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适用于新高考新教材备战2025届高考数学一轮总复习第11章计数原理概率随机变量及其分布第4节随机事件的概率与古典概型课件新人教A版
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这是一份适用于新高考新教材备战2025届高考数学一轮总复习第11章计数原理概率随机变量及其分布第4节随机事件的概率与古典概型课件新人教A版，共55页。PPT课件主要包含了强基础固本增分，研考点精准突破，目录索引，基本结果，样本空间，事件的分类，微点拨，频率fnA，PA+PB，-PA等内容，欢迎下载使用。
1.结合具体实例,理解样本点和有限样本空间的含义,理解随机事件与样本点的关系.2.了解随机事件的并、交与互斥的含义,能结合实例进行随机事件的并、交运算.3.理解古典概型,能计算古典概型中简单随机事件的概率.4.理解概率的性质,掌握随机事件概率的运算法则.5.会用频率估计概率.
1.样本点和样本空间(1)定义:我们把随机试验E的每个可能的 称为样本点,全体样本点的集合称为试验E的 . (2)表示:一般地,我们用Ω表示样本空间,用ω表示样本点.如果一个随机试验有n个可能结果ω1,ω2,…,ωn,则称样本空间Ω={ω1,ω2,…,ωn}为有限样本空间.
3.事件的关系与运算
事件A的对立事件 所含的结果组成的集合,是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集
微点拨定义多个事件的和事件以及积事件.例如,对于三个事件A,B,C,A∪B∪C(或A+B+C)发生当且仅当A,B,C中至少一个发生,A∩B∩C(或ABC)发生当且仅当A,B,C同时发生.
4.频率与概率(1)定义一般地,随着试验次数n的增大,频率偏离概率的幅度会缩小,即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A).我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此,我们可以用 来估计概率 .
从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小
微点拨理解频数与频率需注意:(1)前提:对于给定的随机事件A,在相同的条件S下重复n次试验,观察事件A是否出现.(2)频数:指的是n次试验中事件A出现的次数nA.频率:指的是事件A出现的比例fn(A)= .
(2)概率的基本性质性质1:对任意的事件A,都有P(A) ; 性质2:必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0,即P(Ω)= ,P(⌀)= ; 性质3:如果事件A与事件B互斥,那么P(A∪B)= ; 性质4:如果事件A与事件B互为对立事件,那么P(B)= ,P(A)= ; 性质5:如果A⊆B,那么 ,由该性质可得,对于任意事件A,因为⌀⊆A⊆Ω,所以0≤P(A)≤1; 性质6:设A,B是一个随机试验中的两个事件,有P(A∪B)= .
P(A)+P(B)-P(A∩B)
微思考概率与频率有什么区别?
提示 (1)概率是一个确定的数,是客观存在的,与试验次数无关,它度量该事件发生的可能性;(2)频率本身是随机的,在试验前不能确定,做同样次数的重复试验得到的事件的频率不一定相同;(3)频率是概率的近似值,在实际问题中,仅当试验次数足够多时,频率可近似地看作概率.
5.古典概型(1)具有以下两个特征的试验称为古典概型试验,其数学模型称为古典概率模型,简称古典概型.①有限性:样本空间的样本点只有 ; ②等可能性:每个样本点发生的可能性 .
判断一个试验是否是古典概型的关键点
(2)古典概型的概率公式一般地,设试验E是古典概型,样本空间Ω包含n个样本点,事件A包含其中的k个样本点,则定义事件A的概率P(A)= .其中,n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数.
常用结论如果事件A1,A2,…,An两两互斥:(1)事件A1∪A2∪…∪An发生的概率等于这n个事件分别发生的概率之和,即P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An).
题组一思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”)1.对立事件一定互斥,但互斥事件不一定对立.( )2.“在适宜条件下,种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型,其基本事件是“发芽与不发芽”.( )3.掷一枚硬币两次,出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”,这三个结果是等可能事件.( )4.从市场上出售的标准为500±5 g的袋装食盐中任取一袋测其重量,属于古典概型.( )
题组二回源教材5.(人教A版必修第二册习题10.1第3题改编)抛掷两枚质地均匀的硬币,设事件A=“第一枚硬币正面朝上”,事件B=“第二枚硬币反面朝上”.下列结论中正确的是( )A.A与B互为对立事件B.A与B互斥C.A与B相等D.P(A)=P(B)
6.(人教A版必修第二册10.1.3节例8改编)先后抛掷一枚质地均匀的骰子2次,观察向上的点数,则点数和为5的概率是 .
