2024年高考数学二轮复习专题01解三角形(解答题10种考法)(精讲)(原卷版+解析)

这是一份2024年高考数学二轮复习专题01解三角形(解答题10种考法)(精讲)(原卷版+解析)，共76页。试卷主要包含了公式的直接运用，三角形的面积，三角形的周长，多边多角，最值，解三角形与三角函数性质的综合，证明题，存在性与唯一性等内容，欢迎下载使用。

考法一 公式的直接运用
【例1】（2023·天津·统考高考真题）在中，角所对的边分别是．已知．
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求．
【变式】
1．（2022·天津·统考高考真题）在中，角A、B、C的对边分别为a，b，c.已知.
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值.
2．（2022·浙江·统考高考真题）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．
(1)求的值；
(2)若，求的面积．
3．（2023·天津北辰·校考模拟预测）已知，，分别为锐角三角形三个内角的对边，且．
(1)求；
(2)若，，求；
(3)若，求的值．
考法二 三角形的面积
【例2-1】（2023·福建·校联考模拟预测）设的内角，，的对边分别为，，，已知，，且.
(1)求；
(2)求的面积.
【例2-2】（2023·湖南永州·统考一模）在中，设所对的边分别为，且满足．
(1)求角；
(2)若的内切圆半径，求的面积．
【变式】
1．（2023·海南海口·校考模拟预测）在 中，角 A、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且满足.
(1)求的值；
(2)若，求的面积.
2．（2023·江苏无锡·校考模拟预测）已知函数.
(1)求函数的最小正周期和单调递增区间；
(2)在中，内角所对的边分别是，且，若，求的面积.
3．（2023·河南开封·统考三模）在中，设A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．
(1)求角B；
(2)若，的内切圆半径，求的面积．
考法三 三角形的周长
【例3-1】（2023·山东菏泽）在中，角所对的边分别为已知，面积，再从以下两个条件中选择其中一个作为已知，求三角形的周长.
（1）;
（2）.
注:如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【例3-2】（2023·重庆南岸）设，
（1）求的单调递增区间；
（2）在中，角为锐角，角，，的对边分别为，，，若，，，求三角形的周长.
【变式】
1．（2022·北京·统考高考真题）在中，．
(1)求；
(2)若，且的面积为，求的周长．
2．（2023·河南·校联考二模）记的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知.
(1)求A；
(2)设的中点为D，若，且的周长为，求a，b.
3．（2023·黑龙江大庆·大庆中学校考模拟预测）在①；②，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答．
已知的内角、、所对的边分别为、、，____________．
(1)求的值；
(2)若的面积为，，求的周长．
考法四 爪型三角形
【例4-1】（2023·全国·统考高考真题）已知在中，．
(1)求；
(2)设，求边上的高．
【例4-2】（2023·湖北）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.
(1)求B.
(2)若，，___________，求.
在①D为AC的中点，②BD为∠ABC的角平分线这两个条件中任选一个，补充在横线上.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【例4-3】（2023·福建泉州·统考模拟预测）的内角所对的边分别为，且满足.
(1)求；
(2)若平分，且，，求的面积.
【变式】
1.（2023·福建宁德·校考二模）已知的内角，，的对边分别为，，，且．
(1)求；
(2)若，，为中点，求的长．
2.（2022秋·江苏南京·高三校考期末）已知a,b,c分别是三个内角A,B,C的对边,面积为S,且．
(1)求A;
(2)若a＝2,且角A的角平分线交BC于点D,AD＝,求b．
3．（2023·河南·模拟预测）在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，的面积记为S，已知，．
(1)求A；
(2)若BC边上的中线长为1，AD为角A的角平分线，求CD的长．
考法五 多边多角
【例5-1】（2023秋·陕西商洛·高三陕西省山阳中学校联考阶段练习）如图，在平面四边形ABCD中，，，，.

(1)求；
(2)若，求BC.
【例5-2】（2023秋·四川绵阳·高三四川省绵阳江油中学校考阶段练习）如图，在平面四边形中，，，，，．

(1)求的值；
(2)求的长．
【变式】
1．（2023春·广东湛江）如图，四边形ABCD的内角，，，，且．

(1)求角B；
(2)若点是线段上的一点，，求的值．
2．（2023春·浙江金华 ）如图，四边形是由与正拼接而成，设，.

