2024年高考数学二轮复习专题05函数性质的综合运用(选填题7种考法)(原卷版+解析)

这是一份2024年高考数学二轮复习专题05函数性质的综合运用(选填题7种考法)(原卷版+解析)，共80页。试卷主要包含了函数的单调性，函数的奇偶性，解不等式，函数性质的综合运用，函数的图像，抽象函数等内容，欢迎下载使用。

考法一 函数的单调性
【例1-1】（2023·全国·统考高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【例1-2】（2023·陕西汉中·校联考模拟预测）已知，且，函数在上单调，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式】
1．（2023·河南·校联考模拟预测）下列函数中，在区间上单调递增的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·吉林长春·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递增的是（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·吉林长春·东北师大附中校考一模）下列函数中，即是奇函数又是增函数的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2023·河南·校联考模拟预测）（多选）已知函数在R上单调递增，函数在上单调递增，在上单调递减，则（ ）
A．函数在R上单调递增
B．函数在上单调递增
C．函数在上单调递减
D．函数在上单调递减
考法二 函数的奇偶性
【例2-1】（2023·全国·统考高考真题）已知是偶函数，则（ ）
A．B．C．1D．2
【例2-2】（2023·山东·校联考模拟预测）若函数在其定义域上是奇函数，则的值为（ ）
A．B．3C．或3D．不能确定
【变式】
1．（2023·全国·统考高考真题）若为偶函数，则（ ）．
A．B．0C．D．1
2．（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）已知函数为奇函数，则的值是（ ）
A．0B．C．12D．10
3．（2023·辽宁鞍山·鞍山一中校考二模）下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的函数是（ ）
A．B．
C．D．
考法三 解不等式
【例3-1】（2023·四川雅安·校考模拟预测）已知函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【例3-2】（2023·安徽·池州市第一中学校考模拟预测）设函数则满足的的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【变式】
1．（2023·安徽·池州市第一中学校联考模拟预测）定义在上的函数满足：对，且都有，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·河南·统考模拟预测）函数是定义在上的奇函数，且在区间上单调递增，若关于实数t的不等式恒成立，则t的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·河南·校联考模拟预测）若定义在上的函数同时满足：①为奇函数；②对任意的，且，都有，则称函数具有性质．已知函数具有性质，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
4．（2023·江西鹰潭·统考一模）已知函数，且，则实数a的取值范围（ ）
A．B．
C．D．
5．（2023·海南·统考模拟预测）已知函数，若对于一切的实数，不等式恒成立，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
考法四 函数性质的综合运用
【例4-1】（2023·河南信阳·信阳高中校考模拟预测）已知函数，则（ ）
A．是偶函数B．是奇函数
C．的图象关于直线对称D．的图象关于点成中心对称
【例4-2】（2023·安徽·池州市第一中学校联考模拟预测）已知定义在上的偶函数满足，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数的一个周期为2
C．
D．函数的图象关于直线对称
【例4-3】（2023·陕西汉中·校联考模拟预测）已知函数是上的偶函数，且的图象关于点对称，当时，，则的值为（ ）
A．-2B．-1C．0D．1
【变式】
1．（2022·全国·统考高考真题）已知函数的定义域均为R，且．若的图像关于直线对称，，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·湖北黄冈·统考模拟预测）已知函数及其导函数定义域均为，记，且，为偶函数，则（ ）
A．0B．1C．2D．3
3．（2023·陕西西安·校考三模）已知是定义域为的奇函数，若的最小正周期为1，则下列说法中正确的个数是（ ）
① ②
③的一个对称中心为 ④的一条对称轴为
A．个B．个C．个D．个
4．（2023·辽宁抚顺·校考模拟预测）（多选）已知函数是定义域为的奇函数，，若，，，则（ ）
A．的图象关于点对称B．是周期为4的周期函数
C．D．
考法五 函数的图像
【例5-1】（2022·天津·统考高考真题）函数的图像为（ ）
A．B．C．D．
【例5-2】（2023·天津·统考高考真题）函数的图象如下图所示，则的解析式可能为（ ）

A．B．
C．D．
【变式】
1．（2022·全国·统考高考真题）如图是下列四个函数中的某个函数在区间的大致图像，则该函数是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·全国·统考高考真题）函数在区间的图象大致为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·河南·统考模拟预测）函数的大致图像是（ ）
A． B．
C． D．
考法六 抽象函数
【例6】（2022·全国·统考高考真题）已知函数的定义域为R，且，则（ ）
A．B．C．0D．1
【变式】
1（2023·河南·模拟预测）已知不恒等于零的函数的定义域为，满足，且，则下列说法正确的是（ ）
A．B．的图象关于原点对称
C．D．的最小正周期是6
2．（2023·黑龙江佳木斯·佳木斯一中校考模拟预测）函数对任意x，总有，当时，，，则下列命题中正确的是（ ）
A．是偶函数B．是R上的减函数
C．在上的最小值为D．若，则实数x的取值范围为
3．（2023·全国·统考高考真题）已知函数的定义域为，，则（ ）．
A．B．
C．是偶函数D．为的极小值点
考法七 函数角度解三角函数
【例7】（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知，则下列结论错误的是（ ）
A．是周期函数
B．在区间上是增函数
C．的值域为
D．关于对称
【变式】
1．（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）（多选）下列函数中，以为最小正周期的函数是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·全国·河南省实验中学校考模拟预测）（多选）已知函数，则（ ）
A．函数在区间上单调递增
B．直线是函数图象的一条对称轴
C．函数的值域为
D．方程最多有8个根，且这些根之和为
3．（2023·河北保定·河北省唐县第一中学校考二模）（多选）已知函数，则（ ）
A．是的周期
B．的图象有对称中心，没有对称轴
C．当时，
D．对任意，在上单调
一、单选题
