2024年高考数学二轮复习全套专项内容和综合内容 “8+4+4”小题强化训练35(平面向量数的综合应用)(新高考地区专用)原卷版+解析

这是一份2024年高考数学二轮复习全套专项内容和综合内容 “8+4+4”小题强化训练35(平面向量数的综合应用)(新高考地区专用)原卷版+解析，共14页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.（2020·山东·统考高考真题）已知平行四边形，点，分别是，的中点（如图所示），设，，则等于（ ）
A．B．C．D．
2.（2023秋·江苏苏州梁丰·高三梁丰高级中学月考）与垂直的单位向量是（ ）
A. B. C. D.
3.（2023秋·湖南·高三湖南师范大学附属中学月考）若平面向量满足，则（ ）
A. B. C. D.
4.（2023秋·湖北鄂东南·高三省级示范高中教育教学改革联盟学校期中联考）已知为的重心，，，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
5.已知向量，，若在上的投影向量，则向量与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
6.（2023秋·山东济南莱芜·高三莱芜第一中学10月月考）是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC上靠近点B的三等分点，连接DE并延长到点F，使得，则的值为（ ）
A. B. C. D.
7.（2023秋·北京房山·高三统考期末）在中，，，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8.（2023·全国·统考高考真题）已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．
9.（2023秋·江苏无锡·高三期中统测）平面向量，是夹角为的单位向量，向量的模为，则的值有可能为（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
10.（2023秋·江苏南京·高三江苏南京六校联合体联考）已知向量，，且，则（ ）
A. B.
C. 向量与向量的夹角是D. 向量在向量上的投影向量坐标是
11.（2023秋·江苏镇江丹阳·高三吕叔湘中学10月月考）如图，在梯形中，，，，，，为线段的中点，为线段上一动点（包括端点），，则下列说法正确的是（ ）

A. B. 若为线段的中点，则
C. D. 的最小值为6
12.折纸发源于中国19世纪，折纸传入欧洲，与自然科学结合在一起称为建筑学院的教具，并发展成为现代几何学的一个分支．我国传统的一种手工折纸风车(如图1)是从正方形纸片的一个直角顶点开始，沿对角线部分剪开成两个角，将其中一个角折叠使其顶点仍落在该对角线上，同样操作其余三个直角制作而成的，其平面图如图2，则（ ）

(图1) (图2)
A．eq \\ac(\S\UP7(→),EH)∥eq \\ac(\S\UP7(→),FC) B．eq \\ac(\S\UP7(→),AH)·eq \\ac(\S\UP7(→),BE)＝0 C．eq \\ac(\S\UP7(→),EG)＝eq \\ac(\S\UP7(→),EH)＋eq \\ac(\S\UP7(→),EF) D．eq \\ac(\S\UP7(→),EC)·eq \\ac(\S\UP7(→),EH)＝eq \\ac(\S\UP7(→),EC)·eq \\ac(\S\UP7(→),ED)
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，多空题，第一空2分，第二空3分，共20分．
13.（2023秋·广东广州中山·高三中山大学附属中学期中检测）已知向量与的夹角为，且，则在方向上的投影向量的坐标为__________.
14.（2022·全国·统考高考真题）设向量，的夹角的余弦值为，且，，则 ．
15.（2023秋·湖南·高三湖南师范大学附属中学月考）已知正的边长为2，点为所在平面内的动点，且，则的取值范围为____________．
16.（2023秋·广东·高三七校联合体8校联考）已知点在线段上，是的角平分线，为上一点，且满足，设则在上的投影向量为__________．（结果用表示）．
决胜2024年高考数学复习“8+4+4”小题强化训练(35)
(平面向量数的综合应用)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.（2020·山东·统考高考真题）已知平行四边形，点，分别是，的中点（如图所示），设，，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】连结，则为的中位线，
，
故选：A
2.（2023秋·江苏苏州梁丰·高三梁丰高级中学月考）与垂直的单位向量是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】设与垂直的向量，
于是，令，得，即，
与共线的单位向量为，
所以与垂直的单位向量是.
故选：D
3.（2023秋·湖南·高三湖南师范大学附属中学月考）若平面向量满足，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】对两边平方得，
又，故，代入得．
因此，
故选：A．
4.（2023秋·湖北鄂东南·高三省级示范高中教育教学改革联盟学校期中联考）已知为的重心，，，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】取的中点为，连接，如下图所示：
因为G为三角形ABC的重心，所以，
因为，，
所以，
所以，
又
，当且仅当=时取等号；
故选：D.
5.已知向量，，若在上的投影向量，则向量与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设向量与的夹角为，与同向的单位向量为，
∵在上的投影向量为，，
∴，
∴， ∴，
所以，
∵，∴，
∴与的夹角为，
故选：C.
6.（2023秋·山东济南莱芜·高三莱芜第一中学10月月考）是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC上靠近点B的三等分点，连接DE并延长到点F，使得，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
点D，E分别是边AB，BC上靠近点B的三等分点，连接DE并延长到点F，使得，则，，
所以.
故选：B
7.（2023秋·北京房山·高三统考期末）在中，，，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设，则，
由余弦定理得：，
；
，，，
即的取值范围为.
故选：D.
8.（2023·全国·统考高考真题）已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图所示，，则由题意可知:，
由勾股定理可得

