热点06 三角形及三角形全等-2024年中考数学【热点·重点·难点】专练（全国通用）

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命题热点1：平行线的性质与判定
该考点在中考中难度很低，只要熟练掌握平行线的基本性质和判定即可。
命题热点2：三角形的基本性质
有关三角形的基本性质，主要从以下几个方向考查：①边：三边关系（三角形两边之和大于第三边）；②角：—三角形内角和定理（三个内角之和=180°）；（外角定理：三角形的一个外角等于与它不相邻两个内角的和）；③三线：高线、中线、角平分线。
命题热点3：特殊的三角形
1）性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）；
2）性质2：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；
3）性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半；
4）性质4：直角三角形的两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即：a2+b2=c2．（勾股定理）；
5）判定1：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形；
6）判定2：如果三角形的三条边a、b、c有关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。
命题热点4：垂直平分线和角平分线
1）定义：垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线．
2）性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．
注：对于含有垂直平分线的题目，首先考虑将垂直平分线上的点与线段两端点连接起来．
3）、性质：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等．
命题热点5：全等三角形
掌握五种常见的全等三角形判定方法，还有常见的全等三角形的模型。如：平移全等模型、对称（翻折）全等模型、旋转全等模型、半角全等模型、三垂直全等模型、一线三等角全等模型、手拉手全等模型等。
限时检测1：最新各地模拟试题（60分钟）
1．（2022·河北张家口·一模）如图，已知的边满足，关于三个角之间的关系错误的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·云南昆明·校考模拟预测）如图，是的角平分线，垂直平分，且交于点D，判断以下结论错误的是（ ）
A．B．C．是的平分线D．四边形是矩形
3．（2023·陕西西安·西安市铁一中学校考二模）如图，中，，，点在边上，且，若，则的长为（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·陕西铜川·统考一模）如图，在中，为斜边上的中线，过点D作，连接，若，，则的长为（ ）
A．2B．3C．4D．5
6．（2022·山东济南·校考三模）如图，在中，以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点E，F，再分别以E、F为圆心，以相同长度为半径作弧，两弧相交于点O，P为射线上任意一点，过点P作，交于点M，连接，若，，则长度的最小值为（ ）
A．B．C．4D．
7．（2022·福建泉州·校考三模）如图①，有一个长方形纸条ABCD，AB∥CD，AD∥BC．如图②，将长方形ABCD沿EF折叠，ED与BF交于点G，如图③，将四边形CDGF沿GF向上折叠，DG与EF交于点H，若∠GEF=16°，则∠DHF的度数为（ ）
A．32°B．48°C．60°D．64°
8．（2022·浙江温州·温州市第二实验中学校考二模）在《寺庙难题》书中，有这样一道题：五个正方形ABCD，CEFG，FHMN，GNPQ，DGST如图所示排列，其中点A、B、E、H、M共线，可得结论：正方形CEFG与的面积相等．若正方形CEFG与的面积之和为120，则正方形DGST与正方形GNPQ面积之和为（ ）