1．（2023·四川雅安·校考模拟预测）定义在R上的奇函数满足是偶函数，当时，，则（ ）
A．B．C．0D．2
2．（2023·贵州六盘水·统考模拟预测）若为奇函数，则（ ）
A．－1B．0C．D．1
3．（2023·湖南永州·统考一模）“函数在上单调递减”是“函数是偶函数”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考三模）已知定义在上的奇函数满足，当时，，则（ ）
A．B．1C．0D．
5．（2023·云南·校联考模拟预测）若函数为偶函数，则（ ）
A．2B．1C．D．0
6．（2023·云南昭通·校联考模拟预测）已知函数是定义域为上的奇函数，满足，若，则（ ）
A．2B．3C．4D．5
7．（2023·辽宁抚顺·校考模拟预测）如图为函数的大致图象，其解析式可能为（ ）

A．B．
C．D．
8．（2023·辽宁·校联考模拟预测）若为奇函数，则的单调递增区间是（ ）
A．B．
C．D．
9．（2023·辽宁·校联考模拟预测）已知的定义域为为奇函数，为偶函数，若当时，，则（ ）
A．B．0C．1D．e
10．（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考三模）函数和的定义域均为，且为偶函数，为奇函数，对，均有，则（ ）
A．615B．616C．1176D．2058
11．（2023·陕西西安·西安市大明宫中学校考模拟预测）已知函数满足，，，且在区间上单调，若函数在区间内有4个零点，则a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
12．（2023·福建·校联考模拟预测）已知函数的定义域为，且对任意非零实数，都有.则函数是（ ）
A．奇函数B．偶函数
C．既奇又偶函数D．非奇非偶函数
13．（2023·山东菏泽·山东省鄄城县第一中学校考三模）已知函数，若，不等式恒成立，则正实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
14．（2023·江西宜春·校联考模拟预测）已知函数，若成立，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
15．（2023·广东·校联考模拟预测）设函数为奇函数且在上为减函数，则关于的值表述正确的是（ ）
A．B．
C．D．
16．（2023·甘肃张掖·高台县第一中学校考模拟预测）已知函数的定义域为，的图象关于点对称，，且对任意的，，满足，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
17．（2023·江西九江·统考三模）已知定义在R上的函数在上单调递增，是奇函数，的图像关于直线对称，则（ ）
A．在上单调递减B．在上单调递增
C．在上单调递减D．在上单调递增
二、多选题
18．（2022·全国·统考高考真题）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（ ）
A．B．C．D．
19．（2023·河南·校联考模拟预测）已知非常数函数及其导函数的定义域均为，若为奇函数，为偶函数，则（ ）
A．B．
C．D．
20．（2023·吉林长春·东北师大附中校考一模）已知，下列说法正确的是（ ）
A．时，
B．若方程有两个根，则
C．若直线与有两个交点，则或
D．函数有3个零点
21．（2023·辽宁·校联考模拟预测）已知定义域为的偶函数，使，则下列函数中符合上述条件的是（ ）
A．B．C．D．
22．（2023·浙江·模拟预测）已知定义在上的函数满足且，则（ ）
A．B．
C．为偶函数D．为周期函数
23．（2023·湖南永州·统考一模）已知函数与的定义域均为，，且，为偶函数，下列结论正确的是（ ）
A．4为的一个周期B．
C．D．
24（2023·贵州六盘水·统考模拟预测）设函数的定义域为，其图象关于直线对称，且.当时，，则下列结论正确的是（ ）
A．为偶函数B．
C．的图象关于直线对称D．在区间上单调递减
25．（2023·浙江·模拟预测）设是定义在上的函数，对，有，且，则（ ）
A．
B．
C．
D．
26．（2023·贵州·校联考模拟预测）已知函数，的定义域为，是的导函数，且，，若为偶函数，则（ ）
A．B．
C．D．
27．（2023·广东佛山·华南师大附中南海实验高中校考模拟预测）已知为定义在R上的偶函数，当时，有，且当时，，下列命题正确的是（ ）
A．
B．函数在定义域上是周期为2的函数
C．函数的值域为
D．直线与函数的图象有2个交点
28．（2023·安徽滁州·校考模拟预测）已知函数的定义域，满足，且当时，，则下列说法正确的是（ ）
A．是定义在上的偶函数
B．在上单调递增
C．若，则
D．当是钝角的两个锐角时，
29．（2023·湖南长沙·长沙一中校考模拟预测）定义在R上的偶函数满足，且在上是增函数，则（ ）
A．关于对称B．
C．D．
30．（2023·山东聊城·统考三模）已知函数，则（ ）
A．的最小正周期为
B．的图象关于直线对称
C．时，在区间单调递增
D．时，在区间既有极大值点也有极小值点
31．（2023·江苏淮安·江苏省郑梁梅高级中学校考模拟预测）已知函数定义域为，是奇函数，，函数在上递增，则下列命题为真命题的是（ ）
A．B．函数在上递减
C．若，则D．若，则
32．（2023·浙江·校联考模拟预测）若定义在上的函数满足，且当时，，则下列结论正确的是（ ）．
A．若，，，则
B．若，则
C．若，则的图像关于点对称
D．若，则
33．（2023·重庆·统考模拟预测）已知函数是定义在上的偶函数，满足，当时，，设函数，则下列结论成立的是（ ）
A．函数的图象关于对称
B．
C．当实数时，函数在区间上单调递减
D．在区间内，若函数有4个零点，则实数的取值范围是
34．（2023·湖南常德·常德市一中校考模拟预测）已知函数的定义域为，且，时，，，则（ ）
A．
B．函数在区间单调递增
C．函数是奇函数
D．函数的一个解析式为
35．（2023·辽宁·辽宁实验中学校联考模拟预测）已知函数的定义域为，，且．当时，，则（ ）
A．
B．是偶函数
C．为增函数
D．当，且，时，
三、填空题
36．（2023·全国·统考高考真题）若为偶函数，则 ．
37．（2023·陕西咸阳·咸阳彩虹学校校考模拟预测）已知分别是定义域为的偶函数和奇函数，且，若关于的不等式在上恒成立，则实数的最大值是 ．
38．（2023·海南省直辖县级单位·校考模拟预测）若函数的图象关于轴对称，则 ．
39．（2023·辽宁抚顺·校考模拟预测）已知函数是定义在上的奇函数，若对任意，且，都有，则不等式的解集为 ．
40．（2023·吉林长春·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）已知函数，若不等式恒成立，则a的最小值为 .
41．（2023·河南郑州·三模）已知函数，，对于下述四个结论：
①函数的零点有三个；
②函数关于对称；
③函数的最大值为2；
④函数在上单调递增．
其中所有正确结论的序号为： ．
42．（2023·江西南昌·南昌县莲塘第一中学校联考二模）已知函数，若对定义域内两任意的（），都有成立，则a的取值范围是 ．
43．（2022·浙江·统考高考真题）已知函数则 ；若当时，，则的最大值是 ．
44．（2022·全国·统考高考真题）若是奇函数，则 ， ．
45．（2022·北京·统考高考真题）设函数若存在最小值，则a的一个取值为 ；a的最大值为
专题05 函数性质的综合运用（选填题7种考法）
考法一 函数的单调性
【例1-1】（2023·全国·统考高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减，
则有函数在区间上单调递减，因此，解得，
所以的取值范围是.