(1)当时，设，求，的值；
(2)当时，求线段的长.
3（2023广东）在三角形ABC中，，，，，．
(1)求BD的长；
(2)若AC与BD交于点O，求的面积．
考法六 最值
【例6-1】（2023·云南·校联考模拟预测）的内角的对边分别为，且.
(1)求角；
(2)若，求周长的取值范围.
【例6-2】．（2023秋·江苏·高三统考期末）已知△ABC为锐角三角形，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acsB＋bcsA＝2ccsC．
(1)求角C；
(2)若c＝2，求△ABC的周长的取值范围．
【例6-3】（2022·全国·统考高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)若，求B；
(2)求的最小值．
【变式】
1．（2023·江西·校联考模拟预测）已知中内角，，所对边分别为，，，．
(1)求；
(2)若边上一点，满足且，求的面积最大值．
2．（2023·江西九江·统考一模）中，内角所对的边分别是，已知，．
(1)求角的值；
(2)求边上高的最大值．
3．（2023·江苏南京·南京航空航天大学附属高级中学校考模拟预测）在中，以，，分别为内角，，的对边，且
(1)求；
(2)若，，求边上中线长.
4.（2022秋·江苏南京·高三校考期末）已知a,b,c分别是三个内角A,B,C的对边,面积为S,且．
(1)求A;
(2)若a＝2,且角A的角平分线交BC于点D,AD＝,求b．
考法七 三角形的四心
【例7】（2023春·浙江温州 ）已知的内角、、的对边分别为、、，且，角B为钝角．
(1)求；
(2)在①重心，②内心，③外心这三个条件中选择一个补充在下面问题中，并解决问题．
若，，为的___________，求的面积．
【变式】
1．（2022·安徽·芜湖一中校联考一模）已知ΔABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，tanC=
(1)求的值；
(2)设M和N分别是ΔABC的重心和内心，若MN//BC且c=2，求a的值．
2．（2022秋·四川内江·高三威远中学校校考期中）的内角A，B，C所对的边分别为．
(1)求A的大小；
(2)M为内一点，的延长线交于点D，___________，求的面积．
请在下面三个条件中选择一个作为已知条件补充在横线上，使存在，并解决问题．
①M为的重心，；
②M为的内心，；
③M为的外心，．
3．（2022秋·广东广州·高三广州市第五中学校考阶段练习）已知的内角、、的对边分别为、、，且.
(1)求；
(2)在①重心，②内心，③外心这三个条件中选择一个补充在下面问题中，并解决问题.
若，，为的___________，求的面积.
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
考法八 解三角形与三角函数性质的综合
【例8】（2023·广东）设函数，其中向量，.
(1)求的最小值；
(2)在△中，，，分别是角，，所对的边，已知，，△的面积为，求的值.
【例8-2】（2023·北京）已知函数，将的图象横坐标变为原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位后得到的图象，且在区间内的最大值为.
（1）求的值；
（2）在锐角中，若，求的取值范围.
【变式】
1．（2023春·山西晋城）已知函数.
(1)求函数的定义域和值域；
(2)已知锐角的三个内角分别为A，B，C，若，求的最大值.
2．（2023·上海浦东新·华师大二附中校考模拟预测）已知函数.
(1)求函数的单调递减区间；
(2)在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，求的取值范围.
3．（2023春·云南）已知函数的部分图象如图所示．

