2024年高考数学二轮复习专题14圆锥曲线(选填题8种考法)(原卷版+解析)

这是一份2024年高考数学二轮复习专题14圆锥曲线(选填题8种考法)(原卷版+解析)，共92页。试卷主要包含了曲线的定义及应用，曲线的标准方程，离心率，折线段距离最值，直线与曲线的位置关系，弦长，中点弦，综合运用等内容，欢迎下载使用。

考法一 曲线的定义及应用
【例1-1】（2023·北京·统考高考真题）已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为5，则（ ）
A．7B．6C．5D．4
【例1-2】．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知椭圆C：的左､右焦点分别是，，为椭圆C上一点，则下列结论不正确的是（ ）
A．的周长为6B．的面积为
C．的内切圆的半径为D．的外接圆的直径为
【变式】
1．（2023·河南开封·统考三模）已知点是椭圆上一点，椭圆的左、右焦点分别为、，且，则的面积为（ ）
A．6B．12C．D．
2．（2023·全国·统考高考真题）设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（ ）
A．1B．2C．4D．5
3．（2023·北京·101中学校考三模）已知分别是双曲线的左右焦点，是上的一点，且，则的周长是 ．
4．（2023·全国·模拟预测）已知，分别为双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，且，的面积为8，则到双曲线的渐近线的距离为 .
考法二 曲线的标准方程
【例2-1】（2022·天津·统考高考真题）已知抛物线分别是双曲线的左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点，与双曲线的渐近线交于点A，若，则双曲线的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
【例2-2】（2022·全国·统考高考真题）已知椭圆的离心率为，分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若，则C的方程为（ ）
A．B．C．D．
【例2-3】（2022·全国·统考高考真题）过四点中的三点的一个圆的方程为 ．
【例2-4】（2023·北京·北京四中校考模拟预测）已知抛物线的焦点为，准线为，点是抛物线上一点，于.若，则抛物线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【变式】
1．（2023·吉林白山·统考模拟预测）若抛物线的焦点到准线的距离为3，且的开口朝左，则的标准方程为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·天津河西·天津市新华中学校考模拟预测）已知双曲线的左顶点与抛物线的焦点的距离为3，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为，则双曲线的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
3（2023·全国·校联考模拟预测）已知椭圆的左顶点为A，上顶点为B，左、右焦点分别为，，延长交椭圆E于点P．若点A到直线的距离为，的周长为16，则椭圆E的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
4．（2022·全国·统考高考真题）设点M在直线上，点和均在上，则的方程为 ．
5．（2023·北京·统考高考真题）已知双曲线C的焦点为和，离心率为，则C的方程为 ．
考法三 离心率
【例3-1】（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点是椭圆短轴的一个端点，且，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【例3-2】．（2023·福建厦门·厦门一中校考模拟预测）已知为双曲线：的右焦点，平行于轴的直线分别交的渐近线和右支于点，，且，，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【变式】
1．（2023·湖南郴州·统考一模）已知点是椭圆的左右焦点，点为椭圆上一点，点关于平分线的对称点也在椭圆上，若，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·贵州·校联考模拟预测）已知右焦点为的椭圆：上的三点，，满足直线过坐标原点，若于点，且，则的离心率是（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·甘肃酒泉·统考三模）已知双曲线的右焦点为，过点的直线与双曲线的右支交于，两点，且，点关于原点的对称点为点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
4（2023·安徽合肥·合肥一六八中学校考模拟预测）“”是“方程表示椭圆”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
考法四 折线段距离最值
【例4-1】．（2023·江苏南通·统考三模）已知为椭圆：的右焦点，为上一点，为圆：上一点，则的最大值为（ ）
A．5B．6C．D．
【例4-2】（2023秋·北京）已知，分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线内一点，点A在双曲线的右支上，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【例4-3】（2023·湖南）设点P是圆上的一动点，，，则的最小值为（ ）．
A．B．C．6D．12
【变式】
1．（2023秋·黑龙江大庆 ）已知定点，点为椭圆的右焦点，点M在椭圆上移动，求的最大值和最小值为（ ）
A．12，B．，
C．12，8D．9，
2．（2023·宁夏中卫·统考一模）已知双曲线C：的左右焦点为，，点P在双曲线C的右支上，则（ ）
A．－8B．8C．10D．－10
3．（2023·广西）已知，双曲线的左、右焦点分别为，，点是双曲线左支上一点，则的最小值为（ ）
A．5B．7C．9D．11
4．（2024·全国·高三专题练习）已知抛物线的焦点为F，点，若点A为抛物线任意一点，当取最小值时，点A的坐标为（ ）
A．B．C．D．
5．（2023春·河南周口 ）已知点是抛物线上的一点，过点作直线的垂线，垂足为，若，则的最小值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
考法五 直线与曲线的位置关系
【例5-1】．（2023·全国·高三专题练习）直线l：与椭圆C：的位置关系是（ ）
A．相交B．相切C．相离D．不能确定
【例5-2】（2023·上海）已知双曲线，直线，若直线与双曲线的交点分别在两支上，求的范围 ．
【变式】
1．（2023·上海）已知双曲线，直线，若直线与双曲线的右支有两个交点，求的取值范围 ．
2．（2024·全国·高三专题练习）直线与双曲线有且只有一个公共点，则实数 ．
3．（2023·全国·高三专题练习）过抛物线上一点的抛物线的切线方程为 .
4．（2023·全国·高三专题练习）设直线和椭圆有且仅有一个公共点，求和的取值范围 ．
考法六 弦长
【例6-1】（2023·全国·统考高考真题）已知双曲线的离心率为，C的一条渐近线与圆交于A，B两点，则（ ）
A．B．C．D．
【例6-2】．（2022·全国·统考高考真题）设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则（ ）
A．2B．C．3D．
【变式】
1．（2023·北京大兴·校考三模）已知抛物线顶点在原点，焦点为，过作直线交抛物线于、两点，若线段的中点横坐标为2，则线段的长为
2．（2022·天津·统考高考真题）若直线与圆相交所得的弦长为，则 ．
3（2023·广西钦州 ）已知椭圆与直线交于A，B两点，且，则实数m的值为（ ）
A．±1B．±
C．D．±
考法七 中点弦
【例7-1】．（2023·河南·校联考模拟预测）已知直线与椭圆交于两点，若点恰为弦的中点，则椭圆的离心率是（ ）
A．B．C．D．
【例7-2】．（2023·贵州·统考模拟预测）已知椭圆的右焦点为，过点且斜率为1的直线交椭圆于两点.若的中点坐标为，则的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【例7-3】．（2023·河南郑州·统考二模）已知椭圆的上顶点为B，斜率为的直线l交椭圆于M，N两点，若△BMN的重心恰好为椭圆的右焦点F，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【变式】
1．（2023·陕西渭南·统考二模）已知直线过双曲线的左焦点，且与的左､右两支分别交于两点，设为坐标原点，为的中点，若是以为底边的等腰三角形，则直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·河南·校联考模拟预测）已知双曲线的离心率为，直线与交于两点，为线段的中点，为坐标原点，则与的斜率的乘积为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·四川成都·校考模拟预测）已知抛物线，直线与抛物线交于、两点，线段的中点为，则的方程为（ ）
A．B．
C．D．
4．（2023·陕西商洛·统考三模）如图，已知过原点的直线与双曲线相交于两点，双曲线的右支上一点满足，若直线的斜率为-3，则双曲线的离心率为 .
5．（2023·四川内江·统考模拟预测）若双曲线上存在两个点关于直线对称，则实数的取值范围为 .
考法八 综合运用
【例8-1】．（2023·全国·统考高考真题）（多选）设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（ ）．
A．B．
C．以MN为直径的圆与l相切D．为等腰三角形
【例8-2】（2023·湖南·模拟预测）（多选）已知O为坐标原点，，分别是双曲线E：的左、右焦点，P是双曲线E的右支上一点，若，双曲线E的离心率为，则下列结论正确的是（ ）
A．双曲线E的标准方程为
B．双曲线E的渐近线方程为
C．点P到两条渐近线的距离之积为
D．若直线与双曲线E的另一支交于点M，点N为PM的中点，则
【变式】
