2024年高考数学二轮复习专题03平面向量(选填题10种考法)(原卷版+解析)

这是一份2024年高考数学二轮复习专题03平面向量(选填题10种考法)(原卷版+解析)，共92页。试卷主要包含了平面向量的坐标运算，平面向量的基本定理，平面向量的数量积，平面向量的共线定理，平面向量中的取值范围，平面向量与四心，平面向量巧建坐标，平面向量与奔驰定理等内容，欢迎下载使用。

考法一 平面向量的坐标运算
【例1】（2023·湖南·校联考二模）（多选）已知向量，//，，，则（ ）
A．B．C．D．
【变式】
1．（2023·广东广州·广州市从化区从化中学校考模拟预测）已知向量，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则向量的夹角为锐角
2（2023·广东广州·统考三模）（多选）已知向量，，则（ ）
A．B．
C．D．在上的投影向量是
3．（2023·广西南宁·南宁二中校联考模拟预测）（多选）已知向量，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则B．若∥，则
C．若，则D．若，则向量，的夹角为钝角
考法二 平面向量的基本定理
【例2-1】（2023·安徽·校联考二模）如图，在中，点D为线段BC的中点，点E，F分别是线段AD上靠近D，A的三等分点，则（ ）
A．B．C．D．
【例2-2】（2023·河南·校联考模拟预测）在平行四边形ABCD中，点E满足，，则（ ）
A．B．C．D．1
【变式】
1（2023·江苏徐州·徐州市第七中学校考一模）在平行四边形中，､分别在边､上，，与相交于点，记，则（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·海南海口·海南华侨中学校考二模）如图，在中，是的中点，与交于点，则（ ）

A．B．C．D．
3．（2023·湖南娄底·娄底市第三中学校联考三模）2000多年前，古希腊雅典学派的第三大算学家欧道克萨斯首先提出黄金分割.所谓黄金分割点，指的是把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比，黄金分割比为.如图，在矩形中，与相交于点，，且点为线段的黄金分割点，则（ ）

A．B．
C．D．
考法三 平面向量的数量积
【例3-1】（2022·全国·统考高考真题）已知向量满足，则（ ）
A．B．C．1D．2
【例3-2】（2023·全国·统考高考真题）正方形的边长是2，是的中点，则（ ）
A．B．3C．D．5
【变式】
1．（2023·河南·校联考模拟预测）已知等边三角形的边长为2，D，E分别是，上的点，且，，则（ ）
A．2B．C．D．
2．（2023·全国·统考高考真题）已知向量，满足，，则 ．
3．（2023·河北保定·统考二模）在中，点在边上，平分，若，，则 ．
考法四 平面向量的共线定理
【例4-1】（2023·山西临汾·统考一模）已知、为不共线的向量，，，，则（ ）
A．三点共线B．三点共线
C．三点共线D．三点共线
【例4-2】（2023·河北沧州·校考模拟预测）在中，点为与的交点，，则（ ）
A．0B．C．D．
【变式】
1．（2023·广东广州·统考模拟预测）在中，是边上一点，且是上一点，若，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·湖南长沙·长沙市实验中学校考三模）如图，在中，M为线段的中点，G为线段上一点，，过点G的直线分别交直线，于P，Q两点，，，则的最小值为（ ）．
A．B．C．3D．9
3．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测），是两个不共线的向量，已知，，且三点共线，则实数 .
考法五 平面向量中的取值范围
【例5-1】（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）在边长为2的菱形中，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【例5-2】（2023·山东潍坊·昌乐二中校考模拟预测）已知平面向量、、满足，，，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【变式】
1．（2023·河南开封·统考模拟预测）折扇又名“撒扇”、“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1．其展开几何图是如图2的扇形，其中，，，点在上，则的最小值是 ．

2．（2023·四川成都·校联考二模）平面向量，满足，且，则的最小值是 ．
3．（2023·河南郑州·统考模拟预测）已知中，，，，，，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
4．（2023·全国·统考高考真题）已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（ ）
A．B．
C．D．
考法六 平面向量与四心
【例6】（2023春·福建莆田·高一福建省仙游县华侨中学校考阶段练习）已知O，N，P，I在所在的平面内，则下列说法不正确的是（ ）
A．若，则O是的外心
B．若，则I是的内心
C．若，则P是的垂心
D．若，则N是的重心
【变式】
1．（2023春·河南濮阳·高一统考期末）点为所在平面内的点，且有，，，则点分别为的（ ）
A．垂心，重心，外心B．垂心，重心，内心
C．外心，重心，垂心D．外心，垂心，重心
2．（2023春·广东珠海）（多选）在所在平面内，点满足，其中，m，，，，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，直线AP一定经过的重心
B．当时，直线AP一定经过的外心
C．当，时，直线AP一经过的垂心
D．当，时，直线AP一定经过的内心
3．（2023春·湖北 ）（多选）在所在的平面上存在一点，，则下列说法错误的是（ ）
A．若，则点的轨迹不可能经过的外心
B．若，则点的轨迹不可能经过的垂心
C．若，则点的轨迹可能经过的重心
D．若，则点的轨迹可能经过的内心
4．（2023春·江苏扬州 ）（多选）已知直角三角形满足，，则下列结论正确的是（ ）
A．若点为的重心，则；
B．若点为的外心，则；
C．若点为的垂心，则；
D．若点为的内心，则．
考法七 平面向量巧建坐标
【例7】（2023·陕西商洛·镇安中学校考模拟预测）在Rt△ABC中，，，，若动点P满足，则的最大值为（ ）
A．16B．17C．18D．19
【变式】
1（2022·北京·统考高考真题）在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·重庆·统考模拟预测）在正方形中，动点从点出发，经过，，到达，，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·广东东莞·统考模拟预测）如图所示，梯形中，，且，点P在线段上运动，若，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
考法八 平面向量与奔驰定理
【例8-1】（2023春·江苏盐城 ）（多选）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车(Mercedesbenz)的lg很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知是内一点，，，的面积分别为，则，是内的一点，∠，∠，∠分别是的三个内角，以下命题正确的有（ ）
A．若，则
B．若，，且，则
C．若，则为的垂心
D．若为的内心，且，则
【例8-2】（2023春·宁夏银川 ）已知点O是内一点，满足，，则实数m为 ．
【变式】
1．（2023秋·福建厦门·高二厦门一中校考开学考试）已知为的外心，，，，则的面积为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023秋·河北保定·高三校联考阶段练习）（多选）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的标志很相似，所以形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知是内一点，，，的面积分别为，，，则．设是内一点，的三个内角分别为，，，，，的面积分别为，，，若，则以下命题正确的有（ ）