故选：D
【例1-2】（2023·陕西汉中·校联考模拟预测）已知，且，函数在上单调，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为函数在上单调，
由函数解析式可得函数在R上单调递增不满足题意，
故在R上单调递减，
所以，解得：.故选：D.
【变式】
1．（2023·河南·校联考模拟预测）下列函数中，在区间上单调递增的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】对于A，函数图象的对称轴为，函数在上单调递减，在上单调递增，故A错误；
对于B，当时，，所以函数在上单调递增，故B正确；
对于C，，函数在上单调递增，在上单调递减，故C错误；
对于D，当时，是常数函数，D错误，
故选：B.
2．（2023·吉林长春·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递增的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】对于A选项：当时，的导函数为，
所以在时单调递减，故A选项不符合题意；
对于B选项：当时，的导函数为，
所以在时单调递减，故B选项不符合题意；
对于C选项：当时，的导函数为，
所以在时单调递减，故C选项不符合题意；
对于D选项：当时，的导函数为，
所以在时单调递增，
又函数的定义域为，且，故D选项符合题意.
故选：D.
3．（2023·吉林长春·东北师大附中校考一模）下列函数中，即是奇函数又是增函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】A选项，在R上单调递减，不合题意；
B选项，，，当时，，单调递减，不合题意；
C选项，，定义域为R，，函数为奇函数，
由函数和都是R上的增函数，所以为R上的增函数，C选项正确；
D选项，，
当时，结合二次函数性质可知，函数单调递减，则单调递减，不合题意.
故选：C.
4．（2023·河南·校联考模拟预测）（多选）已知函数在R上单调递增，函数在上单调递增，在上单调递减，则（ ）
A．函数在R上单调递增
B．函数在上单调递增
C．函数在上单调递减
D．函数在上单调递减
【答案】AB
【解析】因为在R上单调递增，所以在R上单调递增，故A正确；
因为在R上单调递增，在上单调递增，所以在上单调递增，故B正确；
因为在上单调递增，所以在上单调递减，因为的值域是否在上无法判断，
所以在上的单调性无法判断，故C错误；
因为在R上单调递减，在上单调递减，因的值域是否在上无法判断，所以在上的单调性无法判断，故D错误.
故选：AB.
考法二 函数的奇偶性
【例2-1】（2023·全国·统考高考真题）已知是偶函数，则（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】D
【解析】因为为偶函数，则，
又因为不恒为0，可得，即，
则，即，解得.
故选：D.
【例2-2】（2023·山东·校联考模拟预测）若函数在其定义域上是奇函数，则的值为（ ）
A．B．3C．或3D．不能确定
【答案】B
【解析】函数在其定义域上是奇函数，
由于奇函数定义域关于原点对称，所以，
即，解得或，
由区间定义可知，当时，，不合题意；
当时，，符合题意；
可得.
故选：B．
【变式】
1．（2023·全国·统考高考真题）若为偶函数，则（ ）．
A．B．0C．D．1
【答案】B
【解析】因为 为偶函数，则 ，解得，
当时，，，解得或，
则其定义域为或，关于原点对称.
，
故此时为偶函数.
故选：B.
2．（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）已知函数为奇函数，则的值是（ ）
A．0B．C．12D．10
【答案】D
【解析】因为函数为奇函数，
所以，即，即或，
显然函数的定义域为关于原点对称，
且当时，有，从而有，
当时，有，但，
所以，即，
所以.
故选：D.
3．（2023·辽宁鞍山·鞍山一中校考二模）下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的函数是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】对于A，因为的定义域为不关于原点对称，所以不是偶函数，
故A选项不符合题意；
对于B，因为，所以的定义域为关于原点对称，
但，所以是奇函数不是偶函数，
故B选项不符合题意；
对于C，因为的定义域为关于原点对称，且，
所以是偶函数，
又，注意到当时，有，
所以此时，所以在上单调递增，
故C选项符合题意；
对于D，因为的定义域为关于原点对称，但，
所以是奇函数不是偶函数，
故D选项不符合题意.
故选：C.
考法三 解不等式
【例3-1】（2023·四川雅安·校考模拟预测）已知函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由题意可知，函数的定义域为.
又因为恒成立，
所以在上单调递减.
则由可得，解得，
即原不等式的解集为.
故选：C.
【例3-2】（2023·安徽·池州市第一中学校考模拟预测）设函数则满足的的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】假设，
所以，所以，
所以为奇函数，
而，
则其图象是的图象向右平移1个单位长度，向上平移4个单位长度得到的，
所以的对称中心为，所以，
因为，所以，
易得，当且仅当时等号成立，
而，则，
所以恒成立，即在上单调递增，
所以在R上单调递增，
因为得，
所以，解得.
故选：B.
【变式】
1．（2023·安徽·池州市第一中学校联考模拟预测）定义在上的函数满足：对，且都有，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】根据题意：当时，，
当时,
可得函数在单调递增.
则
，
在同一坐标系中画出与图象.
得，则不等式的解集为，
故选：B.

2．（2023·河南·统考模拟预测）函数是定义在上的奇函数，且在区间上单调递增，若关于实数t的不等式恒成立，则t的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为函数是定义在上的奇函数，
所以，所以，
所以函数是偶函数，
又，
则，即为，
即，
又因在区间上单调递增，
所以，解得或，
所以t的取值范围是.
故选：A.
3．（2023·河南·校联考模拟预测）若定义在上的函数同时满足：①为奇函数；②对任意的，且，都有，则称函数具有性质．已知函数具有性质，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】因为对任意的，且，都有，
即对任意两个不相等的正实数不妨设，都有，
所以有，
所以函数是上的减函数，
又因为为奇函数，即有，有，
所以有，
所以为偶函数，
所以在上单调递增．
当，即时，有,由，得，
所以，解得，此时无解；
当，即时，由，得，
所以，解得或．
综上所述，不等式的解集为．
故选：C.
4．（2023·江西鹰潭·统考一模）已知函数，且，则实数a的取值范围（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】令，定义域为R，
，
所以为奇函数，
又.
当时，令，
则有，
因为，所以，所以在上单调递增，所以，
所以，所以在上单调递增，
又因为为奇函数，所以在R上单调递增，
所以，可转化为，，
所以，所以，即，解得
即实数a的取值范围是.故选：C.