（1）求函数的解析式；
（2）在锐角中，角，，所对的边分别为，，，若，，且的面积为，求．
考法九 证明题
【例9】（2022·全国·统考高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知．
(1)若，求C；
(2)证明：
【变式】
1．（2023·四川成都·校联考模拟预测）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求证：，，是等差数列；
(2)求的最大值．
2．（2023·山东泰安·校考模拟预测）在锐角中，内角所对的边分别为，满足，且．
(1)求证：；
(2)已知是的平分线，若，求线段长度的取值范围．
3．（2023·河南·校联考模拟预测）已知的外心为，点分别在线段上，且恰为的中点．
(1)若，求面积的最大值；
(2)证明：．
考法十 存在性与唯一性
【例10-1】（2021·全国·统考高考真题）在中，角、、所对的边长分别为、、，，.．
（1）若，求的面积；
（2）是否存在正整数，使得为钝角三角形?若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
【例10-2】．（2021·北京·统考高考真题）在中，，．
（1）求；
（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求边上中线的长．
条件①：；
条件②：的周长为；
条件③：的面积为；
【变式】
1．（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考三模）在中，角的对边分别为，且.
(1)求的值；
(2)若，从下列三个条件中选出一个条件作为已知，使得存在且唯一确定，求的面积.
条件①：；条件②：；条件③：的周长为9.
2.（2022·北京·景山学校模拟预测）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求B；
(2)从以下条件中选择两个，使△ABC存在且唯一确定，并求△ABC的面积．
①若；②；③；④△ABC的周长为9．
3.（2022秋·山西运城·高三校考阶段练习）中，内角的对边分别为的外接圆半径为，已知.
(1)求；
(2)已知的平分线交于点，从以下三个条件中选择两个，使唯一确定，并求和的长度.
条件①：；条件②：；条件③：.
专题01 解三角形（解答题）
考法一 公式的直接运用
【例1】（2023·天津·统考高考真题）在中，角所对的边分别是．已知．
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求．
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】（1）由正弦定理可得，，即，解得：；
（2）由余弦定理可得，，即，
解得：或（舍去）．
（3）由正弦定理可得，，即，解得：，而，
所以都为锐角，因此，，
．
【变式】
1．（2022·天津·统考高考真题）在中，角A、B、C的对边分别为a，b，c.已知.
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】（1）因为，即，而，代入得，解得：．
（2）由（1）可求出，而，所以，又，所以．
（3）因为，所以，故，又， 所以，，而，所以，
故．
2．（2022·浙江·统考高考真题）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．
(1)求的值；
(2)若，求的面积．
【答案】(1)；
(2)．
【解析】（1）由于， ，则．因为，
由正弦定理知，则．
（2）因为，由余弦定理，得，
即，解得，而，，
所以的面积．
3．（2023·天津北辰·校考模拟预测）已知，，分别为锐角三角形三个内角的对边，且．
(1)求；
(2)若，，求；
(3)若，求的值．
【答案】(1)
(2)3
(3)
【解析】（1）由于，所以，
由根据正弦定理可得，
所以，且三角形为锐角三角形，即
所以.
（2）在中，由余弦定理知，
即，解得或（舍），
故.
（3）由，可得，
所以，
，
即
考法二 三角形的面积
【例2-1】（2023·福建·校联考模拟预测）设的内角，，的对边分别为，，，已知，，且.
(1)求；
(2)求的面积.
【答案】(1)(2)
【解析】（1）由及，得，
由正弦定理得
所以，，所以，又因为，所以.
（2）由结合正弦定理得，即所以或.
又因为，所以.所以，
因为，所以，
所以，即的面积为.
【例2-2】（2023·湖南永州·统考一模）在中，设所对的边分别为，且满足．
(1)求角；
(2)若的内切圆半径，求的面积．
【答案】(1)(2)
【解析】（1）在中，由得，
即,
故，由于，
故，而，故.
（2）由可得，而，
故，则，
由的内切圆半径，可得，
即，即，
故，解得，
故的面积.
【变式】
1．（2023·海南海口·校考模拟预测）在 中，角 A、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且满足.
(1)求的值；
(2)若，求的面积.