A．
B．有可能是的重心
C．若为的外心，则
D．若为的内心，则为直角三角形
3．（2023秋·江西宜春）（多选）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的三叉车标很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知O是内的一点，，，的面积分别为、、，则有，设O是锐角内的一点，，，分别是的三个内角，以下命题正确的是（ ）．
A．若，则O为的重心
B．若，则
C．若O为（不为直角三角形）的垂心，则
D．若，，，则
考法九 平面向量中的新定义
【例9】（2023·江西鹰潭·贵溪市实验中学校考模拟预测）设向量与的夹角为，定义.已知向量为单位向量，，，则（ ）
A．B．C．D．
【变式】
1．（2023·辽宁·校联考模拟预测）定义：，其中为向量与的夹角．若，，，则等于（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·河南·校联考模拟预测）向量的夹角为，定义运算“”：，若，则的值为 .
3（2022秋·重庆北碚·高三西南大学附中校考阶段练习）（多选）设非零向量，的夹角为，定义运算.下列叙述正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．设在中，，，则
D．（为任意非零向量）
考点十 平面向量与其他知识综合
【例10-1】（2023·江苏苏州·苏州中学校考模拟预测）已知，，，若，则（ ）
A．B．C．D．
【例10-2】（2023·河北衡水·衡水市第二中学校考模拟预测）复数在复平面内对应的点是A，其共轭复数在复平面内对应的点是B，O是坐标原点.若A在第一象限，且，则（ ）
A．B．C．D．
【变式】
1（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）已知点和数列满足，若分别为数列的前项和，则（ ）
A．B．C．D．0
2．（2023·浙江·统考一模）（多选）已知O为坐标原点，点，，，则（ ）
A．B．
C．D．.
3．（2023·全国·模拟预测）已知在△ABC中，∠BAC=60°，点D为边BC的中点，E，F分别为BD，DC的中点，若AD=1，则的最大值为______．
一、单选题
1．（2023·北京·统考高考真题）已知向量满足，则（ ）
A．B．C．0D．1
2．（2023·全国·统考高考真题）已知向量，若，则（ ）
A．B．
C．D．
3．（2022·全国·统考高考真题）已知向量，若，则（ ）
A．B．C．5D．6
4．（2022·全国·统考高考真题）已知向量，则（ ）
A．2B．3C．4D．5
5．（2022·全国·统考高考真题）在中，点D在边AB上，．记，则（ ）
A．B．C．D．
6．（2023·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考模拟预测）若向量，且，则（ ）
A．1B．5C．D．
7．（2023·贵州·校联考模拟预测）已知向量，，若，则（ ）
A．B．C．D．
8．（2023·全国·统考高考真题）已知向量，则（ ）
A．B．C．D．
9．（2023·浙江·模拟预测）已知平面向量的夹角为，若，则（ ）
A．B．C．D．
10．（2023·贵州六盘水·统考模拟预测）已知是相互垂直的单位向量.若向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A．B．
C．D．
11．（2023·福建龙岩·统考二模）已知向量，，，，若，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
12．（2023·海南·海南中学校考三模）勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形.在如图所示的勒洛三角形中，已知，P为弧AC上的一点，且，则的值为（ ）

A．B．
C．D．
13．（2023·重庆巴南·统考一模）如图所示，正方形的边长为2，点，，分别是边，，的中点，点是线段上的动点，则的最小值为（ ）

A．B．3C．D．48
14．（2023·四川·校联考模拟预测）已知向量，，则下列命题不正确的是（ ）
A．B．若，则
C．存在唯一的使得D．的最大值为
15．（2023·浙江·模拟预测）在中，是上靠近的四等分点，与交于点，则（ ）
A．B．
C．D．
16．（2023·重庆·统考模拟预测）已知在三角形ABC中，，，，点M，N分别为边AB，AC上的动点，，，其中x，，，点P，Q分别为MN，BC的中点，则取得最小值时，（ ）
A．B．C．D．
17．（2023·全国·模拟预测）已知正方体的棱长为2，动点P满足，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
18．（2023·河南·校联考模拟预测）如图，在平行四边形中，分别为上的点，且，连接交于点，若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
19．（2023·安徽滁州·安徽省定远中学校考一模）在中，点D在边BC上，且，，记中点分别为，且，则（ ）
A．B．C．D．
20．（2023·全国·统考高考真题）已知向量满足，且，则（ ）
A．B．C．D．
21．（2023·福建·校联考模拟预测）设向量与单位向量满足，对任意都有，则的最小值为（ ）
A．B．2C．3D．4
22．（2023·福建厦门·厦门一中校考二模）在中，已知，，，若，且，，则在上的投影向量为（为与同向的单位向量），则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
23．（2023·湖南长沙·周南中学校考二模）已知菱形ABCD的边长为1，，G是菱形ABCD内一点，若，则（ ）
A．B．1C．D．2
24．（2023·河南郑州·校联考二模）在中，，，，是的外接圆上的一点，若，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
25．（2023春·黑龙江牡丹江·高一牡丹江一中校考阶段练习）若O是△ABC所在平面上一定点，H，N，Q在△ABC所在平面内，动点P满足， ，则直线AP一定经过的____心，点H满足，则H是的____心，点N满足，则N是的____心，点Q满足，则Q是的____心，下列选项正确的是（ ）
A．外心，内心，重心，垂心B．内心，外心，重心，垂心
C．内心，外心，垂心，重心D．外心，重心，垂心，内心
26．（2023·全国·高三专题练习）在中，若，则点是的（ ）
A．重心B．内心C．垂心D．外心
27．（2023·河南开封·统考三模）已知、为单位向量，，非零向量满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
28．（2023·陕西渭南·统考一模）青花瓷，又称白地青花瓷，常简称青花，是中国瓷器的主流品种之一．如图1，这是一个青花瓷圆盘．该圆盘中的两个圆的圆心重合，如图2，其中大圆半径，小圆半径，点在大圆上，过点作小圆的切线，切点分别是，，则（ ）
A．B．C．4D．5
29．（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）已知点和数列满足，若分别为数列的前项和，则（ ）
A．B．C．D．0
30．（2023·福建厦门·统考模拟预测）已知定点在边长为1的正方形外，且，对正方形上任意点，都有的面积，则的最大值为（ ）
A．B．C．1D．
多选题
31．（2023·安徽宿州·统考一模）（多选）已知平面向量，，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则向量在上的投影向量为D．若，则向量与的夹角为锐角
32．（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知对任意平面向量，把绕其起点A沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转角得到点P．已知平面内点，点，把点B绕点A沿顺时针方向旋转后得到点，逆时针旋转，后分别得到点，则（ ）
A．B．
C．D．点的坐标为
33．（2022秋·山东青岛·高三统考期末）（多选）已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点绕点A沿逆时针方向旋转角得到点.已知平面内点，点，，，点绕点A沿逆时针方向旋转角得到点，则（ ）
A．B．
C．的坐标为D．的坐标为
34．（2022·全国·统考高考真题）已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，若，则（ ）
A．直线的斜率为B．
C．D．
35．（2023·广东潮州·统考二模）设向量，，则下列说法正确的是（ ）
A．B．C．D．在上的投影向量为
36．（2023·福建龙岩·福建省龙岩第一中学校考模拟预测）已知向量，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若为锐角，则
C．若在上的投影向量为，则
D．的最小值为1，最大值为3
37．（2023·海南·统考模拟预测）已知向量，，则下列说法正确的是（ ）．
A．若，则B．的取值范围为
C．满足的的值有2个D．存在，使得
38．（2023·湖北黄冈·统考模拟预测）点，分别是的外心､垂心，则下列选项正确的是（ ）
A．若且，则
B．若，且，则
C．若，，则的取值范围为
D．若，则
39．（2023春·四川成都·高一成都七中校考阶段练习）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知M是内一点，，，的面积分别为，，，且．以下命题正确的有（ ）
A．若，则为的重心
B．若为的内心，则
C．若，，为的外心，则
D．若为的垂心，，则
40．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）在直角梯形中，为中点，分别为线段的两个三等分点，点为线段上任意一点，若，则的值可能是（ ）

