2024年高考数学二轮复习考点08切线(选填题12种考法)(原卷版+解析)

这是一份2024年高考数学二轮复习考点08切线(选填题12种考法)(原卷版+解析)，共74页。试卷主要包含了在点，过点，公切线，切线与倾斜角等内容，欢迎下载使用。

考法一 在点：求切线方程
【例1】（2023·全国·统考高考真题）曲线在点处的切线方程为（ ）
A．B．C．D．
【变式】
1．（2021·全国·统考高考真题）曲线在点处的切线方程为 ．
2．（2023·安徽·合肥一中校联考模拟预测）曲线在点处的切线方程为 ．
3．（2023·辽宁·校联考二模）已知函数是奇函数，则曲线在点处的切线方程为 ．
考法二 在点：已知切线求参数
【例2-1】（2023·河南·校联考模拟预测）若直线与曲线相切，则 ．
【例2-2】（2023·西藏日喀则·统考一模）已知直线是曲线在点处的切线方程，则
【变式】
1．（2023·安徽·池州市第一中学校联考模拟预测）已知函数（其中）在处的切线为，则直线过定点的坐标为 .
2．（2023·广西·统考模拟预测）若曲线在处的切线与直线相互垂直，则 ．
3．（2023·广东东莞·东莞实验中学校考一模）已知直线与曲线相切，则 .
考点三 在点：求参数最值
【例3】（2023·浙江·模拟预测）已知直线与曲线相切，则的最小值为（ ）
A．B．1C．D．
【变式】
1．（2023·新疆阿克苏·校考一模）若直线与曲线相切，则k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2.（2023秋·河南商丘·高三商丘市实验中学校联考阶段练习）已知，，直线与曲线相切，则的最小值为 .
3．（2023秋·青海西宁·高三统考开学考试）已知直线与曲线相切，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·全国·高三专题练习）已知曲线与直线相切，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
考法四 过点：求切线方程
【例4】（2023春·上海浦东新）已知曲线，过点作曲线的切线，则切线的方程为____.
【变式】
1．（2023吉林）已知函数，则曲线过点的切线方程为______．
2．（2023·山东·河北衡水中学统考一模）过点与曲线相切的直线方程为______．
3．（2022·全国·统考高考真题）曲线过坐标原点的两条切线的方程为 ， ．
考法五 过点：已知切线求参数
【例5】（2023·北京）过原点的直线与分别与曲线，相切，则直线斜率的乘积为（ ）
A．-1B．1C．D．
【变式】
1．（2023春·河南周口 ）已知曲线在处的切线过点，则实数（ ）
A．B．C．1D．3
2.（2023广东湛江）过点可以作曲线的两条切线，切点的横坐标分别为m，n，则的值为（ ）
A．1B．2C．D．3
考法六 过点：求切线的数量
【例6】（2023·福建泉州·泉州五中校考模拟预测）已知函数过点作曲线的切线，则切线的条数为 ．
【变式】
1．（2023春·甘肃张掖）若过点作曲线的切线，则这样的切线共有（ ）
A．0条B．1条C．2条D．3条
2.（2023·海南·统考模拟预测）已知函数，过点作曲线的切线，则切线的条数为 ．
3．（2023·高二单元测试）已知函数，则过点与曲线相切的直线有 条.
考法七 过点：求最值与取值范围
【例7-1】（2022·全国·统考高考真题）若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是 ．
【例7-2】（2023·云南·校联考模拟预测）（多选）已知函数，若过点恰能作3条曲线的切线，则的值可以为（ ）
A．B．C．D．
【变式】
1．（2021·全国·统考高考真题）若过点可以作曲线的两条切线，则（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·云南）过坐标原点可以作曲线两条切线，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023·江西·校联考模拟预测）若过轴上任意点可作曲线两条切线，则的取值范围 ．
4．（2023·广西玉林·统考模拟预测）若曲线有三条过点的切线，则实数的取值范围为
考法八 公切线
【例8-1】（2023·江西南昌·校考模拟预测）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则b的值为（ ）
A．0B．1C．0或1D．0或
【例8-2】（2023·河北·统考模拟预测）若曲线与曲线存在公切线，则实数的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【变式】
1．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）已知函数，，若直线为和的公切线，则b等于（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·河南·校联考模拟预测）已知直线是曲线与的公切线，则 .
3．（2023·全国·镇海中学校联考模拟预测）若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·湖南郴州·安仁县第一中学校联考模拟预测）若存在直线与曲线都相切，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
考法九 切线与倾斜角
【例9-1】（2023·四川成都·四川省成都列五中学校考模拟预测）设点是函数图象上的任意一点，点处切线的倾斜角为，则角的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【例9-2】（2023春·福建·高二校联考期中）曲线在某点处的切线的倾斜角为锐角，且该点坐标为整数，则该曲线上这样的切点的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式】
1．（2023·上海徐汇·位育中学校考三模）设P是曲线上任意一点，则曲线在点P处的切线的倾斜角α的取值范围是 ．
2．（2023·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测）设点P是函数图象上的任意一点，点P处切线的倾斜角为，则角的取值范围是
3．（2023·河北衡水·校联考二模）已知函数的导函数为，且满足关系式.则的图像上任意一点处的切线的斜率的取值范围为 .
考法十 切线的应用1---点到曲线的距离最值
【例10】（2022·全国·高三专题练习（理））若点与曲线上点距离最小值为，则实数为_______.
【变式】
1．（2022·江苏·苏州市苏州高新区第一中学）直线 分别与曲线， 直线 交于 两点， 则 的最小值为（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·河北邯郸·二模）已知点P为曲线上的动点，O为坐标原点．当最小时，直线OP恰好与曲线相切，则实数a＝___．
3．（2023·山西临汾·统考一模）设是曲线上的动点，且.则的取值范围是 .
考法十一 切线的应用2---曲线上的动点到直线距离的最值
【例11】（2023春·陕西安康）若点是曲线上任意一点，则点到直线距离的最小值为（ ）
A．B．C．2D．
【变式】
1．（2023春·广西钦州 ）已知P是函数图象上的任意一点，则点P到直线的距离的最小值是（ ）
A．B．5C．6D．
2．（2023秋·河南许昌·高三禹州市高级中学校考阶段练习）点是曲线上任意一点，则点到直线的最短距离 .
3．（2023春·福建漳州·高二校考阶段练习）已知函数，如果直线与的图象无交点，则的取值范围是
考法十二 切线的应用3--零点或实根的个数
【例12-1】（2023北京）函数，若方程恰有3个根，则实数的取值范围为 .
