2024年高考数学二轮复习专题01解三角形(解答题10种考法)(精练)(原卷版+解析)

这是一份2024年高考数学二轮复习专题01解三角形(解答题10种考法)(精练)(原卷版+解析)，共65页。试卷主要包含了如图，在四边形中，的面积为，已知梯形中，.，在平面四边形中，，，.，已知的内角的对边分别为，且，在中，为边上一点，且平分等内容，欢迎下载使用。

(1)求；
(2)证明：．
2．（2023·海南省直辖县级单位·校考模拟预测）在中，角，，所对的边分别为，，，且．
(1)求的值；
(2)若，，求的面积．
3．（2023·安徽·池州市第一中学校联考模拟预测）已知梯形中，.
(1)若，求的值；
(2)若，设的面积为，求的最大值.
4．（2023·辽宁抚顺·校考模拟预测）已知锐角的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，外接圆的半径为，且．
(1)求A及a的值；
(2)若，求线段AP长度的取值范围．
5．（2023·贵州·校联考模拟预测）如图所示，角的终边与单位圆交于点，将绕原点按逆时针方向旋转后与圆交于点.

(1)求；
(2)若的内角，，所对的边分别为，，，，，，求.
6．（2021·江苏南通·一模）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中并作答．
问题：在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且____．
(1)求角C；
(2)若，求的取值范围．
7．（2023·福建厦门·厦门一中校考模拟预测）在平面四边形中，，，.
(1)若，，求的值；
(2)若，求的最小值.
8．（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）在中，内角，，的对边分别为，，，且，．
(1)若边上的高等于1，求；
(2)若为锐角三角形，求的面积的取值范围．
9．（2023·海南·统考模拟预测）已知的内角的对边分别为，且．
(1)求边长和角；
(2)求的面积的最大值，并判断此时的形状．
10．（2023·河北唐山·模拟预测）在中，为边上一点，且平分．
(1)若，求与；
(2)若，设，求．
11．（2023·湖北黄冈·统考模拟预测）已知向量，，设，且的图象关于点对称.
(1)若，求的值；
(2)若函数的图象与函数的图象关于直线对称，且在区间上的值域为，求实数的取值范围.
12．（2023·辽宁沈阳·沈阳铁路实验中学校考二模）如图，在四边形中，与互补，．

(1)求；
(2)求四边形的面积．
13．（2024·黑龙江大庆·统考模拟预测）如图，在中，，，.

(1)求的值；
(2)过点A作，D在边BC上，记与的面积分别为，，求的值.
14．（2023·安徽·池州市第一中学校考模拟预测）从条件①；②中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答.在中：内角的对边分别为，______.
(1)求角的大小；
(2)设为边的中点，求的最大值.
15．（2023·河南·校联考二模）记的内角所对的边分别为，，，已知，且，，依次成等比数列.
(1)求；
(2)若，求的周长.
16．（2023·山西吕梁·统考二模）如图，在平面四边形中，，，的平分线交于点，且．