【答案】(1)2(2)12
【解析】（1）由可得，
，
因为，所以可得，
解得.
（2）由（1）知，所以，
又因为，所以，
所以，
即，又，
所以，
由正弦定理可得，，
所以，
所以，
所以的面积.
2．（2023·江苏无锡·校考模拟预测）已知函数.
(1)求函数的最小正周期和单调递增区间；
(2)在中，内角所对的边分别是，且，若，求的面积.
【答案】(1)最小正周期为，单调递增区间为.(2)
【解析】（1），
所以函数的最小正周期为.
令，得，
故函数的单调递增区间为.
（2）由，得，
由得，所以，得.
由余弦定理得，即，
因为，所以，
从而有，得，
则
3．（2023·河南开封·统考三模）在中，设A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．
(1)求角B；
(2)若，的内切圆半径，求的面积．
【答案】(1)(2)
【解析】（1）因为，
由余弦定理得，即，所以．
又，所以
（2）由余弦定理得：，则，
由三角形面积公式，，即，
则，
所以，解得，
所以.
考法 三角形的周长
【例3-1】（2023·山东菏泽）在中，角所对的边分别为已知，面积，再从以下两个条件中选择其中一个作为已知，求三角形的周长.
（1）;
（2）.
注:如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】
【解析】由三角形的面积公式可知，，，整理得
由正弦定理得:
因为，，
若选择条件（1）由：得，则，
又为三角形的内角，，由正弦定理得
代入解得，三角形的周长为
若选择条件（2），则由，得
又，
又为三角形的内角，.
由正弦定理得: ，代入解得，三角形的周长为
【例3-2】（2023·重庆南岸）设，
（1）求的单调递增区间；
（2）在中，角为锐角，角，，的对边分别为，，，若，，，求三角形的周长.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由已知，
令，
则，
的单调递增区间为；
（2）由（1）得，又角为锐角，
，得，
，
得，所以三角形的周长为.
【变式】
1．（2022·北京·统考高考真题）在中，．
(1)求；
(2)若，且的面积为，求的周长．
【答案】(1)(2)
【解析】（1）解：因为，则，由已知可得，
可得，因此，.
（2）解：由三角形的面积公式可得，解得.
由余弦定理可得，，
所以，的周长为.
2．（2023·河南·校联考二模）记的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知.
(1)求A；
(2)设的中点为D，若，且的周长为，求a，b.
【答案】(1)
(2)，.
【解析】（1）由条件及正弦定理可得，
因为，所以，
所以，整理得，
又因为，所以，
所以，解得.
（2）在中，由余弦定理得.
而，，所以.①
在中，由余弦定理得.②
由①②两式相减，得，所以，
将代入②，得，则.
因为的周长为，
所以，解得，
所以，.
3．（2023·黑龙江大庆·大庆中学校考模拟预测）在①；②，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答．
已知的内角、、所对的边分别为、、，____________．
(1)求的值；
(2)若的面积为，，求的周长．
【答案】(1)(2)
【解析】（1）解：若选①，由已知得，所以，
由正弦定理得，
又，所以，所以，
又，由，，解得；
若选②，由已知及正弦定理得，
所以，
所以，
所以，
又，所以，所以，
又，由，，解得．
（2）解：由的面积为，得，所以，
由（1）可得，
由余弦定理得，
所以，所以，
所以的周长为．
考法四 爪型三角形
【例4-1】（2023·全国·统考高考真题）已知在中，．
(1)求；
(2)设，求边上的高．
【答案】(1)(2)6
【解析】（1），，即，
又，
，
，，即，所以，.
（2）由（1）知，，
由，
由正弦定理，，可得，
，.
【例4-2】（2023·湖北）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.
(1)求B.
(2)若，，___________，求.
在①D为AC的中点，②BD为∠ABC的角平分线这两个条件中任选一个，补充在横线上.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】(1)(2)答案见解析
【解析】（1）由正弦定理得，.
因为，所以，所以，即.
又，则，所以.
（2）选择条件①：因为，所以，，
.
选择条件②：
因为BD为∠ABC的角平分线，所以，
则，
解得.
【例4-3】（2023·福建泉州·统考模拟预测）的内角所对的边分别为，且满足.
(1)求；
(2)若平分，且，，求的面积.
【答案】(1)(2)
【解析】（1）解法一：因为，
所以由正弦定理可得，
即，，
所以，
又，所以，
因为，所以.
解法二：在中，由余弦定理得，，
又因为，所以，
即，
所以，
因为，所以.
（2）解法一：因为，
所以，
两边平方得，即①，
又因为平分，所以，即②，
由①②，解得，，
所以.