解析 根据题意可得,基本事件总数为6×6=36个,其中点数和为5的有(1,4),(4,1),(2,3),(3,2)共4个样本点.∴出现向上的点数和为5的概率为
7.(人教A版必修第二册10.1.4节例11改编)从不包含大小王牌的52张扑克牌中随机抽取一张,设事件A=“抽到红心”,事件B=“抽到方片”,P(A)=P(B)= ,设C=“抽到红花色”,则P(C)= ;设D=“抽到黑花色”,则P(D)= .
题组三连线高考8.(2020·全国Ⅰ,文4)设O为正方形ABCD的中心,在O,A,B,C,D中任取3点,则取到的3点共线的概率为( )
解析 由题意知一共有10种取法,当选A,O,C和B,O,D时符合要求,故
9.(2023·全国乙,文9)某学校举办作文比赛,共设6个主题,每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文,则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题的概率为( )
解析 甲、乙两位同学各随机抽取一个主题,共有6×6=36种结果,而甲、乙两位同学抽到同一个主题的结果有6种,所以甲、乙两位同学抽到不同主
考点一 随机事件(多考向探究预测)
考向1随机事件间关系的判断例1(1)(多选题)对空中飞行的飞机连续射击两次,每次发射一枚炮弹,设A={两次都击中飞机},B={两次都没击中飞机},C={恰有一弹击中飞机},D={至少有一弹击中飞机},下列关系正确的有( )A.A⊆DB.B∩D=⌀C.A∪B=B∪DD.A∪C=D
解析 用(x1,x2)表示试验的射击情况,其中x1表示第1次射击的情况,x2表示第2次射击的情况,1表示击中,0表示没击中,则样本空间Ω={(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}.由题意得,A={(1,1)},B={(0,0)},C={(0,1),(1,0)},D={(0,1),(1,0),(1,1)}.则A⊆D,A∪C=D,且B∩D=⌀.即A,B,D正确;又B∪D=Ω,A∪B={(0,0),(1,1)}≠Ω,∴A∪B≠B∪D.故C错误.
(2)(多选题)(2024·山西朔州高三开学考试)从1,2,3,…,9中任取三个不同的数,则在下述事件中,是互斥但不是对立事件的有( )A.“三个都为偶数”和“三个都为奇数”B.“至少有一个奇数”和“至多有一个奇数”C.“至少有一个奇数”和“三个都为偶数”D.“一个偶数两个奇数”和“两个偶数一个奇数”
解析 从1~9中任取三个数,按这三个数的奇偶性分类,有四种情况:①三个均为奇数;②两个奇数一个偶数;③一个奇数两个偶数;④三个均为偶数,所以选项A,D是互斥但不是对立事件,选项C是对立事件,选项B不是互斥事件.故选AD.
考向2计算简单随机事件的频率与概率例2如图,A地到火车站共有两条路径L1和L2,现随机抽取100位从A地到达火车站的人进行调查,调查结果如下:
(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率;(2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率;(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站,为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站,试通过计算说明,他们应如何选择各自的路径.
解 (1)由已知共调查了100人,其中40分钟内不能赶到火车站的有12+12+16+4=44(人),用频率估计相应的概率为P= =0.44.
(2)选择L1的有60人,选择L2的有40人,故由调查结果得频率为
(3)设事件A1,A2分别表示甲选择L1和L2时,在40分钟内赶到火车站;B1,B2分别表示乙选择L1和L2时,在50分钟内赶到火车站.结合(2)中表格知P(A1)=0.1+0.2+0.3=0.6,P(A2)=0+0.1+0.4=0.5.∵P(A1)>P(A2),∴甲应选择L1.同理,P(B1)=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8,P(B2)=0+0.1+0.4+0.4=0.9.∵P(B1)
解析 因为A∪B表示“甲没有中奖或甲获得一等奖”,但甲还可能获得二等奖,即事件A和事件B不是对立事件,A错误;事件A表示“甲没有中奖”,事件C表示“甲中奖”,则事件A和事件C互斥且和事件为全集,所以事件A和事件C是对立事件,B正确;又因为B⊆C,所以P(B+C)=P(C),C选项正确;P(BC)=P(B),D选项错误.故选BC.