(1)求及；
(2)若，求周长的最大值．
17．（2023·浙江杭州·校考模拟预测）已知函数的周期为，且图像经过点．
(1)求函数的单调增区间；
(2)在中，角，，所对的边分别是，，，若，，，求的值．
18．（2023·河南·模拟预测）设中，、、所对的边分别为、、，且有.
(1)若，证明：；
(2)若，比较和的大小关系，说明理由.
19．（2023·福建福州·福州三中校考模拟预测）的内角的对边分别为，已知，且的面积.
(1)求C；
(2)若内一点满足，，求．
20．（2020·全国·校联考模拟预测）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
(1)求角A的大小；
(2)若，求的取值范围.
21．（2023·广东佛山·统考模拟预测）在中，，，M点为BC的中点，N点在线段AC上且，.
(1)求AC；
(2)若点P为AM与BN的交点，求的余弦值.
22．（2023·浙江温州·乐清市知临中学校考二模）设的内角所对边分别为，若.
(1)求证：成等差数列；
(2)若为整数，，且三个内角中最大角是最小角的两倍，求周长的最小值.
23．（2023·甘肃张掖·高台县第一中学校考模拟预测）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
(1)若，求证：△ABC是等边三角形；
(2)若△ABC为锐角三角形，求的取值范围.
24．（2023·安徽亳州·蒙城第一中学校联考模拟预测）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了“勾股方图”，后人称其为“赵爽弦图”，类比“赵爽弦图”.类比赵爽弦图，用3个全等的小三角形拼成了如图所示的等边，若，.
(1)求；
(2)求的面积.
25．（2023·湖北武汉·武汉二中校联考模拟预测）在中，内角的对边长分别为，.
(1)若，求面积的最大值；
(2)若，在边的外侧取一点（点在外部），使得，，且四边形的面积为，求的大小.
26．（2023·辽宁葫芦岛·统考二模）在中，角的对边分别是，从下列条件中任选一个补充到题中解决题.条件：①：; ②：; ③：.
(1)求的值;
(2)， 求的取值范围．
27．（2023·辽宁沈阳·沈阳铁路实验中学校考二模）已知平面向量，，记，
(1)对于，不等式（其中m，）恒成立，求的最大值．
(2)若的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，a，b，c成等比数列，求的值．
28．（2023·江苏·金陵中学校联考三模）已知，，其中，函数的最小正周期为.
(1)求函数的单调递增区间；
(2)在锐角中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足，求的取值范围.
29．（2023·重庆·统考模拟预测）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，满足．
(1)证明：；
(2)求的取值范围．
30．（2023·湖南·校联考模拟预测）已知的内角A，B，C所对的边a，b，c成等比数列.
(1)若，的面积为2，求的周长；
(2)求的取值范围.
31．（2023·浙江宁波·镇海中学校考模拟预测）设函数，，．
(1)求函数的单调递增区间；
(2)已知凸四边形中，，，，求凸四边形面积的最大值．
32．（2023·江苏盐城·统考三模）在中,为的角平分线,且.
(1)若,,求的面积;
(2)若,求边的取值范围.
33．（2023·全国·校联考模拟预测）在中，对应的边分别为，且．且
(1)求；
(2)若，上有一动点（异于B、C），将沿AP折起使BP与CP夹角为，求与平面所成角正弦值的范围．
34．（2023·辽宁鞍山·统考二模）请从①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答（如未作出选择，则按照选择①评分.选择的编号请填写到答题卡对应位置上）
在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若___________，
(1)求角B的大小；
(2)若△ABC为锐角三角形，，求的取值范围.
35．（2023·浙江金华·浙江金华第一中学校考模拟预测）记的内角的对边分别为.已知.
(1)求；
(2)证明：.
36．（2023·全国·模拟预测）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)若，求A；
(2)若△ABC为锐角三角形，求的取值范围．
37．（2023·全国·模拟预测）已知锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，.
(1)求的取值范围；
(2)若，求三角形ABC面积的取值范围.
38．（2023·浙江·统考一模）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)若，求B；
(2)求的取值范围．
39．（2023·江苏南通·三模）已知，D为边AC上一点，，.
(1)若，，求；
(2)若直线BD平分，求与内切圆半径之比的取值范围.
40．（2022·浙江·模拟预测）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
(1)若，求C；
(2)求的取值范围.
专题01 解三角形（解答题10种考法）
1．（2023·河南·校联考模拟预测）如图，在四边形中，的面积为．

(1)求；
(2)证明：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）设，
因为的面积为，
所以，解得，
所以．
在中，由余弦定理得，
所以．
在中，，所以，
所以；
（2）由（1）可得，
在中，由正弦定理得，
所以，且．
由（1）可得，又，
所以．
2．（2023·海南省直辖县级单位·校考模拟预测）在中，角，，所对的边分别为，，，且．
(1)求的值；
(2)若，，求的面积．
【答案】(1)；
(2).
【解析】（1）依题意，，
由正弦定理得，，
而，故．
（2）由余弦定理得，，得，
故．
3．（2023·安徽·池州市第一中学校联考模拟预测）已知梯形中，.
(1)若，求的值；
(2)若，设的面积为，求的最大值.
【答案】(1)
(2).
【解析】（1）解：如图所示：

根据题意：，
，
由余弦定理可得：，
，
又，
在中，利用正弦定理可得：，
所以.
（2）设，
，
，
在中，由余弦定理可得：
，
，
当时，取最大值，且为.
4．（2023·辽宁抚顺·校考模拟预测）已知锐角的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，外接圆的半径为，且．
(1)求A及a的值；
(2)若，求线段AP长度的取值范围．
【答案】(1)，
(2)
【解析】（1）因为，由正弦定理可得，
则，
即，
由余弦定理可得，
且，则，
又因为外接圆的半径，所以．
（2）设，，
因为，即点P为BC边的中点，则，
两边同时平方得，即，
由（1）可知：，即，
可得，即，
又因为外接圆的半径，由正弦定理得，，
即，
则．
因为为锐角三角形，则，，即，，
可得，则，可得，
则，即，
所以线段AP长度的取值范围为．
5．（2023·贵州·校联考模拟预测）如图所示，角的终边与单位圆交于点，将绕原点按逆时针方向旋转后与圆交于点.