1（2023·云南·校联考模拟预测）设O为坐标原点，，是双曲线C：的左、右焦点，过作圆O：的一条切线，切点为T．线段交C于点P，若的面积为，且，则C的方程为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2022·全国·统考高考真题）（多选）双曲线C的两个焦点为，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C交于M，N两点，且，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
一、单选题
1．（2023·全国·统考高考真题）设椭圆的离心率分别为．若，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·全国·统考高考真题）已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于A，B两点，若面积是面积的2倍，则（ ）．
A．B．C．D．
3．（2022·全国·统考高考真题）椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·浙江·模拟预测）已知圆和点，由圆外一点向圆引切线，切点分别为，若，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·四川巴中·南江中学校考模拟预测）已知椭圆四个顶点构成的四边形的面积为，直线与椭圆C交于A，B两点，且线段的中点为，则椭圆C的方程是（ ）
A．B．
C．D．
6．（2023·四川遂宁·射洪中学校考模拟预测）已知抛物线的焦点和椭圆的一个焦点重合，且抛物线的准线截椭圆的弦长为3，则椭圆的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
7．（2023·重庆万州·统考模拟预测）已知椭圆E：的焦距为4，平行四边形ABCD内接于椭圆E，且直线AB与AD的斜率之积为，则椭圆E的方程为（ ）
A．B．C．D．
8．（2023·湖南郴州·安仁县第一中学校联考模拟预测）已知集合，则集合的真子集的个数为（ ）
A．3B．7C．15D．31
9．（2023·四川泸州·泸县五中校考模拟预测）设分别是双曲线的左、右焦点，为坐标原点，过左焦点作直线与圆切于点，与双曲线右支交于点，且满足，，则双曲线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
10．（2023·天津南开·统考二模）已知拋物线的准线过双曲线的左焦点，点为双曲线的渐近线和拋物线的一个公共点，若到抛物线焦点的距离为5，则双曲线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
11．（2023·全国·校联考三模）若双曲线与双曲线有相同的焦距，且过点，则双曲线的标准方程为（ ）
A．B．
C．或D．或
12．（2023·全国·统考高考真题）已知实数满足，则的最大值是（ ）
A．B．4C．D．7
13．（2023·全国·统考高考真题）设O为坐标原点，为椭圆的两个焦点，点 P在C上，，则（ ）
A．B．C．D．
14．（2023·全国·统考高考真题）设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（ ）
A．B．C．D．
15．（2023·天津·统考高考真题）双曲线的左、右焦点分别为．过作其中一条渐近线的垂线，垂足为．已知，直线的斜率为，则双曲线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
16．（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）已知点是直线：和：的交点，点是圆：上的动点，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
17．（2023·湖南永州·统考一模）已知椭圆的左、右焦点分别是，点是椭圆上位于第一象限的一点，且与轴平行，直线与的另一个交点为，若，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
18．（2023·浙江·模拟预测）费马原理是几何光学中的重要原理，可以推导出圆锥曲线的一些光学性质，如：点为椭圆（为焦点）上一点，则点处的切线平分外角.已知椭圆为坐标原点，是点处的切线，过左焦点作的垂线，垂足为，则为（ ）
A．B．2C．3D．
19．（2023·浙江·模拟预测）已知椭圆的左右焦点分别是，过的直线交椭圆于两点，若（为坐标原点），，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
20．（2022·全国·统考高考真题）已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，若，则（ ）
A．直线的斜率为B．
C．D．
21．（2022·全国·统考高考真题）已知O为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交C于P，Q两点，则（ ）
A．C的准线为B．直线AB与C相切
C．D．
22．（2023·河北保定·统考二模）已知直线，圆的圆心坐标为，则下列说法正确的是（ ）
A．直线恒过点
B．
C．直线被圆截得的最短弦长为
D．当时，圆上存在无数对点关于直线对称
23．（2023·广西柳州·统考模拟预测）已知双曲线的上焦点为，过焦点作的一条渐近线的垂线，垂足为，并与另一条渐近线交于点，若，则的离心率可能为（ ）
A．B．C．D．
24．（2023·辽宁锦州·校考一模）设双曲线的右焦点为，若直线与的右支交于两点，且为的重心，则（ ）
A．的离心率的取值范围为
B．的离心率的取值范围为
C．直线斜率的取值范围为
D．直线斜率的取值范围为
25（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）设，为椭圆：的两个焦点，为上一点且在第一象限，为的内心，且内切圆半径为1，则（ ）
A．B．C．D．
26．（2023·重庆·统考模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，过点作x轴的垂线与双曲线交于A，B两点，若为直角三角形，则（ ）
A．
B．双曲线的离心率
C．双曲线的焦距为
D．的面积为
三、填空题
27．（2023·全国·统考高考真题）已知点在抛物线C：上，则A到C的准线的距离为 .
28．（2023·天津·统考高考真题）过原点的一条直线与圆相切，交曲线于点，若，则的值为 ．
29．（2023·全国·统考高考真题）已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为 ．
30．（2023·全国·统考高考真题）已知直线与交于A，B两点，写出满足“面积为”的m的一个值 ．
31．（2022·浙江·统考高考真题）已知双曲线的左焦点为F，过F且斜率为的直线交双曲线于点，交双曲线的渐近线于点且．若，则双曲线的离心率是 ．
32．（2022·全国·统考高考真题）已知直线l与椭圆在第一象限交于A，B两点，l与x轴，y轴分别交于M，N两点，且，则l的方程为 ．
33．（2022·全国·统考高考真题）设点，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则a的取值范围是 ．
34．（2022·全国·统考高考真题）记双曲线的离心率为e，写出满足条件“直线与C无公共点”的e的一个值 ．
35．（2022·全国·统考高考真题）若双曲线的渐近线与圆相切，则 ．
36．（2022·北京·统考高考真题）已知双曲线的渐近线方程为，则 ．
37．（2022·全国·统考高考真题）写出与圆和都相切的一条直线的方程 ．
38．（2023·陕西汉中·校联考模拟预测）设为椭圆的两个焦点，点在椭圆上，若，则 .
39．（2023·河南·校联考模拟预测）写出与圆和圆都相切的一条直线的方程 .
40．（2023·贵州遵义·统考模拟预测）已知双曲线的左焦点为，坐标原点为，若在双曲线右支上存在一点满足，且，则双曲线的离心率为 .
41．（2023·河南·校联考模拟预测）已知椭圆的右焦点为外的一点满足（为坐标原点），过点的直线与交于两点，且，若直线的斜率之积为，则 ．
42．（2023·陕西西安·西安市大明宫中学校考模拟预测）已知椭圆C：的焦距为2c，左焦点为F，直线l与C相交于A，B两点，点P是线段AB的中点，P的横坐标为．若直线l与直线PF的斜率之积等于，则C的离心率为 ．
43．（2023·河南开封·统考三模）不与x轴重合的直线l过点N（,0）（xN≠0），双曲线C：（a＞0，b＞0）上存在两点A、B关于l对称，AB中点M的横坐标为．若，则C的离心率为 ．
44．（2023·贵州遵义·统考三模）已知抛物线上两点A，B关于点对称，则直线AB的斜率为 .
45．（2023·四川眉山·仁寿一中校考模拟预测）已知是椭圆上的点，、分别是椭圆的左、右焦点，若，则的面积为 ．
46．（2023秋·黑龙江伊春 ）已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上任意一点，为圆：上任意一点，则的最小值为 .
47．（2023春·宁夏石嘴山 ）已知F是双曲线C：的右焦点，P是C的左支上一点，，则的最小值为 .
48．（2023秋·河南南阳·高二南阳中学校考阶段练习）已知，若点P是抛物线上任意一点，点Q是圆上任意一点，则的最小值为 .
49．（2023秋·广东广州·高三广州大学附属中学校考开学考试）设动点在抛物线上，点在轴上的射影为点，点的坐标是，则的最小值是 ．
50．（2023·全国·高三专题练习）过点作双曲线： 的两条切线，切点分别为，求直线的方程
专题14 圆锥曲线（选填题8种考法）
考法一 曲线的定义及应用
【例1-1】（2023·北京·统考高考真题）已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为5，则（ ）
A．7B．6C．5D．4
【答案】D
【解析】因为抛物线的焦点，准线方程为，点在上，
所以到准线的距离为，
又到直线的距离为，
所以，故.
故选：D.
【例1-2】．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知椭圆C：的左､右焦点分别是，，为椭圆C上一点，则下列结论不正确的是（ ）
A．的周长为6B．的面积为
C．的内切圆的半径为D．的外接圆的直径为
【答案】D
【解析】由题意知，，，，
由椭圆的定义知，，，
∴的周长为，即A正确；
将代入椭圆方程得，解得，
∴的面积为，即B正确；
设的内切圆的半径为r，则，
即，∴，即C正确；
不妨取，则，，
∴的面积为，
即，∴，
由正弦定理知，的外接圆的直径，即D错误，
故选:D.