(2)某险种的基本保费为a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:
随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况,得到如下统计表:
①记A为事件:“一续保人本年度的保费不高于基本保费”,求P(A)的估计值;②记B为事件:“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”,求P(B)的估计值;③求续保人本年度平均保费的估计值.
解 ①事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知,一年内出险次数小于2的频率为 =0.55,故P(A)的估计值为0.55.②事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由所给数据知,一年内出险次数大于1且小于4的频率为 =0.3,故P(B)的估计值为0.3.③由所给数据得
调查的200名续保人的平均保费为0.85a×0.30+a×0.25+1.25a×0.15+1.5a×0.15+1.75a×0.10+2a×0.05=1.192 5a.因此,续保人本年度平均保费的估计值为1.192 5a.
考点二 互斥事件与对立事件的概率
例3某商场有奖销售中,购满100元商品得1张奖券,多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位,设特等奖1个,一等奖10个,二等奖50个.设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A,B,C,求:(1)P(A),P(B),P(C);(2)1张奖券的中奖概率;(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率.
(2)1张奖券中奖包含中特等奖或一等奖或二等奖.设“1张奖券中奖”这个事件为M,则M=A∪B∪C.
[对点训练2]经统计,在服务场所一个营业窗口等候的人数相应的概率如下:
求:(1)至多2人排队等候的概率是多少?(2)至少3人排队等候的概率是多少?
解 记“0人排队等候”为事件A,“1人排队等候”为事件B,“2人排队等候”为事件C,“3人排队等候”为事件D,“4人排队等候”为事件E,“5人及5人以上排队等候”为事件F,则事件A,B,C,D,E,F彼此互斥.(1)记“至多2人排队等候”为事件G,则G=A∪B∪C,所以P(G)=P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.1+0.16+0.3=0.56.
(2)(方法一)记“至少3人排队等候”为事件H,则H=D∪E∪F,所以P(H)=P(D∪E∪F)=P(D)+P(E)+P(F)=0.3+0.1+0.04=0.44.(方法二)记“至少3人排队等候”为事件H,则其对立事件为事件G,所以P(H)=1-P(G)=0.44.
例4(1)(2023·全国甲,文4)某校文艺部有4名学生,其中高一、高二年级各2名.从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演,则这2名学生来自不同年级的概率为( )
解析 由题意,设高一年级2名学生为A,B,高二年级2名学生为C,D,从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演有AB,AC,AD,BC,BD,CD,共6种,这2名学生来自不同年级的组合有AC,AD,BC,BD,共4种,故所求的概率
(2)(2024·江西新余模拟)我国购买新能源汽车的家庭越来越多.某学校为方便驾驶新能源汽车的教职工充电,在停车场开展充电桩安装试点.如图,试点区域共有十个车位,安装了三个充电桩,每个充电桩只能给其南、北两侧车位中的一辆新能源汽车充电.现有3辆燃油车和2辆新能源汽车同时随机停入试点区域(停车前所有车位都空置),请问2辆新能源汽车能同时充上电的概率为( )
[对点训练3](1)(2021·全国甲,理10)将4个1和2个0随机排成一行,则2个0不相邻的概率为( )
(2)(2024·山东青岛模拟)将四位数2 024的各个数字打乱顺序重新排列,则所组成的不同的四位数(含原来的四位数)中两个2不相邻的概率为( )
解析 将2 024各个数字打乱顺序重新排列所组成的不同四位数(含原来的四位数)的样本点有2 204,2 240,4 220,4 022,2 024,2 420,2 042,2 402,4 202,共9个,其中两个2不相邻的样本点有2 024,2 420,2 042,2 402,4 202,共5个,
考点四 古典概型与统计的综合应用
例5(2024·陕西铜川模拟)为进一步巩固提升全国文明城市,加速推行垃圾分类制度,某市推出了两套方案,并分别在A,B两个大型居民小区内试行.方案一:进行广泛的宣传活动,向小区居民和社会各界宣传垃圾分类的意义,讲解分类垃圾桶的使用方式,垃圾投放时间等,定期召开垃圾分类会议和知识宣传教育活动;方案二:在小区内设立智能化分类垃圾桶,智能垃圾桶操作简单,居民可以通过手机进行自动登录、称重、积分等一系列操作,并建立激励机制,比如,垃圾分类换积分兑换礼品等,以激发带动居民参与垃圾分类的热情.经过一段时间试行之后,在这两个小区内各随机抽取了100名居民进行问卷调查,记录他们对试行方案的满意度得分(满分100分),将数据分成6组:[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],并整理得到如下频率分布直方图:
(1)请通过频率分布直方图分别估计两种方案满意度的平均得分,判断哪种方案的垃圾分类推广措施更受居民欢迎(同一组中的数据用该组中间的中点值作代表);(2)以样本频率估计概率,若满意度得分不低于70分认为居民赞成推行此方案,低于70分认为居民不赞成推行此方案,规定小区居民赞成率不低于70%才可在该小区继续推行该方案,判断两小区哪个小区可继续推行方案?(3)根据(2)中结果,从可继续推行方案的小区所抽取100人中再按居民态度是否赞成,用分层随机抽样的方法抽取8人样本作为代表团,从代表团中选取两人做汇总发言,求至少有一个不赞成的居民被选到发言的概率.
