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2024年广东省茂名市高州市第一中学附属实验中学九年级中考一模数学试题（原卷版+解析版）
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（满分为120分，考试时间为120分钟）
一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1. 实数9的相反数等于（ ）
A. ﹣9B. +9C. D. ﹣
2. 277000000用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
4. 下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
5. 某种商品原来每件售价为150元，经过连续两次降价后，该种商品每件售价为96元，设平均每次降价的百分率为x，根据随意，所列方程正确的是（ ）
A B. C. D.
6. 若关于一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
7. 不透明的袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外两个小球无其他差别，从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率是（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，是两条半径，点C在上，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
9. 一个多边形的内角和为900°，则这个多边形是（ ）
A. 七边形B. 八边形C. 九边形D. 十边形
10. 如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形的中心与原点O重合，轴，交y轴于点P．将绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第2024次旋转结束时，点A的坐标为（ ）
A. B. C. D.
二．填空题（本大题共5小题，每小题3分,共15分）
11. 分解因式：______．
12 已知点A（﹣2，b）与点B（a，3）关于原点对称，则a﹣b =______．
13. 已知反比例函数的图象经过点，则a的值为___________．
14. 如图，△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若S△ADE＝2，则S△ABC＝_____．
15. 如图，在矩形纸片ABCD中，点E在BC边上，将沿DE翻折得到，点F落在AE上．若，，则______cm．
三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分）
16. 计算：
17. 解不等式组．
18. 先化简，再求值：，其中．
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）
19. 如图，在中，交于点，点在上，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若求证：四边形是菱形．
20. 如图，点A在反比例函数的图像上，轴，垂足为，过作轴，交过B点的一次函数的图像于D点，交反比例函数的图像于E点，．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式：
（2）求DE的长．
21. 某班去革命老区研学旅行，研学基地有甲乙两种快餐可供选择，买1份甲种快餐和2份乙种快餐共需70元，买2份甲种快餐和3份乙种快餐共需120元．
（1）买一份甲种快餐和一份乙种快餐各需多少元？
（2）已知该班共买55份甲乙两种快餐，所花快餐费不超过1280元，问至少买乙种快餐多少份？
五．解答题（三）（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
22. 为落实“双减”政策，优化作业管理，某中学从全体学生中随机抽取部分学生，调查他们每天完成书面作业的时间t（单位：分钟）．按照完成时间分成五组：A组“t≤45”，B组“45＜t≤60”，C组“60＜t≤75”，D组“75＜t≤90”，E组“t＞90”．将收集的数据整理后，绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题：
（1）这次调查的样本容量是 ，请补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，B组的圆心角是 度，本次调查数据的中位数落在 组内；
（3）若该校有1800名学生，请你估计该校每天完成书面作业不超过90分钟的学生人数．
23. 如图，△ABC内接于⊙O，P是⊙O的直径AB延长线上一点，∠PCB=∠OAC，过点O作BC的平行线交PC的延长线于点D．
（1）试判断PC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若PC＝4，tanA＝，求△OCD的面积．
六．解答题（四）（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
24. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，两点，点C在y轴上，且，D，E分别是线段，上的动点（点D，E不与点A，B，C重合）．
（1）求此抛物线表达式；
（2）连接并延长交抛物线于点P，当轴，且时，求的长；
（3）连接．
①如图2，将沿x轴翻折得到，当点G在抛物线上时，求点G的坐标；
②如图3，连接，当时，求的最小值．
25. 综合与实践
【问题情境】：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在正方形ABCD中，E是BC的中点，，EP与正方形的外角的平分线交于P点．试猜想AE与EP的数量关系，并加以证明；
（1）【思考尝试】同学们发现，取AB的中点F，连接EF可以解决这个问题．请在图1中补全图形，解答老师提出的问题．
（2）【实践探究】希望小组受此问题启发，逆向思考这个题目，并提出新的问题：如图2，在正方形ABCD中，E为BC边上一动点（点E，B不重合），是等腰直角三角形，，连接CP，可以求出的大小，请你思考并解答这个问题．
（3）【拓展迁移】突击小组深入研究希望小组提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形ABCD中，E为BC边上一动点（点E，B不重合），是等腰直角三角形，，连接DP．知道正方形的边长时，可以求出周长的最小值．当时，请你求出周长的最小值．
（满分为120分，考试时间为120分钟）
一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1. 实数9的相反数等于（ ）
A. ﹣9B. +9C. D. ﹣
2. 277000000用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
4. 下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
5. 某种商品原来每件售价为150元，经过连续两次降价后，该种商品每件售价为96元，设平均每次降价的百分率为x，根据随意，所列方程正确的是（ ）
A B. C. D.
