2024年湖南省长沙市望城区中考数学一模试卷（含解析）

这是一份2024年湖南省长沙市望城区中考数学一模试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列实数是无理数的是( )
A. 227B. 6C. 28D. 3.14
2.如图所示是第19届杭州亚运会的运动图标，属于轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.下列计算正确的是( )
A. (xy)2=xy2B. x2⋅x3=x6C. (x2)3=x5D. x5÷x3=x2
4.著名的数学苏步青被誉为“数学大王”.为纪念其卓越贡献，国际上将一颗距地球约218000000公里的行星命名为“苏步青星”，数据218000000用科学记数法表示为( )
A. 0.218×109B. 2.18×108C. 2.18×109D. 218×106
5.如图，AB/​/DE，点B，C，D在同一直线上，若∠BCE=55°，∠E=25°，则∠B的度数是( )
A. 55°B. 30°C. 25°D. 20°
6.射击比赛中，某队员10次射击成绩如图所示，则该队员成绩(单位：环)的中位数为( )
A. 2B. 8C. 8.5D. 9
7.不等式组−x<1x−1≤1的解集在数轴上可表示为( )
A. B.
C. D.
8.在一次函数y=(2m+2)x+4中，y随x的增大而增大，那么m的值可以是( )
A. 0B. −1C. −1.5D. −2
9.不透明的盒子放有三张大小、形状及质地相同的卡片，卡片上分别写有李白《峨眉山月歌》，李白《渡荆门送别》和王维《寄荆州张丞相》三首诗，小明从盒子中随机抽取两张卡片，卡片上诗的作者都是李白的概率是( )
A. 13B. 14C. 15D. 16
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
10.分解因式：a2−14=______；
11.若一组数据3，4，3，6，7的众数是3，则这组数据的中位数为______．
12.已知：如图所示，边长为6的等边△ABC，以BC边所在直线为x轴，过B点且垂直于BC的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则A点坐标为______．
13.如图，P是反比例函数y=k+1x(k≠0)的图象上任意一点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，若△POM的面积等于4，则k的值为______．
14.如图，AB是⊙O的直径，且AB=10cm，弦CD⊥AB于点E，CD=8cm，连接OC，则BE= ______cm．
15.为了测量一个圆形铁环的半径，小华采用了如下方法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的直角三角板和一个刻度尺，按如图所示的方法得到有关数据，进而求得铁环的半径，若测得AB=10cm，则铁环的半径是______．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题6分)
计算：|− 3|+(12)−1+(π+1)0−tan60°．
17.(本小题6分)
先化简，再求值：(−2ab+3a2)−2b2−(a2−2ab)，其中a=1，b=−2．
18.(本小题6分)
如图，在笔直的公路AB旁有一座山，从山另一边的C处到公路上的停靠站A的距离为AC=15km，与公路上另一停靠站B的距离为BC=20km，停靠站A、B之间的距离为AB=25km，为方便运输货物现要从公路AB上的D处开凿隧道修通一条公路到C处，且CD⊥AB．
(1)请判断△ABC的形状？
(2)求修建的公路CD的长．
19.(本小题8分)
为落实“双减”政策，某校利用课后服务开展了“书香校园”的读书活动，活动中，为了解学生对书籍种类(A：艺术类，B：科技类，C：文学类，D：体育类)的喜欢情况，在全校范围内随机抽取若干名学生，进行问卷调查(每个被调查的学生必须选择而且只能在这四种类型中选择一项)将数据进行整理并绘制成两幅不完整的统计图．
(1)这次调查中，一共调查了______名学生；
(2)在扇形统计图中，“D”部分所对应的圆心角的度数为______度；并补全条形统计图．
(3)若全校有4800名学生，请估计喜欢B(科技类)的学生有多少名？