A．1B．C．D．3
三、填空题
41．（2022·浙江·统考高考真题）设点P在单位圆的内接正八边形的边上，则的取值范围是 ．
42．（2022·全国·统考高考真题）设向量，的夹角的余弦值为，且，，则 ．
43．（2023·陕西西安·西安市第三十八中学校考模拟预测）在平行四边形中，为的重心，，则 ．
44．（2023·吉林长春·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）如图,在平行四边形中,点E是CD的中点,点F为线段BD上的一个三等分点,且,若,则 .
45．（2023·江西鹰潭·统考一模）十七世纪法国业余数学家之王的皮埃尔•德•费马提出的一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”它的答案是:当三角形的三个角均小于时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角:当三角形有一内角大于或等于时，所求点为三角形最大内角的顶点.在费马问题中所求的点称为费马点.已知分别是三个内角的对边，且，若点为的费马点，则 .
46．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）在中，点是的中点，点在上，且，，则 .
47．（2023·湖南长沙·周南中学校考三模）如图，在中，点是边上一点且，是边的中点，直线和直线交于点，若是的平分线，则 .

48．（2023·上海·统考模拟预测）设向量，，记，若圆上的任意三点，，，且，则的最大值是 .
49．（2023·上海杨浦·同济大学第一附属中学校考三模）对任意两个非零的平面向量和，定义，若平面向量、满足，与的夹角，且和都在集合中，则
50．（2023·辽宁大连·大连二十四中校考模拟预测）已知是平面内的三个单位向量，若，则的最小值是
专题03 平面向量（选填题10种考法）
考法一 平面向量的坐标运算
【例1】（2023·湖南·校联考二模）（多选）已知向量，//，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】AB
【解析】因为，所以，则A正确；，则B正确；
因为//，所以设，因为，
所以，解得，所以或，故C错误；
，故D错误．故选：AB
【变式】
1．（2023·广东广州·广州市从化区从化中学校考模拟预测）已知向量，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则向量的夹角为锐角
【答案】B
【解析】对于选项A：因为，则，
所以，解得或，故A错误；
对于选项B：因为//，所以，解得，故B正确；
对于选项C：因为，所以，解得，故C错误；
对于选项D：当时，，
由选项B可知：不共线，所以向量的夹角为钝角，故D错误.
故选：B.
2（2023·广东广州·统考三模）（多选）已知向量，，则（ ）
A．B．
C．D．在上的投影向量是
【答案】AC
【解析】因为，，
所以，，故A正确；
因为，故B错误；
，，故C正确；
因为在上的投影向量是，故D错误.
故选：AC．
3．（2023·广西南宁·南宁二中校联考模拟预测）（多选）已知向量，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则B．若∥，则
C．若，则D．若，则向量，的夹角为钝角
【答案】BD
【解析】对于A，因为，，所以， ，解得或，故A错误；
对于B，因为∥，所以，解得，故B正确；
对于C，因为，所以，解得，故C错误；
对于D，当时，，，又因为此时，不共线，所以向量，的夹角为钝角，故D正确.故选：BD.
考法二 平面向量的基本定理
【例2-1】（2023·安徽·校联考二模）如图，在中，点D为线段BC的中点，点E，F分别是线段AD上靠近D，A的三等分点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】，则①；
，则②；
①②两式相加，，即，
故选：C.
【例2-2】（2023·河南·校联考模拟预测）在平行四边形ABCD中，点E满足，，则（ ）
A．B．C．D．1
【答案】A
【解析】因为，则，
整理得，可得，
所以.
故选：A.
【变式】
1（2023·江苏徐州·徐州市第七中学校考一模）在平行四边形中，､分别在边､上，，与相交于点，记，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】过点作平行于，交于点，
因为，则为的中点，所以且，
因为，所以，
由可得：，所以，
因为，
所以，
故选：.
2．（2023·海南海口·海南华侨中学校考二模）如图，在中，是的中点，与交于点，则（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【解析】在中，设，由，可得，故．
又是的中点，，所以，所以．
由点三点共线，可得，解得，
故．
故选：A．
3．（2023·湖南娄底·娄底市第三中学校联考三模）2000多年前，古希腊雅典学派的第三大算学家欧道克萨斯首先提出黄金分割.所谓黄金分割点，指的是把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比，黄金分割比为.如图，在矩形中，与相交于点，，且点为线段的黄金分割点，则（ ）

