出白球的概率为：，显然，
所以应该方案③.
典例2．如图所示，用4个电子元件组成一个电路系统，有两种连接方案可供选择，当且仅当从A到B的电路为通路状态时，系统正常工作，系统正常工作的概率称为该系统的可靠性.这4个电子元件中，每个元件正常工作的概率均为，且能否正常工作相互独立，当某元件不能正常工作时，该元件在电路中将形成断路.
(1)求方案①中从A到C的电路为通路的概率.（用p表示）；
(2)分别求出按方案①和方案②建立的电路系统正常工作的概率、（用p表示）；比较与的大小，并说明哪种连接方案更稳定可靠.
【答案】(1)；
(2)，；，按方案①的连接方案更稳定可靠.
【解析】
【分析】
(1)根据给定条件利用对立事件和相互独立事件的概率公式列式计算作答.
(2)利用对立事件和相互独立事件的概率公式列式计算出、，再作差比较大小作答.
(1)
方案①中，从A到C的电路为通路即是两个电子元件至少一个正常工作，
当电子元件都不正常时，即从A到C的电路不通的概率为，
所以从A到C的电路为通路的概率.
(2)
方案①中，由(1)知，从C到B的电路为通路的概率为，
从A到B的电路系统正常工作必须是从A到C的电路和从C到B的电路都为通路，
于是得，
方案②中，每一个支路中的两个电子元件都正常工作，该支路即为通路，其概率为，
由(1)知，从A到B的电路系统正常工作的概率为，
而，则，即，
所以按方案①的连接方案更稳定可靠.
变式2-1．某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案.方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过.方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过.假设某应聘者这三门指定课程考试及格的概率分别是a，b，c，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响.
(1)若应聘者这三门指定课程考试及格的概率都为0.6，则用方案一和方案二时考试通过的概率分别为多少？
(2)如果你是应聘者，你会选择哪种方案？说明理由.
【答案】(1)选择方案一的概率为0.648，选择方案二的概率为0.36；
(2)选择方案一，具体见解析.
【解析】
【分析】
（1）若选方案一，根据独立事件求概率的方法即可求出答案；若选方案二，先求出三门课程选则某两门课程的概率，进而根据独立事件求概率的方法求出答案；
（2）分别算出选择两种方案的概率，进而通过作差法比较大小，进而求得答案.
(1)
若选方案一：考试通过的概率，若选择方案二：三门课程选择某两门课程的概率为，则考试通过的概率.
(2)
选择方案一的概率，
选择方案二的概率，
因为，所以，故选择方案一.
变式2-2．某网络科技公司在年终总结大会上，为增添喜悦､和谐的气氛，设计了闯关游戏这一环节，闯关游戏必须闯过若干关口才能成功.其中第一关是答题，分别设置“文史常识题”“生活常识题”“影视艺术常识题”这道题目，规定有两种答题方案：
方案一：答题道，至少有两道答对；
方案二：在这道题目中，随机选取道，这道都答对.
方案一和方案二中只要完成一个，就能通过第一关.假设程序员甲和程序员乙答对这3道题中每一道题的概率都是，且这道题是否答对相互之间没有影响.程序员甲选择了方案一，程序员乙选择了方案二.
(1)求甲和乙各自通过第一关的概率；
(2)设甲和乙中通过第一关的人数为，是否存在唯一的的值，使得？并说明理由.
【答案】(1)甲通过第一关的概率为，乙通过第一关的概率为；
(2)存在，理由见解析.
【解析】
【分析】
设答对题目的个数为，由题意，得，进而可直接求出甲和乙各自通过第一关的概率；
的可能取值为，，，并写出相应概率及期望，结合导函数研究单调性，进而判断出存在唯一的的值，使得.
(1)
解：设答对题目的个数为，由题意，得.
甲通过第一关的概率为；
乙通过第一关的概率为.
(2)
的可能取值为，，，
则，
，
，
所以
.
设，则，
从而当时，为增函数，又，，
所以存在唯一的的值，使得，即.