【变式】
1．（2023·河南开封·统考三模）已知点是椭圆上一点，椭圆的左、右焦点分别为、，且，则的面积为（ ）
A．6B．12C．D．
【答案】C
【解析】由椭圆，得，，.

设，，
∴，在中，由余弦定理可得：，
可得，得，故.故选：C.
2．（2023·全国·统考高考真题）设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（ ）
A．1B．2C．4D．5
【答案】B
【解析】方法一：因为，所以，
从而，所以．
故选：B.
方法二：
因为，所以，由椭圆方程可知，，
所以，又，平方得：
，所以．
故选：B.
3．（2023·北京·101中学校考三模）已知分别是双曲线的左右焦点，是上的一点，且，则的周长是 ．
【答案】34
【解析】因为，所以，
故，则，
又，故，则，，
所以的周长为.
故答案为：34.
4．（2023·全国·模拟预测）已知，分别为双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，且，的面积为8，则到双曲线的渐近线的距离为 .
【答案】2
【解析】由题意及双曲线的定义知，则，
由余弦定理可得，
所以，
因为，所以，，
因为的面积为8，所以，
所以，所以，
因为点到该双曲线渐近线的距离为，
所以点到该双曲线渐近线的距离为2.
故答案为：2.
考法二 曲线的标准方程
【例2-1】（2022·天津·统考高考真题）已知抛物线分别是双曲线的左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点，与双曲线的渐近线交于点A，若，则双曲线的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】抛物线的准线方程为，则，则、，
不妨设点为第二象限内的点，联立，可得，即点，
因为且，则为等腰直角三角形，
且，即，可得，
所以，，解得，因此，双曲线的标准方程为.
故选：C.
【例2-2】（2022·全国·统考高考真题）已知椭圆的离心率为，分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若，则C的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为离心率，解得，，
分别为C的左右顶点，则，
B为上顶点，所以.
所以，因为
所以，将代入，解得，
故椭圆的方程为.
故选：B.
【例2-3】（2022·全国·统考高考真题）过四点中的三点的一个圆的方程为 ．
【答案】或或或．
【解析】[方法一]：圆的一般方程
依题意设圆的方程为，
（1）若过，，，则，解得，
所以圆的方程为，即；
（2）若过，，，则，解得，
所以圆的方程为，即；
（3）若过，，，则，解得，
所以圆的方程为，即；
（4）若过，，，则，解得，所以圆的方程为，即；
故答案为：或 或 或．
[方法二]：【最优解】圆的标准方程（三点中的两条中垂线的交点为圆心）
设
（1）若圆过三点，圆心在直线，设圆心坐标为，
则，所以圆的方程为；
（2）若圆过三点， 设圆心坐标为，则，所以圆的方程为；
（3）若圆过 三点，则线段的中垂线方程为，线段 的中垂线方程 为，联立得 ，所以圆的方程为；
（4）若圆过三点，则线段的中垂线方程为， 线段中垂线方程为 ，联立得，所以圆的方程为．
故答案为：或 或 或．
【例2-4】（2023·北京·北京四中校考模拟预测）已知抛物线的焦点为，准线为，点是抛物线上一点，于.若，则抛物线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】如图，连接，设准线与轴交点为

抛物线的焦点为，准线：
又抛物线的定义可得，又，所以为等边三角形，
所以，
所以在中，，则，所以抛物线的方程为.
故选：C.
【变式】
1．（2023·吉林白山·统考模拟预测）若抛物线的焦点到准线的距离为3，且的开口朝左，则的标准方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】依题意可设的标准方程为，
因为的焦点到准线的距离为3，所以，
所以的标准方程为.
故选：A
2．（2023·天津河西·天津市新华中学校考模拟预测）已知双曲线的左顶点与抛物线的焦点的距离为3，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为，则双曲线的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为，
故抛物线的准线方程为，即抛物线焦点为，
渐近线方程过，则，
双曲线的左顶点与抛物线焦点距离是，则左顶点为，即.
故双曲线方程为.
故选：B.
3（2023·全国·校联考模拟预测）已知椭圆的左顶点为A，上顶点为B，左、右焦点分别为，，延长交椭圆E于点P．若点A到直线的距离为，的周长为16，则椭圆E的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由题意，得，，，则直线的方程为，
所以点A到直线的距离①．
由的周长为16，得，即a+c=8②，
联立①②，解得③．
因为，所以④．
联立②④，解得a=6，c=2，所以，
故椭圆E的标准方程为是.
故选：B．
4．（2022·全国·统考高考真题）设点M在直线上，点和均在上，则的方程为 ．
【答案】
【解析】[方法一]：三点共圆
∵点M在直线上，
∴设点M为，又因为点和均在上，
∴点M到两点的距离相等且为半径R，
∴，
，解得，
∴，，
的方程为.
故答案为：
[方法二]：圆的几何性质
由题可知，M是以（3，0）和（0，1）为端点的线段垂直平分线 y=3x-4与直线的交点(1,-1)., 的方程为.
故答案为：
5．（2023·北京·统考高考真题）已知双曲线C的焦点为和，离心率为，则C的方程为 ．
【答案】
【解析】令双曲线的实半轴、虚半轴长分别为，显然双曲线的中心为原点，焦点在x轴上，其半焦距，由双曲线的离心率为，得，解得，则，
所以双曲线的方程为.故答案为：
考法三 离心率
【例3-1】（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点是椭圆短轴的一个端点，且，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意可知，，
在中，由余弦定理得，化简得，
则，所以，
故选：C.
【例3-2】．（2023·福建厦门·厦门一中校考模拟预测）已知为双曲线：的右焦点，平行于轴的直线分别交的渐近线和右支于点，，且，，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】双曲线：的渐近线方程为.
设，联立方程组，解得.
因为，所以，即，可得.
又因为点在双曲线上，所以，
将代入，可得，
由，所以，所以，即，
化简得，则，所以双曲线的离心率为.
故选：B.