20.(本小题8分)
如图，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，BE=CD，BD与CE交于点O．
(1)求证：△COD≌△BOE；
(2)若CD=2，AE=5，求AC的长．
21.(本小题9分)
为进一步落实“德智体美劳”五育并举，某中学开展球类比赛，准备从体育用品商场一次性购买若干个足球和篮球.已知购买2个足球和1个篮球共需210元，购买3个足球和2个篮球共需360元．
(1)足球和篮球的单价各多少元？
(2)根据学校实际情况，需一次性购买足球和篮球共100个，且足球和篮球的总费用不超过7200元，学校最多可以购买多少个篮球？
22.(本小题9分)
如图，在Rt△ABC中，∠C=90，D是AB上一点，CD=BC，过点D作DF⊥AC于点F，过点C作CE/​/AB交DF的延长线于点E．
(1)求证：四边形DBCE是平行四边形．
(2)若BD=6，sinA=13，求DE的长．
23.(本小题10分)
如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点M是线段DC延长线上的一点，连结MA交⊙O于点F，连结DF交AB于点G，连结AD，BD，CF．
(1)求证：△MAD∽△DAF．
(2)若AD=2 5BE，求tan∠AFD的值．
(3)在(2)的条件下，设tan∠M=x，AGGB=y．
①求y关于x的函数表达式；
②若E为BG的中点，求S△CFDS△AFD的值．
24.(本小题10分)
定义：在平面直角坐标系xOy中，当点N在图形M的内部，或在图形M上，且点N的横坐标和纵坐标相等时，则称点N为图形M的“梦之点”．

(1)如图①，矩形ABCD的顶点坐标分别是A(−1,2)，B(−1,−1)，C(3,−1)，D(3,2)，在点N1(1,1)，N2(2,2)，N3(3,3)中，是矩形ABCD“梦之点”的是______；
(2)如图②，已知点A，B是抛物线y=−12x2+x+92上的“梦之点”，点C是抛物线的顶点.连接AC，AB，BC，判断△ABC的形状并说明理由．
(3)在(2)的条件下，点P为抛物线上一点，点Q为平面内一点，是否存在点P、Q，使得以AB为对角线，以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A．227是分数，属于有理数，不符合题意；
B. 6是无理数，符合题意；
C.28是整数，属于有理数，不符合题意；
是有限小数，属于有理数，不符合题意．
故选：B．
无理数即无限不循环小数，据此进行判断即可．
本题考查无理数的识别，熟练掌握其定义是解题的关键．
2.【答案】A
【解析】解：B，C，D选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
A选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：A．
根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可．
本题主要考查了轴对称图形，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．
3.【答案】D
【解析】[分析]
分别根据积的乘方运算法则，同底数幂的乘法法则，幂的乘方运算法则以及同底数幂的除法法则进行计算，再逐一判断即可．
本题主要考查了同底数幂的乘除法以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
[详解]
解：(xy)2=x2y2，故选项A错误；
x2⋅x3=x5，故选项B错误；
(x2)3=x6，故选项C错误；
x5÷x3=x2，故选项D正确．
故选D．
4.【答案】B
【解析】解：218000000=2.18×108．
故选：B．
科学记数法的表现形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正整数，当原数绝对值小于1时，n是负整数；由此进行求解即可得到答案．
本题主要考查了科学记数法的表示方法，熟练掌握科学记数法的表示方法是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：∵∠BCE=55°，∠E=25°，∠BCE=∠E+∠D，
∴∠D=∠BCE−∠E=55°−25°=30°，