(2)由题意可知:方案一中,满意度得分不低于70的频率为(0.031+0.021+0.010)×10=0.62,以频率估计概率,赞成率为62%<70%;B小区即方案二中,满意度不低于70分的频率为(0.020+0.032+0.023)×10=0.75,以频率估计概率,赞成率为75%>70%.∴B小区可继续推行方案二.
(3)由(2)中结果,在B小区不赞成25人中抽取8×25%=2人,赞成的75人中取8×75%=6人,组成代表团,设至少有一个不赞成居民做汇总发言的概率为P.记不赞成的两人为a,b,赞成的6人为1,2,3,4,5,6,从中任选两人,则有以下情况:ab,a1,a2,a3,a4,a5,a6,b1,b2,b3,b4,b5,b6,12,13,14,15,16,23,24,25,26,34,35,36,45,46,56,共28种,其中至少有一个不赞成的居民被选到发言的有
[对点训练4]为了解某班学生喜爱运动是否与性别有关,对全班进行问卷调查得到如下2×2列联表.
(1)若a=10,依据α=0.05的独立性检验,能否认为喜爱运动与性别有关?
解 (1)零假设为H0:喜爱运动与性别无关.当a=10时,2×2列联表如下:
1.结合具体实例,理解样本点和有限样本空间的含义,理解随机事件与样本点的关系.2.了解随机事件的并、交与互斥的含义,能结合实例进行随机事件的并、交运算.3.理解古典概型,能计算古典概型中简单随机事件的概率.4.理解概率的性质,掌握随机事件概率的运算法则.5.会用频率估计概率.
1.样本点和样本空间(1)定义:我们把随机试验E的每个可能的 称为样本点,全体样本点的集合称为试验E的 . (2)表示:一般地,我们用Ω表示样本空间,用ω表示样本点.如果一个随机试验有n个可能结果ω1,ω2,…,ωn,则称样本空间Ω={ω1,ω2,…,ωn}为有限样本空间.
3.事件的关系与运算
事件A的对立事件 所含的结果组成的集合,是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集
微点拨定义多个事件的和事件以及积事件.例如,对于三个事件A,B,C,A∪B∪C(或A+B+C)发生当且仅当A,B,C中至少一个发生,A∩B∩C(或ABC)发生当且仅当A,B,C同时发生.
4.频率与概率(1)定义一般地,随着试验次数n的增大,频率偏离概率的幅度会缩小,即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A).我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此,我们可以用 来估计概率 .
从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小
微点拨理解频数与频率需注意:(1)前提:对于给定的随机事件A,在相同的条件S下重复n次试验,观察事件A是否出现.(2)频数:指的是n次试验中事件A出现的次数nA.频率:指的是事件A出现的比例fn(A)= .
(2)概率的基本性质性质1:对任意的事件A,都有P(A) ; 性质2:必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0,即P(Ω)= ,P(⌀)= ; 性质3:如果事件A与事件B互斥,那么P(A∪B)= ; 性质4:如果事件A与事件B互为对立事件,那么P(B)= ,P(A)= ; 性质5:如果A⊆B,那么 ,由该性质可得,对于任意事件A,因为⌀⊆A⊆Ω,所以0≤P(A)≤1; 性质6:设A,B是一个随机试验中的两个事件,有P(A∪B)= .