【变式】
1．（2023·湖南郴州·统考一模）已知点是椭圆的左右焦点，点为椭圆上一点，点关于平分线的对称点也在椭圆上，若，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意可作图如下：

由图可知：，
由平分，则，所以，
由，则解得，
由是关于直线的对称点，则共线，，，，
所以，在中，，
可得，解得，，
在中，由余弦定理，可得，
代入可得：，化简可得：，
所以其离心率.
故选：C.
2．（2023·贵州·校联考模拟预测）已知右焦点为的椭圆：上的三点，，满足直线过坐标原点，若于点，且，则的离心率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设椭圆左焦点为，连接 ，，，
设，，结合椭圆对称性得，
由椭圆定义得，，则.
因为，，
则四边形为平行四边形，
则，而，故，
则，即，
整理得，在中，，
即，即，
∴，故.
故选：A

3．（2023·甘肃酒泉·统考三模）已知双曲线的右焦点为，过点的直线与双曲线的右支交于，两点，且，点关于原点的对称点为点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设双曲线的左焦点为，连接，，，如图所示，

又因为，所以，
所以四边形为矩形，
设，则，
由双曲线的定义可得：，，
又因为为直角三角形，
所以，即，解得，
所以，，
又因为为直角三角形，，
所以，即：，
所以，即.
故选：D.
4（2023·安徽合肥·合肥一六八中学校考模拟预测）“”是“方程表示椭圆”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】方程表示椭圆，
所以“”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件，
故选：B.
考法四 折线段距离最值
【例4-1】．（2023·江苏南通·统考三模）已知为椭圆：的右焦点，为上一点，为圆：上一点，则的最大值为（ ）
A．5B．6C．D．
【答案】D
【解析】依题意，设椭圆的左焦点为，
圆的圆心为，半径为，
，
当三点共线，且在之间时等号成立.
而，
所以，
当四点共线，且在之间，是的延长线与圆的交点时等号成立.
故选：D

【例4-2】（2023秋·北京）已知，分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线内一点，点A在双曲线的右支上，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为，所以要求的最小值，
只需求的最小值.
如图,连接交双曲线的右支于点.当点A位于点处时，
最小，最小值为.
故的最小值为.

故选：C
【例4-3】（2023·湖南）设点P是圆上的一动点，，，则的最小值为（ ）．
A．B．C．6D．12
【答案】B
【解析】设，
则点P的轨迹为以A，B为焦点，为实轴长的双曲线的上支，
∴点P的轨迹方程为，依题意，双曲线与圆有公共点，
将圆的方程代入双曲线方程得，
即，
判别式，解得，
当时，，且，
∴等号能成立．∴．
故选：B
【变式】
1．（2023秋·黑龙江大庆 ）已知定点，点为椭圆的右焦点，点M在椭圆上移动，求的最大值和最小值为（ ）
A．12，B．，
C．12，8D．9，
【答案】C
【解析】令椭圆的左焦点为，有，由椭圆定义知，

显然点在椭圆内，，直线交椭圆于，
而，即，当且仅当点共线时取等号，
当点与重合时，，则，
当点与重合时，，则，
所以的最大值和最小值为12，8.
故选：C
2．（2023·宁夏中卫·统考一模）已知双曲线C：的左右焦点为，，点P在双曲线C的右支上，则（ ）
A．－8B．8C．10D．－10
【答案】A
【解析】设双曲线的实半轴长为，
则，所以，
因为双曲线C的左右焦点为，，点P在双曲线C的右支上，
所以，
故选：A
3．（2023·广西）已知，双曲线的左、右焦点分别为，，点是双曲线左支上一点，则的最小值为（ ）
A．5B．7C．9D．11
【答案】C
【解析】由双曲线，则，即，且，
由题意，
，
当且仅当共线时，等号成立.
故选：C.
4．（2024·全国·高三专题练习）已知抛物线的焦点为F，点，若点A为抛物线任意一点，当取最小值时，点A的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设点A在准线上的射影为D，如图，

则根据抛物线的定义可知，
求的最小值，即求的最小值，
显然当D，B，A三点共线时最小，
此时点的横坐标为1，代入抛物线方程可知.
故选：B.
5．（2023春·河南周口 ）已知点是抛物线上的一点，过点作直线的垂线，垂足为，若，则的最小值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】A
【解析】由抛物线可知其焦点为，准线方程为
记抛物线的焦点为，

所以，
当且仅当点在线段上时等号成立，
所以的最小值为3．故选：A．
考法五 直线与曲线的位置关系
【例5-1】．（2023·全国·高三专题练习）直线l：与椭圆C：的位置关系是（ ）
A．相交B．相切C．相离D．不能确定
【答案】A
【解析】将直线l：变形为l：，
由得，于是直线l过定点，
而，于是点在椭圆C：内部，
因此直线l：与椭圆C：相交．
故选：A．

【例5-2】（2023·上海）已知双曲线，直线，若直线与双曲线的交点分别在两支上，求的范围 ．
【答案】
【解析】联立双曲线、直线方程，消去整理得，
由题意，设方程的两根为，则，解得．
故答案为：

【变式】
1．（2023·上海）已知双曲线，直线，若直线与双曲线的右支有两个交点，求的取值范围 ．
【答案】或
【解析】依题意，联立方程，消去，得，
设直线与双曲线的右支的两个交点为，，

则，解得或，
所以或.
故答案为：或.
2．（2024·全国·高三专题练习）直线与双曲线有且只有一个公共点，则实数 ．
【答案】或
【解析】由消去y，整理得，
当时，由得；
又注意到直线恒过点，且渐近线的斜率为时，直线与渐近线平行时也成立．
故答案为：或