∵AB//DE，
∴∠B=∠D，
∴∠B=30°，
故选：B．
根据三角形外角和内角的关系，可以得到∠D的度数，再根据平行线的性质，可以得到∠D=∠B，从而可以得到∠B的度数．
本题考查平行线的性质、三角形外角和内角的关系，解答本题的关键是求出∠D的度数．
6.【答案】D
【解析】解：由条形统计图可得该队员10次射击成绩(单位：环)为：6，7，8，8，9，9，9，9，10，10，
∴该队员成绩(单位：环)的中位数为(9+9)÷2=9．
故选：D．
由条形统计图可得该队员10次射击成绩，再根据中位数的定义即可求解．
本题主要考查中位数、条形统计图，读懂条形统计图，从图上获取解题所需信息是解题关键．中位数：将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，若数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．若这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
7.【答案】B
【解析】解：−x<1①x−1≤1②，
解不等式①得x>−1，
解不等式②得x≤2，
∴不等式组的解集为−1表示在数轴上如图：
故选：B．
先解出每个不等式，从而可得不等式组的解集，再表示在数轴上，即可得答案．
本题考查解一元一次不等式组，解题的关键是掌握取不等式公共解的方法．
8.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了一次函数的性质：对于一次函数y=kx+b，k>0，y随x的增大而增大，函数图象从左到右上升；k<0，y随x的增大而减小，函数图象从左到右下降。
根据一次函数的性质得到2m+2>0，然后解不等式得到m的取值范围，再对各选项进行判断。
【解答】
解：∵ y随x的增大而增大
∴ 2m+2>0
解得m>−1
故选A。
9.【答案】A
【解析】解：把分别写有李白《峨眉山月歌》，李白《渡荆门送别》和王维《寄荆州张丞相》三首诗的卡片分别记为A、B、C，
画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中卡片上诗的作者都是李白的结果有2种，即AB、BA，
∴卡片上诗的作者都是李白的概率是26=13，
故选：A．
画树状图，共有6种等可能的结果，其中卡片上诗的作者都是李白的结果有2种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
10.【答案】(a+12)(a−12)
【解析】解：a2−14=(a+12)(a−12).
故答案为：(a+12)(a−12).
直接利用平方差公式分解因式得出答案．
此题主要考查了公式法分解因式，正确应用平方差公式是解题关键．
11.【答案】4
【解析】解：将数据3，4，3，6，7排序后处在第3位的数是4，因此中位数是4．
故答案为：4．
根据中位数的意义，从小到大排序后，找出处在第3位的数即可．
本题考查中位数的求法，中位数是将一组数据排序后处在中间位置的一个数或两个数的平均数，理解中位数的意义是正确解答的前提．
12.【答案】(3,3 3)
【解析】解：过A作AD⊥BC，
∵BC=6，等边三角形ABC，
∴AD=3 3，
∴点A的坐标为(3,3 3)，
故答案为：(3,3 3)
根据等边三角形的性质解答即可．
此题考查等边三角形的性质，关键是根据等边三角形的性质解答．
13.【答案】−8
【解析】解：根据题意可知：S△PMO=12|k|=4，即k=±8．
又∵反比例函数的图象位于第二象限，
∴k<0，
∴k=−8．
故答案为：−8．
过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即S=12|k|．
本题主要考查了反比例函数y=kx(k≠0)中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．
14.【答案】2
【解析】解：∵弦CD⊥AB，CD=8cm，
∴CE=12CD=4cm，
在Rt△OEC中，OC=12AB=5cm，
∴OE= OC2−CE2=3cm，
∴BE=OB−OE=2(cm)，
故答案为：2．
根据垂径定理求出CE，根据勾股定理及线段的和差计算即可．
本题考查的是垂径定理，勾股定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．