6. 若关于一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
7. 不透明的袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外两个小球无其他差别，从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率是（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，是两条半径，点C在上，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
9. 一个多边形的内角和为900°，则这个多边形是（ ）
A. 七边形B. 八边形C. 九边形D. 十边形
10. 如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形的中心与原点O重合，轴，交y轴于点P．将绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第2024次旋转结束时，点A的坐标为（ ）
A. B. C. D.
二．填空题（本大题共5小题，每小题3分,共15分）
11. 分解因式：______．
12 已知点A（﹣2，b）与点B（a，3）关于原点对称，则a﹣b =______．
13. 已知反比例函数的图象经过点，则a的值为___________．
14. 如图，△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若S△ADE＝2，则S△ABC＝_____．
15. 如图，在矩形纸片ABCD中，点E在BC边上，将沿DE翻折得到，点F落在AE上．若，，则______cm．
三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分）
16. 计算：
17. 解不等式组．
18. 先化简，再求值：，其中．
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）
19. 如图，在中，交于点，点在上，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若求证：四边形是菱形．
20. 如图，点A在反比例函数的图像上，轴，垂足为，过作轴，交过B点的一次函数的图像于D点，交反比例函数的图像于E点，．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式：
（2）求DE的长．
21. 某班去革命老区研学旅行，研学基地有甲乙两种快餐可供选择，买1份甲种快餐和2份乙种快餐共需70元，买2份甲种快餐和3份乙种快餐共需120元．
（1）买一份甲种快餐和一份乙种快餐各需多少元？
（2）已知该班共买55份甲乙两种快餐，所花快餐费不超过1280元，问至少买乙种快餐多少份？
五．解答题（三）（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
22. 为落实“双减”政策，优化作业管理，某中学从全体学生中随机抽取部分学生，调查他们每天完成书面作业的时间t（单位：分钟）．按照完成时间分成五组：A组“t≤45”，B组“45＜t≤60”，C组“60＜t≤75”，D组“75＜t≤90”，E组“t＞90”．将收集的数据整理后，绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题：
（1）这次调查的样本容量是 ，请补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，B组的圆心角是 度，本次调查数据的中位数落在 组内；
（3）若该校有1800名学生，请你估计该校每天完成书面作业不超过90分钟的学生人数．
23. 如图，△ABC内接于⊙O，P是⊙O的直径AB延长线上一点，∠PCB=∠OAC，过点O作BC的平行线交PC的延长线于点D．
（1）试判断PC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若PC＝4，tanA＝，求△OCD的面积．
六．解答题（四）（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
24. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，两点，点C在y轴上，且，D，E分别是线段，上的动点（点D，E不与点A，B，C重合）．
（1）求此抛物线表达式；
（2）连接并延长交抛物线于点P，当轴，且时，求的长；
（3）连接．
①如图2，将沿x轴翻折得到，当点G在抛物线上时，求点G的坐标；
②如图3，连接，当时，求的最小值．
25. 综合与实践
【问题情境】：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在正方形ABCD中，E是BC的中点，，EP与正方形的外角的平分线交于P点．试猜想AE与EP的数量关系，并加以证明；
（1）【思考尝试】同学们发现，取AB的中点F，连接EF可以解决这个问题．请在图1中补全图形，解答老师提出的问题．
（2）【实践探究】希望小组受此问题启发，逆向思考这个题目，并提出新的问题：如图2，在正方形ABCD中，E为BC边上一动点（点E，B不重合），是等腰直角三角形，，连接CP，可以求出的大小，请你思考并解答这个问题．
（3）【拓展迁移】突击小组深入研究希望小组提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形ABCD中，E为BC边上一动点（点E，B不重合），是等腰直角三角形，，连接DP．知道正方形的边长时，可以求出周长的最小值．当时，请你求出周长的最小值．
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