【例12-2】（2023·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测）已知函数，，若方程恰有三个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【变式】
1．（2023·四川·校考模拟预测）若函数恰有2个零点，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·江苏淮安·江苏省盱眙中学校考模拟预测）已知函数，，若函数恰有2个零点，则实数m的取值范围为 .
3．（2023·福建福州·福州四中校考模拟预测）已知函数，若有且仅有两个零点，则实数的取值范围为
单选题
1．（2023·山东潍坊·三模）若为函数图象上的一个动点，以为切点作曲线的切线，则切线倾斜角的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·江苏南京·南京市第一中学校考模拟预测）已知，设曲线在处的切线斜率为，则（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023·全国·模拟预测）过点作曲线的两条切线，切点分别为，，则（ ）
A．B．C．D．2
4．（2023秋·湖南常德·高三常德市一中校考阶段练习）若函数的图象上任意一点的切线的斜率都大于0，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·山东烟台·校考模拟预测）已知函数（且）有一个极大值点和一个极小值点，且，则a的取值范围为 （ ）
A．B．C．D．
6．（2023·河北沧州·校考模拟预测）已知直线与曲线和曲线均相切，则实数的解的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．无数
7．（2023春·江苏南通·高三校考开学考试）已知函数，存在两条过原点的直线与曲线相切，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
8．（2023·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考模拟预测）若曲线上恰有三个不同的点到直线的距离为，则实数a的值为（ ）
A．-3B．C．1D．-3或1
9．（2023·河南·襄城高中校联考三模）已知函数，若方程有两个实根，且两实根之和小于0，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
10．（2023·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测）已知，为函数的零点，，若，则（ ）
A．B．
C．D．与大小关系不确定
多选题
11．（2023·云南·云南师大附中校考模拟预测）已知函数，下列结论正确的是（ ）
A．若，则有2个零点B．若，则有3个零点
C．存在负数，使得只有1个零点D．存在负数，使得有3个零点
12．（2023·湖南长沙·长沙市实验中学校考二模）已知，若过点恰能作两条直线与曲线相切，其中，则m与n可能满足的关系式为（ ）
A．B．
C．D．
13．（2023·安徽合肥·合肥市第六中学校考模拟预测）已知函数（e为自然对数的底数），则下列结论正确的是（ ）
A．曲线的切线斜率可以是
B．曲线的切线斜率可以是3
C．过点且与曲线相切的直线有且只有1条
D．过点且与曲线相切的直线有且只有2条
14．（2023·广东·校联考模拟预测）已知函数，则过点恰能作曲线的两条切线的充分条件可以是（ ）
A．B．
C．D．
15（2023·上海·高二专题练习）已知函数，过点作曲线的切线，下列说法正确的是（ ）
A．当，时，有且仅有一条切线
B．当时，可作三条切线，则
C．当，时，可作两条切线
D．当时，可作两条切线，则b的取值范围为或
填空题
16．（2023·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考模拟预测）已知 的图象在处的切线与与函数的图象也相切，则该切线的斜率 .
17．（2023·浙江·统考一模）若曲线存在两条互相垂直的切线，则a的取值范围是 ．
18．（2023·广东肇庆·校考模拟预测）已知曲线与曲线有相同的切线，则这条切线的斜率为 .
19．（2023·陕西榆林·校考模拟预测）已知函数，则所有的切线中斜率最小的切线方程为 .
20．（2023·全国·模拟预测）曲线在处的切线的倾斜角为，则 ．
21．（2023·内蒙古呼和浩特·统考一模）设点为函数与图象的公共点，以为切点可作直线与两曲线都相切，则实数的最大值为 ．
22．（2023·河南郑州·校联考二模）已知函数，则曲线在处的切线方程为 .
23．（2023·江苏南京·南京市第九中学校考模拟预测）函数在处的切线方程为 .
24．（2023·广东梅州·统考三模）曲线在点处的切线方程为 .
25．（2023·湖南·校联考模拟预测）若函数是奇函数，则曲线在点处的切线方程为 ．
26．（2022·全国·统考高考真题）已知和分别是函数（且）的极小值点和极大值点．若，则a的取值范围是 ．
27．（2023·福建厦门·统考模拟预测）已知函数，若曲线与曲线存在公切线，则实数的最大值为 ．
28．（2023·山西吕梁·统考二模）若过点（）有3条直线与函数的图象相切，则的取值范围是 ．
29．（2023·福建泉州·泉州五中校考模拟预测）已知函数过点作曲线的切线，则切线的条数为 ．
30．（2023·安徽安庆·安徽省桐城中学校考一模）若过点可以作曲线的两条切线，切点分别为，则的取值范围是 .
31．（2023·上海·统考模拟预测）若曲线有两条过的切线，则的范围是 ．
32．（2023·浙江金华·统考模拟预测）已知函数，过点存在3条直线与曲线相切，则实数的取值范围是 .
33．（2023·云南·校联考模拟预测）已知抛物线：，在直线上任取一点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，，则原点到直线距离的最大值为 .
34．（2023秋·湖南邵阳·高三湖南省邵东市第三中学校考阶段练习）已知曲线与直线相切，则的最大值为 ．
35．（2023秋·上海普陀·高三曹杨二中校考阶段练习）已知，若过点恰能作两条直线与曲线相切，且这两条切线关于直线对称，则的一个可能值为 ．
专题08 切线（选填题12种考法）
考法一 在点：求切线方程
【例1】（2023·全国·统考高考真题）曲线在点处的切线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设曲线在点处的切线方程为，
因为，所以，所以所以
所以曲线在点处的切线方程为.
故选：C
【变式】
1．（2021·全国·统考高考真题）曲线在点处的切线方程为 ．
【答案】
【解析】由题，当时，，故点在曲线上．
求导得：，所以．
故切线方程为．
故答案为：．
2．（2023·安徽·合肥一中校联考模拟预测）曲线在点处的切线方程为 ．
【答案】
【解析】，又，所以，
所以切线方程为，即．
故答案为: .
3．（2023·辽宁·校联考二模）已知函数是奇函数，则曲线在点处的切线方程为 ．
【答案】
【解析】由题意函数为奇函数可知
所以，所以，
则函数可化为，则，
则由导数得几何意义可知曲线在点(0，0)处的切线斜率为-1.
所以曲线在点处的切线方程为
故答案为: .
考法二 在点：已知切线求参数
【例2-1】（2023·河南·校联考模拟预测）若直线与曲线相切，则 ．
【答案】
【解析】依题意，设切点为，则，
由，求导得，于是，解得，
从而，则.故答案为：
【例2-2】（2023·西藏日喀则·统考一模）已知直线是曲线在点处的切线方程，则
【答案】e
【解析】由题设，且，则，
所以，切线方程为，即，
所以，故.
故答案为：
【变式】
1．（2023·安徽·池州市第一中学校联考模拟预测）已知函数（其中）在处的切线为，则直线过定点的坐标为 .
【答案】
【解析】根据题意：函数在处有切线，切点为，
又，故切线斜率为，
直线的方程为，
该直线过定点的坐标为.