解法二：在中，，所以，
又因为平分，所以，即①，
在中，由余弦定理，得，即②，
在中，由余弦定理，得，即③，
由①②③解得，，
所以.
解法三：过点作交于点，

因为，且平分，所以，
所以为等边三角形，所以，
又因为，所以，，
所以.
【变式】
1.（2023·福建宁德·校考二模）已知的内角，，的对边分别为，，，且．
(1)求；
(2)若，，为中点，求的长．
【答案】(1)(2)
【解析】（1），即，
化简得，解得，
因为，所以．
（2）由余弦定理得，
即，解得，
因为
，故的长度为．
2.（2022秋·江苏南京·高三校考期末）已知a,b,c分别是三个内角A,B,C的对边,面积为S,且．
(1)求A;
(2)若a＝2,且角A的角平分线交BC于点D,AD＝,求b．
【答案】(1)(2)2
【解析】（1）解:由题知,
则有:①,
在中,由余弦定理可得:
,
代入①式可得: ,
即,
由辅助角公式可得:,
所以或,
即或,
因为,所以;
（2）由(1)知,因为平分,
所以,
且有,
即:,
将边和角代入可得: ,
化简可得: ,
在中,由余弦定理可得:
,
即,
即,
解得:(舍)或,
即,解得.
3．（2023·河南·模拟预测）在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，的面积记为S，已知，．
(1)求A；
(2)若BC边上的中线长为1，AD为角A的角平分线，求CD的长．
【答案】(1)(2)
【解析】（1）因为，所以，即，
由正弦定理可得，即
所以．
因为，所以．
（2）设AE为BC边上的中线，可得，
如下图所示：

则，
所以，解得．
因为，
所以，
所以；由可得，
利用余弦定理可得，
所以．
考法五 多边多角
【例5-1】（2023秋·陕西商洛·高三陕西省山阳中学校联考阶段练习）如图，在平面四边形ABCD中，，，，.

(1)求；
(2)若，求BC.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）在中，由正弦定理得，即，
所以.由题设知，所以.
（2）由题设及（1）知，，
在中，由余弦定理得
，
所以.
【例5-2】（2023秋·四川绵阳·高三四川省绵阳江油中学校考阶段练习）如图，在平面四边形中，，，，，．

(1)求的值；
(2)求的长．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）解：在中，，，，
由余弦定理可得，
整理可得，，解得，则，
故为等腰三角形，故.
（2）解：由（1）知，，又因为，则，
因为，则为锐角，
且，
所以，
，
在中，由正弦定理，
可得.
【变式】
1．（2023春·广东湛江）如图，四边形ABCD的内角，，，，且．

(1)求角B；
(2)若点是线段上的一点，，求的值．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）设，
在中由余弦定理得，即①，
又在中由余弦定理得，即②，
因为，则，
联立①②可得（负值舍去），，因为，所以．
（2）在中，由正弦定理知，，
所以，
又，故，
在直角三角形中，由勾股定理知，，
此时．

2．（2023春·浙江金华 ）如图，四边形是由与正拼接而成，设，.

(1)当时，设，求，的值；
(2)当时，求线段的长.
【答案】(1)，
(2)
【解析】（1）在中，由，

可知.
由于，，，
，，，.
（2）在中，，

所以，，
.
3（2023广东）在三角形ABC中，，，，，．
(1)求BD的长；
(2)若AC与BD交于点O，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由题意，在中，，，，
由余弦定理得，，
所以，
在中，，
所以，
所以，
在中，由余弦定理可知，
所以．
（2）由（1）可知，又因为，所以为等边三角形，
所以，，
在中，，所以，
在中，，
故，
所以，
所以，
在中，由正弦定理可知，即，解得，
所以．
考法六 最值
【例6-1】（2023·云南·校联考模拟预测）的内角的对边分别为，且.
(1)求角；
(2)若，求周长的取值范围.
【答案】(1)(2)
【解析】（1）因为，可得，
所以由正弦定理可得，
又为三角形内角，，
所以，
因为，
所以，可得，所以.
（2）由（1）知，又，
由正弦定理得，
则，
，
【例6-2】．（2023秋·江苏·高三统考期末）已知△ABC为锐角三角形，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acsB＋bcsA＝2ccsC．
(1)求角C；
(2)若c＝2，求△ABC的周长的取值范围．
【答案】(1)(2)
【解析】（1）由正弦定理，得，
即，即，
又，所以，
所以，故．
（2）由正弦定理，得，
所以的周长
由为锐角三角形可知，，得，
所以，所以．
所以的周长的取值范围为．
【例6-3】（2022·全国·统考高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)若，求B；
(2)求的最小值．
【答案】(1)；
(2)．
【解析】（1）因为，即，
而，所以；
（2）由（1）知，，所以，
而，
所以，即有，所以
所以
．
当且仅当时取等号，所以的最小值为．
【变式】
1．（2023·江西·校联考模拟预测）已知中内角，，所对边分别为，，，．
(1)求；
(2)若边上一点，满足且，求的面积最大值．
【答案】(1)
(2)．
【解析】（1）由题意，，
由正弦定理得，
因为三角形内角，，
则，即，
，，，
故，，
（2），
已知，，由（1）知，，
由题意得由，（如图）
已知，且由（1）知，
两边平方得，
则
，
解得，.故.
当且仅当，即时，等号成立.
所以，的最大值为．