变式2-3．为了推进产业转型升级，加强自主创新，发展高端创造、智能制造，把我国制造业和实体经济搞上去，推动我国经济由量大转向质强，许多企业致力于提升信息化管理水平，一些中小型工厂的规模不大，在选择管理软件时都要进行调查统计．某一小型工厂自己没有管理软件的高级技术员，欲购买管理软件服务公司的管理软件，并让其提供服务．某一管理软件服务公司有如下两种收费方案：
方案一：管理软件服务公司每月收取工厂4800元，对于提供的软件服务每次另外收费200元；
方案二：管理软件服务公司每月收取工厂7600元，若每月提供的软件服务不超过15次，不另外收费；若超过15次，超过部分的软件服务每次另外收费500元．
(1)设管理软件服务公司月收费为y元，每月提供的软件服务的次数为x，试写出两种方案中y与x的函数关系式；
(2)该工厂对该管理软件服务公司为另一个工厂过去20个月提供的软件服务的次数进行了统计，得到如图所示的条形统计图．依据条形统计图中的数据，把频率视为概率，从节约成本的角度考虑，该工厂选择哪种方案更合适，请说明理由．
【答案】(1)方案一：，方案二：
(2)从节约成本的角度考虑，该工厂选择方案一更合适，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）根据题设直接写出方案一、二的函数解析式即可.
（2）由条形图分别确定方案一、二对应月收费为、的可能值，求出各可能值的概率，并得到分布列，进而求、，比较它们的大小即可确定合适方案.
(1)
由题意知：方案一中管理软件服务公司的月收费y与x的函数关系式为，
方案二中管理软件服务公司的月收费y与x的函数关系式为；
(2)
对于方案一，设管理软件服务公司的月收费为元，由条形统计图可得的取值为7400，7500，7800，8000，8200；
，，，，；
∴的分布列为
故，
对于方案二，设管理软件服务公司的月收费为元，由条形统计图可得的取值为7600，8100，8600；
，，；
∴的分布列为
故，
综上，，从节约成本的角度考虑，该工厂选择方案一更合适．
巩固练习
练习一 比较比较两类方案
1．某冰糖橙是甜橙的一种，以味甜皮薄著称.该橙按照等级可分为四类：珍品、特级、优级和一级.某采购商打算订购一批橙子销往省外，并从采购的这批橙子中随机抽取100箱（每箱有5kg），利用橙子的等级分类标准得到的数据如下表：
(1)若将频率作为概率，从这100箱橙子中有放回地随机抽取4箱，求恰好有2箱是一级品的概率；
(2)利用样本估计总体，果园老板提出两种方案供采购商参考：方案一：不分等级出售，价格为27元/kg；方案二：分等级出售，橙子价格如下表.
从采购商的角度考虑，应该采用哪种方案？
(3)用分层随机抽样的方法从这100箱橙子中抽取10箱，再从抽取的10箱中随机抽取3箱，X表示抽取的珍品的箱数，求X的分布列及均值.
【答案】(1)
(2)方案一
(3)分布列见解析，
【解析】
【分析】
（1）根据独立重复试验概率计算公式，计算出所求概率.
（2）求得新方案采购价格的期望值，由此作出判断.
（3）利用超几何分布的知识计算出分布列并求得.
(1)
设“从这100箱橙子中随机抽取1箱，抽到一级品”为事件A，则，
现有放回地随机抽取4箱，设抽到一级品的箱数为，则，
所以恰好有2箱是一级品的概率为.
(2)
设方案二中每千克橙子的价格为元，
则，
因为，所以从采购商的角度考虑应该采用方案一.
(3)
用分层随机抽样的方法从这100箱橙子中抽取10箱，其中珍品4箱，非珍品6箱，
再从中随机抽取3箱，则珍品的箱数X服从超几何分布，其中，，，
，，，.
X的分布列为：
.
2．某健身机构统计了去年该机构所有消费者的消费金额（单位：元），如图所示：
(1)将去年的消费金额超过3200元的消费者称为“健身达人”，现从所有“健身达人”中随机抽取2人，求至少有1位消费者，其去年的消费金额超过4000元的概率；
(2)针对这些消费者，该健身机构今年欲实施入会制．规定：消费金额为2000元、2700元和3200元的消费者分别为普通会员、银卡会员和金卡会员．预计去年消费金额在、、内的消费者今年都将会分别申请办理普通会员、银卡会员和金卡会员．消费者在申请办理会员时，需一次性预先缴清相应等级的消费金额．该健身机构在今年年底将针对这些消费者举办消费返利活动，预设有如下两种方案：方案1：按分层抽样从普通会员，银卡会员，金卡会员中总共抽取25位“幸运之星”给予奖励．其中，普通会员、银卡会员和金卡会员中的“幸运之星”每人分别奖励500元、600元和800元．方案2：每位会员均可参加摸奖游戏，游戏规则如下：从一个装有3个白球、2个红球（球只有颜色不同）的箱子中，有放回地摸三次球，每次只能摸一个球．若摸到红球的总数为2，则可获得200元奖励金；若摸到红球的总数为3，则可获得300元奖励金；其他情况不给予奖励．如果每位普通会员均可参加1次摸奖游戏；每位银卡会员均可参加2次摸奖游戏；每位金卡会员均可参加3次摸奖游戏（每次摸奖的结果相互独立）．以方案的奖励金的数学期望为依据，请你预测哪一种方案投资较少？并说明理由．
【答案】(1)
(2)方案2投资较少，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）由已知图中数据可得“健身达人”的人数和消费额超过4000元的人数，分别计算从所有“健身达人”中抽取2人的方法数，和至少有1位消费者，其去年的消费金额超过4000元的方法数，根据古典概型的概率公式，求得答案;
（2）利用分层抽样的比例确定各种会员的人数，即可以计算出方案1的投资额；再根据方案2，利用二项分布的概率公式，计算其投资额，比较即可得答案.