故答案为：
2．（2023·广西·统考模拟预测）若曲线在处的切线与直线相互垂直，则 ．
【答案】
【解析】已知，则,
因为曲线在处的切线与直线相互垂直，
所以，解得.
故答案为：.
3．（2023·广东东莞·东莞实验中学校考一模）已知直线与曲线相切，则 .
【答案】3
【解析】对求导，得，
设切点为，则，解得，
故答案为：3.
考点三 在点：求参数最值
【例3】（2023·浙江·模拟预测）已知直线与曲线相切，则的最小值为（ ）
A．B．1C．D．
【答案】B
【解析】由，知定义域为，
设切点为，，，
所以，故切点为，代入直线方程，
则，
，
令，，
令，解得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
则，
故的最小值为1.
故选：B
【变式】
1．（2023·新疆阿克苏·校考一模）若直线与曲线相切，则k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】，由导数的几何意义可知，.故选：A
2.（2023秋·河南商丘·高三商丘市实验中学校联考阶段练习）已知，，直线与曲线相切，则的最小值为 .
【答案】8
【解析】设切点为，
因为，所以，得，
所以，即，
所以，，
当且仅当，即时，取最小值，
所以的最小值为8.
故答案为：8.
3．（2023秋·青海西宁·高三统考开学考试）已知直线与曲线相切，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设切点为，则，解得，
所以．令，所以，
令，解得，令，解得，
所以在上单调递减，在上单调递增，所以．
故选：A
4．（2023·全国·高三专题练习）已知曲线与直线相切，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设切点为，，时，，，
切线方程为，又切线方程为，即，
所以，消去得，易知，
所以，
令，则，
当时，，递增，当时，，递减，
所以时，，从而取得最大值．故选：C．
考法四 过点：求切线方程
【例4】（2023春·上海浦东新）已知曲线，过点作曲线的切线，则切线的方程为____.
【答案】
【解析】设切点坐标为，,则切线的斜率，
故切线方程为，又因为点在切线上，
所以，整理得到，
解得，所以切线方程为．
故答案为: .
【变式】
1．（2023吉林）已知函数，则曲线过点的切线方程为______．
【答案】或
【解析】设切点为，，则切线斜率为，
故曲线在处的切线方程为，
将点的坐标代入切线方程可得，解或，
故所求切线方程为或，即或.
故答案为：或.
2．（2023·山东·河北衡水中学统考一模）过点与曲线相切的直线方程为______．
【答案】
【解析】设切点坐标为，，.
则切线方程为，因为在切线上，
所以，即
又，所以，
令，，当时，，
所以在上单调递增，
所以方程只有唯一解为.
即切点坐标为，故所求切线方程为，即.
故答案为：
3．（2022·全国·统考高考真题）曲线过坐标原点的两条切线的方程为 ， ．
【答案】
【解析】[方法一]：化为分段函数，分段求
分和两种情况，当时设切点为，求出函数导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出，即可求出切线方程，当时同理可得；
解： 因为，
当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，
又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；
当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，
又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；故答案为：；
[方法二]：根据函数的对称性，数形结合
当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，
又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；
因为是偶函数，图象为：
所以当时的切线，只需找到关于y轴的对称直线即可.
[方法三]：
因为，
当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，
又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；
当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，
又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；
故答案为：；.
考法五 过点：已知切线求参数
【例5】（2023·北京）过原点的直线与分别与曲线，相切，则直线斜率的乘积为（ ）
A．-1B．1C．D．
【答案】B
【解析】设的切点分别为，
由题意可得，，
所以在处的切线为，在处的切线为，
又因为两条切线过原点，所以，解得，
所以直线斜率的乘积为，
故选：B
【变式】
1．（2023春·河南周口 ）已知曲线在处的切线过点，则实数（ ）
A．B．C．1D．3
【答案】B
【解析】因为，所以，
曲线在处的切线的斜率为，
又因为，曲线在处的切线过点，
故，则．
故选：B．
2.（2023广东湛江）过点可以作曲线的两条切线，切点的横坐标分别为m，n，则的值为（ ）
A．1B．2C．D．3
【答案】D
【解析】，设切点为坐标，
则，
即，则，
由题意知有两解，分别为m，n，
故，
故选：D.
考法六 过点：求切线的数量
【例6】（2023·福建泉州·泉州五中校考模拟预测）已知函数过点作曲线的切线，则切线的条数为 ．
【答案】2
【解析】当时，，设切点为，，
又
故过的切线方程为,
将代入可得,
解得或4，均大于0，满足要求；
当时，，设切点为，
又，
故过的切线方程为
将代入，可得
解得或4，均大于0，不合要求，舍去．
故答案为：2．
【变式】
1．（2023春·甘肃张掖）若过点作曲线的切线，则这样的切线共有（ ）
A．0条B．1条C．2条D．3条
【答案】C
【解析】设切点为，由，所以，所以，
所以切线方程为，即，因为切线过点，
所以，解得或，
所以过点作曲线的切线可以作2条，
故选：C
2.（2023·海南·统考模拟预测）已知函数，过点作曲线的切线，则切线的条数为 ．
【答案】1
【解析】当时，，设切点为，，
其中，
故过的切线方程为，
将代入，可得，解得，满足要求，
当时，，设切点为，，
其中，
故过的切线方程为，
将代入，可得，解得，不合要求，舍去；
故答案为：1
3．（2023·高二单元测试）已知函数，则过点与曲线相切的直线有 条.
【答案】2
【解析】曲线方程为，点不在曲线上，
设切点为，则点的坐标满足，
由，得，
由导数的几何意义知，在处的切线的斜率为，
故切线的方程为，
因为点在切线上，所以
联立得，解得或，
故所求切线方程为或，
则过点与曲线相切的直线有2条.
故答案为：2.
考法七 过点：求最值与取值范围
【例7-1】（2022·全国·统考高考真题）若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是 ．
【答案】
【解析】∵，∴，
设切点为,则,切线斜率,
切线方程为：,
∵切线过原点，∴,
整理得：,
∵切线有两条，∴,解得或,
∴的取值范围是,
故答案为：
【例7-2】（2023·云南·校联考模拟预测）（多选）已知函数，若过点恰能作3条曲线的切线，则的值可以为（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【解析】设切点为，则，所以切线的斜率为，
则切线的方程为，
因为点在切线上，所以，即，
令，则，
令，得或，
当或时，；当时，，
所以当时，取得极大值，
当时，取得极小值，
因为过点恰能作3条曲线的切线，所以直线与的图象有3个交点，
如图所示：