A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由题意得，显然，，
同理有，，
所以，故，
因为
，
所以.
故选：D
考法三 平面向量的数量积
【例3-1】（2022·全国·统考高考真题）已知向量满足，则（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】C
【解析】∵，
又∵
∴9，
∴
故选：C.
【例3-2】（2023·全国·统考高考真题）正方形的边长是2，是的中点，则（ ）
A．B．3C．D．5
【答案】B
【解析】方法一：以为基底向量，可知，
则，
所以；
方法二：如图，以为坐标原点建立平面直角坐标系，
则，可得，
所以；
方法三：由题意可得：，
在中，由余弦定理可得，
所以.
故选：B.
【变式】
1．（2023·河南·校联考模拟预测）已知等边三角形的边长为2，D，E分别是，上的点，且，，则（ ）
A．2B．C．D．
【答案】D
【解析】，
，
∴
．
故选：D．
2．（2023·全国·统考高考真题）已知向量，满足，，则 ．
【答案】
【解析】法一：因为，即，
则，整理得，
又因为，即，
则，所以.
法二：设，则，
由题意可得：，则，
整理得：，即.
故答案为：.
3．（2023·河北保定·统考二模）在中，点在边上，平分，若，，则 ．
【答案】1
【解析】延长至点，使，连接，
延长交于点，过点作的平行线交于．

平分，，为的中点，得，
，，可得，
．
，，，
可得，
．
故答案为：1．
考法四 平面向量的共线定理
【例4-1】（2023·山西临汾·统考一模）已知、为不共线的向量，，，，则（ ）
A．三点共线B．三点共线
C．三点共线D．三点共线
【答案】C
【解析】因为、为不共线的向量，所以、可以作为一组基底，
对于A：，，若存在实数使得，
则，所以，方程组无解，所以与不共线，故、、三点不共线，即A错误；
对于B：因为，，所以，
同理可以说明不存在实数，使得，即与不共线，故、、三点不共线，即B错误；
对于C：因为，，
所以，
又，所以，故、、三点共线，即C正确；
对于D：，，
同理可以说明不存在实数，使得，即与不共线，故、、三点不共线，即D错误；
故选：C
【例4-2】（2023·河北沧州·校考模拟预测）在中，点为与的交点，，则（ ）
A．0B．C．D．
【答案】B
【解析】因为，所以为中点，
三点共线，故可设，即，
整理得，
因为，所以，即，
三点共线，
可得，
所以，解得，
可得，则，.
故选：B
【变式】
1．（2023·广东广州·统考模拟预测）在中，是边上一点，且是上一点，若，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由，得出，
由得
，
因为三点共线，所以，解得.
故选：D.
2．（2023·湖南长沙·长沙市实验中学校考三模）如图，在中，M为线段的中点，G为线段上一点，，过点G的直线分别交直线，于P，Q两点，，，则的最小值为（ ）．
A．B．C．3D．9
【答案】B
【解析】因为M为线段的中点，所以，又因为，所以，
又，，所以，
又三点共线，所以，即，
所以，
当且仅当，即时取等号.
故选：B.
3．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测），是两个不共线的向量，已知，，且三点共线，则实数 .
【答案】
【解析】依题意得，，于是，
由三点共线可知，存在，使得，即，
由于，是两个不共线的向量，则，解得.
故答案为：
考法五 平面向量中的取值范围
【例5-1】（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）在边长为2的菱形中，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】边长为2的菱形中，，如图所示，

则，，
，，
，
由于，所以当时，有最小值.
故选：B
【例5-2】（2023·山东潍坊·昌乐二中校考模拟预测）已知平面向量、、满足，，，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】不失一般性，在平面直角坐标系中，设，，，
因为，，，
所以，，
当且仅当时，等号成立.
因此，的最小值为.故选：C.
【变式】
1．（2023·河南开封·统考模拟预测）折扇又名“撒扇”、“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1．其展开几何图是如图2的扇形，其中，，，点在上，则的最小值是 ．

【答案】
【解析】如下图，，
若为中点，且，则，
则，
要使其最小，只需共线，

此时，由图知此时.
故答案为：.
2．（2023·四川成都·校联考二模）平面向量，满足，且，则的最小值是 ．
【答案】/
【解析】由两边平方得．
又因为，所以，
所以，当且仅当时取等号，
所以的最小值是.
故答案为：.
3．（2023·河南郑州·统考模拟预测）已知中，，，，，，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由，结合向量加法法则知：到的距离为2，
又，则，所以，故为等腰直角三角形，
由，则，所以共线，
又，则，若为的两个四等分点，为中点，如下图示，

所以在线段上运动，且，，，
由图：若，则，又，此时，
故上述情况，易知，
由图知：与重合时，，
综上，的取值范围为.
故选：D
4．（2023·全国·统考高考真题）已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】如图所示，，则由题意可知:，
由勾股定理可得

当点位于直线异侧时或PB为直径时，设，
则：
，则
当时，有最大值.

当点位于直线同侧时，设，
则：
，
，则
当时，有最大值.
综上可得，的最大值为.
故选：A.
考法六 平面向量与四心
【例6】（2023春·福建莆田·高一福建省仙游县华侨中学校考阶段练习）已知O，N，P，I在所在的平面内，则下列说法不正确的是（ ）
A．若，则O是的外心
B．若，则I是的内心
C．若，则P是的垂心
D．若，则N是的重心
【答案】B
【解析】对于选项A：若，即到的距离相等，
根据外心的定义可知：O是的外心，故A正确；
对于选项B：若，则，
即I是三边高线的交点，所以I是的垂心，故B错误；
对于选项C：若，
则，即，
同理可得：，由选项B可知：P是的垂心，故C正确；
对于选项D：若，则（D为AB的中点），
即，根据重心的性质可知：N是重心，故D正确；
故选：B.
【变式】
1．（2023春·河南濮阳·高一统考期末）点为所在平面内的点，且有，，，则点分别为的（ ）
A．垂心，重心，外心B．垂心，重心，内心
C．外心，重心，垂心D．外心，垂心，重心
【答案】A
【解析】由，得，
即，
则，
得
所以，则，同理可得，，
即是三边上高的交点，则为的垂心；
由，得，
设的中点为，则，即，，三点共线，
所以在的中线上，同理可得在的其余两边的中线上，
即是三边中线的交点，故为的重心；
由，得，即，
又是的中点，所以在的垂直平分线上，
同理可得，在，的垂直平分线上，
即是三边垂直平分线的交点，故是的外心，
故选：A
2．（2023春·广东珠海）（多选）在所在平面内，点满足，其中，m，，，，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，直线AP一定经过的重心
B．当时，直线AP一定经过的外心
C．当，时，直线AP一经过的垂心
D．当，时，直线AP一定经过的内心
【答案】AC
【解析】对于A，因为，，所以，
设点为的中点，所以，
所以，所以直线AP一定经过的重心，所以A正确，

对于B，当时，，
因为为与同方向的单位向量，为与同方向的单位向量，
所以平分，
所以直线AP一定经过的内心，所以B错误，
对于C，当，时，，
所以
，
所以，所以直线AP一经过的垂心，所以C正确，
对于D， 当，时，，
作于，则， ，
所以，
所以直线AP一定经过的重心，所以D错误，
故选：AC