3．（2023·全国·高三专题练习）过抛物线上一点的抛物线的切线方程为 .
【答案】
【解析】解法一：设切线方程为．
由⇒⇒，
由，得，
∴.
故切线方程为，即.
故答案为：.
解法二：由得，∴.
∴.
∴切线方程为，即.
故答案为：.
4．（2023·全国·高三专题练习）设直线和椭圆有且仅有一个公共点，求和的取值范围 ．
【答案】，
【解析】令，则已知椭圆和直线变为相应的圆和直线，
要使已知的直线与椭圆有且仅有一个公共点，只要相应的直线与圆相切．
由直线和圆相切的充要条件可知，即，
故得，即，
解得．
考法六 弦长
【例6-1】（2023·全国·统考高考真题）已知双曲线的离心率为，C的一条渐近线与圆交于A，B两点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由，则解得，
所以双曲线的一条渐近线不妨取，
则圆心到渐近线的距离，
所以弦长.
故选：D
【例6-2】．（2022·全国·统考高考真题）设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则（ ）
A．2B．C．3D．
【答案】B
【解析】由题意得，，则，
即点到准线的距离为2，所以点的横坐标为，
不妨设点在轴上方，代入得，，
所以.
故选：B
【变式】
1．（2023·北京大兴·校考三模）已知抛物线顶点在原点，焦点为，过作直线交抛物线于、两点，若线段的中点横坐标为2，则线段的长为
【答案】6
【解析】是抛物线的焦点，
准线方程，
设，线段的中点横坐标为2, .
，线段的长为6.
故答案为：6.
2．（2022·天津·统考高考真题）若直线与圆相交所得的弦长为，则 ．
【答案】
【解析】圆的圆心坐标为，半径为，
圆心到直线的距离为，
由勾股定理可得，因为，解得.
故答案为：.
3（2023·广西钦州 ）已知椭圆与直线交于A，B两点，且，则实数m的值为（ ）
A．±1B．±
C．D．±
【答案】A
【解析】由，消去y并整理，得3x2＋4mx＋2m2－2＝0．
设，则，．
由题意，得，解得．故选:A
考法七 中点弦
【例7-1】．（2023·河南·校联考模拟预测）已知直线与椭圆交于两点，若点恰为弦的中点，则椭圆的离心率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】依题意，直线的斜率为，设，则，且，
由两式相减得：，于是，
解得，此时椭圆，显然点在椭圆内，符合要求，
所以椭圆的离心率.
故选：A
【例7-2】．（2023·贵州·统考模拟预测）已知椭圆的右焦点为，过点且斜率为1的直线交椭圆于两点.若的中点坐标为，则的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】设，则，
由已知有，，
作差得，
则，
所以，解得，
则的方程为.
故选：D．
【例7-3】．（2023·河南郑州·统考二模）已知椭圆的上顶点为B，斜率为的直线l交椭圆于M，N两点，若△BMN的重心恰好为椭圆的右焦点F，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设，的中点为，
因为都在椭圆上，
所以，作差可得，
即，所以，
即，因为，所以，
又因为为△BMN的重心，所以，
所以，则，
所以，整理得，即，
所以，则，
所以离心率.
故选: A.
【变式】
1．（2023·陕西渭南·统考二模）已知直线过双曲线的左焦点，且与的左､右两支分别交于两点，设为坐标原点，为的中点，若是以为底边的等腰三角形，则直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设,
由均在上，为的中点，
得，则，
∴，
∴，
设直线的倾斜角为，则，不妨设为锐角，
∵是以为底边的等腰三角形，∴直线的倾斜角为，则.
∴，
∴，解得，
∴由对称性知直线的斜率为.
故选：D
2．（2023·河南·校联考模拟预测）已知双曲线的离心率为，直线与交于两点，为线段的中点，为坐标原点，则与的斜率的乘积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设，，，
则，两式作差，并化简得，
，
所以，
因为为线段的中点，即
所以，
即，由，得.
故选：B.
3．（2023·四川成都·校考模拟预测）已知抛物线，直线与抛物线交于、两点，线段的中点为，则的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】设点、，则，
若直线轴，则线段的中点在轴上，不合乎题意，则直线的斜率存在，
由已知，两式作差可得，
所以，直线的斜率为，
因此，直线的方程为，即.
故选：A.
4．（2023·陕西商洛·统考三模）如图，已知过原点的直线与双曲线相交于两点，双曲线的右支上一点满足，若直线的斜率为-3，则双曲线的离心率为 .
【答案】/
【解析】如图，取的中点，连接，则，
所以，设直线的倾斜角为，则，
所以，
所以直线的斜率为.设，则.
由，得到.，
所以，所以，则.
故答案为：
5．（2023·四川内江·统考模拟预测）若双曲线上存在两个点关于直线对称，则实数的取值范围为 .
【答案】
【解析】依题意，双曲线上两点，，，，
若点A、B关于直线对称，则
设直线的方程是，代入双曲线方程化简得：
，
则，且，解得，且
又，设的中点是，，
所以，．
因为的中点在直线上，
所以，所以，又
所以，即，所以
所以，整理得，
所以或，
实数的取值范围为：
故答案为：.
考法八 综合运用
【例8-1】．（2023·全国·统考高考真题）（多选）设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（ ）．
A．B．
C．以MN为直径的圆与l相切D．为等腰三角形
【答案】AC
【解析】A选项：直线过点，所以抛物线的焦点，
所以，则A选项正确，且抛物线的方程为.
B选项：设，
由消去并化简得，
解得，所以，B选项错误.
C选项：设的中点为，到直线的距离分别为，
因为，
即到直线的距离等于的一半，所以以为直径的圆与直线相切，C选项正确.
D选项：直线，即，
到直线的距离为，
所以三角形的面积为，
由上述分析可知，
所以，
所以三角形不是等腰三角形，D选项错误.
故选：AC.

【例8-2】（2023·湖南·模拟预测）（多选）已知O为坐标原点，，分别是双曲线E：的左、右焦点，P是双曲线E的右支上一点，若，双曲线E的离心率为，则下列结论正确的是（ ）
A．双曲线E的标准方程为
B．双曲线E的渐近线方程为
C．点P到两条渐近线的距离之积为
D．若直线与双曲线E的另一支交于点M，点N为PM的中点，则
【答案】ACD
【解析】根据双曲线的定义得，，故，由，得，
所以，所以双曲线E的标准方程为，渐近线方程为，即，所以A正确，B不正确；
设，则点P到两条渐近线的距离之积为，所以C正确；
设，，因为P，M在双曲线E上，所①，②，
①－②并整理得，，即，所以，所以D正确．
故选：ACD．
【变式】
1（2023·云南·校联考模拟预测）设O为坐标原点，，是双曲线C：的左、右焦点，过作圆O：的一条切线，切点为T．线段交C于点P，若的面积为，且，则C的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】
由圆的方程知，，
又，在直角△中，，
且.
在△中，则，故.
在△中，，
由正弦定理，，则，
∴由双曲线定义，，又，，则，
∴，即.
∵为直角，易知为钝角，由知，，
在△中，由余弦定理，，
∴，
∴，整理得，
∴.
又，将代入，解得.
∴双曲线C的方程：.
故选：A
2．（2022·全国·统考高考真题）（多选）双曲线C的两个焦点为，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C交于M，N两点，且，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【解析】[方法一]：几何法，双曲线定义的应用
情况一
M、N在双曲线的同一支，依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为B，
所以，因为，所以在双曲线的左支，
，， ，设，由即，则，
选A
情况二
若M、N在双曲线的两支，因为，所以在双曲线的右支，
所以，， ，设，
由，即，则，
所以，即，
所以双曲线的离心率
选C
[方法二]：答案回代法
特值双曲线
，
过且与圆相切的一条直线为，
两交点都在左支,，
，
则，
特值双曲线，
过且与圆相切的一条直线为，
两交点在左右两支，在右支，，
，
则，
[方法三]：
依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为，
若分别在左右支，
因为，且，所以在双曲线的右支，
又，，，
设，，
在中，有，
故即，
所以，
而，，，故，
代入整理得到，即，
所以双曲线的离心率
若均在左支上，
同理有，其中为钝角，故，
故即，
代入，，，整理得到：，
故，故，
故选：AC.
一、单选题
1．（2023·全国·统考高考真题）设椭圆的离心率分别为．若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由，得，因此，而，所以.故选：A
2．（2023·全国·统考高考真题）已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于A，B两点，若面积是面积的2倍，则（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】将直线与椭圆联立，消去可得，
因为直线与椭圆相交于点，则，解得，
设到的距离到距离，易知，
则，，
，解得或（舍去），
故选：C.
3．（2022·全国·统考高考真题）椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】[方法一]：设而不求
设，则
则由得：，
由，得，
所以，即，
所以椭圆的离心率，故选A.
[方法二]：第三定义
设右端点为B，连接PB，由椭圆的对称性知：
故，
由椭圆第三定义得：，
故
所以椭圆的离心率，故选A.
4．（2023·浙江·模拟预测）已知圆和点，由圆外一点向圆引切线，切点分别为，若，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设，连接，则，可得，
所以，
即，可得，
所以，
当时，.
故选：C.