所以m的取值范围是，故选：BC
【变式】
1．（2021·全国·统考高考真题）若过点可以作曲线的两条切线，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】在曲线上任取一点，对函数求导得，
所以，曲线在点处的切线方程为，即，
由题意可知，点在直线上，可得，
令，则.
当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减，
所以，，
由题意可知，直线与曲线的图象有两个交点，则，
当时，，当时，，作出函数的图象如下图所示：

由图可知，当时，直线与曲线的图象有两个交点.
故选：D.
解法二：画出函数曲线的图象如图所示，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线.由此可知.

故选：D.
2．（2023·云南）过坐标原点可以作曲线两条切线，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】∵，∴，
设切点为，则，切线斜率,
切线方程为，
∵切线过原点，∴，
整理得：,
∵切线有两条，∴，解得或，
∴的取值范围是,
故选：D
3．（2023·江西·校联考模拟预测）若过轴上任意点可作曲线两条切线，则的取值范围 ．
【答案】
【解析】设曲线上一点，
在点的切线方程，
把点代入切线方程得，
得：，
令，则，分别令，解得
在单调递增，单调递减，，
当，，，，
要有两个解，
则即对任意，则，
对任意，则，只要，
令，，
在单调递减，在单调递增，则．
．故答案为：.
4．（2023·广西玉林·统考模拟预测）若曲线有三条过点的切线，则实数的取值范围为
【答案】
【解析】设该切线的切点为，则切线的斜率为，
所以切线方程为，
又切线过点，则，整理得.
要使过点的切线有3条，需方程有3个不同的解，
即函数图象与直线在R上有3个交点，
设，则，
令，令或，
所以函数在上单调递增，在和上单调递减，
且极小值、极大值分别为，如图，
由图可知，当时，函数图象与直线在R上有3个交点，
即过点的切线有3条.所以实数a的取值范围为.
考法八 公切线
【例8-1】（2023·江西南昌·校考模拟预测）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则b的值为（ ）
A．0B．1C．0或1D．0或
【答案】B
【解析】设是在点的切线，则，
同理设设是在点的切线，则，
由方程组得，代入解得
故选：B
【例8-2】（2023·河北·统考模拟预测）若曲线与曲线存在公切线，则实数的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为，，
所以，，
设公切线与切于点，与曲线切于点，，
所以，
所以，所以，所以或，
因为，所以，所以，
所以，
令，，
则，所以当时，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以实数的最小值为.
故选：A
【变式】
1．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）已知函数，，若直线为和的公切线，则b等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设直线与相切于点，
与相切于点，
由，所以，
由，
则，
即点，代入直线中有：
， ①
由，
所以，
由，
，
即点，代入直线中有：
， ②
联立①②解得：，
所以，
故选：B.
2．（2023·河南·校联考模拟预测）已知直线是曲线与的公切线，则 .
【答案】/
【解析】对于函数，则，
设是曲线上的一点，切线斜率，
所以在点处的切线方程为，即，
对于函数，则，
根据斜率关系可得：，解得，
可得，可知切点坐标为，
则切线方程为，即，
可得，整理得，解得或，
当时，切线方程为，此时，不符合题意，舍去；
当时，切线方程为，故，；
综上所述：.
故答案为：.
3．（2023·全国·镇海中学校联考模拟预测）若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设，，依题意只需求公切线斜率即可.
，，设切点分别为，，
则切线方程为，即.
，即.
则，由①得，
代入②得：，则，
故公切线斜率为或，如图，.