P(A)+P(B)-P(A∩B)
微思考概率与频率有什么区别?
提示 (1)概率是一个确定的数,是客观存在的,与试验次数无关,它度量该事件发生的可能性;(2)频率本身是随机的,在试验前不能确定,做同样次数的重复试验得到的事件的频率不一定相同;(3)频率是概率的近似值,在实际问题中,仅当试验次数足够多时,频率可近似地看作概率.
5.古典概型(1)具有以下两个特征的试验称为古典概型试验,其数学模型称为古典概率模型,简称古典概型.①有限性:样本空间的样本点只有 ; ②等可能性:每个样本点发生的可能性 .
判断一个试验是否是古典概型的关键点
(2)古典概型的概率公式一般地,设试验E是古典概型,样本空间Ω包含n个样本点,事件A包含其中的k个样本点,则定义事件A的概率P(A)= .其中,n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数.
常用结论如果事件A1,A2,…,An两两互斥:(1)事件A1∪A2∪…∪An发生的概率等于这n个事件分别发生的概率之和,即P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An).
题组一思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”)1.对立事件一定互斥,但互斥事件不一定对立.( )2.“在适宜条件下,种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型,其基本事件是“发芽与不发芽”.( )3.掷一枚硬币两次,出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”,这三个结果是等可能事件.( )4.从市场上出售的标准为500±5 g的袋装食盐中任取一袋测其重量,属于古典概型.( )
题组二回源教材5.(人教A版必修第二册习题10.1第3题改编)抛掷两枚质地均匀的硬币,设事件A=“第一枚硬币正面朝上”,事件B=“第二枚硬币反面朝上”.下列结论中正确的是( )A.A与B互为对立事件B.A与B互斥C.A与B相等D.P(A)=P(B)
6.(人教A版必修第二册10.1.3节例8改编)先后抛掷一枚质地均匀的骰子2次,观察向上的点数,则点数和为5的概率是 .
解析 根据题意可得,基本事件总数为6×6=36个,其中点数和为5的有(1,4),(4,1),(2,3),(3,2)共4个样本点.∴出现向上的点数和为5的概率为
7.(人教A版必修第二册10.1.4节例11改编)从不包含大小王牌的52张扑克牌中随机抽取一张,设事件A=“抽到红心”,事件B=“抽到方片”,P(A)=P(B)= ,设C=“抽到红花色”,则P(C)= ;设D=“抽到黑花色”,则P(D)= .
题组三连线高考8.(2020·全国Ⅰ,文4)设O为正方形ABCD的中心,在O,A,B,C,D中任取3点,则取到的3点共线的概率为( )
解析 由题意知一共有10种取法,当选A,O,C和B,O,D时符合要求,故
9.(2023·全国乙,文9)某学校举办作文比赛,共设6个主题,每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文,则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题的概率为( )
解析 甲、乙两位同学各随机抽取一个主题,共有6×6=36种结果,而甲、乙两位同学抽到同一个主题的结果有6种,所以甲、乙两位同学抽到不同主
考点一 随机事件(多考向探究预测)
考向1随机事件间关系的判断例1(1)(多选题)对空中飞行的飞机连续射击两次,每次发射一枚炮弹,设A={两次都击中飞机},B={两次都没击中飞机},C={恰有一弹击中飞机},D={至少有一弹击中飞机},下列关系正确的有( )A.A⊆DB.B∩D=⌀C.A∪B=B∪DD.A∪C=D
解析 用(x1,x2)表示试验的射击情况,其中x1表示第1次射击的情况,x2表示第2次射击的情况,1表示击中,0表示没击中,则样本空间Ω={(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}.由题意得,A={(1,1)},B={(0,0)},C={(0,1),(1,0)},D={(0,1),(1,0),(1,1)}.则A⊆D,A∪C=D,且B∩D=⌀.即A,B,D正确;又B∪D=Ω,A∪B={(0,0),(1,1)}≠Ω,∴A∪B≠B∪D.故C错误.