5．（2023·海南·统考模拟预测）已知函数，若对于一切的实数，不等式恒成立，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】易知函数的定义域为，
则，
因为，，
所以，
又因为，所以，即恒成立，
故函数是上的单调递增函数，
因为，所以，即，
当时，左边成立，故符合题意；
当时，有，解得：，
综上所述：的取值范围为：.
故选：D.
考法四 函数性质的综合运用
【例4-1】（2023·河南信阳·信阳高中校考模拟预测）已知函数，则（ ）
A．是偶函数B．是奇函数
C．的图象关于直线对称D．的图象关于点成中心对称
【答案】D
【解析】对AB，由，易知选项A，B不正确；
对C，易得，，故，故选项C不正确；
对D，，故，
故的图象关于点中心对称.
故选：D.
【例4-2】（2023·安徽·池州市第一中学校联考模拟预测）已知定义在上的偶函数满足，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数的一个周期为2
C．
D．函数的图象关于直线对称
【答案】C
【解析】函数关于点中心对称，因此选项D不正确；
又因为函数为偶函数，所以，
由，
所以函数的周期为，所以选项B不正确；
因为函数是周期为的偶函数，
所以，因此选项A不正确；
在中，令，得，
因为函数的周期为，因此选项C正确，
故选：C
【例4-3】（2023·陕西汉中·校联考模拟预测）已知函数是上的偶函数，且的图象关于点对称，当时，，则的值为（ ）
A．-2B．-1C．0D．1
【答案】D
【解析】因为函数是上的偶函数，所以，
因为的图象关于点对称，所以，即，
所以，所以，所以函数是上周期为4的函数，
当时，，所以，，
又，，所以，
所以.故选：D.
【变式】
1．（2022·全国·统考高考真题）已知函数的定义域均为R，且．若的图像关于直线对称，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为的图像关于直线对称，
所以，
因为，所以，即，
因为，所以，
代入得，即，
所以，
.
因为，所以，即，所以.
因为，所以，又因为，
联立得，，
所以的图像关于点中心对称，因为函数的定义域为R，
所以
因为，所以.
所以.
故选：D
2．（2023·湖北黄冈·统考模拟预测）已知函数及其导函数定义域均为，记，且，为偶函数，则（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【解析】因为为偶函数，，
所以，
对两边同时求导，得，所以有
所以函数的周期为，
在中，令，所以，
因此，
因为为偶函数，
所以有，
，
由可得：，
所以，
故选：C
3．（2023·陕西西安·校考三模）已知是定义域为的奇函数，若的最小正周期为1，则下列说法中正确的个数是（ ）
① ②
③的一个对称中心为 ④的一条对称轴为
A．个B．个C．个D．个
【答案】B
【解析】因为的最小正周期为1，所以；
即，所以2是的周期；
因为为奇函数，所以，②正确；
，不一定为零，①不正确；
因为，所以的一个对称中心为，③正确；
通过题目条件无法得出的一条对称轴为，④不正确；
故选：B
4．（2023·辽宁抚顺·校考模拟预测）（多选）已知函数是定义域为的奇函数，，若，，，则（ ）
A．的图象关于点对称B．是周期为4的周期函数
C．D．
【答案】ABD
【解析】由，，得，
当时，可得；
当时，，也满足；
综上所述：，对任意实数都成立，
因此函数的图象关于点对称，A正确；
又是定义域为的奇函数，则，因此是周期为4的周期函数，B正确；
显然，C错误；
由是定义域为的奇函数，得，，
又，
于是，，因此，
所以
，D正确．
故选：ABD
考法五 函数的图像
【例5-1】（2022·天津·统考高考真题）函数的图像为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】函数的定义域为，
且，
函数为奇函数，A选项错误；
又当时，，C选项错误；
当时，函数单调递增，故B选项错误；
故选：D.
【例5-2】（2023·天津·统考高考真题）函数的图象如下图所示，则的解析式可能为（ ）

A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由图知：函数图象关于y轴对称，其为偶函数，且，
由且定义域为R，即B中函数为奇函数，排除；
当时、，即A、C中上函数值为正，排除；
故选：D
【变式】
1．（2022·全国·统考高考真题）如图是下列四个函数中的某个函数在区间的大致图像，则该函数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设，则，故排除B;
设，当时，，
所以，故排除C;
设，则，故排除D.
故选：A.
2．（2022·全国·统考高考真题）函数在区间的图象大致为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】令，
则，
所以为奇函数，排除BD；
又当时，，所以，排除C.
故选：A.
3．（2023·河南·统考模拟预测）函数的大致图像是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】设，，
由，得为奇函数，故B,D错误；
由，故A正确，C错误，故选：A．
考法六 抽象函数
【例6】（2022·全国·统考高考真题）已知函数的定义域为R，且，则（ ）
A．B．C．0D．1
【答案】A
【解析】[方法一]：赋值加性质
因为，令可得，，所以，令可得，，即，所以函数为偶函数，令得，，即有，从而可知，，故，即，所以函数的一个周期为．因为，，，，，所以
一个周期内的．由于22除以6余4，
所以．故选：A．
[方法二]：【最优解】构造特殊函数
由，联想到余弦函数和差化积公式
，可设，则由方法一中知，解得，取，
所以，则
，所以符合条件，因此的周期，，且，所以，
由于22除以6余4，
所以．故选：A．
【变式】
1（2023·河南·模拟预测）已知不恒等于零的函数的定义域为，满足，且，则下列说法正确的是（ ）
A．B．的图象关于原点对称
C．D．的最小正周期是6
【答案】D
【解析】由，
令，，有，可得, 故A错；
因为，令，则，则，
函数是偶函数，故B错误，
令，则，故C错误，
令，则,
所以，
则，
，
所以，
则周期为6，D正确．
故选：D
2．（2023·黑龙江佳木斯·佳木斯一中校考模拟预测）函数对任意x，总有，当时，，，则下列命题中正确的是（ ）
A．是偶函数B．是R上的减函数
C．在上的最小值为D．若，则实数x的取值范围为
【答案】C
【解析】取，，则，解得，，
则．即，函数是奇函数，所以选项A错误；
令，，且，则，因为当时，，所以．
则．即，
函数是R上的增函数，所以选项B错误；
因为函数是R上的增函数，所以函数在上的最小值为，
，，．
故，在的最小值为-2，所以选项C正确；
，即，
因为函数是R上的增函数，所以，所以，
所以实数x的取值范围为，所以选项D不正确．
故选：C．
3．（2023·全国·统考高考真题）已知函数的定义域为，，则（ ）．
A．B．
C．是偶函数D．为的极小值点
【答案】ABC
【解析】方法一：
因为，
对于A，令，，故正确.