2．（2023·江西九江·统考一模）中，内角所对的边分别是，已知，．
(1)求角的值；
(2)求边上高的最大值．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由，得
由正弦定理，得
又，
即
，
（2）解法一：设边上高为，
由余弦定理，得
即
，，即，当且仅当时，等号成立
又，，边上高的最大值为
解法二：设边上高为，
由正弦定理得，，
因为，，
，，，
又，，边上高的最大值为.
3．（2023·江苏南京·南京航空航天大学附属高级中学校考模拟预测）在中，以，，分别为内角，，的对边，且
(1)求；
(2)若，，求边上中线长.
【答案】(1)
(2)或
【解析】（1）由得，
由正弦定理可得，
由余弦定理可得，
因为，所以.
（2）因，由正弦定理可得，
即，因为，所以，则，
所以或，即或，
当时，为等边三角形，即，如图所示，

所以边上中线长为；
当时，则，所以为直角三角形，如图所示，

又，所以由正弦定理，即，
所以，，所以边上中线长为；
综上可得边上中线长为或.
4.（2022秋·江苏南京·高三校考期末）已知a,b,c分别是三个内角A,B,C的对边,面积为S,且．
(1)求A;
(2)若a＝2,且角A的角平分线交BC于点D,AD＝,求b．
【答案】(1)(2)2
【解析】（1）解:由题知,
则有:①,
在中,由余弦定理可得:
,
代入①式可得: ,
即,
由辅助角公式可得:,
所以或,
即或,
因为,所以;
（2）由(1)知,因为平分,
所以,
且有,
即:,
将边和角代入可得: ,
化简可得: ,
在中,由余弦定理可得:
,
即,
即,
解得:(舍)或,
即,解得.
考法七 三角形的四心
【例7】（2023春·浙江温州 ）已知的内角、、的对边分别为、、，且，角B为钝角．
(1)求；
(2)在①重心，②内心，③外心这三个条件中选择一个补充在下面问题中，并解决问题．
若，，为的___________，求的面积．
【答案】(1)；
(2)若选①，；若选②，；若选③，
【解析】（1）由正弦定理可得，因为，所以.
因为，所以.
（2）若选①，连接并延长交边于点，
因为为的重心，所以为的中点，且，
所以点到的距离等于点到的距离的，
所以，；
若选②，由余弦定理可得，
若为的内心，设的内切圆的半径为，
则，则，
因此，；
若选③，若为的外心，设的外接圆半径为，
由余弦定理可得，则，
在优弧上任取一点，则，则，
因此，．
【变式】
1．（2022·安徽·芜湖一中校联考一模）已知ΔABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，tanC=
(1)求的值；
(2)设M和N分别是ΔABC的重心和内心，若MN//BC且c=2，求a的值．
【答案】(1)2
(2)
【解析】（1）由已知得，，即sinAcsC=2sinC-csAsinC得sin(A+C)=2sinC即sinB=2sinC
由正弦定理得，所以；
（2）由(1)知，因为，所以
设△ABC的内切圆半径为r，则内心N到BC边的距离为r，
因为MN∥BC，所以重心M到BC边的距离为r，根据重心的性质，顶点A到BC边的距离为3r，
根据面积关系得
即，
所以
2．（2022秋·四川内江·高三威远中学校校考期中）的内角A，B，C所对的边分别为．
(1)求A的大小；
(2)M为内一点，的延长线交于点D，___________，求的面积．
请在下面三个条件中选择一个作为已知条件补充在横线上，使存在，并解决问题．
①M为的重心，；
②M为的内心，；
③M为的外心，．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【解析】（1）∵，∴，即
由正弦定理得，，即，
∵，∴，∴，又，∴，∴
（2）设外接圆半径为，则根据正弦定理得，，
若选①：∵M为该三角形的重心，则D为线段的中点且，
又，∴，
即， 又由余弦定理得，即，解得，∴；
若选②：∵M为的内心，∴，由得，∵，∴，即，
由余弦定理可得，即，∴，
即，∵，∴， ∴．
若选③：M为的外心，则为外接圆半径，，与所给条件矛盾，故不能选③.
3．（2022秋·广东广州·高三广州市第五中学校考阶段练习）已知的内角、、的对边分别为、、，且.
(1)求；
(2)在①重心，②内心，③外心这三个条件中选择一个补充在下面问题中，并解决问题.
若，，为的___________，求的面积.
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【解析】（1）解：，
，
则，即，
，则，，即有，
可得，
，则，，解得.
（2）解：若选①，连接并延长交边于点，
因为为的重心，所以，为的中点，且，
所以点到的距离等于点到的距离的，
所以，；
若选②，由余弦定理可得，