当点位于直线异侧时，设，
则：
，则
当时，有最大值.

当点位于直线同侧时，设，
则：
，则
当时，有最大值.
综上可得，的最大值为.
故选：A.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．
9.（2023秋·江苏无锡·高三期中统测）平面向量，是夹角为的单位向量，向量的模为，则的值有可能为（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】ABC
【解析】由题意，向量，是夹角为的单位向量，，
可设，
则，
所以.
故选：ABC．
10.（2023秋·江苏南京·高三江苏南京六校联合体联考）已知向量，，且，则（ ）
A. B.
C. 向量与向量的夹角是D. 向量在向量上的投影向量坐标是
【答案】ACD
【解析】因为向量，，所以，
由得，解得，所以，故A正确；
又，所以，故B错误；
设向量与向量的夹角为，因为，，
所以，又，所以，
即向量与向量的夹角是，故C正确；
向量在向量上的投影向量坐标是，故D正确.
故选：ACD.
11.（2023秋·江苏镇江丹阳·高三吕叔湘中学10月月考）如图，在梯形中，，，，，，为线段的中点，为线段上一动点（包括端点），，则下列说法正确的是（ ）

A. B. 若为线段的中点，则
C. D. 的最小值为6
【答案】AC
【解析】选项A，过作的垂直，交于，所以，又，，，，，
所以，故选项A正确；
建立如图所示平面直角坐标系，则，，，，
选项B，因为为线段的中点，则，，，
所以，由，得到，所以，故选项B错误；
设，则，，
选项C，由，得到，解得，故选项C正确；
选项D，，，所以，
令，对称轴为，又，当时，所以的最小值为，故选项D错误；

故选：AC.
12.折纸发源于中国19世纪，折纸传入欧洲，与自然科学结合在一起称为建筑学院的教具，并发展成为现代几何学的一个分支．我国传统的一种手工折纸风车(如图1)是从正方形纸片的一个直角顶点开始，沿对角线部分剪开成两个角，将其中一个角折叠使其顶点仍落在该对角线上，同样操作其余三个直角制作而成的，其平面图如图2，则（ ）