3．（2023春·湖北 ）（多选）在所在的平面上存在一点，，则下列说法错误的是（ ）
A．若，则点的轨迹不可能经过的外心
B．若，则点的轨迹不可能经过的垂心
C．若，则点的轨迹可能经过的重心
D．若，则点的轨迹可能经过的内心
【答案】ABC
【解析】若，根据向量共线的推论知：共线，即在直线上，
中，当时，则的中点为三角形外心，故有可能为外心，A错；
若，不妨取
当时,
此时的轨迹经过的垂心，B错；
若为的重心，必有，此时，C错；
若，设为等边三角形，结合，
则点在的中线上，也在的平分线上，的轨迹可能经过的内心，D正确.
故选：ABC
4．（2023春·江苏扬州 ）（多选）已知直角三角形满足，，则下列结论正确的是（ ）
A．若点为的重心，则；
B．若点为的外心，则；
C．若点为的垂心，则；
D．若点为的内心，则．
【答案】ABD
【解析】对于A ，设BC 的中点为 D ，则,
点为的重心，，A正确，
对于B ，直角三角形满足,点为的外心，O 为 BC 的中点，
，B正确，
对于C，直角三角形 满足 A =90°, 点为的垂心，的垂心O 与 A 重合，．C错误;
对于D，设直角三角形内切圆的半径为 r ,, 如下图，

OE = OF =1,
四边形 AEOF 为正方形， ,D正确．
故选： ABD .
考法七 平面向量巧建坐标
【例7】（2023·陕西商洛·镇安中学校考模拟预测）在Rt△ABC中，，，，若动点P满足，则的最大值为（ ）
A．16B．17C．18D．19
【答案】B
【解析】如图，以B为坐标原点，，的方向分别为x轴、y轴的正方向，建立平面直角坐标系，
则，，．
设，则．
因为，所以P是圆A：上的点．
又点P与点距离的最大值为，即，
所以．
故的最大值为17．
故选：B.

【变式】
1（2022·北京·统考高考真题）在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】依题意如图建立平面直角坐标系，则，，，
因为，所以在以为圆心，为半径的圆上运动，
设，，
所以，，
所以
，其中，，
因为，所以，即；
故选：D
2．（2023·重庆·统考模拟预测）在正方形中，动点从点出发，经过，，到达，，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】以为坐标原点，，所在直线分别为轴，轴，建立平面直角坐标系，
设，则，
当点在上时，设，
则，即，故，
当点在上时，设，
则，即，解得，
故，
当点在上时，设，
则，即，故
综上，的取值范围是.
故选：B
3．（2023·广东东莞·统考模拟预测）如图所示，梯形中，，且，点P在线段上运动，若，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】如图建立平面直角坐标系，
则，
∴，
设，，
∴，
又，
∴，
解得，
∴，
即的最小值为.故选：B.
考法八 平面向量与奔驰定理
【例8-1】（2023春·江苏盐城 ）（多选）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车(Mercedesbenz)的lg很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知是内一点，，，的面积分别为，则，是内的一点，∠，∠，∠分别是的三个内角，以下命题正确的有（ ）
A．若，则
B．若，，且，则
C．若，则为的垂心
D．若为的内心，且，则
【答案】BCD
【解析】对选项A：，则，错误；
对选项B：，，
故，，正确；
对选项C：，即，故，
同理可得，，故为的垂心，正确；
对选项D：，故，设内接圆半径为，
，，，即，
即，，正确.
故选：BCD
【例8-2】（2023春·宁夏银川 ）已知点O是内一点，满足，，则实数m为 ．
【答案】
【解析】如图，令，则：
三点共线；
与共线反向，；
；-
解得．

故答案为：.
【变式】
1．（2023秋·福建厦门·高二厦门一中校考开学考试）已知为的外心，，，，则的面积为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】设的中点为D，由为的外心可得，，
，
又，
所以，
又，可得，
故，则的面积为，
故选：D.

2．（2023秋·河北保定·高三校联考阶段练习）（多选）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的标志很相似，所以形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知是内一点，，，的面积分别为，，，则．设是内一点，的三个内角分别为，，，，，的面积分别为，，，若，则以下命题正确的有（ ）

A．
B．有可能是的重心
C．若为的外心，则
D．若为的内心，则为直角三角形
【答案】AD
【解析】对于A，由奔驰定理可得，，
因为，，不共线，所以，故A正确；
对于B，若是的重心，，
因为，所以，即共线，故B错误．
对于C，当为的外心时，，
所以，
即，故C错误．
对于D，当为的内心时，（为内切圆半径），
所以，所以，故D正确.
故选：AD.
3．（2023秋·江西宜春）（多选）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的三叉车标很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知O是内的一点，，，的面积分别为、、，则有，设O是锐角内的一点，，，分别是的三个内角，以下命题正确的是（ ）．
A．若，则O为的重心
B．若，则
C．若O为（不为直角三角形）的垂心，则
D．若，，，则
【答案】ABC
【解析】对于A，设的中点为D，则，

即三点共线，则，
设为的中点，同理可得，
故O为的重心，A正确；
对于B，若，结合，
可知，B正确；
对于C，，，
，
又O为（不为直角三角形）的垂心，设延长后交与G，则,
同理，则，
即，
同理，