故选：C.
4．（2023·湖南郴州·安仁县第一中学校联考模拟预测）若存在直线与曲线都相切，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设该直线与相切于点，
因为，所以，所以，
所以该切线方程为，即.
设该直线与相切于点，
因为，所以，所以，
所以该切线方程为，即.
所以，
所以，
令，则，
所以当时，，当时，，
所以在和上单调递减；在和上单调递增.
又-1，所以，
所以，解得，
所以的取值范围为.故选：D.
考法九 切线与倾斜角
【例9-1】（2023·四川成都·四川省成都列五中学校考模拟预测）设点是函数图象上的任意一点，点处切线的倾斜角为，则角的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】∵，∴，
∴，∴，∴，
∴，∴或.
故选：B.
【例9-2】（2023春·福建·高二校联考期中）曲线在某点处的切线的倾斜角为锐角，且该点坐标为整数，则该曲线上这样的切点的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【解析】由，得，
曲线在某点处的切线的倾斜角为锐角，
，即，
解得：．
又切点坐标为整数，，0，1．
该曲线上这样的切点的个数为3个．
故选：C．
【变式】
1．（2023·上海徐汇·位育中学校考三模）设P是曲线上任意一点，则曲线在点P处的切线的倾斜角α的取值范围是 ．
【答案】
【解析】由已知得，
由得．
故答案为：．
2．（2023·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测）设点P是函数图象上的任意一点，点P处切线的倾斜角为，则角的取值范围是
【答案】
【解析】，
，，，，.
点P是曲线上的任意一点，点P处切线的倾斜角为，.
，.
3．（2023·河北衡水·校联考二模）已知函数的导函数为，且满足关系式.则的图像上任意一点处的切线的斜率的取值范围为 .
【答案】
【解析】因为，所以，
所以，所以，
所以，
所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为，
所以的图像上任意一点处的切线的斜率的取值范围为.
故答案为：.
考法十 切线的应用1---点到曲线的距离最值
【例10】（2022·全国·高三专题练习（理））若点与曲线上点距离最小值为，则实数为_______.
【答案】
【解析】设点的坐标为，对函数求导得，
由题意可知，直线与曲线在点处的切线垂直，则，
得，
由两点间的距离公式得，
由于的最小值为，即，，解得，
因此，.
故答案为：
【变式】
1．（2022·江苏·苏州市苏州高新区第一中学）直线 分别与曲线， 直线 交于 两点， 则 的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题，设到直线的距离为，直线的倾斜角为，则 ，
又，，故最小即最小，即为当过点处的切线与直线平行时最小，
由曲线，得，所以切点为，
可求得点到直线的距离最小值为
故，
故选：C
2．（2022·河北邯郸·二模）已知点P为曲线上的动点，O为坐标原点．当最小时，直线OP恰好与曲线相切，则实数a＝___．
【答案】
【解析】设，所以，
设，，
当时，，，所以单调递增，
当时，，，
所以单调递减，
当时，函数有最小值，即有最小值，所以，
此时直线OP的方程为，设直线与曲线相切于点，
由，显然在直线上，
则，因此有，
故答案为：
3．（2023·山西临汾·统考一模）设是曲线上的动点，且.则的取值范围是 .
【答案】
【解析】∵，∴，
设点，则在点P处的切线斜率为，
∵，即：当且仅当PA垂直于切线时，取得最小值，
又∵，
∴，即：，①
∴，即：，②
∴由①②得：，解得：或，
又∵由①知，，
∴，即：，解得：，
∴.
故答案为：.
考法十一 切线的应用2---曲线上的动点到直线距离的最值
【例11】（2023春·陕西安康）若点是曲线上任意一点，则点到直线距离的最小值为（ ）
A．B．C．2D．
【答案】D
【解析】过点作曲线的切线，当切线与直线平行时，点到直线距离最小.
设切点为，
所以切线斜率为，由题知，解得或（舍），
，此时点到直线距离.
故选：D
【变式】
1．（2023春·广西钦州 ）已知P是函数图象上的任意一点，则点P到直线的距离的最小值是（ ）
A．B．5C．6D．
【答案】A
【解析】设直线与直线平行，且与函数的图象相切，
设切点为，因为是单调递增函数，
直线的斜率为1，所以，解得，即切点为，
所以点P到直线的距离的最小值是点到直线的距离，
即为.
故选：A
2．（2023秋·河南许昌·高三禹州市高级中学校考阶段练习）点是曲线上任意一点，则点到直线的最短距离 .
【答案】/
【解析】，
令，解得（舍去），
又，可得与直线平行且与曲线相切的直线的切点为，
所以点到直线的最短距离为.
故答案为：.
3．（2023春·福建漳州·高二校考阶段练习）已知函数，如果直线与的图象无交点，则的取值范围是
【答案】
【解析】令，整理得，
构建，原题意等价于与没有交点，
因为，
设切点坐标为，切线斜率，
则切线方程为，
若切线过原点，则，解得，
此时切线斜率，
可得，解得，
所以的取值范围是.
考法十二 切线的应用3--零点或实根的个数
【例12-1】（2023北京）函数，若方程恰有3个根，则实数的取值范围为 .
【答案】
【解析】画出函数的图象,如图所示：
由题意可知，
先求与相切时的情况，由图可得此时,
设切点为,则，解得, ，
此时直线，此时直线与只有两个公共点，所以，
又斜率，又当时与平行，与有三个公共点，而当，直线与有四个交点，故.
故答案为：
【例12-2】（2023·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测）已知函数，，若方程恰有三个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】作出与的图象，如图，
当时，设与相切于点，
则，解得，所以，
由图象可知，当时，与有2个交点，与有1个交点，即与有3个交点.；
当时，设与相切于点，
由可知，，
解得或（舍去），此时，而，
由图象知，当时，与有3个交点.
综上，或时图象有3个交点，即方程恰有三个不相等的实数根.
故选：A
【变式】
1．（2023·四川·校考模拟预测）若函数恰有2个零点，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】令，，则，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
当时，，当趋向正无穷时，趋向正无穷，故作出的大致图象，如图所示．
由题知函数恰有2个零点，即函数的图象与直线的图象恰有2个交点，
易知点为与直线的公共点，又曲线在点处的切线方程为，
所以当，直线与与曲线有2个交点；
当时，直线与曲线有2个交点．
综上所述，实数的取值范围为．
故选：C．
2．（2023·江苏淮安·江苏省盱眙中学校考模拟预测）已知函数，，若函数恰有2个零点，则实数m的取值范围为 .
【答案】
【解析】由得，
由题意得，函数与函数的图象恰有2个公共点，
作出函数的图象，如图，
再作出直线，它始终过原点，
设直线与相切，切点为，
由知，切线斜率为，切线方程为，
把代入得，
所以切线斜率为，
设与相切，则，
所以，，解得舍去），
由图可得实数m的取值范围是或.
故答案为：
3．（2023·福建福州·福州四中校考模拟预测）已知函数，若有且仅有两个零点，则实数的取值范围为
【答案】
【解析】由可知，即与存在两个交点，
令，则，
令，解得：，令，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
令，解得，
则在处的切线方程为；
令，解得，则在处的切线方程为，
所以与的图象如下表：