对于B，令，，则，故B正确.
对于C，令，，则，
令，
又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确，
对于D，不妨令，显然符合题设条件，此时无极值，故错误.
方法二：
因为，
对于A，令，，故正确.
对于B，令，，则，故B正确.
对于C，令，，则，
令，
又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确，
对于D，当时，对两边同时除以，得到，
故可以设，则，
当肘，，则，
令，得；令，得；
故在上单调递减，在上单调递增，
因为为偶函数，所以在上单调递增，在上单调递减，

显然，此时是的极大值，故D错误.故选：.
考法七 函数角度解三角函数
【例7】（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知，则下列结论错误的是（ ）
A．是周期函数
B．在区间上是增函数
C．的值域为
D．关于对称
【答案】D
【解析】由题知，，
，
是函数的一个周期，故A正确；
在区间上是增函数，其值域为在区间上是增函数，根据复合函数同增异减法则知，在区间上是增函数，故B正确；的值域为在区间上是增函数，
的值域为，故C正确；
不关于对称，故错误，
故选：D.
【变式】
1．（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）（多选）下列函数中，以为最小正周期的函数是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【解析】对于A，，最小正周期为，故A正确；
对于B，令，，故B错误；
对于C，令，，故C正确；
对于D，令，，
故的最小正周期为，故D错误.
故选：AC.
2．（2023·全国·河南省实验中学校考模拟预测）（多选）已知函数，则（ ）
A．函数在区间上单调递增
B．直线是函数图象的一条对称轴
C．函数的值域为
D．方程最多有8个根，且这些根之和为
【答案】BCD
【解析】，
，
则是偶函数，图象关于轴对称.
，
是周期函数，周期.
又
且，
，即图象关于轴对称，
故直线都是的对称轴.
当时，，
则，
令，则可看成由与复合而成的函数，
单调递增，
当，则，单调递增，则单调递增；
当，则，单调递减，则单调递减；
且.
结合以上性质，作出函数的大致图象.
选项A，函数在区间上单调递减，故A项错误；
选项B，直线是函数图象的一条对称轴，故B项正确；
选项C，当时，函数的值域为，由函数周期，函数的值域为，故C项正确；
选项D，如图可知，方程最多有8个根，设为，不妨设，
当时，函数的图象关于对称，
则，
即这些根之和为，故D项正确.
故选：BCD.
3．（2023·河北保定·河北省唐县第一中学校考二模）（多选）已知函数，则（ ）
A．是的周期
B．的图象有对称中心，没有对称轴
C．当时，
D．对任意，在上单调
【答案】ACD
【解析】对于A选项：因为，
则是的周期，所以A选项正确；
对于B选项：因为，
且，
所以，，
则的图象关于点成中心对称，关于直线成轴对称，所以B选项错误；
对于C选项：当时，易知，，
且，即，
则，
所以，
则，所以C选项正确；
对于D选项：由A选项知：是的周期，所以只需考虑，即可，
当时，，所以和均单调递增，所以单调递增；
当时，，所以和均单调递减，所以单调递减，所以D选项正确.
故选：ACD．
一、单选题
1．（2023·四川雅安·校考模拟预测）定义在R上的奇函数满足是偶函数，当时，，则（ ）
A．B．C．0D．2
【答案】C
【解析】根据题意，函数是定义在上的奇函数，则，且，
又函数是偶函数，则，变形可得，
则有，进而可得，
所以函数是周期为4的周期函数，
则.
故选：C.
2．（2023·贵州六盘水·统考模拟预测）若为奇函数，则（ ）
A．－1B．0C．D．1
【答案】D
【解析】的定义域为R，
若为奇函数，
则恒成立，
整理得恒成立，
所以，即.
故选：D
3．（2023·湖南永州·统考一模）“函数在上单调递减”是“函数是偶函数”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由题意，
在中，
当函数在上单调递减时，，
在中，函数是偶函数，
∴，解得：，
∴“函数在上单调递减”是“函数是偶函数”的必要不充分条件，
故选：B.
4．（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考三模）已知定义在上的奇函数满足，当时，，则（ ）
A．B．1C．0D．
【答案】D
【解析】因为在上为奇函数，所以，
又因为，所以①，
所以②，
所以由①②得，即的一个周期为4，
所以.
又因为当时，，所以，
所以.
故选：D.
5．（2023·云南·校联考模拟预测）若函数为偶函数，则（ ）
A．2B．1C．D．0
【答案】D
【解析】若函数为偶函数，则，都有，
又因为，
所以，有，
所以当时，有，解得.
故选：D.
6．（2023·云南昭通·校联考模拟预测）已知函数是定义域为上的奇函数，满足，若，则（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】A
【解析】因为函数是定义域为上的奇函数，则，即，
由，得，因此，即，
则，于是函数是以4为周期的周期函数，
由，得，由，得，，
从而，
所以.
故选：A
7．（2023·辽宁抚顺·校考模拟预测）如图为函数的大致图象，其解析式可能为（ ）

A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】对于A，与图象不符，故A项错误；
对于B，当时，的振幅不会再变化，故B项错误；
对于D，，所以函数为奇函数，与图象不符，故D项错误．
故选：C．
8．（2023·辽宁·校联考模拟预测）若为奇函数，则的单调递增区间是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】函数为奇函数，的定义域为，
由，∴，
函数的定义域为，
函数在定义域内单调递增，
当时，的单调递增区间为，
所以的单调递增区间为.
故选：D．
9．（2023·辽宁·校联考模拟预测）已知的定义域为为奇函数，为偶函数，若当时，，则（ ）
A．B．0C．1D．e
【答案】C
【解析】为奇函数，即，
所以关于中心对称，则，
为偶函数，即，
所以，
故，即是周期为8的周期函数，
所以，
故选：C
10．（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考三模）函数和的定义域均为，且为偶函数，为奇函数，对，均有，则（ ）
A．615B．616C．1176D．2058
【答案】B
【解析】由函数为偶函数，则，即函数关于直线对称，故；
由函数为奇函数，则，
整理可得，即函数关于对称，故；
由，可得，
所以，故，
解得，
所以，
所以.
故选：B.