A．270B．300C．320D．350
9．（2022·贵州遵义·三模）已知：如图中，为的角平分线，且，为延长线上的一点，，过作，为垂足．下列结论：其中正确的是（ ）
①；②；③；④．
A．①②③B．①③④C．①②④D．①②③④
10．（2023·广西·中考模拟）若长度分别为3，4，a的三条线段能组成一个三角形，则整数a的值可以是________．（写出一个即可）
11．（2022·湖南永州·统考二模）如图，已知，是角平分线且，作的垂直平分线交于点F，作，则的周长为 ______．
12．（2022·四川宜宾·模拟预测）如图，中，，，，点P为边上任意一点，（P不与点B、C重合），I为的内心则：（1）的最小值=___________；（2）的取值范围是___________．
13．（2022·河北·一模）如图，三条笔直的小路a，b，c相交围成一个三角形公园ABC，在的内心I处修建了一个凉亭，过凉亭的小路，并分别与的两边AB、AC相交于点D、E，，小路c与d之间相距，如果从凉亭分别向a，b，c修建一条石板路，那么这三条石板路的长度之和最小为_________m；若游人从B处出发，沿B→D→I→E→C的路线，到达C处，那么所走的这段路程长为_________m．
14．（2022·江苏盐城·统考三模）根据光学中平面镜光线反射原理，入射光线、反射光线与平面镜所夹的角相等．如图，是两面互相平行的平面镜，一束光线m通过镜面反射后的光线为n，再通过镜面β反射后的光线为k．光线m与镜面的夹角的度数为，光线n与光线k的夹角的度数为．则x与y之间的数量关系是______．
15．（2022·江苏泰州·校考一模）在平面直角坐标系中有一点，若a为任意实数，点P的坐标为(a+1，2a+1)，则PQ的最小值为_____．
16．（2022·贵州铜仁·模拟预测）已知，，若平面上存在点使，当时，则 ______ ．
17．（2022·广东东莞·校考二模）如图，已知等腰三角形PAB，∠BAP＝45°，AB＝AP，将三角形放在平面直角坐标系中，若点A（，0），点B在y轴正半轴上，则OP的最小值是 _____．
18．（2022·山东滨州·校考模拟预测）如图，点O为等边内一点， ，，连接并延长交于点D．若，过点B作交延长线于点F，连接，则_____．
19．（2022·江苏宿迁·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，点，点平分，，点、分别在、上运动，且，连接、交于点，点，连接，则度数的最大值为__________．
20．（2022·云南文山·统考三模）在中，，若一条边的中线长为4，则的斜边长为 _______．
21．（2022·江苏泰州·模拟预测）过三角形的顶点作射线与其对边相交，将三角形分成两个三角形．若得到的两个三角形中有等腰三角形，这条射线就叫做原三角形的“友好分割线”．
(1)下列三角形中，不存在“友好分割线”的是______（只填写序号）．
①等腰直角三角形；②等边三角形；③顶角为的等腰三角形．
(2)如图，在中，，，直接写出被“友好分割线”分得的等腰三角形顶角的度数；(3)如图，中，，为边上的高，，为的中点，过点作直线交于点，作，，垂足为，若射线为的“友好分割线”，求的最大值．
22．（2022·宁夏银川·校考一模）材料一：如图①，点C把线段分成两部分，若，那么称线段被点C黄金分割，点C叫做线段的黄金分割点．类似地，对于实数：，如果满足，则称为的黄金数．
材料二：如果一条直线把一个面积为S的图形分成面积为和两部分，且满足，那么称直线l为该图形的黄金分割线．如图②，在中，若线段所在的直线是的黄金分割线，过点C作一条直线交边于点E，过点D作交的一边于点F，连接，交于G．
问题：(1)若实数，a为0，1的黄金数，求a的值。(2) （填）
(3)是的黄金分割线吗？为什么？
23．（2022·浙江宁波·统考一模）一个角的余角的两倍称为这个角的倍余角．
(1)若，∠2是∠1的倍余角，则∠2的度数为 ；若，∠2是∠1的倍余角，则∠2的度数为 ；（用的代数式表示）(2)如图1，在△ABC中，，在AC上截取，在AB上截取．求证：∠ABC是∠EDB的倍余角；(3)如图2，在（2）的情况下，作交AC于点F，将△BFC沿BF折叠得到，交AC于点P，若，设，求∠CPB的度数．