且这两条切线在轴上的截距分别为实数的取值范围为.
单选题
1．（2023·山东潍坊·三模）若为函数图象上的一个动点，以为切点作曲线的切线，则切线倾斜角的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】设点坐标为，由，，得，
则以为切点的切线斜率为，令切线倾斜角为，，则，
则.故选：D.
2．（2023·江苏南京·南京市第一中学校考模拟预测）已知，设曲线在处的切线斜率为，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】当时，，，，
，在上单调递减；
，
所以，而，
所以，
.
故选：A.
3．（2023·全国·模拟预测）过点作曲线的两条切线，切点分别为，，则（ ）
A．B．C．D．2
【答案】D
【解析】由题意得，
过点作曲线的两条切线，设切点坐标为，
则，即，
由于，故，，
由题意可知为的两个解，
故，
故选：D
4．（2023秋·湖南常德·高三常德市一中校考阶段练习）若函数的图象上任意一点的切线的斜率都大于0，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】的定义域是，依题意，恒成立，即恒成立，
由于，当且仅当时等号成立，所以.故选：C

5．（2023·山东烟台·校考模拟预测）已知函数（且）有一个极大值点和一个极小值点，且，则a的取值范围为 （ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意知，时，，
又，当时，时，，所以，
矛盾，故，
由有两不同实数根可知，有两个不同交点，
设过原点与相切的直线为，切点为，
因为，所以，解得，
即，如图，

所以与有两个不同交点则需，解得，
又，所以，此时满足极大值点为，极小值点为，且.
故选：B
6．（2023·河北沧州·校考模拟预测）已知直线与曲线和曲线均相切，则实数的解的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．无数
【答案】C
【解析】根据题意可知，直线与曲线和曲线都相切，
所以对于曲线，则，所以，
所以切点，
对于曲线，则，所以，
切点，易知A,B不重合，
因为公切线过两点，所以，
进而可得，
令，则，
令，则
所以在单调递增，
因为，
所以存在使得，即，
所以当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，，
故.
又因为，
所以，
当时，，
因为，
所以在内存在，使得，
当时，，
因为，，
所以在内存在，使得，
综上所述，存在两条斜率分别为，的直线与曲线和曲线都相切，
故选：C.
7．（2023春·江苏南通·高三校考开学考试）已知函数，存在两条过原点的直线与曲线相切，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】设切点坐标为，又，则切线斜率
又，则切线方程为：，
又切线过原点，则，即方程在上有两不相等的实根，
设，，则，
当时，恒成立，在上单调递增，不可能存在两个零点，故不符合题意；
当时，得，当时，，单调递减，时，，单调递增，
要使得两个不同的零点，则，解得，
又，时，，故当时，有两个零点，
则实数a的取值范围是.
故选：D.
8．（2023·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考模拟预测）若曲线上恰有三个不同的点到直线的距离为，则实数a的值为（ ）
A．-3B．C．1D．-3或1
【答案】A
【解析】依题意，设直线与直线平行，且与曲线的图象相切于点，
对于，定义域为，则，
所以有，直线的斜率，
又因为直线与直线平行，则有，解得：，
则，故点的坐标为，所以直线的方程为：，
若曲线上恰有三个不同的点到直线的距离为，
必有直线到直线的距离为，则有，解得：或，
当时，直线即为与曲线没有交点，
曲线上只有个点到直线的距离为，不符合题意；
当时，直线即为与曲线有个交点，
曲线上恰有三个不同的点到直线的距离为，
一个点为点，剩余的两个点则在直线的右下方，符合题意；
故.
故选：A.
9．（2023·河南·襄城高中校联考三模）已知函数，若方程有两个实根，且两实根之和小于0，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】，易知方程总有一个实根为0，
当时，，，方程没有非零实根.
当时，当时，，；当时，，，
在上单调递减，在上单调递增
如图所示，作出两函数的大致图像，可知坐标原点为两个图像的公共点.

当时，，，
，，与的图像在原点处相切，
当时，，，
，，与的图像在原点处相切，
此时方程仅有一个实根0.
结合图像可知，当时，方程另有一正根，不合题意；
当时，方程另有一负根，符合题意.
故满足条件的的取值范围是.
故选：C.
10．（2023·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测）已知，为函数的零点，，若，则（ ）
A．B．
C．D．与大小关系不确定
【答案】C
【解析】易知为函数的零点，
又
解之：，负根舍去；
又，
即与有三个交点，交点横坐标分别为，如下图先计算过原点的切线方程，不妨设切点为
切线方程为：过原点，
此时的斜率比切线斜率小，结合图像容易分析出，
故选：C
．
多选题
11．（2023·云南·云南师大附中校考模拟预测）已知函数，下列结论正确的是（ ）
A．若，则有2个零点B．若，则有3个零点
C．存在负数，使得只有1个零点D．存在负数，使得有3个零点
【答案】ABC
【解析】由题意知的零点个数即为和的图象的交点个数，在同一平面直角坐标系内画出和的图象.