11．（2023·陕西西安·西安市大明宫中学校考模拟预测）已知函数满足，，，且在区间上单调，若函数在区间内有4个零点，则a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】因为，所以的图象关于中心对称，
又因为，所以的图象关于中心对称，
所以，即，
所以，所以，
所以的周期为，又因为，
所以令中，则，
所以，又因为在区间上单调，
所以，
又因为在区间内有四个零点，
令，即，即与的图象在区间有四个交点，
又因为直线过定点，斜率为，
如图所示：

为临界状态，
当处于时，此时直线的斜率为，
当处于时，此时直线的斜率为，
因为满足，不满足.
所以由图可知，a的取值范围是.
故选：C
12．（2023·福建·校联考模拟预测）已知函数的定义域为，且对任意非零实数，都有.则函数是（ ）
A．奇函数B．偶函数
C．既奇又偶函数D．非奇非偶函数
【答案】B
【解析】令，则，所以.
令，则，所以.
令，，则，
所以为偶函数，故排除D选项；
由题意可知，函数满足定义域为，
且对任意非零实数，
都有，
符合题意，但不为奇函数，故排除AC.
故选：B.
13．（2023·山东菏泽·山东省鄄城县第一中学校考三模）已知函数，若，不等式恒成立，则正实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为，其中，则，且不恒为零，
所以，函数在上为增函数，
又因为，故函数为奇函数，
由可得，
所以，，所以，，
令，因为，当且仅当时，等号成立，
所以，.
故选：B.
14．（2023·江西宜春·校联考模拟预测）已知函数，若成立，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】设，
因为，
所以为偶函数，
所以的图象关于直线对称，
所以的图象关于直线对称，
设，则，
令，则，得，
所以在上递增，
因为函数在定义域上单调递增，
所以在单调递增，
所以在单调递增，
因为，
所以，
所以，化简得，解得．
所以实数a的取值范围为，
故选：B
15．（2023·广东·校联考模拟预测）设函数为奇函数且在上为减函数，则关于的值表述正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】因为函数为上的奇函数，且递减，
所以且，
即，
所以，解得，经检验符合题意，
故，
因为函数在上为减函数，
所以，所以.
故选：C.
16．（2023·甘肃张掖·高台县第一中学校考模拟预测）已知函数的定义域为，的图象关于点对称，，且对任意的，，满足，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】的图象关于点对称，的图象关于点对称，是定义在上的奇函数，
对任意的，，，满足，在上单调递减，所以在上也单调递减，
又所以，且，
所以当时，；当时，，
所以由可得或或，
解得或，即不等式的解集为．
故选：C.
17．（2023·江西九江·统考三模）已知定义在R上的函数在上单调递增，是奇函数，的图像关于直线对称，则（ ）
A．在上单调递减B．在上单调递增
C．在上单调递减D．在上单调递增
【答案】C
【解析】是奇函数，
，即的图象关于点对称，
又在上单调递增，
在上单调递增，即在上单调递增.
由，可得，
由图像关于直线对称可知为偶函数，
∴在上单调递减，
，
，
是周期函数，最小正周期为4，
∵，，
∴在上的单调性和在上的单调性相同，
在上单调递减.
故选：C.
二、多选题
18．（2022·全国·统考高考真题）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【解析】[方法一]：对称性和周期性的关系研究
对于，因为为偶函数，所以即①，所以，所以关于对称，则，故C正确；
对于，因为为偶函数，，，所以关于对称，由①求导，和，得，所以，所以关于对称，因为其定义域为R，所以，结合关于对称，从而周期，所以，，故B正确，D错误；
若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误.
故选：BC.
[方法二]：【最优解】特殊值，构造函数法.
由方法一知周期为2，关于对称，故可设，则，显然A，D错误，选BC.
故选：BC.
[方法三]：
因为，均为偶函数，
所以即，，
所以，，则，故C正确；
函数，的图象分别关于直线对称，
又，且函数可导，
所以，
所以，所以，
所以，，故B正确，D错误；
若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误.
故选：BC.
19．（2023·河南·校联考模拟预测）已知非常数函数及其导函数的定义域均为，若为奇函数，为偶函数，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【解析】因为非常数函数及其导函数的定义域均为，
若为奇函数，则，则的图象关于点对称，且，故A错误；
因为为偶函数，所以，即，
则，又，所以，
所以，即，所以，
故的周期为8，所以，，在中，令，得，所以，故B正确；
对两边同时求导，得，
所以导函数的周期为8，所以，故C正确；
由周期，得，，对两边同时求导，得，令，得，
所以，故D正确.
故选：BCD.
20．（2023·吉林长春·东北师大附中校考一模）已知，下列说法正确的是（ ）
A．时，
B．若方程有两个根，则
C．若直线与有两个交点，则或
D．函数有3个零点
【答案】ABD
【解析】对A：当时，，得满足题意；
当时，，得不满足题意，故A正确.
对B：作出的图象，方程有两个根可以看作的图象与直线有两个不同交点，由图知，故B正确.
对C：直线可化为，故直线是以为斜率且恒过的直线，
如图，为过与两点的直线，其斜率为，
当位于时，直线与有两个交点，
为过且与平行的直线， 其斜率为，
当位于时，直线与只有一个交点，
为过的水平直线，其斜率为，
当位于时，直线与只有一个交点，
为过的竖直直线，其斜率不存在，
当位于时，直线与只有一个交点，
由图可知，要使直线与有两个交点，
则位于之间或位于之间，故，所以，故C错误.
对D：，即，所以或
由得，
由得进而得或，
所以函数有3个零点，故D正确.
故选：ABD
21．（2023·辽宁·校联考模拟预测）已知定义域为的偶函数，使，则下列函数中符合上述条件的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【解析】对于A，，定义域为，所以为偶函数，又，故A正确；
对于B，恒成立，故B错误；
对于C，，定义域为，，所以为偶函数，又，故C正确；
对于D，因为，所以恒成立，故D错误．
故选：AC．
22．（2023·浙江·模拟预测）已知定义在上的函数满足且，则（ ）
A．B．
C．为偶函数D．为周期函数
【答案】ACD
【解析】依题意，，，
取，得，又，则，A正确；
取，得，则，B错误；
取，得，而，即，
于是，有，则为偶函数，C正确；
即，得，即，
有，于是，即有，
因此，所以为周期函数，D正确.
故选：ACD
23．（2023·湖南永州·统考一模）已知函数与的定义域均为，，且，为偶函数，下列结论正确的是（ ）
A．4为的一个周期B．
C．D．
【答案】ACD
【解析】由于为偶函数，图象关于轴对称，
所以图象关于对称，
所以，
所以①，
而②，
两式相加得，则③，
所以，
所以是的一个周期，A选项正确.