5．（2023·四川巴中·南江中学校考模拟预测）已知椭圆四个顶点构成的四边形的面积为，直线与椭圆C交于A，B两点，且线段的中点为，则椭圆C的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】设，，则，，两式作差并化简整理得
，因为线段AB的中点为，所以，，
所以，由，得，又因为，解得，，
所以椭圆C的方程为．
故选：A．
6．（2023·四川遂宁·射洪中学校考模拟预测）已知抛物线的焦点和椭圆的一个焦点重合，且抛物线的准线截椭圆的弦长为3，则椭圆的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】抛物线的焦点为，准线为，
设椭圆的方程为，椭圆中，，当时， ，故
又，所以，故椭圆方程为，
故选：B
7．（2023·重庆万州·统考模拟预测）已知椭圆E：的焦距为4，平行四边形ABCD内接于椭圆E，且直线AB与AD的斜率之积为，则椭圆E的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设，由对称性可得，
则，
所以两式相减可得，
因为直线AB与AD的斜率之积为，
所以，即，所以，
设椭圆的半焦距为，
因为椭圆的焦距为4，所以，所以，
又，所以，
所以椭圆的标准方程为，
故选：A.

8．（2023·湖南郴州·安仁县第一中学校联考模拟预测）已知集合，则集合的真子集的个数为（ ）
A．3B．7C．15D．31
【答案】A
【解析】方法一：联立 ，解得 或，
,
集合的真子集的个数为.
方法二：在同一直角坐标系中画出函数 以及的图象，由图象可知两图形有2个交点，所以的元素个数为2，进而真子集的个数为.

故选：A.
9．（2023·四川泸州·泸县五中校考模拟预测）设分别是双曲线的左、右焦点，为坐标原点，过左焦点作直线与圆切于点，与双曲线右支交于点，且满足，，则双曲线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】∵为圆上的点，，
，∴是的中点，
又是的中点，，
且，
又，，
是圆的切线，，
又，，
，
∴双曲线方程为．

故选：D
10．（2023·天津南开·统考二模）已知拋物线的准线过双曲线的左焦点，点为双曲线的渐近线和拋物线的一个公共点，若到抛物线焦点的距离为5，则双曲线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】
由题意知，拋物线的准线方程为，所以双曲线的左焦点坐标为，所以双曲线的.
又因为点为双曲线的渐近线和拋物线的一个公共点，若到抛物线焦点的距离为5，所以，所以，代入抛物线方程即可得.
因为在双曲线的渐近线方程上，所以，又因为双曲线中，，所以，
所以双曲线的方程为：.
故选：D
11．（2023·全国·校联考三模）若双曲线与双曲线有相同的焦距，且过点，则双曲线的标准方程为（ ）
A．B．
C．或D．或
【答案】C
【解析】因为和有相同的焦距，又双曲线的焦距为，所以双曲线的焦距，又过点，
当的焦点在x轴上，设双曲线的方程为，
若将点代入，得①，
又②，联立①②两式得，，所以双曲线的标准方程为.
当的焦点在y轴上，设双曲线的方程为，将点代入，得③，又④，
联立③④两式得，，所以双曲线的标准方程为，
综上所述，双曲线的标准方程为或.
故选：C.
12．（2023·全国·统考高考真题）已知实数满足，则的最大值是（ ）
A．B．4C．D．7
【答案】C
【解析】法一：令，则，
代入原式化简得，
因为存在实数，则，即，
化简得，解得，
故 的最大值是，
法二：，整理得，
令，，其中，
则，
，所以，则，即时，取得最大值，
法三：由可得，
设，则圆心到直线的距离，
解得
故选：C.
13．（2023·全国·统考高考真题）设O为坐标原点，为椭圆的两个焦点，点 P在C上，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】方法一：设，所以，
由，解得：，
由椭圆方程可知，，
所以，，解得：，
即，因此．
故选：B．
方法二：因为①，，
即②，联立①②，
解得：，
而，所以，
即．
故选：B．
方法三：因为①，，
即②，联立①②，解得：，
由中线定理可知，，易知，解得：．
故选：B．
14．（2023·全国·统考高考真题）设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设，则的中点，
可得，
因为在双曲线上，则，两式相减得，
所以.
对于选项A： 可得，则，
联立方程，消去y得，
此时，
所以直线AB与双曲线没有交点，故A错误；
对于选项B：可得，则，
联立方程，消去y得，
此时，
所以直线AB与双曲线没有交点，故B错误；
对于选项C：可得，则
由双曲线方程可得，则为双曲线的渐近线，
所以直线AB与双曲线没有交点，故C错误；
对于选项D：，则，
联立方程，消去y得，
此时，故直线AB与双曲线有交两个交点，故D正确；
故选：D.
15．（2023·天津·统考高考真题）双曲线的左、右焦点分别为．过作其中一条渐近线的垂线，垂足为．已知，直线的斜率为，则双曲线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】如图，

因为，不妨设渐近线方程为，即，
所以，
所以.
设,则，所以，所以.
因为,所以，所以，所以，
所以，
因为，
所以，
所以，解得，
所以双曲线的方程为
故选：D
16．（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）已知点是直线：和：的交点，点是圆：上的动点，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为直线：，即，
令，解得，可知直线过定点，
同理可知：直线过定点，
又因为，可知，
所以直线与直线的交点的轨迹是以的中点，半径的圆，
因为圆的圆心，半径，
所以的最大值是.
故选：B.
17．（2023·湖南永州·统考一模）已知椭圆的左、右焦点分别是，点是椭圆上位于第一象限的一点，且与轴平行，直线与的另一个交点为，若，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由令，得，
由于与轴平行，且在第一象限，所以.
由于，
所以，
即，将点坐标代入椭圆的方程得，
，
，
所以离心率.
故选：B

18．（2023·浙江·模拟预测）费马原理是几何光学中的重要原理，可以推导出圆锥曲线的一些光学性质，如：点为椭圆（为焦点）上一点，则点处的切线平分外角.已知椭圆为坐标原点，是点处的切线，过左焦点作的垂线，垂足为，则为（ ）
A．B．2C．3D．
【答案】A
【解析】依题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为，
代入得，
整理得，
由于直线和椭圆相切，则，
整理得，
所以直线的方程为，
对于椭圆，，所以，
所以直线的方程为，
由解得，所以.
故选：A