(1)求；
(2)若的内角，，所对的边分别为，，，，，，求.
【答案】(1)
(2)或.
【解析】（1）由题知，，
所以；
（2）由题知，，，
，且，所以，
而，则，故，
由正弦定理可知，整理得，
解得，
故，或.
6．（2021·江苏南通·一模）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中并作答．
问题：在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且____．
(1)求角C；
(2)若，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）若选①：，
则，
∴
∴
∵，，
∴，∵，∴.
若选②：，
由正弦定理得，
∴，
∴，
∵，∴．
若选③：，
则，
由正弦定理得，
∴∴，
∴，
∵，∴．
（2）由正弦定理得，
，
则，
，
∵，，，
∴.
7．（2023·福建厦门·厦门一中校考模拟预测）在平面四边形中，，，.
(1)若，，求的值；
(2)若，求的最小值.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）因为，，，
在中，由余弦定理得，
所以，
由得.
由正弦定理得,
所以,
所以,
所以 .
（2）在中，由得
①，
又 ②，
且，
所以,
在中
，
将 ① ， ②代入上式得
.
且，
所以，当时，有最小值3.
所以取最小值.
综上，的最小值为.
8．（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）在中，内角，，的对边分别为，，，且，．
(1)若边上的高等于1，求；
(2)若为锐角三角形，求的面积的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由正弦定理，，
所以，则，又，所以，
因为，
所以，解得，
又由余弦定理，，
解得，所以．
（2）由正弦定理有，且由（1）可知，
所以，
又因为锐角，
所以，解得，
所以，所以，
所以，
所以面积的取值范围是．
9．（2023·海南·统考模拟预测）已知的内角的对边分别为，且．
(1)求边长和角；
(2)求的面积的最大值，并判断此时的形状．
【答案】(1)，
(2)，等边三角形
【解析】（1）解：，
由正弦定理得．
可得．
由，得，
得，
得或，故或0（舍去）．
（2）由余弦定理可知，，
由（1）可得，
则，
当且仅当时等号成立，
即面积的最大值为，
此时为等边三角形．
10．（2023·河北唐山·模拟预测）在中，为边上一点，且平分．
(1)若，求与；
(2)若，设，求．
【答案】(1)，
(2)
【解析】（1）如下图所示：

因为平分，所以，又因为在上，所以，
因此，又，所以．
在中，，可得．
在中，由余弦定理可得，故．
（2）如下图所示：

因为平分，，又，
所以，在中，由正弦定理可得
，又，所以，
展开并整理得，解得．
11．（2023·湖北黄冈·统考模拟预测）已知向量，，设，且的图象关于点对称.
(1)若，求的值；
(2)若函数的图象与函数的图象关于直线对称，且在区间上的值域为，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）
若的图象关于点对称，则，
，.
，.
若，则，同理可得.
；
（2）若函数的图象与的图象关于直线对称，则
.
因为，所以，
而在上的值域为，
则，即，
因为，所以，
，故的取值范围为
12．（2023·辽宁沈阳·沈阳铁路实验中学校考二模）如图，在四边形中，与互补，．

(1)求；
(2)求四边形的面积．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）连接，如图，

与互补，与互补，
在中，，
即，
得，
在中，，
即，
得，
又与互补，
，
故；
（2）由（1）得，
，
由（1）得，
，
．
13．（2024·黑龙江大庆·统考模拟预测）如图，在中，，，.

(1)求的值；
(2)过点A作，D在边BC上，记与的面积分别为，，求的值.
【答案】(1)
(2)2
【解析】（1）在中，由余弦定理可得，
则，故.
由正弦定理可得，则
（2）因为，所以，
因为，所以.
因为，所以，所以，
则.
设点A到直线BC的距离为d，
因为，，所以.
14．（2023·安徽·池州市第一中学校考模拟预测）从条件①；②中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答.在中：内角的对边分别为，______.
(1)求角的大小；
(2)设为边的中点，求的最大值.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）若选条件①：由正弦定理得：，
，
，，，
即，，
又，，，解得：；
若选条件②：，
，，
，，，解得：.
（2）
，，
即，
（当且仅当时取等号），
的最大值为.
15．（2023·河南·校联考二模）记的内角所对的边分别为，，，已知，且，，依次成等比数列.
(1)求；
(2)若，求的周长.
【答案】(1);
(2).
【解析】（1）由条件及正弦定理得，
所以，
所以，
因为，所以，
因为，所以，所以.
（2）因为，且，，依次成等比数列，
所以.
由余弦定理得，得，
所以，
所以的周长为.
16．（2023·山西吕梁·统考二模）如图，在平面四边形中，，，的平分线交于点，且．