由③令得，
由①令得，
由②令得，则，
所以，
所以，C选项正确.
由①令得，
由，
得，
两式相减得，即，
且关于对称，，
所以④，
所以，
所以是周期为的周期函数，所以，所以B选项错误.
由④令得，所以，
由于，所以
所以，所以D选项正确.
故选：ACD
24（2023·贵州六盘水·统考模拟预测）设函数的定义域为，其图象关于直线对称，且.当时，，则下列结论正确的是（ ）
A．为偶函数B．
C．的图象关于直线对称D．在区间上单调递减
【答案】AC
【解析】因为函数的定义域为，且，
所以，
所以函数是以为周期的周期函数，
又因函数的图象关于直线对称，
所以，即，
又，所以，
所以，
所以为偶函数，故A正确；
当时，，
，故B错误；
因为为偶函数且的图象关于直线对称，
所以的图象关于直线对称，故C正确；
因为当时，，
而函数在都是减函数，
所以函数在是减函数，
又因为偶函数，
所以在区间上单调递增，故D错误.
故选：AC.
25．（2023·浙江·模拟预测）设是定义在上的函数，对，有，且，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【解析】A：在中，
令，则有，
在中，
令，则有，
因此本选项正确；
B：若成立，即有，
在中，
令，则有，
这与相矛盾，所以假设不成立，因此本选项不正确；
C：在中，
以代，得，
以代，得，
上面两个等式相加，得
，或，
当时，则有，显然与矛盾，
因此，于是有，
因此函数的周期为，
由，
由，
在中，
令，得，
令，得，
由，
于是有，
因为，所以由，
于是，
因此，
，
因此本选项正确；
D：在中，
令，所以有，因此有：
因为，，，
函数的周期为，
所以
，因此本选项正确，
故选：ACD.
26．（2023·贵州·校联考模拟预测）已知函数，的定义域为，是的导函数，且，，若为偶函数，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【解析】因为，令，则①，
，令，则②，
联立①②可得，故A正确；
由题可知，又因为是偶函数，所以是奇函数，
由可得，
所以的周期为4，
又∵，故，
，故，故B正确；
因为，由得，
故，又，，
若，则，
可得，即，而不一定等于0，故C错误；
因为，得，
在中，令，可得，又，
故，又的周期为4，
所以，故D正确.
故选：ABD.
27．（2023·广东佛山·华南师大附中南海实验高中校考模拟预测）已知为定义在R上的偶函数，当时，有，且当时，，下列命题正确的是（ ）
A．
B．函数在定义域上是周期为2的函数
C．函数的值域为
D．直线与函数的图象有2个交点
【答案】AC
【解析】由题意知，当时，有，所以，
因为当时，，
当时，可得，可得，
又因为，
所以，
又由函数为定义在上的偶函数，所以可作出函数的图象如下：
对于A中，由
，所以A正确；
对于B中，由图象可知函数不是周期函数，所以B是错误的；
对于C中，由图象可知函数的值域为，所以C正确．
对于D中，由图象可知直线与函数的图象只有1个交点，所以D错误.
故选：AC.

28．（2023·安徽滁州·校考模拟预测）已知函数的定义域，满足，且当时，，则下列说法正确的是（ ）
A．是定义在上的偶函数
B．在上单调递增
C．若，则
D．当是钝角的两个锐角时，
【答案】BC
【解析】对于A，令得，即得，
在定义域范围内令得，即是奇函数，故A错误；
对于B，令，且，所以，
又，且，所以，
所以，所以是单调增函数，故B正确；
对于C，由，可得，即，即，所以是等比数列，
又，所以，故C正确；
对于D，因为是钝角的两个锐角，则，
所以，故D错误.
故选：BC.
29．（2023·湖南长沙·长沙一中校考模拟预测）定义在R上的偶函数满足，且在上是增函数，则（ ）
A．关于对称B．
C．D．
【答案】BC
【解析】为偶函数，
所以，所以，
所以关于点对称，A错误；
又，所以，B正确；
因为在上是增函数，
所以，故C正确；
因为，
所以，而的值不确定，故D错误.
故选:BC．
30．（2023·山东聊城·统考三模）已知函数，则（ ）
A．的最小正周期为
B．的图象关于直线对称
C．时，在区间单调递增
D．时，在区间既有极大值点也有极小值点
【答案】BC
【解析】对于A，，
不是的周期，A错误；
对于B，，
的图象关于直线对称，B正确；
对于C，；
当时，，，，
令，则，；
与在上均单调递减，在上单调递减，
又在上单调递减，
由复合函数单调性可知：在上单调递增，C正确；
对于D，由C知：；
当时，，，；
令，则，；
，当时，在上恒成立，
在上单调递增，
又在上单调递增，在上单调递减，
由复合函数单调性可知：在上单调递增，在上单调递减，
则当时，在上有极大值点，无极小值点，D错误.
故选：BC.
31．（2023·江苏淮安·江苏省郑梁梅高级中学校考模拟预测）已知函数定义域为，是奇函数，，函数在上递增，则下列命题为真命题的是（ ）
A．B．函数在上递减
C．若，则D．若，则
【答案】BCD
【解析】对于A，因为是奇函数，所以，故A错误；
因为是奇函数，所以的图象关于点对称，即有，
所以，所以的图象关于直线对称，
函数在上单调递增，所以在上单调递减，故B正确；
因为，所以，即，故C正确；
因为，且，由函数的图象关于直线对称，得，解得，故C正确.
故选：BCD.
32．（2023·浙江·校联考模拟预测）若定义在上的函数满足，且当时，，则下列结论正确的是（ ）．
A．若，，，则
B．若，则
C．若，则的图像关于点对称
D．若，则
【答案】BC
【解析】令，则，
∴为奇函数，把y用代替，得到，
设，，∴．
又∵当时，，∴，
∴在上单调递减．
∵，，
当时，，则当时，则，，
当时，则，．
综上，，∴A错误．
令，得，∴，
令，得，∴，∴B正确．
由，得，得，
又∵，为奇函数，∴，
则，则的图像关于点对称，∴C正确．
，
假设，可得，即，
当时，不成立得出矛盾假设不成立，∴D错误．
故选：BC.