15.【答案】10 3cm
【解析】解：如图所示：连接OB，OC，OA，
∵AB为圆O的切线，
∴OB⊥AB，即∠OBA=90°，
又AC为圆O的切线，
∴OC⊥AC，即∠OCA=90°，
在Rt△ADE中，∠E=30°，∠ADE=90°，
∴∠EAD=60°，∠BAC=120°，
∵AC及AB为圆O的切线，
∴OA为∠BOC的平分线，
则∠BAO=∠OAC，
可得∠BOA=∠COA，
又∠OBA=∠OCA=90°，
∴∠OAB=∠OAC=12∠BAC=60°，
在Rt△OBA中，∠OBA=90°，∠OAB=60°，AB=10cm，
∴tan60°=OBAB，即 3=OB10，
则圆的半径OB=10 3cm．
故答案为：10 3cm
由铁环与桌面及AE边相切，根据切线的性质得到OB与AB垂直，OC与AC垂直，再由AB与AC都为圆O的切线，根据切线长定理得到OA为角平分线，可得出∠AOB=∠AOC，再由一对直角相等，根据三角形的内角和定理得出∠OAB=∠OAC，由直角三角形AED中∠E=30°，根据直角三角形的两锐角互余得到求出∠EAD的度数，进而得出邻补角∠BAC的度数，确定出∠OAB的度数，在直角三角形OAB中，由AB的长及tan∠OAB的值，利用锐角三角函数定义求出OB的长，即为圆O的半径．
此题考查了切线的性质，切线长定理，锐角三角函数定义，以及三角形的内角和定理，是一道与实际生活密切相关的题型，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．
16.【答案】解：原式= 3+2+1− 3
=3．
【解析】利用绝对值的性质，负整数指数幂，零指数幂及特殊三角函数值计算即可．
本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
17.【答案】解：(−2ab+3a2)−2b2−(a2−2ab)
=−2ab+3a2−2b2−a2+2ab
=2a2−2b2；
当a=1，b=−2时，
原式=2×12−2×(−2)2=2−8=−6．
【解析】先去括号，再合并同类项，得到化简后的结果，再把a=1，b=−2代入化简后的代数式进行计算即可．
本题考查的是整式的加减运算，化简求值，熟练的去括号，合并同类项是解本题的关键．
18.【答案】解：(1)△ABC是直角三角形．
∵AC=15km，BC=20km，AB=25km，
152+202=252，
∴AC2+BC2=AB2，
∴∠ACB=90°，
∴△ABC是直角三角形．
(2)∵CD⊥AB，
∴S△ABC=12AB⋅CD=12AC⋅BC，
∴CD=AC⋅BCAB=15×2025=12(km)．
答：修建的公路CD的长是12km．
【解析】(1)根据勾股定理的逆定理，由AC2+BC2=AB2得到△ABC是直角三角形．
(2)利用△ABC的面积公式可得，CD⋅AB=AC⋅BC，从而求出CD的长．
本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理的应用，以及三角形的面积公式等知识，熟练掌握这两个定理是解题关键．
19.【答案】解：(1)200 ；(2)54；
C的人数是：200×30%=60(名)，
补图如下：
(3)4800×70200=1680(名)，
答：估计喜欢B(科技类)的学生有1680名．
【解析】解：(1)40÷20%=200(名)，
故答案为：200；
(2)D所占百分比为30200×100%=15%，
扇形统计图中“D”所在扇形的圆心角的度数为：360°×15%=54°，
故答案为54；
补全的条形统计图见答案；
(3)见答案。
(1)根据A类的人数和所占的百分比，即可求出总人数；
(2)用整体1减去A、C、D类所占的百分比，即可求出扇形统计图中“D”所在扇形的圆心角的度数；用总人数乘以所占的百分比，求出C的人数，从而补全图形；
(2)扇形统计图中“D”所在扇形的圆心角的度数等于D所占的百分比乘以360∘即可;用总人数乘以所占的百分比，求出C的人数，从而补全条形统计图;
(3)总人数乘以样本中B所占百分比即可得．
此题主要考查了条形统计图和扇形统计图的应用，正确利用条形统计图得出正确信息是解题关键．
20.【答案】(1)证明：在△COD和△BOE中，
∠COD=∠BOE∠CDO=∠BEO=90°CD=BE，
∴△COD≌△BOE(AAS)；
(2)解：∵△COD≌△BOE，