故，同理，
又，
，
又O为（不为直角三角形）的垂心，
则，
故，即，
同理，
则
，
同理，
故
，
又，可得，C正确；
对于D，中，，，则，
又，故，
则，
故，D错误，
故选：ABC
考法九 平面向量中的新定义
【例9】（2023·江西鹰潭·贵溪市实验中学校考模拟预测）设向量与的夹角为，定义.已知向量为单位向量，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意得，
解得，
又，所以，
所以.
故选：C
【变式】
1．（2023·辽宁·校联考模拟预测）定义：，其中为向量与的夹角．若，，，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】，，又，，
.
故选：D.
2．（2023·河南·校联考模拟预测）向量的夹角为，定义运算“”：，若，则的值为 .
【答案】
【解析】因为，
所以，
则，所以.
故答案为：.
3（2022秋·重庆北碚·高三西南大学附中校考阶段练习）（多选）设非零向量，的夹角为，定义运算.下列叙述正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．设在中，，，则
D．（为任意非零向量）
【答案】AC
【解析】非零向量，的夹角为，定义运算，
对于A：若，则，即，又，
所以或，故A正确；
对于B：当，则，因为，所以，所以，故B错误；
对于C：在中，，，所以，所以，故C正确；
对于D：其中为与的夹角，
其中为与的夹角，其中为与的夹角，
则，
令，，，此时，，，
则不成立，故D错误；故选：AC
考点十 平面向量与其他知识综合
【例10-1】（2023·江苏苏州·苏州中学校考模拟预测）已知，，，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为，所以，，
，所以或，
又，所以，所以，所以，故选：B.
【例10-2】（2023·河北衡水·衡水市第二中学校考模拟预测）复数在复平面内对应的点是A，其共轭复数在复平面内对应的点是B，O是坐标原点.若A在第一象限，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设，则，由得：，
因为，所以，故，
故.故选：B
【变式】
1（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）已知点和数列满足，若分别为数列的前项和，则（ ）
A．B．C．D．0
【答案】D
【解析】由题意可得：，
则，
∵，则，
由，则，
同理，，
即数列均是周期为6的数列，而，
故选：D.
2．（2023·浙江·统考一模）（多选）已知O为坐标原点，点，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABC
【解析】对于A，因为，，，
所以，，
故是正三角形，则，故A正确；
对于B，因为是正三角形，是的外心，
所以是的重心，故，即，故B正确；
对于C，，故C正确；
对于D，因为，则，
所以，故D错误.
故选：ABC．
.
3．（2023·全国·模拟预测）已知在△ABC中，∠BAC=60°，点D为边BC的中点，E，F分别为BD，DC的中点，若AD=1，则的最大值为______．
【答案】
【解析】设AC=b，AB=c，
则，
∵D为边BC的中点，
∴，
∴，即：，①
又∵，当且仅当时取等号. ②
∴由①②得：.
又∵E、F分别为BD、DC的中点，
∴，，
∴，当且仅当时取等号.
∴的最大值为.故答案为：.
一、单选题
1．（2023·北京·统考高考真题）已知向量满足，则（ ）
A．B．C．0D．1
【答案】B
【解析】向量满足，
所以.
故选：B
2．（2023·全国·统考高考真题）已知向量，若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】因为，所以，，
由可得，，
即，整理得：．
故选：D．
3．（2022·全国·统考高考真题）已知向量，若，则（ ）
A．B．C．5D．6
【答案】C
【解析】,,即,解得,
故选：C
4．（2022·全国·统考高考真题）已知向量，则（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】D
【解析】因为，所以.
故选：D
5．（2022·全国·统考高考真题）在中，点D在边AB上，．记，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为点D在边AB上，，所以，即，
所以．
故选：B．
6．（2023·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考模拟预测）若向量，且，则（ ）
A．1B．5C．D．
【答案】D
【解析】由向量，可得，
因为，可得，解得，
所以，可得.
故选：D.
7．（2023·贵州·校联考模拟预测）已知向量，，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】，，
故，化简得.
故选：C
8．（2023·全国·统考高考真题）已知向量，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为，所以，
则，，
所以.
故选：B.
9．（2023·浙江·模拟预测）已知平面向量的夹角为，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】，，即，
，.故选：A.
10．（2023·贵州六盘水·统考模拟预测）已知是相互垂直的单位向量.若向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】因为是相互垂直的单位向量，
所以.
又，，所以，
所以，
又，
所以向量在向量上的投影向量为.故选：B
11．（2023·福建龙岩·统考二模）已知向量，，，，若，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为向量，，，，
所以，，向量在向量方向上的投影向量为.
故选：C
12．（2023·海南·海南中学校考三模）勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形.在如图所示的勒洛三角形中，已知，P为弧AC上的一点，且，则的值为（ ）

A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】如图所示，

以B为坐标原点，直线BC为x轴，过点B且垂直于BC的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则，，由，得，所以，，所以.
故选：C.
13．（2023·重庆巴南·统考一模）如图所示，正方形的边长为2，点，，分别是边，，的中点，点是线段上的动点，则的最小值为（ ）

A．B．3C．D．48
【答案】A
【解析】如图建立平面直角坐标系，则、、、，
设，，（），则，
所以，
所以，即，
所以，，
所以
，
又，所以当时取得最小值为.

故选：A
14．（2023·四川·校联考模拟预测）已知向量，，则下列命题不正确的是（ ）
A．B．若，则
C．存在唯一的使得D．的最大值为
【答案】D
【解析】由向量，，
对于A中，由，所以A正确；
对于B中，若，可得且，可得，所以B正确；
对于C中，若，可得，整理得，
所以，可得，因为，可得，所以C正确；
对于D中，由，
因为，所以，可得，
所以的最大值为，即的最大值为，所以D错误.
故选：D.
15．（2023·浙江·模拟预测）在中，是上靠近的四等分点，与交于点，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】如图，连接，设
，由三点共线，
设
，
则，
，
可得，解得，所以.
故选：A.

16．（2023·重庆·统考模拟预测）已知在三角形ABC中，，，，点M，N分别为边AB，AC上的动点，，，其中x，，，点P，Q分别为MN，BC的中点，则取得最小值时，（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由于P，Q分别为MN，BC的中点，所以,,
所以 ,
因此 ，对称轴为 ，故当时，最小，故此时,
故选:B
17．（2023·全国·模拟预测）已知正方体的棱长为2，动点P满足，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】如图所示，连接、交于点E，
则，
∴，则点P在以E为球心，1为半径的球面上，
易知点P的运动轨迹在平面ABCD内的射影为正方形ABCD的内切圆及圆内部，
设AC与该圆交于点、(靠近点A)．
设与的夹角为，则，
，，
∴．
因此，
即的取值范围为．

故选:C．
18．（2023·河南·校联考模拟预测）如图，在平行四边形中，分别为上的点，且，连接交于点，若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设则
显然得
显然
因为所以有即
根据向量的性质可知解得故选：C
19．（2023·安徽滁州·安徽省定远中学校考一模）在中，点D在边BC上，且，，记中点分别为，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
在中，，
因为，所以，
所以，可整理得
即，
所以整理得，
因为，中点分别为，
所以
，
所以在中，，
因为，且即，
所以，
所以，
故选：A
20．（2023·全国·统考高考真题）已知向量满足，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为,所以,
即,即,所以.
如图,设,
由题知,是等腰直角三角形,
AB边上的高,
所以,
,
.
故选:D.
21．（2023·福建·校联考模拟预测）设向量与单位向量满足，对任意都有，则的最小值为（ ）
A．B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】由，可得，
即对任意恒成立，
则满足，即，所以，
设向量与的夹角为，可得，所以，
则，
当时，可得.
故选：B.
22．（2023·福建厦门·厦门一中校考二模）在中，已知，，，若，且，，则在上的投影向量为（为与同向的单位向量），则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由余弦定理得，
解得，