33．（2023·重庆·统考模拟预测）已知函数是定义在上的偶函数，满足，当时，，设函数，则下列结论成立的是（ ）
A．函数的图象关于对称
B．
C．当实数时，函数在区间上单调递减
D．在区间内，若函数有4个零点，则实数的取值范围是
【答案】ACD
【解析】因为函数是定义在上的偶函数，所以，所以函数的图象关于对称，可知A正确；
由，可得，知函数的周期，
由周期和奇偶性得，故B不正确；
当时，则，，所以，
由函数为偶函数且周期为2可得，，
由函数在区间上为单调递减函数，所以，即.得C正确；
函数在区间有4个零点，有4个解，
即与直线在有4个交点，利用周期和偶函数，结合在的解析式，
可画出函数和函数在上的图像.如图：
由图可得，即，实数的取值范围是,D正确.
故选：ACD.
34．（2023·湖南常德·常德市一中校考模拟预测）已知函数的定义域为，且，时，，，则（ ）
A．
B．函数在区间单调递增
C．函数是奇函数
D．函数的一个解析式为
【答案】ABD
【解析】A项：因为，
当时，，令，
则，解得，A正确；
B项：任取：，
则，
因为当时，，
所以，，
所以，即，
所以函数在区间单调递增，B正确；
C项：令，则，
解得或，当，且时，令，
则，
若为奇函数，则，即，
解得，与题意矛盾；
当时不为奇函数．
综上所述，函数不是奇函数，C错误；
D项：当，
则，
，
所以，易得在上单调递增，
所以时，，，
故函数的一个解析式为，D正确．
故选 :ABD
35．（2023·辽宁·辽宁实验中学校联考模拟预测）已知函数的定义域为，，且．当时，，则（ ）
A．
B．是偶函数
C．为增函数
D．当，且，时，
【答案】ACD
【解析】因为定义在上，且满足恒成立，
令，即，解得，故A正确；
再令，则，故，故是奇函数，又，
所以函数一定不是偶函数，故B错误；
任取，且，则．
因为，所以，
所以，由于，所以，，
所以．
因为，，所以，，
即在区间上单调递增．故C正确；
对于D，因为，，
因为，当且仅当时，即时等号成立；
所以，所以，又，所以．
令，则．
令，则，所以．
因为，所以是首项为1，公比为2的等比数列，所以，
故D正确．
故选：ACD．
三、填空题
36．（2023·全国·统考高考真题）若为偶函数，则 ．
【答案】2
【解析】因为为偶函数，定义域为，
所以，即，
则，故，
此时，
所以，
又定义域为，故为偶函数，
所以.
故答案为：2.
37．（2023·陕西咸阳·咸阳彩虹学校校考模拟预测）已知分别是定义域为的偶函数和奇函数，且，若关于的不等式在上恒成立，则实数的最大值是 ．
【答案】/
【解析】因为分别是定义域为的偶函数和奇函数，且①，
所以，即②，
联立①②解得，，
因为在上都为增函数，
所以在上单调递增，，
故不等式
令，因为当时，，单调递增，
所以，
又，
所以，
因为在上都为增函数，所以在上单调递增，
所以，所以，即实数的最大值是.
故答案为:
38．（2023·海南省直辖县级单位·校考模拟预测）若函数的图象关于轴对称，则 ．
【答案】/
【解析】函数的定义域为R，，
依题意，函数是偶函数，
于是，，
即
而不恒为0，整理得，即，
因此，解得，
所以.
故答案为：
39．（2023·辽宁抚顺·校考模拟预测）已知函数是定义在上的奇函数，若对任意，且，都有，则不等式的解集为 ．
【答案】
【解析】函数是定义在上的奇函数，则，
所以，则，
所以的图像关于直线对称，
因为对任意，且，都有，
所以在区间内单调递减，则在区间内单调递增，
因为，，所以，所以，
解得，
故不等式的解集为．
故答案为：.
40．（2023·吉林长春·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）已知函数，若不等式恒成立，则a的最小值为 .
【答案】/
【解析】依题意，，
，在R上单调递增，
且，为奇函数，
，
令，求导得，函数在上单调递增，
当时，有，于是，当时，显然成立，
因此，即，令，求导得，
当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，
因此当时，，则，而，有，
所以a的最小值为.
故答案为：
41．（2023·河南郑州·三模）已知函数，，对于下述四个结论：
①函数的零点有三个；
②函数关于对称；
③函数的最大值为2；
④函数在上单调递增．
其中所有正确结论的序号为： ．
【答案】②③④
【解析】，
令，解得或，
∵，∴或或或，故①错误；
∵，
∴函数关于对称，故②正确；
，
∵，∴，
∴当时，函数取最大值2，故③正确；
，
令，当时，单调递减，
∵，∴，∴单调递减，
∴函数在上单调递增，故④正确．
故答案为：②③④.
42．（2023·江西南昌·南昌县莲塘第一中学校联考二模）已知函数，若对定义域内两任意的（），都有成立，则a的取值范围是 ．
【答案】
【解析】函数的定义域为，
因为对，都有成立，
设，则，于是，都有成立，
因此函数在上单调递增，求导得，
则有成立，
当时，，函数在上单调递增；
当时，必有，函数的图象过点，对称轴，从而，解得，
而当时，，当且仅当时取等号，符合题意，
所以a的取值范围是.
故答案为：
43．（2022·浙江·统考高考真题）已知函数则 ；若当时，，则的最大值是 ．
【答案】 /
【解析】由已知，，
所以，
当时，由可得，所以，
当时，由可得，所以，
等价于，所以，
所以的最大值为.
故答案为：，.
44．（2022·全国·统考高考真题）若是奇函数，则 ， ．
【答案】 ； ．
【解析】[方法一]：奇函数定义域的对称性
若，则的定义域为，不关于原点对称
若奇函数的有意义，则且
且，
函数为奇函数，定义域关于原点对称，
，解得，
由得，，
，
故答案为：；．
[方法二]：函数的奇偶性求参
函数为奇函数
[方法三]：
因为函数为奇函数，所以其定义域关于原点对称．
由可得，，所以，解得：，即函数的定义域为，再由可得，．即，在定义域内满足，符合题意．
故答案为：；．
45．（2022·北京·统考高考真题）设函数若存在最小值，则a的一个取值为 ；a的最大值为 ．
【答案】 0（答案不唯一） 1
【解析】若时，，∴；
若时，当时，单调递增，当时，，故没有最小值，不符合题目要求；
若时，
当时，单调递减，，
当时，
∴或，解得，综上可得；
故答案为：0（答案不唯一），