(1)
记“在抽取的2人中至少有1位消费者在去年的消费超过4000元”为事件A．
由图可知，去年消费金额在内的有8人，在内的有4人，
消费金额超过3200元的“健身达人”共有（人），
从这12人中抽取2人，共有种不同方法，
其中抽取的2人中至少含有1位消费者在去年的消费超过4000元，共有种不同方法．
所以；
(2)
方案1按分层抽样从普通会员，银卡会员，金卡会员中总共抽取25位“幸运之星”，
则“幸运之星”中的普通会员、银卡会员、金卡会员的人数分别为
，，，
按照方案1奖励的总金额为
（元）．
方案2设表示参加一次摸奖游戏所获得的奖励金，
则的可能取值为0，200，300．
由题意，每摸球1次，摸到红球的概率为，
所以，
，
．
所以的分布列为：
数学期望为（元），
按照方案2奖励的总金额为
（元），
因为由，所以施行方案2投资较少．
3．某保险公司针对一个拥有20000人的企业推出一款意外险产品，每位职工每年只要交少量保费，发生意外后可一次性获得若干赔偿金．保险公司把企业的所有岗位分为A、B、C三类工种，从事三类工种的人数分布比例如图所示，根据历史数据统计出三类工种的赔付频率如下表所示（并以此估计赔付概率）．
A、B、C工种职工每人每年的保费分别为a元，a元，b元，出险后获得的赔偿金额分别为100万元，200万元，50万元，保险公司在开展此项业务过程中的固定支出为每年10万元．
(1)若保险公司要求利润的期望不低于保费的20%，试确定保费a，b所要满足的条件．
(2)现有如下两个方案供企业选择：方案一、企业不与保险公司合作，企业自行拿出与保险公司赔付金额相同的赔偿金付给出险职工；方案二、企业与保险公司合作，企业负责职工保费的60%，职工个人负责保费的40%，出险后赔偿金由保险公司赔付．若企业选择方案二的支出期望（不包括职工支出）低于选择方案一的，求a，b所要满足的条件，并判断企业是否与保险公司合作（若企业选择方案二的支出期望低于方案一，且与（1）中保险公司所提条件不矛盾，则企业与保险公司合作）．
【答案】(1)
(2)企业有可能与保险公司合作
【解析】
【分析】
（1）设工种为职工的每份保单保险公司的收益分别为随机变量，求出随机变量的分布列，得出期望，然后计算保险公司收入，由保险公司要求利润的期望不低于保费的20%得结论；
（2）求出企业不与保险公司合作及企业与保险公司合作的赔偿金期望，由要求得出关系，与（1）比较可得．
(1)
设工种为职工的每份保单保险公司的收益分别为随机变量，则随机变量的分布列如下：
，
，
，
由题意
，
化简得．
所以每张保单的保费需要满足；
(2)
若企业不与保险公司合作，则安全支出即赔偿金的期望值为
，
若企业与保险公司合作，则安全支出即赔偿金的期望值为
，
由，得，结果与（1）不冲突，所以企业有可能与保险公司合作．
4．某夜市街上有“十元套圈”小游戏，游戏规则为每个顾客支付十元便可获得3个套圈，顾客使用套圈所套得的奖品，即归顾客所有．奖品分别摆放在1，2，3三个相互间隔的区域中，且1，2，3三个区域的奖品价值分别为5元，15元，20元，每个套圈只能使用一次，每次至多能套中一个．小张付十元参与这个游戏，假设他每次在1，2，3三个区域套中奖品的概率分别为0.6，0.2，0.1，且每次的结果互不影响．
(1)求小张分别在1，2，3三个区域各套一次后，所获奖品不超过1件的概率．
(2)若分别在1，2，3三个区域各套一次为方案甲，所获奖品的总价值为X元；在2区域连套三次为方案乙，所获奖品的总价值为Y元．以三次所套奖品总价值的数学期望为依据，小张应该选择方案甲还是方案乙？
【答案】(1)
(2)小张应该选择方案乙
【解析】
【分析】
（1）利用独立事件的乘法公式代入计算；（2）列出随机变量的分布列，计算方案甲的期望，由二项分布期望公式代入计算方案乙的期望，再比较大小可得.