若为的内心，设的内切圆的半径为，
则，则，
因此，；
若选③，若为的外心，设的外接圆半径为，
由余弦定理可得，则，
在优弧上任取一点，则，则，
因此，.
考法八 解三角形与三角函数性质的综合
【例8】（2023·广东）设函数，其中向量，.
(1)求的最小值；
(2)在△中，，，分别是角，，所对的边，已知，，△的面积为，求的值.
【答案】(1)；
(2).
【解析】（1）由题设，，
所以，当时的最小值为.
（2）由，得：，则，又，
所以，故，则.
由，可得：.
在△中，由余弦定理得：，
所以.
由，则.
【例8-2】（2023·北京）已知函数，将的图象横坐标变为原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位后得到的图象，且在区间内的最大值为.
（1）求的值；
（2）在锐角中，若，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）将函数的图象横坐标变为原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位后得到的图象，
则，
，，
当，即时，最大值，所以，；
（2），
，则，所以，，所以，，
，
是锐角三角形，由，解得，
所以，，，则.
【变式】
1．（2023春·山西晋城）已知函数.
(1)求函数的定义域和值域；
(2)已知锐角的三个内角分别为A，B，C，若，求的最大值.
【答案】(1)；
(2)2
【解析】（1），
所以要使有意义，
只需，即，
所以，解得
所以函数的定义域为，
由于，所以，
所以函数的值域为；
（2）由于，所以，
因为，所以，所以即，
由锐角可得，所以，
由正弦定理可得，
因为，所以所以，
所以的最大值为2.
2．（2023·上海浦东新·华师大二附中校考模拟预测）已知函数.
(1)求函数的单调递减区间；
(2)在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）
令，则
所以，单调减区间是.
（2）由得：
，即，
由于，所以.
在中，，
，
于是，则，，
，所以.
3．（2023春·云南）已知函数的部分图象如图所示．

（1）求函数的解析式；
（2）在锐角中，角，，所对的边分别为，，，若，，且的面积为，求．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）据图象可得，故，
由得：．
由得：．
由知，，
，解得，
；
（2），，
，，
，，
由题意得的面积为，解得，
由余弦定理得，解得：.
考法九 证明题
【例9】（2022·全国·统考高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知．
(1)若，求C；
(2)证明：
【答案】(1)；
(2)证明见解析．
【解析】（1）由，可得，，而，所以，即有，而，显然，所以，，而，，所以．
（2）由可得，
，再由正弦定理可得，
，然后根据余弦定理可知，
，化简得：
，故原等式成立．
【变式】
1．（2023·四川成都·校联考模拟预测）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求证：，，是等差数列；
(2)求的最大值．
【答案】(1)证明见解析
(2)．
【解析】（1）证明：因为，
所以，
由正弦定理，得，
又由余弦定理，得
，
则，即，
所以，，是等差数列．
（2）解：由（1）得，
又（当且仅当时取等号），
因为，所以，则的最大值为，
则的最大值为．
2．（2023·山东泰安·校考模拟预测）在锐角中，内角所对的边分别为，满足，且．
(1)求证：；
(2)已知是的平分线，若，求线段长度的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）由题意得，即．
所以，
由正弦定理得，又由余弦定理得，
所以，故，
故，整理得．
又为锐角三角形，则，，，
所以，因此．
（2）在中，由正弦定理得，所以．
所以．因为为锐角三角形，且，
所以，解得．
故，所以．因此线段长度的取值范围.
3．（2023·河南·校联考模拟预测）已知的外心为，点分别在线段上，且恰为的中点．
(1)若，求面积的最大值；
(2)证明：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）解：由正弦定理，得，
所以，
又，所以或，
当时，
由余弦定理，得
，
所以，的面积，
当且仅当时，取等号；
当时，
同理可得，的面积，
当且仅当时，取等号．
综上，面积的最大值为；
（2）证明：设，
由余弦定理知，，
因为，
所以，
化简整理得，
而，因此，
又因为是外心，故，
同理可知，
因为恰为的中点，
因此，所以．