(1)求及；
(2)若，求周长的最大值．
【答案】(1)，
(2)
【解析】（1）在中，由正弦定理得，
又，则，
于是，
∵为角平分线，∴，∴，∴，
在中，根据余弦定理得，
∴．
（2）设，．在中，
由余弦定理得，
即有，即，
∴，
当且仅当时，“＝”成立．
∴周长的最大值为．
17．（2023·浙江杭州·校考模拟预测）已知函数的周期为，且图像经过点．
(1)求函数的单调增区间；
(2)在中，角，，所对的边分别是，，，若，，，求的值．
【答案】(1)，
(2)
【解析】（1）由题意知，，则，
又，
则，，所以，，又，所以，
则，
由三角函数的性质可得：，．
解得：，，
∴的单调递增区间为，．
（2）由得，，即，
结合正弦定理得，，
即，又，所以，即，
又，所以，则，所以，
由余弦定理有，．
18．（2023·河南·模拟预测）设中，、、所对的边分别为、、，且有.
(1)若，证明：；
(2)若，比较和的大小关系，说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)，理由见解析
【解析】（1）证明：因为，要证，即证，即证，
因为，则，解得，则，
所以，
，
故原不等式得证.
（2）解：因为，
设外接圆半径为，则
，
因为，则，
又因为，
又因为，即，
所以，所以.
19．（2023·福建福州·福州三中校考模拟预测）的内角的对边分别为，已知，且的面积.
(1)求C；
(2)若内一点满足，，求．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）解：根据题意知，
由余弦定理得，
又因为，所以，即，
因为，所以，
又由正弦定理且，所以，
又因为，所以.
（2）解：由（1）知，，所以，可得，所以，
设，因为，所以，
因为，所以，
在中，，所以，
在中，，所以，即，
所以，即，即，
因为，所以.