(1)
记该顾客分别在1，2，3三个区域套一次便能套中奖品为事件A，B，C，
则，，，，，．
因为每次的结果互不影响，所以该顾客分别在1，2，3三个区域各套一次后，所获奖品不超过1件的概率．
(2)
选择方案甲：X可能的取值为0，5，15，20，25，35，40，
，
，
，
，
，
，
，
．
若小张选择方案乙，设他所获奖品的总件数为Z，则，
，，，
因为，所以小张应该选择方案乙．
【点睛】
一般涉及随机变量分布列的计算，需要先判断随机变量的可能取值，再分别计算每个取值对应的概率，从而列出分布列，计算期望，如果是特殊分布，需要区分清楚是超几何分布还是二项分布，代入对应公式求解.
5．新冠疫情在西方国家大流行，国际卫生组织对某国家进行新型冠状病毒感染率抽样调查．在某地抽取n人，每人一份血样，共份，为快速有效地检验出感染过新型冠状病毒者，下面给出两种方案：
方案甲：逐份检验，需要检验n次；
方案乙：混合检验，把受检验者的血样分组，假设某组有份，分别从k份血样中取出一部分血液混合在一起检验，若检验结果为阴性，则说明这k个人全部为阴性，因而这k个人的血样只要检验这一次就够了；若检验结果为阳性，为了明确这k个人中究竟哪些人感染过新型冠状病毒，就要对这k个人的血样再逐份检验，因此这k个人的总检验次数就为．
假设在接受检验的人中，每个人血样检验结果是阳性还是阴性是相互独立的，且每个人血样的检验结果是阳性的概率为．
(1)若，，用甲方案进行检验，求5人中恰有2人感染过新型冠状病毒的概率；
(2)记为用方案乙对k个人的血样总共需要检验的次数．
①当，时，求；
②从统计学的角度分析，p在什么范围内取值，用方案乙能减少总检验次数？（参考数据：）
【答案】(1)
(2)①②
【解析】
【分析】
（1）利用每个人的血样检验结果的独立性解题.
（2）分别计算出总检验次数为1与时的概率，即可列出分布列，进而求得；如果用方案乙能减少总检验次数，则，化简后即可求解.
(1)
对5个人的血样进行检验，且每个人的血样是相互独立的，设事件A为“5个人的血样中恰有2个人的检验结果为阳性”，则
(2)
①当，时，5个人的血样分别取样再混合检验，结果为阴性的概率为，总共需要检验的次数为1次；结果为阳性的概率为，总共需要检验的次数为6次；所以的分布列为：
所以 ．
②当采用混合检验的方案时，
根据题意，要使混合检验的总次数减少，则必须满足，
即，化简得，
所以当P满足，用混合检验的方案能减少检验次数．
6．某县种植的脆红李在2021年获得大丰收，依据扶贫政策，所有脆红李由经销商统一收购.为了更好的实现效益，质监部门从今年收获的脆红李中随机选取100千克，进行质量检测，根据检测结果制成如图所示的频率分布直方图.下表是脆红李的分级标准，其中一级品､二级品统称为优质品.
经销商与某农户签订了脆红李收购协议，规定如下：从一箱脆红李中任取4个进行检测，若4个均为优质品，则该箱脆红李定为A类；若4个中仅有3个优质品，则再从该箱中任意取出1个，若这一个为优质品，则该箱脆红李也定为A类；若4个中至多有一个优质品，则该箱脆红李定为C类；其他情况均定为B类.已知每箱脆红李重量为10千克，A类､B类､C类的脆红李价格分别为每千克10元､8元､6元.现有两种装箱方案：方案一：将脆红李采用随机混装的方式装箱；方案二：将脆红李按一､二､三､四等级分别装箱，每箱的分拣成本为1元.以频率代替概率解决下面的问题.
(1)如果该农户采用方案一装箱，求一箱脆红李被定为A类的概率；
(2)根据统计学知识判断，该农户采用哪种方案装箱收入更多，并说明理由.
【答案】(1)
(2)采用方案二时收入更多，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）由频率分布直方图可得任取一只脆红李，其为优质品的概率，利用二项分布可求概率.