19．（2023·浙江·模拟预测）已知椭圆的左右焦点分别是，过的直线交椭圆于两点，若（为坐标原点），，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】如图所示：

设，因为，所以.
又因为，所以，即.
因为，所以.
因为，所以.
在中，，解得，
即，所以，即.
所以，.
故选：B
二、多选题
20．（2022·全国·统考高考真题）已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，若，则（ ）
A．直线的斜率为B．
C．D．
【答案】ACD
【解析】对于A，易得，由可得点在的垂直平分线上，则点横坐标为，
代入抛物线可得，则，则直线的斜率为，A正确；
对于B，由斜率为可得直线的方程为，联立抛物线方程得，
设，则，则，代入抛物线得，解得，则，
则，B错误；
对于C，由抛物线定义知：，C正确；
对于D，，则为钝角，
又，则为钝角，
又，则，D正确.
故选：ACD.
21．（2022·全国·统考高考真题）已知O为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交C于P，Q两点，则（ ）
A．C的准线为B．直线AB与C相切
C．D．
【答案】BCD
【解析】将点的代入抛物线方程得，所以抛物线方程为，故准线方程为，A错误；
，所以直线的方程为，
联立，可得，解得，故B正确；
设过的直线为，若直线与轴重合，则直线与抛物线只有一个交点，
所以，直线的斜率存在，设其方程为，，
联立，得，
所以，所以或，，
又，，
所以，故C正确；
因为，，
所以，而，故D正确.
故选：BCD
22．（2023·河北保定·统考二模）已知直线，圆的圆心坐标为，则下列说法正确的是（ ）
A．直线恒过点
B．
C．直线被圆截得的最短弦长为
D．当时，圆上存在无数对点关于直线对称
【答案】ABD
【解析】直线，恒过点，所以A正确；
圆的圆心坐标为，，，所以B正确；
圆的圆心坐标为，圆的半径为2．
直线，恒过点，圆的圆心到定点的距离为：，
直线被圆截得的最短弦长为，所以C不正确；
当时，直线方程为：，经过圆的圆心，所以圆上存在无数对点关于直线对称，所以D正确．
故选：ABD．
23．（2023·广西柳州·统考模拟预测）已知双曲线的上焦点为，过焦点作的一条渐近线的垂线，垂足为，并与另一条渐近线交于点，若，则的离心率可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【解析】当时，两渐近线的斜率为，此时直线与另一渐近线平行，不满足题意.
当时，如图1所示，

.
，又，解得，
， ，
，即渐近线的斜率为，
当时，如图2所示，设与轴交于点P，

，，
又，解得
，即渐近线的斜率为，
综上，双曲线的离心率为或.
故选：AC.
24．（2023·辽宁锦州·校考一模）设双曲线的右焦点为，若直线与的右支交于两点，且为的重心，则（ ）
A．的离心率的取值范围为
B．的离心率的取值范围为
C．直线斜率的取值范围为
D．直线斜率的取值范围为
【答案】AC
【解析】为的中点，根据重心性质可得，
因为，则，
因为直线与的右支交于两点，所以点在双曲线右支内部，
故有，解得，
当直线斜率不存在时，的中点在轴上，
故三点不共线，不符合题意舍，
设直线斜率为，设，
所以，，
因为在双曲线上，所以，
两式相减可得：，
即，
即有成立，
即有，因为不共线，
即，即，即，
所以的离心率的取值范围为，
因为
，
因为，即，
所以，
所以.
故选：AC
25（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）设，为椭圆：的两个焦点，为上一点且在第一象限，为的内心，且内切圆半径为1，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【解析】如下图所示，设切点为，，，
对于A，由椭圆的方程知：，
由椭圆的定义可得：，
易知，所以，
所以，故A正确；
对于BCD，，
又因为，解得：，
又因为为上一点且在第一象限，所以，解得：，故B正确；
从而，所以，
所以，而，所以，故C错误；
从而，故D正确.
故选:ABD．

26．（2023·重庆·统考模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，过点作x轴的垂线与双曲线交于A，B两点，若为直角三角形，则（ ）
A．
B．双曲线的离心率
C．双曲线的焦距为
D．的面积为
【答案】BD
【解析】如图所示：

若为直角三角形，由双曲线的对称性可知：
，且.
设，则由双曲线的定义得：，.
所以在直角三角形中，由勾股定理得：.
解得：，所以，
所以的面积为：.故D正确；
，所以，故C不正确；
由可知，，，
所以，故A不正确；
，故B正确.
故选：BD.
三、填空题
27．（2023·全国·统考高考真题）已知点在抛物线C：上，则A到C的准线的距离为 .
【答案】
【解析】由题意可得：，则，抛物线的方程为，
准线方程为，点到的准线的距离为.
故答案为：.
28．（2023·天津·统考高考真题）过原点的一条直线与圆相切，交曲线于点，若，则的值为 ．
【答案】
【解析】易知圆和曲线关于轴对称，不妨设切线方程为，，
所以，解得：，由解得：或，
所以，解得：．
当时，同理可得．
故答案为：．
29．（2023·全国·统考高考真题）已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为 ．
【答案】/
【解析】方法一：
依题意，设，则，
在中，，则，故或（舍去），
所以，，则，
故，
所以在中，，整理得，
故.
方法二:
依题意，得，令，
因为，所以，则，
又，所以，则，
又点在上，则，整理得，则，
所以，即，
整理得，则，解得或，
又，所以或（舍去），故.
故答案为：.
30．（2023·全国·统考高考真题）已知直线与交于A，B两点，写出满足“面积为”的m的一个值 ．
【答案】（中任意一个皆可以）
【解析】设点到直线的距离为，由弦长公式得，
所以，解得：或，
由，所以或，解得：或．
故答案为：（中任意一个皆可以）．
31．（2022·浙江·统考高考真题）已知双曲线的左焦点为F，过F且斜率为的直线交双曲线于点，交双曲线的渐近线于点且．若，则双曲线的离心率是 ．
【答案】
【解析】过且斜率为的直线，渐近线，
联立，得，由，得
而点在双曲线上，于是，解得：，所以离心率.
故答案为：．
32．（2022·全国·统考高考真题）已知直线l与椭圆在第一象限交于A，B两点，l与x轴，y轴分别交于M，N两点，且，则l的方程为 ．
【答案】
【解析】[方法一]：弦中点问题：点差法
令的中点为，设，，利用点差法得到，
设直线，，，求出、的坐标，
再根据求出、，即可得解；
解：令的中点为，因为，所以，
设，，则，，
所以，即
所以，即，设直线，，，
令得，令得，即，，
所以，
即，解得或（舍去），
又，即，解得或（舍去），
所以直线，即；
故答案为：
[方法二]：直线与圆锥曲线相交的常规方法
解：由题意知，点既为线段的中点又是线段MN的中点，
设，，设直线，，，
则，，，因为，所以
联立直线AB与椭圆方程得消掉y得
其中，
∴AB中点E的横坐标,又，∴
∵，，∴,又，解得m=2
所以直线，即
33．（2022·全国·统考高考真题）设点，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则a的取值范围是 ．
【答案】
【解析】关于对称的点的坐标为，在直线上，
所以所在直线即为直线，所以直线为，即；
圆，圆心，半径，
依题意圆心到直线的距离，
即，解得，即；
故答案为：
34．（2022·全国·统考高考真题）记双曲线的离心率为e，写出满足条件“直线与C无公共点”的e的一个值 ．
【答案】2（满足皆可）
【解析】，所以C的渐近线方程为,
结合渐近线的特点，只需，即，
可满足条件“直线与C无公共点”
所以，
又因为，所以，
故答案为：2（满足皆可）
35．（2022·全国·统考高考真题）若双曲线的渐近线与圆相切，则 ．
【答案】
【解析】双曲线的渐近线为，即，
不妨取，圆，即，所以圆心为，半径，
依题意圆心到渐近线的距离，
解得或（舍去）．
故答案为：．
36．（2022·北京·统考高考真题）已知双曲线的渐近线方程为，则 ．
【答案】
【解析】对于双曲线，所以，即双曲线的标准方程为，
则，，又双曲线的渐近线方程为，
所以，即，解得；
故答案为：
37．（2022·全国·统考高考真题）写出与圆和都相切的一条直线的方程 ．
【答案】或或
【解析】[方法一]：
显然直线的斜率不为0，不妨设直线方程为，
于是，
故①，于是或，
再结合①解得或或，
所以直线方程有三条，分别为，，
填一条即可
[方法二]：
设圆的圆心，半径为，
圆的圆心，半径，
则，因此两圆外切，
由图像可知，共有三条直线符合条件，显然符合题意；
又由方程和相减可得方程，
即为过两圆公共切点的切线方程，
又易知两圆圆心所在直线OC的方程为，
直线OC与直线的交点为，
设过该点的直线为，则，解得，
从而该切线的方程为填一条即可
[方法三]：
圆的圆心为，半径为，
圆的圆心为，半径为，
两圆圆心距为，等于两圆半径之和，故两圆外切，
如图，
当切线为l时，因为，所以，设方程为
O到l的距离，解得，所以l的方程为，
当切线为m时，设直线方程为，其中，，
由题意，解得，
当切线为n时，易知切线方程为，
故答案为：或或.
38．（2023·陕西汉中·校联考模拟预测）设为椭圆的两个焦点，点在椭圆上，若，则 .
【答案】2
【解析】因椭圆方程为，则.
因，则.
又由椭圆定义，可得，
则
.
故答案为：2