∴OC=OB，OD=OE，
∴OC+OE=OB+OD，
即CE=BD，
在△ACE和△ABD中，
∠A=∠A∠AEC=∠ADB=90°CE=BD，
∴△ACE≌△ABD(AAS)，
∴AE=AD=5，
∵CD=2，
∴AC=AD+CD=7．
【解析】(1)利用AAS即可证明△COD≌△BOE；
(2)根据全等三角形的性质及线段的和差求出CE=BD，利用AAS证明△ACE≌△ABD，根据全等三角形的性质及线段的和差求解即可．
此题考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键．
21.【答案】解：设足球的单价为x元、篮球的单价为y元，
根据题意可得：2x+y=2103x+2y=360，
解得：x=60y=90，
答：足球的单价60x元、篮球的单价为90元，
(2)设学校最多可以购买m个篮球，则买(100−m)个足球，
90m+60(100−m)≤7200，
解得：m≤40，
∴学校最多可以购买40个篮球，．
【解析】(1)设足球的单价为x元、篮球的单价为y元，根据“2个足球和1个篮球共需210元，购买3个足球和2个篮球共需360元．”列方程组即可解决；
(2)设学校最多可以购买m个篮球，则买(100−m)个足球，由“足球和篮球的总费用不超过7200元，”得不等式90m+60(100−m)≤7200即可解决．
本题考查二元一次方程组的应用及一元一次不等式的应用，理解题意找准数量关系是解决问题的关键．
22.【答案】(1)证明：∵DF⊥AC，
∴∠DFA=90°，
∵∠C=90，
∴∠DFA=∠C，
∴BC/​/DF，
∵CE/​/AB，
∴四边形BDCE是平行四边形；
(2)解：∵CE/​/AB，
∴∠A=∠ACE，
∵四边形BDCE是平行四边形，
∴CE=BD=6，
∵sinA=13，
∴sin∠ACE=EFCE=13，
∴EF=2，
设CD=DE=BC=x，则DF=x−2，
∵CD2−DF2=CE2−EF2，
∴x2−(x−2)2=32，
解得x=9，
∴DE=9．
【解析】(1)根据垂直的定义得到∠DFA=90°，根据平行线的判定定理得到BC/​/DF根据平行四边形的判定定理即可得到结论；
(2)根据平行线的性质得到∠A=∠ACE根据平行四边形的性质得到CE=BD=6根据三角函数的定义得到EF=2，设BC=x，DF=x−2，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了平行四边形的判定和性质，三角函数的定义，勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
23.【答案】(1)证明：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，
∴AC=AD，
∴∠AFD=∠ADC，
∵∠FAD=∠DAM，
∴△MAD∽△DAF；
(2)解：∵AD=2 5BE，
∴设BE=a，则AD=2 5a.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵CD⊥AB，
∴△AED∽△ADB，
∴AEAD=ADAB．
∴AB−a2 5a=2 5aAB，
∴AB=5a．
∴AE=AB−BE=4a，
∴DE= AD2−AE2=2a．
∴tan∠ADC=AEDE=4a2a=2．
由(1)知：∠AFD=∠ADC，
∴tan∠AFD=tan∠ADC=2；
(3)解：①过点G作GH⊥AD于点H，如图，
则tan∠ADF=GHHD．
由(1)知：△MAD∽△DAF，
∴∠M=∠ADF，
∵tan∠M=x，
∴tan∠ADF=GHHD=x，
∴GH=xHD．
∵tan∠EAD=DEAE=12，
∴tan∠AFD=GHAH=12．
设GH=m，则AH=2m，
∴AG= AH2+HG2= 5m.
∴xHD=m，
∴HD=mx．
∵GH⊥AD，AD⊥BD，
∴GH/​/BD，
∴AGGB=AHHD=2mmx，
∴y=2x．
②过点A作AK⊥DF于点K，过点C作CN⊥DF于点N，如图，
∵E为BG的中点，DE⊥BG，
∴DE垂直平分BG，BE=EG=a，
∴AG=AB−BE=EG=3a，DG= EG2+DE2= 5a.
∵AB是⊙O的直径，AB⊥CD，
∴DE=EC=2a，
∴CD=4a．
∵sin∠EDG=GEDG=CNCD，
∴a 5a=CN4a，
∴CN=4 55a.