20．（2020·全国·校联考模拟预测）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
(1)求角A的大小；
(2)若，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由
，
所以，可得：，
即，由余弦定理可得：，
又，所以.
（2）由
，
因为，所以，又，
所以，所以，得，
所以，所以，所以.
的取值范围为.
21．（2023·广东佛山·统考模拟预测）在中，，，M点为BC的中点，N点在线段AC上且，.
(1)求AC；
(2)若点P为AM与BN的交点，求的余弦值.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）在中，，，
由余弦定理得，
在中，，，，
由余弦定理得，
所以，即，解得；
（2）由（1）知，又，所以，
所以，又M点为BC的中点，所以，
因为，所以，
所以，
又，且，
所以.
22．（2023·浙江温州·乐清市知临中学校考二模）设的内角所对边分别为，若.
(1)求证：成等差数列；
(2)若为整数，，且三个内角中最大角是最小角的两倍，求周长的最小值.
【答案】(1)证明见详解
(2)15
【解析】（1）因为，整理得，
即，
由正弦定理可得：，即成等差数列.
（2）由题意可得：，则，
不妨设，
因为，由正弦定理可得：，
由余弦定理可得：，
即，整理得，
所以，
可得周长，
可知当时，周长的取到最小值15.
23．（2023·甘肃张掖·高台县第一中学校考模拟预测）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
(1)若，求证：△ABC是等边三角形；
(2)若△ABC为锐角三角形，求的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）证明：∵，
∴由正弦定理，得，
∵，∴，∴，
∴，∴，
∵，∴，∴，即，
∵，∴．
由，得，
∴，∴△ABC为等边三角形．
（2）由（1）知，∴．
由△ABC为锐角三角形，可得，
解得，∴．
由正弦定理，得，
由，可得，∴，
即，∴的取值范围为.
24．（2023·安徽亳州·蒙城第一中学校联考模拟预测）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了“勾股方图”，后人称其为“赵爽弦图”，类比“赵爽弦图”.类比赵爽弦图，用3个全等的小三角形拼成了如图所示的等边，若，.
(1)求；
(2)求的面积.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由知，，为正三角形，，
∵.
∴，，
.
（2）设（），则，
由正弦定理：，即，则，
中，，
即，则，，
所以.
25．（2023·湖北武汉·武汉二中校联考模拟预测）在中，内角的对边长分别为，.
(1)若，求面积的最大值；
(2)若，在边的外侧取一点（点在外部），使得，，且四边形的面积为，求的大小.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）解：由，
因为，可得，
又由正弦定理得，即，
由余弦定理得，
因为，可得，所以，
在中，由余弦定理得，
即，当且仅当时取等号，
所以，
所以面积取得最大值.
（2）解：设，则，
在中，由余弦定理得，
由（1）知，且，所以为正三角形，
所以，
可得，
因为，故，所以，可得.
26．（2023·辽宁葫芦岛·统考二模）在中，角的对边分别是，从下列条件中任选一个补充到题中解决题.条件：①：; ②：; ③：.
(1)求的值;
(2)， 求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）选①：由得，
解得：或，
，，
所以.
选②：由得，
又，代入整理得，
又在中，所以，
又 ，，故.
选③：由得，，
即，，所以.
（2）由题意
，
所以，
由（1）可知， 所以.
于是有
故.
27．（2023·辽宁沈阳·沈阳铁路实验中学校考二模）已知平面向量，，记，
(1)对于，不等式（其中m，）恒成立，求的最大值．
(2)若的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，a，b，c成等比数列，求的值．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）
，
，则，故，，
恒成立，故，，
当，时，有最大值为.
（2），即，
，，故，，
，，成等比数列，则，
.
28．（2023·江苏·金陵中学校联考三模）已知，，其中，函数的最小正周期为.
(1)求函数的单调递增区间；
(2)在锐角中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足，求的取值范围.
【答案】(1)单调递增区间为，
(2)
【解析】（1）因为，，
则，
，
故，
因为最小正周期为，所以，所以，故，
由，，解得，，
所以的单调递增区间为，.
（2）由（1）及，即，又，
所以，解得，
又为锐角三角形，即，即，
解得；
由正弦定理得，又，则，
所以.
29．（2023·重庆·统考模拟预测）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，满足．
(1)证明：；
(2)求的取值范围．
【答案】(1)证明见详解
(2)
【解析】（1）由及得,.
由正弦定理得,
又,
,
,
,
都是锐角,则
,
（2）令
，
由（1）得.
在锐角三角形中,
，即，,
令,
根据对勾函数的性质知在上单调递增，
,即的取值范围是.
30．（2023·湖南·校联考模拟预测）已知的内角A，B，C所对的边a，b，c成等比数列.
(1)若，的面积为2，求的周长；
(2)求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）因为a，b，c成等比数列，则，
又，，所以，
所以的面积为，故，则，
由余弦定理，
即，则，
所以，故的周长为.
（2）设a，b，c的公比为q，则，，
而，
因此，只需求的取值范围即可.
因a，b，c成等比数列，最大边只能是a或c，因此a，b，c要构成三角形的三边，必需且只需且.
故有不等式组，即，解得，
从而，因此所求范围为.
31．（2023·浙江宁波·镇海中学校考模拟预测）设函数，，．
(1)求函数的单调递增区间；
(2)已知凸四边形中，，，，求凸四边形面积的最大值．
【答案】(1)，
(2)
【解析】（1）由题意知，得．
因为，所以，
所以，所以，
∴
，
令，解得，
所以的单调递增区间为，．
（2）
由，可得，而，
故，故，故，
设，，而四边形的面积，
则
，
其中，，且，而
故，故当时，.
32．（2023·江苏盐城·统考三模）在中,为的角平分线,且.
(1)若,,求的面积;