24．（2022·北京海淀·统考一模）《元史·天文志》中记载了元朝著名天文学家郭守敬主持的一次大规模观测，称为“四海测验”．这次观测主要使用了“立杆测影”的方法，在二十七个观测点测量出的各地的“北极出地”与现在人们所说的“北纬”完全吻合．利用类似的原理，我们也可以测量出所在地的纬度．如图1所示．
①春分时，太阳光直射赤道．此时在M地直立一根杆子MN，在太阳光照射下，杆子MN会在地面上形成影子．通过测量杆子与它的影子的长度，可以计算出太阳光与杆子MN所成的夹角；
②由于同一时刻的太阳光线可以近似看成是平行的，所以根据太阳光与杆子MN所成的夹角可以推算得到M地的纬度，即的大小．
(1)图2是①中在M地测算太阳光与杆子MN所成夹角的示意图．过点M作MN的垂线与直线CD交于点Q，则线段MQ可以看成是杆子MN在地面上形成的影子．使用直尺和圆规，在图2中作出影子MQ（保留作图痕迹）；
(2)依据图1完成如下证明．
证明：∵，
∴_________（___________________________）（填推理的依据）
∴M地的纬度为．
25．（2021·河南洛阳·统考三模）某数学兴趣小组进行了一次有趣的数学探究：如图①所示，在钝角∠AOB的边OB上任取一点C，过点C作CEOA，以点C为圆心，CO的长为半径画弧，交射线CE于点D，在上任取一点P，作射线OP，交射线CE于点F，当点P在上移动时，点F也随之移动，是否存在某个时刻，∠AOF恰好等于∠AOB呢？
经过试验、猜想、推理验证，他们发现：当PF与OC满足某种数量关系时，∠AOF∠AOB．请你根据以上信息，把如下不完整的“图②”和“已知”补充完整，并写出“证明”过程．
已知：如图②，点C在钝角∠AOB的边OB上，CE∥OA，以点C为圆心、CO的长为半径画弧，交射线CE于点D，点P在上，射线OP交CE于点F， （填PF与OC的数量关系）．
求证：∠AOF∠AOB．
26．（2021·贵州·统考一模）同学们，你们知道吗？三角形的内角和不一定是180°．
德国数学家黎曼创立的黎曼几何中描述：在球面上选三个点连线构成一个三角形，这个三角形的内角和大于180°．黎曼几何开创了几何学的新领域，近代黎曼几何在广义相对论里有着重要的应用．同样，在俄国数学家罗巴切夫斯基发表的新几何（简称罗氏几何）中，描述了在双曲面里画出的三角形，它的内角和永远小于180°．罗氏几何在天体理论中有着广泛的应用．而我们所学习的欧氏几何中描述“在平面内，三角形的内角和等于180°”是源于古希腊数学家欧几里得编写的《原本》．欧几里得创造的公理化体系影响了世界2000多年，是整个人类文明史上的里程碑．
请你证明：在平面内，三角形的内角和等于180°．要求画出图形，写出已知、求证和证明．
27．（2023·福建南平·统考一模）在五边形中，四边形是矩形，是以E为直角顶点的等腰直角三角形．与交于点G，将直线绕点E顺时针旋转交于点F．
(1)求证：；(2)判断线段，，之间的数量关系，并说明理由；
(3)若，且，求线段的长．
28．（2022·福建厦门·统考模拟预测）如图，已知．
(1)尺规作图：在AB边作点D，使得CD的长度最短；（请保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）的结论下，若，求证：．
29．（2022·湖北省直辖县级单位·校考一模）据图回答下列各题．
【问题：】如图1，在中，，点是边上一点（不与，重合），将线段绕点逆时针旋转得到，连接，则线段，之间满足的数量关系式为 ．
【探索：】如图2，在与中，，，将绕点旋转，使点落在边上，请探索线段，，之间满足的数量关系，并证明你的结论．
【应用：】如图3，在四边形中，，若，，求的长．
30．（2020·重庆·重庆市育才中学校考二模）（1）如图1，在四边形中，，，点E、F分别在边上，且，探究图中、、之间的数量关系．
小明探究的方法是：延长FD到点G，使，连接AG，先证明，再证明，可得出结论，他的结论是______．（2）如图2，在四边形中，，，点E、F分别在边上，且，探究上述结论是否仍然成立，并说明理由．（3）如图3，在四边形中，，，若点E在的延长线上，点F在的延长线上，仍然满足，请直接写出与的数量关系为______．
限时检测2：最新各地中考真题（60分钟）