对A，由图可知，当时，图象有两个不同的交点，故A正确；
对B，设直线与曲线相切于点，
则，故切线斜率，
所以当，直线与有3个不同的交点，
即有3个零点，故B正确；
对C，设直线与曲线相切于点，
则，故切线斜率，
所以当时，恰有1个零点，故C正确；
对D，当时，直线与的图象至多有2个交点，故D错误；
故选：ABC.
12．（2023·湖南长沙·长沙市实验中学校考二模）已知，若过点恰能作两条直线与曲线相切，其中，则m与n可能满足的关系式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【解析】设切点坐标为，因为，则，切线斜率为，
所以，曲线在处的切线方程为
将点的坐标代入切线方程可得，
过点恰能作两条直线与曲线相切，
即方程有2个解，即，
与的图象有2个交点，
，
若，令，得或，令，得，
即在上单调递减，在和上单调递增，

若，令，得或，令，得，
即在上单调递减，在和上单调递增，

又，，
故由图可知，当或时，与的图象有2个交点，
此时，或.
故选：AD.
13．（2023·安徽合肥·合肥市第六中学校考模拟预测）已知函数（e为自然对数的底数），则下列结论正确的是（ ）
A．曲线的切线斜率可以是
B．曲线的切线斜率可以是3
C．过点且与曲线相切的直线有且只有1条
D．过点且与曲线相切的直线有且只有2条
【答案】BCD
【解析】因为，所以，
对于A：令，方程无解，所以曲线的切线斜率不可以是，故A错误；
对于B：令，解得，所以曲线的切线斜率可以是，故B正确；
对于C：设切点，则切线方程为，因为点在切线上，
所以，即，显然，所以，
故过点且与曲线相切的直线有且只有1条，故C正确；
对于D：设切点，则切线方程为，
因为点在切线上，，所以，
令，则，所以当时，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
又，，，所以存在使得，
所以方程有且仅有两个实数根，
所以过点且与曲线相切的直线有且只有条，故D正确；
故选：BCD
14．（2023·广东·校联考模拟预测）已知函数，则过点恰能作曲线的两条切线的充分条件可以是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AB
【解析】由，得，
设切点为，则切线的斜率为，
所以有，
整理可得：，
由题意可知：此方程有且恰有两个解，令，
，
，
令，则，
所以在上单调递增，因为，
所以当时，；当时，，
①当，即时，
当时，，则函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
当时，，则函数单调递增，
所以只要或，即或；
②当，即时，
当时，，则函数单调递增，
当时，函数单调递减，
当时，，则函数单调递增，
当时，，
所以只要或，由可得：，
由得；
③当时，，所以函数在上单调递增，
所以函数至多有一个零点，不合题意；
综上：当时，或；
当时，或，
所以选项A正确，B正确，C错误，D错误，
故选：AB
15（2023·上海·高二专题练习）已知函数，过点作曲线的切线，下列说法正确的是（ ）
A．当，时，有且仅有一条切线
B．当时，可作三条切线，则
C．当，时，可作两条切线
D．当时，可作两条切线，则b的取值范围为或
【答案】AD
【解析】A：当时，点在上，，
若为切点，则切线斜率为，所以切线方程为，
若不为切点，设切点坐标为，所以，
切线斜率为，所以，，即切点为原点，所以时，有且仅有一条切线，正确；
B：设切点坐标为，所以，，
则切线的斜率为，切线方程为，
当时，，则，
设，则，
当时，，单调递减，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以时有极小值，为，时有极大值，为，
时，画出的图象，
当时，若有三条切线，则与有3个交点，由图得，错误；
C：当时，由切线方程得，则，
设，则，
所以单调递减，且，
如图，
所以当，时，与有且只有一个交点，所以只能作一条切线，错误；
D：当时，由切线方程为得，则，
设，则，
因为，所以当时，单调递增，
所以当时，单调递减，
所以当时，单调递减，
时，有极小值为，
时，有极大值为，
的图象为
若有两条切线，则的取值为或，正确.
故选：AD.
填空题
16．（2023·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考模拟预测）已知 的图象在处的切线与与函数的图象也相切，则该切线的斜率 .
【答案】
【解析】函数的图象在处的切线的切点为，
因为，所以切线斜率为，切线方程为，即，
设的图象的切线的切点为，因为，所以切线斜率为，
切线方程为，即，
由题，解得，，斜率为.
故答案为：.
17．（2023·浙江·统考一模）若曲线存在两条互相垂直的切线，则a的取值范围是 ．
【答案】
【解析】由题知，令，
则．
若函数曲线存在两条互相垂直的切线
则可得，，．
当时，，，与题目矛盾；
当时，由，
可得的值域是
故，使得，
，．
故答案为：．
18．（2023·广东肇庆·校考模拟预测）已知曲线与曲线有相同的切线，则这条切线的斜率为 .
【答案】/0.5
【解析】设曲线与曲线的切点分别为，，
又，，
所以，，
所以切线为，即，
，即，
所以，
所以，，即这条切线的斜率为.
故答案为：.
19．（2023·陕西榆林·校考模拟预测）已知函数，则所有的切线中斜率最小的切线方程为 .
【答案】
【解析】由，，
则，时等号成立，
则函数所有切线中斜率最小为3，且过点，
则切线方程为
故答案为：
20．（2023·全国·模拟预测）曲线在处的切线的倾斜角为，则 ．
【答案】
【解析】由题得，所以，
所以，
所以.
故答案为：
21．（2023·内蒙古呼和浩特·统考一模）设点为函数与图象的公共点，以为切点可作直线与两曲线都相切，则实数的最大值为 ．
【答案】
【解析】设点坐标为，则有，因为以为切点可作直线与两曲线都相切，所以，即
或由，故，此时；所以点坐标为，代入整理得：，，令，即，得，可判断 在 上递增，在 上递减，所以当时有极大值也是最大值，，故答案为.
22．（2023·河南郑州·校联考二模）已知函数，则曲线在处的切线方程为 .
【答案】
【解析】由得，
故，而，
故曲线在处的切线方程为，
即
故答案为：
23．（2023·江苏南京·南京市第九中学校考模拟预测）函数在处的切线方程为 .
【答案】
【解析】函数，可得，
又由，可得，即切线的斜率为，
所求切线方程为，即.
故答案为：.
24．（2023·广东梅州·统考三模）曲线在点处的切线方程为 .
【答案】
【解析】，则，则
又因为当时，，所以所求的直线方程为，即.
故答案为：.
25．（2023·湖南·校联考模拟预测）若函数是奇函数，则曲线在点处的切线方程为 ．
【答案】
【解析】因为是奇函数，
所以对恒成立，
即对恒成立，
所以，则，故，所以，
所以曲线在点处的切线方程为，
化简得.
故答案为：
26．（2022·全国·统考高考真题）已知和分别是函数（且）的极小值点和极大值点．若，则a的取值范围是 ．
【答案】
【解析】[方法一]：【最优解】转化法，零点的问题转为函数图象的交点
因为，所以方程的两个根为，
即方程的两个根为，
即函数与函数的图象有两个不同的交点，
因为分别是函数的极小值点和极大值点，
所以函数在和上递减，在上递增，
所以当时，，即图象在上方
当时，，即图象在下方
，图象显然不符合题意，所以．
令，则，
设过原点且与函数的图象相切的直线的切点为，
则切线的斜率为，故切线方程为，
则有，解得，则切线的斜率为，
因为函数与函数的图象有两个不同的交点，
所以，解得，又，所以，
综上所述，的取值范围为．
[方法二]：【通性通法】构造新函数，二次求导
=0的两个根为
因为分别是函数的极小值点和极大值点，
所以函数在和上递减，在上递增，
设函数，则，
若，则在上单调递增，此时若，则在
上单调递减，在上单调递增，此时若有和分别是函数
且的极小值点和极大值点，则，不符合题意；
若，则在上单调递减，此时若，则在上单调递增，在上单调递减，令，则，此时若有和分别是函数且的极小值点和极大值点，且，则需满足，，即故，所以.
27．（2023·福建厦门·统考模拟预测）已知函数，若曲线与曲线存在公切线，则实数的最大值为 ．
【答案】/0.5
【解析】，
假设两曲线在同一点处相切，
则，可得，即，
因为函数单调递增，且时，
所以，则，此时两曲线在处相切，
根据曲线的变化趋势，若，则两曲线相交于两点，不存在公切线，如图，