（2）利用独立事件和二项分布可求该农户采用方案一时每箱收入为的分布列和期望，再算出该农户采用方案二时每箱的平均收入后可得最优方案.
(1)
由频率分布直方图可得任取一只脆红李，其为优质品的概率为，
设事件为“该农户采用方案一装箱，一箱脆红李被定为A类”，
则.
(2)
设该农户采用方案一时每箱收入为，则可取，
而，，
，
故（元）
该农户采用方案二时，每箱的平均收入为，
因为，故采用方案二时收入更多.
7．在实验室中，研究某种动物是否患有某种传染疾病，需要对其血液进行检验．现有份血液样本，有以下两种检验方式：一是逐份检验，则需要检验n次；二是混合检验，将其中k（且）份血液样本分别取样混合在一起检验，如果检验结果为阴性，这k份的血液全为阴性，因而这k份血液样本只要检验一次就够了；如果检验结果为阳性，为了明确这k份究竟哪些为阳性，就需要对它们再次取样逐份检验，那么这k份血液的检验次数共为次．假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的．且每份样本是阳性结果的概率为．
(1)假设有5份血液样本，其中只有2份血液样本为阳性，若采用逐份检验方式，求恰好经过3次检验就能把阳性样本全部检测出来的概率；
(2)假设有4份血液样本，现有以下两种方案：
方案一：4个样本混合在一起检验；
方案二：4个样本平均分为两组，分别混合在一起检验．
若检验次数的期望值越小，则方案越优．
现将该4份血液样本进行检验，试比较以上两个方案中哪个更优？
【答案】(1)
(2)方案一更优
【解析】
【分析】
（1）分两类，由古典概型可得;
（2）分别求出两种方案的数学期望，然后比较可知.
(1)
恰好经过3次检验就能把阳性样本全部检测出来分为两种情况：
第一种：前两次检测中出现一次阳性一次阴性且第三次为阳性
第二种：前三次检测均为阴性，所以概率为．
(2)
方案一：混在一起检验，记检验次数为X，则X的取值范围是，
，，．
方案二：每组的两个样本混合在一起检验，
若结果呈阴性，则检验次数为1，其概率为，
若结果呈阳性，则检验次数为3，其概率为．
设检验次数为随机变量Y，则Y的取值范围是，
，，
，，
所以，方案一更优．
8．小明在某物流派送公司找到了一份派送员的工作，该公司给出了两种日薪薪酬方案.甲方案：底薪100元，每派送一单奖励1元；乙方案：底薪140元，每日前54单没有奖励，超过54单的部分每单奖励20元.
(1)请分别求出甲、乙两种薪酬方案中日薪y（单位：元）与送货单数n的函数关系式；
(2)根据该公司所有派送员100天的派送记录，发现派送员的日平均派送单数满足以下条件：在这100天中的派送量指标满足如图所示的直方图，其中当某天的派送量指标在时，日平均派送量为单.若将频率视为概率，回答下列问题：
①估计这100天中的派送量指标的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表) ；
②根据以上数据，设每名派送员的日薪为（单位：元），试分别求出甲、乙两种方案的日薪的分布列及数学期望. 请利用数学期望帮助小明分析他选择哪种薪酬方案比较合适？并说明你的理由.
【答案】(1)，
(2)①，②答案见解析
【解析】
【分析】
（1）由已知可得出所求的函数关系式；
（2）①根据频率直方图可求得派送量指标的平均数；
②先由频率直方图求出甲、乙两种方案的日薪的分布列，根据期望公式求得其数学期望，比较可得结论.
(1)
解：甲：，乙：，
故为 ，；
(2)
解：①读图可知,20个0.1,30个0.3,20个0.5,20个0.7,10个0.9，
故平均数；
②甲方案：X的分布列为：
，
乙方案：X的分布列为：
，
乙的期望更高，故选择乙方案.
X
6000
7000
8000
10000
P
3
6
7400
7600
7800
8000
8200
P
0.1
0.4
0.1
0.2
0.2
7600
8100
8600
P
0.6
0.2
0.2
等级
珍品
特级
优级
一级
箱数
40
30
10
20
等级
珍品
特级
优级
一级
价格/（元∕kg）
36
30
24
18
X
0
1
2
3
P
0
200
300
P
工种类别
A
B
C
赔付频率
1
6
P
等级
四级品
三级品
二级品
一级品
脆红李横径/mm
X（日薪）
152
154
156
158
160
P(概率)
0.2
0.3
0.2
0.2
0.1
X（日薪）
140
140
180
220
260
P（概率）
0.2
0.3
0.2
0.2
0.1