1．（2022·河北·中考真题）要得知作业纸上两相交直线AB，CD所夹锐角的大小，发现其交点不在作业纸内，无法直接测量．两同学提供了如下间接测量方案（如图1和图2）：对于方案Ⅰ、Ⅱ，说法正确的是（ ）
A．Ⅰ可行、Ⅱ不可行B．Ⅰ不可行、Ⅱ可行C．Ⅰ、Ⅱ都可行D．Ⅰ、Ⅱ都不可行
2．（2022·江苏苏州·中考真题）如图，直线AB与CD相交于点O，，，则的度数是（ ）
A．25°B．30°C．40°D．50°
3．（2022·浙江台州·中考真题）如图，点在的边上，点在射线上（不与点，重合），连接，．下列命题中，假命题是（ ）
A．若，，则B．若，，则
C．若，，则D．若，，则
4．（2022·浙江湖州·中考真题）如图，已知在锐角△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，E是AD上一点，连结EB，EC．若∠EBC＝45°，BC＝6，则△EBC的面积是（ ）
A．12B．9C．6D．
5．（2022·黑龙江·中考真题）如图，中，，AD平分与BC相交于点D，点E是AB的中点，点F是DC的中点，连接EF交AD于点P．若的面积是24，，则PE的长是（ ）
A．2.5B．2C．3.5D．3
7．（2022·广西·中考真题）活动探究：我们知道，已知两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等，如己知△ABC中，∠A＝30°， AC＝3，∠A所对的边为，满足已知条件的三角形有两个（我们发现其中如图的△ABC是一个直角三角形），则满足已知条件的三角形的第三边长为（ ）
A．B．C．或D．或
8．（2022·湖南永州·中考真题）下列多边形具有稳定性的是（ ）
A．B．C．D．
9．（2022·四川成都·中考真题）如图，在和中，点，，，在同一直线上，，，只添加一个条件，能判定的是（ ）
A．B．C．D．
10．（2022·山东聊城·中考真题）如图，中，若，，根据图中尺规作图的痕迹推断，以下结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
11．（2022·江苏宿迁·中考真题）若等腰三角形的两边长分别是3cm和5cm，则这个等腰三角形的周长是（ ）
A．8cmB．13cmC．8cm或13cmD．11cm或13cm
12．（2022·江苏扬州·中考真题）如图，小明家仿古家具的一块三角形形状的玻璃坏了，需要重新配一块．小明通过电话给玻璃店老板提供相关数据，为了方便表述，将该三角形记为，提供了下列各组元素的数据，配出来的玻璃不一定符合要求的是（ ）
A．B．C．D．
13．（2022·四川德阳·中考真题）八一中学校九年级2班学生杨冲家和李锐家到学校的直线距离分别是和．那么杨冲，李锐两家的直线距离不可能是（ ）
A．B．C．D．
14．（2022·内蒙古通辽·中考真题）在中，，有一个锐角为，，若点在直线上（不与点，重合），且，则的长为_______．
15．（2022·辽宁锦州·中考真题）如图，在中，，点D为的中点，将绕点D逆时针旋转得到，当点A的对应点落在边上时，点在的延长线上，连接，若，则的面积是____________．
16．（2022·江苏无锡·中考真题）△ABC是边长为5的等边三角形，△DCE是边长为3的等边三角形，直线BD与直线AE交于点F．如图，若点D在△ABC内，∠DBC=20°，则∠BAF＝________°；现将△DCE绕点C旋转1周，在这个旋转过程中，线段AF长度的最小值是________．
17．（2022·湖北武汉·中考真题）如图，沿方向架桥修路，为加快施工进度，在直线上湖的另一边的处同时施工．取，，，则，两点的距离是_________．
18．（2022·江苏苏州·中考真题）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰△ABC是“倍长三角形”，底边BC的长为3，则腰AB的长为______．
19．（2022·浙江嘉兴·中考真题）小曹同学复习时将几种三角形的关系整理如图，请帮他在横线上____填上一个适当的条件．
20．（2022·广西柳州·中考真题）如图，点A，D，C，F在同一条直线上，AB＝DE，BC＝EF．有下列三个条件：①AC＝DF，②∠ABC＝∠DEF，③∠ACB＝∠DFE．