39．（2023·河南·校联考模拟预测）写出与圆和圆都相切的一条直线的方程 .
【答案】（或或，写出一个即可）
【解析】由题意得，圆，可得圆心，半径为，
圆，可得圆心，半径为，
因为，可得，所以圆与圆相外切，
将两圆的方程相减，可得，此方程为圆与圆的公切线，
又由圆与圆的半径相等，故外公切线与直线平行，
因为，所以圆C与圆D的外公切线的方程可设为，
即，则，解得或，
所以两条外公切线的方程为或，
综上所述，圆C与圆D公切线的方程为或或.
故答案为：或或.

40．（2023·贵州遵义·统考模拟预测）已知双曲线的左焦点为，坐标原点为，若在双曲线右支上存在一点满足，且，则双曲线的离心率为 .
【答案】
【解析】如图，因为，所以，
所以，
则，
，
，
解得.
故答案为：

41．（2023·河南·校联考模拟预测）已知椭圆的右焦点为外的一点满足（为坐标原点），过点的直线与交于两点，且，若直线的斜率之积为，则 ．
【答案】
【解析】如图，取线段的中点为，连接，

则由题意可得，，又，所以．
因为直线的斜率之积为，所以．
设，则，
两式相减可得，
整理得，即，
所以，所以．
故答案为：．
42．（2023·陕西西安·西安市大明宫中学校考模拟预测）已知椭圆C：的焦距为2c，左焦点为F，直线l与C相交于A，B两点，点P是线段AB的中点，P的横坐标为．若直线l与直线PF的斜率之积等于，则C的离心率为 ．
【答案】/
【解析】，
设，
因为点P是线段AB的中点，P的横坐标为，
所以，
则，
由直线l与C相交于A，B两点，
得，
两式相减得，
即，
所以，
即，所以，
则，
所以，
所以离心率.
故答案为：.

43．（2023·河南开封·统考三模）不与x轴重合的直线l过点N（,0）（xN≠0），双曲线C：（a＞0，b＞0）上存在两点A、B关于l对称，AB中点M的横坐标为．若，则C的离心率为 ．
【答案】2
【解析】设，
则，两式相减得，
即，
即 ，
所以，
因为是AB垂直平分线，有，所以，
即，化简得，故.
故答案为：2
44．（2023·贵州遵义·统考三模）已知抛物线上两点A，B关于点对称，则直线AB的斜率为 .
【答案】2
【解析】设，代入抛物线，得，
则①，
因为两点A，B关于点对称，则，
所以由①得，
直线AB的斜率为2.
则直线AB：与代入抛物线联立，得，，解得.
所以直线AB的斜率为2.
故答案为：2.
45．（2023·四川眉山·仁寿一中校考模拟预测）已知是椭圆上的点，、分别是椭圆的左、右焦点，若，则的面积为 ．
【答案】/
【解析】因为，，所以，
若，因为，
则可得，
由余弦定理可得
，
所以，
则.
故答案为：.

46．（2023秋·黑龙江伊春 ）已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上任意一点，为圆：上任意一点，则的最小值为 .
【答案】
【解析】由题意知为椭圆上任意一点，为圆：上任意一点，
故，

故，当且仅当共线时取等号，
所以
，
当且仅当共线时取等号，
而,
故的最小值为，
故答案为：
47．（2023春·宁夏石嘴山 ）已知F是双曲线C：的右焦点，P是C的左支上一点，，则的最小值为 .
【答案】6
【解析】由双曲线C：可得，
设双曲线的左焦点为，则，即，
可得，
当且仅当P是线段与双曲线的交点时，等号成立，
所以的最小值为6.
故答案为：6.
48．（2023秋·河南南阳·高二南阳中学校考阶段练习）已知，若点P是抛物线上任意一点，点Q是圆上任意一点，则的最小值为 .
【答案】4
【解析】如图所示：

抛物线的焦点，准线，
圆的圆心为，半径，
过点作垂直准线，垂直为点，
由抛物线的定义可知，
则，
当且仅当三点共线时，等号成立,
综上所述：的最小值为4.
故答案为：4.
49．（2023秋·广东广州·高三广州大学附属中学校考开学考试）设动点在抛物线上，点在轴上的射影为点，点的坐标是，则的最小值是 ．
【答案】/
【解析】抛物线的焦点，准线方程为，

延长PM交准线于N，连PF，显然垂直于抛物线的准线，由抛物线定义知：
，当且仅当点是线段与抛物线的交点时取等号，
而，所以的最小值为.
故答案为：
50．（2023·全国·高三专题练习）过点作双曲线： 的两条切线，切点分别为，求直线的方程 ．
【答案】
【解析】设，易得两条切线的斜率存在，设的斜率为，
则，联立方程，
消去得，
因为与双曲线相切，所以，
即，即，
即，
因为，所以，
代入可得，即，所以，
所以，即，
同理可得的方程为，
因为在切线上，所以，
所以满足方程，
又由两点确定一条直线，所以满足直线方程，
所以过的直线方程为.
故答案为：