考法十 存在性与唯一性
【例10-1】（2021·全国·统考高考真题）在中，角、、所对的边长分别为、、，，.．
（1）若，求的面积；
（2）是否存在正整数，使得为钝角三角形?若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）；（2）存在，且.
【解析】（1）因为，则，则，故，，
，所以，为锐角，则，
因此，；
（2）显然，若为钝角三角形，则为钝角，
由余弦定理可得，
解得，则，
由三角形三边关系可得，可得，，故.
【例10-2】．（2021·北京·统考高考真题）在中，，．
（1）求；
（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求边上中线的长．
条件①：；
条件②：的周长为；
条件③：的面积为；
【答案】（1）；（2）答案不唯一，具体见解析．
【解析】（1），则由正弦定理可得，
，，，，
，解得；
（2）若选择①：由正弦定理结合（1）可得，
与矛盾，故这样的不存在；
若选择②：由（1）可得，
设的外接圆半径为，
则由正弦定理可得，
，
则周长，
解得，则，
由余弦定理可得边上的中线的长度为：
；
若选择③：由（1）可得，即，
则，解得，
则由余弦定理可得边上的中线的长度为：
.
【变式】
1．（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考三模）在中，角的对边分别为，且.
(1)求的值；
(2)若，从下列三个条件中选出一个条件作为已知，使得存在且唯一确定，求的面积.
条件①：；条件②：；条件③：的周长为9.
【答案】(1)2
(2)答案见解析
【解析】（1）解：因为，
由正弦定理得，
即，
又因为，可得，
所以，可得.
（2）解：由（1）得，由正弦定理得，
若选条件①：由余弦定理得，即，
又由，解得，则，此时存在且唯一确定，
因为，则，可得，
所以；
若选条件②：由，因为，即，
若为锐角，则，
由余弦定理，即，
整理得，且，解得，则；
若为钝角，则，
由余弦定理得，即，
整理得，且，解得，则；
综上所述，此时存在但不唯一确定，不合题意；
若条件③：因为，即，解得，则，
所以此时存在且唯一确定，
由余弦定理得，
因为，可得，
所以．
2.（2022·北京·景山学校模拟预测）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求B；
(2)从以下条件中选择两个，使△ABC存在且唯一确定，并求△ABC的面积．
①若；②；③；④△ABC的周长为9．
【答案】(1)；(2)选①④，面积为．
【解析】(1)因为，由正弦定理得，
，
三角形中，所以，，所以；
(2)因为，所以，因此条件③不能确定三角形；
若已知①②，则由正弦定理得，无解；
若已知①④，即，，则，与三角形的性质矛盾，三角形不存在．
所以只有条件②④能确定三角形．，，则，由（1），
，即，所以，
，，又，所以，从而，
为等边三角形，唯一确定，面积为．
3.（2022秋·山西运城·高三校考阶段练习）中，内角的对边分别为的外接圆半径为，已知.
(1)求；
(2)已知的平分线交于点，从以下三个条件中选择两个，使唯一确定，并求和的长度.
条件①：；条件②：；条件③：.
【答案】(1)
(2)选择条件②和③；，
【解析】（1）由已知得，
得，
即，即，
又因为，故；
（2）由（1）得中，
由余弦定理得，
所以，
而条件①中，所以，显然不符合题意，即条件①错误，
由条件②，条件③，解得，
由余弦定理可得，
所以，所以，
在中，因为为的平分线，
所以，
又因为，所以，
在中，，
所以.