(2)(多选题)(2024·山西朔州高三开学考试)从1,2,3,…,9中任取三个不同的数,则在下述事件中,是互斥但不是对立事件的有( )A.“三个都为偶数”和“三个都为奇数”B.“至少有一个奇数”和“至多有一个奇数”C.“至少有一个奇数”和“三个都为偶数”D.“一个偶数两个奇数”和“两个偶数一个奇数”
解析 从1~9中任取三个数,按这三个数的奇偶性分类,有四种情况:①三个均为奇数;②两个奇数一个偶数;③一个奇数两个偶数;④三个均为偶数,所以选项A,D是互斥但不是对立事件,选项C是对立事件,选项B不是互斥事件.故选AD.
考向2计算简单随机事件的频率与概率例2如图,A地到火车站共有两条路径L1和L2,现随机抽取100位从A地到达火车站的人进行调查,调查结果如下:
(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率;(2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率;(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站,为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站,试通过计算说明,他们应如何选择各自的路径.
解 (1)由已知共调查了100人,其中40分钟内不能赶到火车站的有12+12+16+4=44(人),用频率估计相应的概率为P= =0.44.
(2)选择L1的有60人,选择L2的有40人,故由调查结果得频率为
(3)设事件A1,A2分别表示甲选择L1和L2时,在40分钟内赶到火车站;B1,B2分别表示乙选择L1和L2时,在50分钟内赶到火车站.结合(2)中表格知P(A1)=0.1+0.2+0.3=0.6,P(A2)=0+0.1+0.4=0.5.∵P(A1)>P(A2),∴甲应选择L1.同理,P(B1)=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8,P(B2)=0+0.1+0.4+0.4=0.9.∵P(B1)
解析 因为A∪B表示“甲没有中奖或甲获得一等奖”,但甲还可能获得二等奖,即事件A和事件B不是对立事件,A错误;事件A表示“甲没有中奖”,事件C表示“甲中奖”,则事件A和事件C互斥且和事件为全集,所以事件A和事件C是对立事件,B正确;又因为B⊆C,所以P(B+C)=P(C),C选项正确;P(BC)=P(B),D选项错误.故选BC.
(2)某险种的基本保费为a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:
随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况,得到如下统计表:
①记A为事件:“一续保人本年度的保费不高于基本保费”,求P(A)的估计值;②记B为事件:“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”,求P(B)的估计值;③求续保人本年度平均保费的估计值.
解 ①事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知,一年内出险次数小于2的频率为 =0.55,故P(A)的估计值为0.55.②事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由所给数据知,一年内出险次数大于1且小于4的频率为 =0.3,故P(B)的估计值为0.3.③由所给数据得
调查的200名续保人的平均保费为0.85a×0.30+a×0.25+1.25a×0.15+1.5a×0.15+1.75a×0.10+2a×0.05=1.192 5a.因此,续保人本年度平均保费的估计值为1.192 5a.
考点二 互斥事件与对立事件的概率
例3某商场有奖销售中,购满100元商品得1张奖券,多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位,设特等奖1个,一等奖10个,二等奖50个.设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A,B,C,求:(1)P(A),P(B),P(C);(2)1张奖券的中奖概率;(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率.
(2)1张奖券中奖包含中特等奖或一等奖或二等奖.设“1张奖券中奖”这个事件为M,则M=A∪B∪C.
[对点训练2]经统计,在服务场所一个营业窗口等候的人数相应的概率如下:
求:(1)至多2人排队等候的概率是多少?(2)至少3人排队等候的概率是多少?
解 记“0人排队等候”为事件A,“1人排队等候”为事件B,“2人排队等候”为事件C,“3人排队等候”为事件D,“4人排队等候”为事件E,“5人及5人以上排队等候”为事件F,则事件A,B,C,D,E,F彼此互斥.(1)记“至多2人排队等候”为事件G,则G=A∪B∪C,所以P(G)=P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.1+0.16+0.3=0.56.
(2)(方法一)记“至少3人排队等候”为事件H,则H=D∪E∪F,所以P(H)=P(D∪E∪F)=P(D)+P(E)+P(F)=0.3+0.1+0.04=0.44.(方法二)记“至少3人排队等候”为事件H,则其对立事件为事件G,所以P(H)=1-P(G)=0.44.