(2)若,求边的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）因为,
所以,
得:,
解得,
所以.
（2）设,,
由得
,
即,
所以,
又在中,
所以,
得,
因为且,
得,
则,
所以,
即边的取值范围为.
33．（2023·全国·校联考模拟预测）在中，对应的边分别为，且．且
(1)求；
(2)若，上有一动点（异于B、C），将沿AP折起使BP与CP夹角为，求与平面所成角正弦值的范围．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）方法一：由，结合二倍角公式可得，，
即.
若，则，于是，
根据正弦函数在上递增可得，
，类似的有，
于是，
这与矛盾；
若，则，于是，
根据正弦函数在上递增可得，
，
类似的有，于是，
这与矛盾；
若，即，此时确实成立.
综上所述，.
方法二：将代入可得
，
再利用两角和的正弦公式和二倍角的余弦公式，化简即可得
所以，
即，
再由和差化积公式可得：
，
所以
不妨设，则，
所以，
即，又，所以，
可得，所以.
（2）
由题意，折叠后的几何体如下，设，则
在中，若，由余弦定理得，.
下以为原点，分别为轴，过垂直于平面的直线为轴.
设，则，，由
①
②
③，
由①②解得：，
由①③解得：，
根据线面角的定义，（不妨取是正数），
则与平面所成角正弦值为.
记，则，
注意到，于是，
又
，而，
故，故，
根据多项式除法，约去因式，
得到，即，
根据求根公式可得，的正实根为，
故在上递增，在上递减，
经计算得到，故在上的值域为，注意到，
故，于是，故，即，
于是直线与平面所成角正弦值的范围是.
在中，若，同理可得，直线与平面所成角正弦值的范围是.
方法二：
作底面，垂足为，连接，设到平面的距离为，到平面的距离为，，由题意知.
先说明和平面不可能垂直，否则由平面可得，由，可得，这与矛盾，于是是平面的斜线，即.
由可得，，即.
设，根据线面角的定义，即为与平面所成角.
于是，即.
34．（2023·辽宁鞍山·统考二模）请从①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答（如未作出选择，则按照选择①评分.选择的编号请填写到答题卡对应位置上）
在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若___________，
(1)求角B的大小；
(2)若△ABC为锐角三角形，，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）若选①
因为，
由正弦定理得，
即，
所以，
由，得，所以，即，
因为，所以.
若选②
由，化简得.
由正弦定理得：，即，所以.
因为，所以.
若选③
由正弦定理得，即，
因为，所以，
所以，所以，
又因为，所以.
（2）在中，由正弦定理，得，
由（1）知：，又с=1代入上式得：
因为为锐角三角形，所以，解得，
所以，，
所以.
35．（2023·浙江金华·浙江金华第一中学校考模拟预测）记的内角的对边分别为.已知.
(1)求；
(2)证明：.
【答案】(1)；
(2)证明见解析.
【解析】（1）由，得，由题意可知，存在，
所以，即，所以，
所以.
（2）由，
得，
故，
令，则，
，
当时，；当时，；
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
又，所以，
进而，，
可得，所以.
而，故.
所以.
36．（2023·全国·模拟预测）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)若，求A；
(2)若△ABC为锐角三角形，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，即，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
又，即，
∴，
又∵，
∴.
（2）由（1）知，
①当时，因为，所以，即，与△ABC为锐角三角形矛盾，所以不成立；
②当时，因为，所以，
所以．
由，得．
所以，
故．
因为，所以，，
令，则，
所以在上单调递增，所以，
所以的取值范围为．
37．（2023·全国·模拟预测）已知锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，.
(1)求的取值范围；
(2)若，求三角形ABC面积的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）因为，且都为锐角，所以，
，
所以，由正弦定理可得，
又，所以，
整理得，即有，
所以，即，所以.
在锐角三角形中，,且，所以；
令，则，，
令，则，
因为，所以，所以为增函数，
又，所以，即的取值范围是.
（2）由（1）得.
因为，由，得；
设三角形ABC的面积为,则
，
因为，所以，
设，，，，为减函数，
所以，所以.
38．（2023·浙江·统考一模）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)若，求B；
(2)求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由正弦定理得，
又，所以，
因为，
所以，
因为，
所以，
因为，所以，故，
又，所以，
因为，所以．
（2）由（1）得，
所以由余弦定理得，
记，则，
因为，所以，
当且仅当，即时，等号成立，即，
故，则，
所以，即．
39．（2023·江苏南通·三模）已知，D为边AC上一点，，.
(1)若，，求；
(2)若直线BD平分，求与内切圆半径之比的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）如图1，，，
所以，
因为，，
所以，
故，则，即，
又，则，故，
不妨记，，则，
因为，
所以，解得，则，
因为，所以，
所以.
.
（2）如图2，不妨设与内切圆的半径分别为与，
因为直线BD平分，
所以由角平分线性质定理得，记，则，
记，则，
因为，
所以，
因为，即，则，
所以，即，
因为（为顶点到的距离），
又，，
所以，则，
令，则，，
所以，
因为，所以，则，故，
所以，即，
所以，故，
所以与内切圆半径之比的取值范围为.
40．（2022·浙江·模拟预测）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
(1)若，求C；
(2)求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由，
可得，则
整理得，解之得或
又，则，则，则
（2）A ，B为的内角，则
则由，可得，则均为锐角
又，则，
则，则
则
令，则
又在单调递增，，
可得，则的取值范围为，
则的取值范围为