因为，由勾股定理逆定理得⊥，
，
则，
因为，，所以，
，
在上的投影向量为，故，
令，则，
令，
因为，所以，故当时，，
当时，，，
故，
故选：B
23．（2023·湖南长沙·周南中学校考二模）已知菱形ABCD的边长为1，，G是菱形ABCD内一点，若，则（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】A
【解析】在菱形ABCD，菱形ABCD的边长为1，，
所以，
所以，则为等边三角形，因为，
所以，设点M为BC的中点，则，所以，
所以G，A，M三点共线，所以AM为BC的中线，
所以，
同理可得点AB，AC的中线过点G，
所以点G为的重心，故，
在等边中，M为BC的中点，则，
所以.
故选：A

24．（2023·河南郑州·校联考二模）在中，，，，是的外接圆上的一点，若，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由余弦定理得，所以，所以，所以．以AC的中点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，易得A（－1，0），C（1，0），B（－，），设P的坐标为，所以，，，又，所以，所以，，所以，当且仅当时，等号成立．
故选：B．
25．（2023春·黑龙江牡丹江·高一牡丹江一中校考阶段练习）若O是△ABC所在平面上一定点，H，N，Q在△ABC所在平面内，动点P满足， ，则直线AP一定经过的____心，点H满足，则H是的____心，点N满足，则N是的____心，点Q满足，则Q是的____心，下列选项正确的是（ ）
A．外心，内心，重心，垂心B．内心，外心，重心，垂心
C．内心，外心，垂心，重心D．外心，重心，垂心，内心
【答案】B
【解析】，变形得到，
其中分别代表方向上的单位向量，
故所在直线一定为的平分线，
故直线AP一定经过的内心，
，即点到三个顶点相等，故点是的外心，
因为，所以，
如图，取的中点，连接，
则，所以，
故三点共线，且，
所以是的重心，

由可得，
故，同理可得，
故为三条高的交点，为的垂心.
故选：B
26．（2023·全国·高三专题练习）在中，若，则点是的（ ）
A．重心B．内心C．垂心D．外心
【答案】B
【解析】过点分别作，，的垂线，，，其垂足依次为，如图所示，
由于，
根据奔驰定理就有：
，
即，
因此，故点是的内心，B选项正确.
故选：B

27．（2023·河南开封·统考三模）已知、为单位向量，，非零向量满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由得，即，
则，∴，
∵，∴，
设，，，，如图，

则，
故点C在以点D为圆心，半径为1的圆上运动，
∴，当A、D、C三点共线时取等号，
在中，，则，
所以的最小值为，故选：B．
28．（2023·陕西渭南·统考一模）青花瓷，又称白地青花瓷，常简称青花，是中国瓷器的主流品种之一．如图1，这是一个青花瓷圆盘．该圆盘中的两个圆的圆心重合，如图2，其中大圆半径，小圆半径，点在大圆上，过点作小圆的切线，切点分别是，，则（ ）
A．B．C．4D．5
【答案】B
【解析】由题意可知：，，
因为为切线，所以，如图，
由勾股定理可得：，所以,
由，，
过，
所以，
故选：.
29．（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）已知点和数列满足，若分别为数列的前项和，则（ ）
A．B．C．D．0
【答案】D
【解析】由题意可得：，
则，
∵，则，
由，则，
同理，，
即数列均是周期为6的数列，而，
故选：D.
30．（2023·福建厦门·统考模拟预测）已知定点在边长为1的正方形外，且，对正方形上任意点，都有的面积，则的最大值为（ ）
A．B．C．1D．
【答案】C
【解析】如图建立平面直角坐标系，则，，，，
因为，所以在线段的垂直平分线上，又，
即，所以，
则，所以，即，
设，则，，
所以，解得或，
又定点在边长为1的正方形外，所以，
设，则，，
所以，
若在线段上，则，，
此时，
因为，则，
所以，则，
若在线段上，则，，
此时，
因为，则，
所以，则，
若在线段上，则，，
此时，
因为，则，
所以，则，
若在线段上，则，，
此时，
因为，则，
所以，则，
综上可得，
即，当且仅当，即点位于点时取得最大值.
故选：C
多选题
31．（2023·安徽宿州·统考一模）（多选）已知平面向量，，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则向量在上的投影向量为D．若，则向量与的夹角为锐角
【答案】AB
【解析】若，根据平面向量共线性质可得，即，所以A正确；
若，可得，即，解得，所以B正确；
若，，由投影向量定义可知向量在上的投影向量为，即C错误；
若，则，所以；
但当时，，即此时向量与的夹角为零角，所以D错误.
故选：AB
32．（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知对任意平面向量，把绕其起点A沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转角得到点P．已知平面内点，点，把点B绕点A沿顺时针方向旋转后得到点，逆时针旋转，后分别得到点，则（ ）
A．B．
C．D．点的坐标为
【答案】ABD
【解析】点，点，,把点B绕点A沿顺时针方向旋转(即按逆时针方向旋转 ) 后得到点，,可得，故D正确；
把点B绕点A沿逆时针旋转后得到点,
,可得
，故A正确；
把点B绕点A沿逆时针旋转后得到点,
,
即，故B正确；
C. ,
，即，故C错误；
故选：ABD
33．（2022秋·山东青岛·高三统考期末）（多选）已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点绕点A沿逆时针方向旋转角得到点.已知平面内点，点，，，点绕点A沿逆时针方向旋转角得到点，则（ ）
A．B．
C．的坐标为D．的坐标为
【答案】ACD
【解析】由题意可知点，点，故，
因为，故 ，
又，即，故，
所以，，故B错误，C正确；
因为点绕点A沿逆时针方向旋转角得到点，
所以，
则由,可得点坐标为，故D正确；
故，则，A正确，
故选：ACD
34．（2022·全国·统考高考真题）已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，若，则（ ）
A．直线的斜率为B．
C．D．
【答案】ACD
【解析】对于A，易得，由可得点在的垂直平分线上，则点横坐标为，
代入抛物线可得，则，则直线的斜率为，A正确；
对于B，由斜率为可得直线的方程为，联立抛物线方程得，
设，则，则，代入抛物线得，解得，则，
则，B错误；
对于C，由抛物线定义知：，C正确；
对于D，，则为钝角，
又，则为钝角，
又，则，D正确.
故选：ACD.
35．（2023·广东潮州·统考二模）设向量，，则下列说法正确的是（ ）
A．B．C．D．在上的投影向量为
【答案】ACD
【解析】由题意可知，，故，A正确；
因为，故不平行，B错误；
因为，故，C正确；
由于，，
故在上的投影向量为，D正确，
故选：ACD
36．（2023·福建龙岩·福建省龙岩第一中学校考模拟预测）已知向量，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若为锐角，则
C．若在上的投影向量为，则
D．的最小值为1，最大值为3
【答案】AC
【解析】若，则，解得，所以，故A正确；
若为锐角，则，且与不能同向共线，所以，故B错误；
若在上的投影向量为，则，
即，解得，所以，故C正确；
因为，所以，
因为，则，则，
所以，即，
所以，故D错误.
故选：AC
37．（2023·海南·统考模拟预测）已知向量，，则下列说法正确的是（ ）．
A．若，则B．的取值范围为
C．满足的的值有2个D．存在，使得
【答案】BC
【解析】对于A，由得，即，故A错误；
对于B，，
因为，所以，，
，故B正确；
对于C，
因为，所以，所以或，
得或，故C正确；
对于D，等价于，的方向相反，而，结合C的分析可知，不存在满足的条件，故D错误．
故选：BC
38．（2023·湖北黄冈·统考模拟预测）点，分别是的外心､垂心，则下列选项正确的是（ ）
A．若且，则
B．若，且，则
C．若，，则的取值范围为
D．若，则
【答案】BCD
【解析】A.由，可知，点共线，
又可知，点在的角平分线上，
所以为的角平分线，与不一定相等，故A错误；
B.若，则点是的中点，点又是的外心，
所以，，故B正确；
C. 因为，所以，如图，建立平面直角坐标系，