所以的最大值为.
故答案为：.
28．（2023·山西吕梁·统考二模）若过点（）有3条直线与函数的图象相切，则的取值范围是 ．
【答案】
【解析】由题意可得，设切点坐标为，则切线斜率，
所以切线方程为，
将代入得．
因为存在三条切线，即方程有三个不等实数根，
等价于函数与的图象有三个交点，
设，则，
当时，，单调递增；
在和上，，单调递减，
，，当或时，，
要使函数与的图象有三个交点，
只需，即，即的取值范围是．
故答案为：
29．（2023·福建泉州·泉州五中校考模拟预测）已知函数过点作曲线的切线，则切线的条数为 ．
【答案】2
【解析】当时，，设切点为，，
又
故过的切线方程为,
将代入可得,
解得或4，均大于0，满足要求；
当时，，设切点为，
又，
故过的切线方程为
将代入，可得
解得或4，均大于0，不合要求，舍去．
故答案为：2．
30．（2023·安徽安庆·安徽省桐城中学校考一模）若过点可以作曲线的两条切线，切点分别为，则的取值范围是 .
【答案】
【解析】设切点，
则切线方程为，
又切线过，则，
有两个不相等实根，
其中或，
令或，
当时，，当时，，
所以函数在上递增，在上递减，
，，
当时，，当时，，
所以，即.
故答案为：
31．（2023·上海·统考模拟预测）若曲线有两条过的切线，则的范围是 ．
【答案】
【解析】设切线切点为,，又，所以切线斜率为
因为，所以切线方程为：．
又切线过，则，即
则由题可知函数图象与直线有两个交点，
由得，由得
所以在上单调递增，在上单调递减．
又，又，，，．
据此可得大致图象如下．

则由图可得，当时，曲线有两条过的切线．
故答案为：.
32．（2023·浙江金华·统考模拟预测）已知函数，过点存在3条直线与曲线相切，则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】由，设切点为，则切线斜率为，
所以，过的切线方程为，
综上，，即，
所以有三个不同值使方程成立，
即与有三个不同交点，而，
故、上，递减，上，递增；
所以极小值为，极大值为，故时两函数有三个交点，
综上，的取值范围是.
故答案为：
33．（2023·云南·校联考模拟预测）已知抛物线：，在直线上任取一点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，，则原点到直线距离的最大值为 .
【答案】4
【解析】
设，，则，，
由得，
，
在处的切线方程为，即
在处的切线方程为，即
设，
则，，
则直线方程为：，即，直线恒过定点，
所以原点到直线的距离的最大值为4.
故答案为：4
34．（2023秋·湖南邵阳·高三湖南省邵东市第三中学校考阶段练习）已知曲线与直线相切，则的最大值为 ．
【答案】
【解析】设切点为，，当时，，，
切线方程为，又切线方程为，
所以，消去得，易知，
所以，令，得
当时，，递增，当时，，递减，
所以时，函数取得最大值，从而取得最大值．
故答案为：．
35．（2023秋·上海普陀·高三曹杨二中校考阶段练习）已知，若过点恰能作两条直线与曲线相切，且这两条切线关于直线对称，则的一个可能值为 ．
【答案】（或或或）
【解析】设切点坐标为，因为，则，切线斜率为，
所以，曲线在处的切线方程为
将点的坐标代入切线方程可得，
设过点且与曲线相切的切线的切点的横坐标分别为、，且，
因为这两条切线关于直线对称，则，
所以，，
易知、关于的方程的两个根，设该方程的第三个根为，
则，
则，
所以，，
因为过点恰能作两条直线与曲线相切，
则关于的方程只有两个不等的实根，不妨设，
则，
若，则，可得，解得；
若，则，所以，，可得，，
所以，，解得.
综上所述，或.
故答案为：（或或或）.