(1)请在上述三个条件中选取一个条件，使得△ABC≌△DEF．你选取的条件为（填写序号）______（只需选一个条件，多选不得分），你判定△ABC≌△DEF的依据是______（填“SSS”或“SAS”或“ASA”或“AAS”）；
(2)利用（1）的结论△ABC≌△DEF．求证：AB∥DE．
21．（2022·山西大同·统考二模）阅读与思考
下面是某数学兴趣小组探究过直线外一点作已知直线的平行线的方法，请仔细阅读，并完成相应的任务．
任务：(1)下面是作法1的证明过程，请将空缺的依据补充完整．
证明：由作图可知，
∴∠PBE=∠PEB（依据1：___________________________________________________）
由作图知，BD是∠PBC的平分线，
∴
∴
∴PE//l（依据2：___________________________________________）
(2)根据作法2的作图过程，证明PE//l；
(3)请你用与上述两种作法不同的方法，在图4中用尺规过点P作已知直线l的平行线（保留作图痕迹，不写作法）．
22．（2022·湖南怀化·中考真题）如图，在等边三角形ABC中，点M为AB边上任意一点，延长BC至点N，使CN=AM，连接MN交AC于点P，MH⊥AC于点H．
(1)求证：MP=NP；(2)若AB＝a，求线段PH的长（结果用含a的代数式表示）．
23．（2022·山东青岛·中考真题）【图形定义】
有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形．
例如：如图①．在和中，分别是和边上的高线，且，则和是等高三角形．
【性质探究】如图①，用，分别表示和的面积．
则，
∵∴．
【性质应用】(1)如图②，D是的边上的一点．若，则__________；
(2)如图③，在中，D，E分别是和边上的点．若，，，则__________，_________；(3)如图③，在中，D，E分别是和边上的点，若，，，则__________．
24．（2022·广西·中考真题）校园内有一块四边形的草坪造型，课外活动小组实地测量，并记录数据，根据造型画如图的四边形ABCD，其中 AB＝CD＝2米，AD＝BC＝3米，∠B＝
(1)求证：△ABC≌△CDA ；(2)求草坪造型的面积．
25．（2022·北京·中考真题）在中，，D为内一点，连接，，延长到点，使得
(1)如图1，延长到点，使得，连接，，若，求证：；
(2)连接，交的延长线于点，连接，依题意补全图2，若，用等式表示线段与的数量关系，并证明．
26．（2022·湖南湘潭·中考真题）在中，，，直线经过点，过点、分别作的垂线，垂足分别为点、．
(1)特例体验：如图①，若直线，，分别求出线段、和的长；
(2)规律探究：①如图②，若直线从图①状态开始绕点旋转，请探究线段、和的数量关系并说明理由；②如图③，若直线从图①状态开始绕点A顺时针旋转，与线段相交于点，请再探线段、和的数量关系并说明理由；
(3)尝试应用：在图③中，延长线段交线段于点，若，，求．
27．（2022·江苏常州·中考真题）在四边形中，是边上的一点．若，则点叫做该四边形的“等形点”．(1)正方形_______“等形点”（填“存在”或“不存在”）；(2)如图，在四边形中，边上的点是四边形的“等形点”．已知，，，连接，求的长；(3)在四边形中，EH//FG．若边上的点是四边形的“等形点”，求的值．
已知：直线l和直线l外一点P（如图1）
求作：l的平行线，使它经过点P．
作法1：如图2，①在直线l上任取一点B，作射线BP；

②以B为圆心，BP长为半径画弧，交直线l于点C；
③分别以点P，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于D，作射线BD；
④以点P为圆心，PB长为半径画弧，交射线BD于点E；
⑤作直线PE，直线PE即为所求．
作法2：如图3，①在直线l上任取一点A，作直线PA；
②分别以点A和点P为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于B，C两点；
③作直线BC，交AP于点O，交直线l于点D；
④在射线OB上截取；
⑤作直线PE，则直线PE就是所求作的平行线．