设，，，
因为，所以，
得，，
，，
，，则，故C正确；
D.因为，所以，
即，则，
同理，，所以，
设，
因为，所以，
即，则，
，即，
则，
，，故D正确.
故选：BCD
39．（2023春·四川成都·高一成都七中校考阶段练习）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知M是内一点，，，的面积分别为，，，且．以下命题正确的有（ ）
A．若，则为的重心
B．若为的内心，则
C．若，，为的外心，则
D．若为的垂心，，则
【答案】ABD
【解析】对于A，取BC的中点D，连接MD，AM，
由，则，
所以，
所以A，M，D三点共线，且，
设E，F分别为AB，AC的中点，同理可得，，
所以为的重心，故A正确；
对于B，由为的内心，则可设内切圆半径为，
则有，，，
所以，
即，故B正确；
对于C，由为的外心，则可设的外接圆半径为，
又，，
则有，，，
所以，
，
，
所以，故C错误；
对于D，如图，延长AM交BC于点D，延长BM交AC于点F，延长CM交AB于点E，
由为的垂心，，则，
又，则，，
设，，则，，
所以，即，
所以，所以，故D正确；
故选：ABD．
40．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）在直角梯形中，为中点，分别为线段的两个三等分点，点为线段上任意一点，若，则的值可能是（ ）

A．1B．C．D．3
【答案】AB
【解析】
如图，以A为坐标原点建立平面直角坐标系，
不妨设，则，
则
设，则
∵，
∴，
∴整理得，
因为，所以
故选：AB.
三、填空题
41．（2022·浙江·统考高考真题）设点P在单位圆的内接正八边形的边上，则的取值范围是 ．
【答案】
【解析】以圆心为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示：
则,，设,于是，
因为，所以，故的取值范围是.
故答案为：．
42．（2022·全国·统考高考真题）设向量，的夹角的余弦值为，且，，则 ．
【答案】
【解析】与的夹角为，因为与的夹角的余弦值为，即，
又，，所以，
所以．
故答案为：．
43．（2023·陕西西安·西安市第三十八中学校考模拟预测）在平行四边形中，为的重心，，则 ．
【答案】/
【解析】如图，设与相交于点，又为的重心，
所以为的中点，，
则，
则，故．

故答案为：
44．（2023·吉林长春·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）如图,在平行四边形中,点E是CD的中点,点F为线段BD上的一个三等分点,且,若,则 .
【答案】
【解析】由题知点F为线段BD上的一个三等分点,所以,
所以
,
因为不共线,所以,故.
故答案为:
45．（2023·江西鹰潭·统考一模）十七世纪法国业余数学家之王的皮埃尔•德•费马提出的一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”它的答案是:当三角形的三个角均小于时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角:当三角形有一内角大于或等于时，所求点为三角形最大内角的顶点.在费马问题中所求的点称为费马点.已知分别是三个内角的对边，且，若点为的费马点，则 .
【答案】
【解析】由于，所以三角形的三个角都小于，
则由费马点定义可知：，
设，由得：
，整理得，
则
.
故答案为：

46．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）在中，点是的中点，点在上，且，，则 .
【答案】
【解析】依题意，又点在上，且，
所以，所以，解得，
即，
所以，
又，所以，，
所以.
故答案为：
47．（2023·湖南长沙·周南中学校考三模）如图，在中，点是边上一点且，是边的中点，直线和直线交于点，若是的平分线，则 .

【答案】
【解析】记，，以、为邻边作平行四边形，
因为，则平行四边形为菱形，所以，平分，
且，
因为平分，则、共线，
则存在，使得，

因为、、三点共线，则、共线，则存在，
使得，即，可得，
因为为的中点，所以，，
因为、、三点共线，则、共线，
所以，存在，使得，即，
所以，，
因为、不共线，则，解得，
故，
又因为，所以，，故.
故答案为：.
48．（2023·上海·统考模拟预测）设向量，，记，若圆上的任意三点，，，且，则的最大值是 .
【答案】64
【解析】设出，，三点坐标，由得出为直径，故得到关系式，代入中得到其值为，利用圆的参数方程设出点坐标代入中，利用辅助角公式求最值即可.
【详解】整理圆的方程可得
故圆心为，半径为
设，由可得为圆的直径
由此可得
则
又在圆上
设
故的最大值为
故答案为：64
49．（2023·上海杨浦·同济大学第一附属中学校考三模）对任意两个非零的平面向量和，定义，若平面向量、满足，与的夹角，且和都在集合中，则
【答案】
【解析】因为，故．
又由，则，，可设，，令，，且，
又夹角，所以，
对，进行赋值即可得出，所以．
故答案为：．
50．（2023·辽宁大连·大连二十四中校考模拟预测）已知是平面内的三个单位向量，若，则的最小值是 ．
【答案】
【解析】均为单位向量且，不妨设，，且，
，，
，
的几何意义表示的是点到和两点的距离之和的2倍，
点在单位圆内，点在单位圆外，
则点到和两点的距离之和的最小值即为和两点间距离，
所求最小值为.
故答案为：