(图1) (图2)
A．eq \\ac(\S\UP7(→),EH)∥eq \\ac(\S\UP7(→),FC) B．eq \\ac(\S\UP7(→),AH)·eq \\ac(\S\UP7(→),BE)＝0 C．eq \\ac(\S\UP7(→),EG)＝eq \\ac(\S\UP7(→),EH)＋eq \\ac(\S\UP7(→),EF) D．eq \\ac(\S\UP7(→),EC)·eq \\ac(\S\UP7(→),EH)＝eq \\ac(\S\UP7(→),EC)·eq \\ac(\S\UP7(→),ED)
【答案】BCD
【解析】由题意可知，eq \\ac(\S\UP7(→),EH)∥eq \\ac(\S\UP7(→),FG)，则eq \\ac(\S\UP7(→),EH)与eq \\ac(\S\UP7(→),FC)不平行，故选项A错误；对于选项B，可设AO∩BO＝O，则eq \\ac(\S\UP7(→),AH)·eq \\ac(\S\UP7(→),BE)＝(eq \\ac(\S\UP7(→),AO)＋eq \\ac(\S\UP7(→),OH))·(eq \\ac(\S\UP7(→),BO)＋eq \\ac(\S\UP7(→),OE))＝eq \\ac(\S\UP7(→),AO)·eq \\ac(\S\UP7(→),BO)＋eq \\ac(\S\UP7(→),AO)·eq \\ac(\S\UP7(→),OE)＋eq \\ac(\S\UP7(→),BO)·eq \\ac(\S\UP7(→),OH)＋eq \\ac(\S\UP7(→),OH)·eq \\ac(\S\UP7(→),OE)＝eq \\ac(\S\UP7(→),AO)·eq \\ac(\S\UP7(→),OE)＋eq \\ac(\S\UP7(→),BO)·eq \\ac(\S\UP7(→),OH)＝－OAOE＋OBOH＝0，故选项B正确；对于选项C，eq \\ac(\S\UP7(→),EG)＝eq \\ac(\S\UP7(→),EH)＋eq \\ac(\S\UP7(→),HG)＝eq \\ac(\S\UP7(→),EH)＋eq \\ac(\S\UP7(→),EF)，故选项C正确；对于选项D，由eq \\ac(\S\UP7(→),EC)·eq \\ac(\S\UP7(→),EH)－eq \\ac(\S\UP7(→),EC)·eq \\ac(\S\UP7(→),ED)＝eq \\ac(\S\UP7(→),EC)·(eq \\ac(\S\UP7(→),EH)－eq \\ac(\S\UP7(→),ED))＝eq \\ac(\S\UP7(→),EC)·eq \\ac(\S\UP7(→),DH)＝0，可得eq \\ac(\S\UP7(→),EC)·eq \\ac(\S\UP7(→),EH)＝eq \\ac(\S\UP7(→),EC)·eq \\ac(\S\UP7(→),ED)，故选项D正确；
故选：BCD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，多空题，第一空2分，第二空3分，共20分．
13.（2023秋·广东广州中山·高三中山大学附属中学期中检测）已知向量与的夹角为，且，则在方向上的投影向量的坐标为__________.
【答案】
【解析】因为，所以，
则在方向上的投影为.
故答案为：.
14.（2022·全国·统考高考真题）设向量，的夹角的余弦值为，且，，则 ．
【答案】11
【解析】设与的夹角为，因为与的夹角的余弦值为，即，
又，，所以，
所以．
故答案为：11．
15.（2023秋·湖南·高三湖南师范大学附属中学月考）已知正的边长为2，点为所在平面内的动点，且，则的取值范围为____________．
【答案】
【解析】由已知，点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆．取线段的中点，
则，
又因为，，所以，
则．
故答案为：.
16.（2023秋·广东·高三七校联合体8校联考）已知点在线段上，是的角平分线，为上一点，且满足，设则在上的投影向量为__________．（结果用表示）．
【答案】
【解析】建立如图所示的直角坐标系，
由，可设，，
得点的轨迹是以为焦点，实轴长为6的双曲线的右支（不含右顶点）．
因为是的角平分线，
且，
所以也为的角平分线，为的内心．
如图，设，
则由双曲线与内切圆的性质可得，，
又，所以，，在上的投影长为，则在上的投影向量为，
故答案为：