例4(1)(2023·全国甲,文4)某校文艺部有4名学生,其中高一、高二年级各2名.从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演,则这2名学生来自不同年级的概率为( )
解析 由题意,设高一年级2名学生为A,B,高二年级2名学生为C,D,从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演有AB,AC,AD,BC,BD,CD,共6种,这2名学生来自不同年级的组合有AC,AD,BC,BD,共4种,故所求的概率
(2)(2024·江西新余模拟)我国购买新能源汽车的家庭越来越多.某学校为方便驾驶新能源汽车的教职工充电,在停车场开展充电桩安装试点.如图,试点区域共有十个车位,安装了三个充电桩,每个充电桩只能给其南、北两侧车位中的一辆新能源汽车充电.现有3辆燃油车和2辆新能源汽车同时随机停入试点区域(停车前所有车位都空置),请问2辆新能源汽车能同时充上电的概率为( )
[对点训练3](1)(2021·全国甲,理10)将4个1和2个0随机排成一行,则2个0不相邻的概率为( )
(2)(2024·山东青岛模拟)将四位数2 024的各个数字打乱顺序重新排列,则所组成的不同的四位数(含原来的四位数)中两个2不相邻的概率为( )
解析 将2 024各个数字打乱顺序重新排列所组成的不同四位数(含原来的四位数)的样本点有2 204,2 240,4 220,4 022,2 024,2 420,2 042,2 402,4 202,共9个,其中两个2不相邻的样本点有2 024,2 420,2 042,2 402,4 202,共5个,
考点四 古典概型与统计的综合应用
例5(2024·陕西铜川模拟)为进一步巩固提升全国文明城市,加速推行垃圾分类制度,某市推出了两套方案,并分别在A,B两个大型居民小区内试行.方案一:进行广泛的宣传活动,向小区居民和社会各界宣传垃圾分类的意义,讲解分类垃圾桶的使用方式,垃圾投放时间等,定期召开垃圾分类会议和知识宣传教育活动;方案二:在小区内设立智能化分类垃圾桶,智能垃圾桶操作简单,居民可以通过手机进行自动登录、称重、积分等一系列操作,并建立激励机制,比如,垃圾分类换积分兑换礼品等,以激发带动居民参与垃圾分类的热情.经过一段时间试行之后,在这两个小区内各随机抽取了100名居民进行问卷调查,记录他们对试行方案的满意度得分(满分100分),将数据分成6组:[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],并整理得到如下频率分布直方图:
(1)请通过频率分布直方图分别估计两种方案满意度的平均得分,判断哪种方案的垃圾分类推广措施更受居民欢迎(同一组中的数据用该组中间的中点值作代表);(2)以样本频率估计概率,若满意度得分不低于70分认为居民赞成推行此方案,低于70分认为居民不赞成推行此方案,规定小区居民赞成率不低于70%才可在该小区继续推行该方案,判断两小区哪个小区可继续推行方案?(3)根据(2)中结果,从可继续推行方案的小区所抽取100人中再按居民态度是否赞成,用分层随机抽样的方法抽取8人样本作为代表团,从代表团中选取两人做汇总发言,求至少有一个不赞成的居民被选到发言的概率.
(2)由题意可知:方案一中,满意度得分不低于70的频率为(0.031+0.021+0.010)×10=0.62,以频率估计概率,赞成率为62%<70%;B小区即方案二中,满意度不低于70分的频率为(0.020+0.032+0.023)×10=0.75,以频率估计概率,赞成率为75%>70%.∴B小区可继续推行方案二.
(3)由(2)中结果,在B小区不赞成25人中抽取8×25%=2人,赞成的75人中取8×75%=6人,组成代表团,设至少有一个不赞成居民做汇总发言的概率为P.记不赞成的两人为a,b,赞成的6人为1,2,3,4,5,6,从中任选两人,则有以下情况:ab,a1,a2,a3,a4,a5,a6,b1,b2,b3,b4,b5,b6,12,13,14,15,16,23,24,25,26,34,35,36,45,46,56,共28种,其中至少有一个不赞成的居民被选到发言的有
[对点训练4]为了解某班学生喜爱运动是否与性别有关,对全班进行问卷调查得到如下2×2列联表.
(1)若a=10,依据α=0.05的独立性检验,能否认为喜爱运动与性别有关?
解 (1)零假设为H0:喜爱运动与性别无关.当a=10时,2×2列联表如下:
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