∵∠AKG=∠DEG=90°，∠AGK=∠DGE，
∴△AKG∽△DEG，
∴AKAG=DEDG，
∴AK3a=2a 5a，
∴AK=6 55a.
∴S△CFDS△AFD=12DF⋅CN12DF⋅AK=4 55a6 55a=23．
【解析】(1)利用垂径定理，圆周角定理和相似三角形的判定定理解答即可；
(2)设BE=a，则AD=2 5a，利用直角三角形相似的判定定理和性质定理求得AB，AE，DE，利用直角三角形的边角关系定理和(1)的结论解答即可；
(3)①过点G作GH⊥AD于点H，由(1)的结论得到∠M=∠ADF，利用直角三角形的边角关系定理得到GH=xHD，设GH=m，则AH=2m，则AG= AH2+HG2= 5m，利用已知条件得到m与x的关系，进而得到AG，BG的长度，利用已知条件化简即可得出结论；
②过点A作AM⊥DF于点M，过点C作CN⊥DF于点N，利用直角三角形的边角关系定理和相似三角形的判定与性质用a的代数式表示出AM，CN，利用三角形的面积公式化简运算即可得出结论．
本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，相似三角形是判定与性质，直角三角形的性质，直角三角形的边角关系定理，垂径定理，等腰三角形的性质，添加恰当的辅助线构造相似三角形或直角三角形是解题的关键．
24.【答案】N1(1,1)，N2(2,2)
【解析】解：(1)∵矩形ABCD的顶点坐标分别是A(−1,2)，B(−1,−1)，C(3,−1)，D(3,2)，
∴矩形ABCD的“梦之点”(x,y)满足−1≤x≤3，−1≤y≤2，
∴点N1(1,1)，N2(2,2)是矩形ABCD的“梦之点”，N3(3,3)不是矩形ABCD的“梦之点”，
故答案为：N1(1,1)，N2(2,2)；
(2)∵点A，B是抛物线y=−12x2+x+92上的“梦之点”，
∴−12x2+x+92=x，
解得：x1=3，x2=−3，
当x=3时，y=3；
当x=−3时，y=−3，
∴A(3,3)，B(−3,−3)，
∵y=−12x2+x+92=−12(x−1)2+5，
∴顶点C(1,5)，
∴AC= (3−1)2+(3−5)2=2 2，BC= (−3−1)2+(−3−5)2=4 5，AB= (−3−3)2+(−3−3)2=6 2，
∵AB2+AC2=(6 2)2+(2 2)2=80=BC2，
∴△ABC是直角三角形；
(3)存在点P、Q，使得以AB为对角线，以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形，理由如下：
由(2)可得A(3,3)，B(−3,−3)，
设直线AB的解析式为：y=kx，
将A(3,3)代入得：3k=3，
解得：k=1，
∴直线AB的解析式为：y=x，
∵以AB为对角线，以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形，
∴AB⊥PQ，
∴点P、Q在直线y=−x上，
∵点P在二次函数y=−12x2+x+92上，
∴联立y=−xy=−12x2+x+92，
解得：x1=2− 13，x2=2+ 13，
∴点P的坐标为(2− 13, 13−2)或(2+ 13,− 13−2)．
(1)根据“梦之点”的定义判断这几个点是否在矩形的内部或者边上即可得到答案；
(2)根据“梦之点”的定义求出A、B的坐标，再求出顶点C的坐标，计算出AC、BC、AB的长，根据勾股定理逆定理得出△ABC是直角三角形，最后由三角形面积公式计算即可得到答案；
(3)由(2)可得A(3,3)，B(−3,−3)，求出直线AB的解析式为y=x，由菱形的性质可得点P、Q在直线y=−x上，联立y=−xy=−12x2+x+92，解方程即可得到答案．
本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的图象与性质、坐标与图形、勾股定理以及勾股定理逆定理、菱形的性质、一次函数等知识，熟练掌握以上知识点，理解题意，采用数形结合的思想是解此题的关键．