适用于新高考新教材备战2025届高考数学一轮总复习课时规范练78二项式定理新人教A版

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1.(2024·广东湛江模拟)的展开式中,x4的系数是( )
A.40B.-40C.80D.-80
2.(2024·河北唐山高三期末)的展开式共有七项,且常数项为20,则a=( )
A.1B.-1C.2D.-2
3.(2024·河北邢台模拟)已知的二项展开式中,第3项与第9项的二项式系数相等,则所有项的系数之和为( )
A.212B.312C.310D.210
4.(2024·河北沧州模拟)的展开式中x5y2的系数为( )
A.-10B.10C.-30D.30
5.(2024·广东江门模拟)已知多项式(x-1)10=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+a10(x+1)10,则a7=( )
A.-960B.960
C.-480D.480
6.(2024·湖北四市联考)(1+)(1-2x)5的展开式中,常数项是( )
A.-9B.-10C.9D.10
7.(2024·浙江杭州、宁波4月联考)设(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)7+(1+x)8=a0+a1x+a2x2+…+a7x7+a8x8,则a2=( )
A.84B.56C.36D.28
8.(多选题)(2024·河北衡水中学模拟)的展开式中( )
A.常数项是第4项
B.所有项的系数和为1
C.第5项的二项式系数最大
D.第4项的系数最小
9.(2024·广东汕头模拟)(-1)(2x+y)5的展开式中,x2y3的系数为 .
10.(2024·河北石家庄模拟)展开式中所有奇数项的二项式系数和为32,则展开式中的常数项为 .(用数字作答)
+0.9982+0.9983+0.9984+0.9985≈ .(精确到0.01)
综 合 提升练
12.(2024·江苏泰州模拟)若7n+7n-1+…+7+是9的倍数,则自然数n为( )
A.4的倍数B.3的倍数
C.奇数D.偶数
13.(2024·山东德州模拟)若(2x-3)12=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a11(x-1)11+a12(x-1)12,则( )
A.a0=-1
B.a0-a1+a2-a3+…+a10-a11+a12=-312
C.a1+a2+…+a12=-2
D.+…+=-1
14.(多选题)已知的二项展开式中二项式系数之和为64,下列结论正确的是( )
A.二项展开式中各项系数之和为36
B.二项展开式中二项式系数最大的项为160
C.二项展开式中无常数项
D.二项展开式中系数最大的项为90x3
15.(2024·江苏南通模拟)若的展开式中各项系数和为64,则该二项展开式中所有有理项的系数之和为 .
16.(2024·河北秦皇岛模拟)的展开式中,x3y2的系数为10,则a= .
创 新 应用练
17.若今天(第一天)是星期二,则第1510天是( )
A.星期三B.星期日
C.星期二D.星期五
18.某公司2022年实现利润100万元,计划在以后5年中每年比前一年利润增长8%,则该公司2027年的利润是 万元.(结果精确到1万元)
课时规范练78 二项式定理
1.C 解析 (2x2-)5展开式的通项为Tk+1=25-k(-1)kx10-3k,令10-3k=4,得k=2.所以x4的系数是23×(-1)2=80.
2.B 解析 因为的展开式共有七项,故n=6,且展开式的通项为Tr+1=x6-rx6-2r(-a)r,
令6-2r=0,解得r=3,因为常数项为20,故T4=(-a)3=20,解得a=-1.
3.C 解析 因为,且第3项与第9项的二项式系数相等,所以,解得n=10,令x=1,得所有项的系数之和为310.
4.C 解析 展开式的通项为(x2-x)ry5-r=x2(r-n)·(-1)nxny5-r=(-1)nx2r-ny5-r,由题意可得,2r-n=5,5-r=2,所以r=3,n=1,所以x5y2的系数为-30.
5.A 解析 因为(x-1)10=(-2+x+1)10,所以第8项为T8=(-2)3(x+1)7,
所以a7=(-2)3=-960.
6.A 解析 ∵(1+)(1-2x)5=(1-2x)5+(1-2x)5,
(1-2x)5展开式第r+1项为Tr+1=(-2x)r=(-2)rxr(r=0,1,…,5),
(1-2x)5的展开式第k+1项为Tk+1=(-2x)k=(-2)kxk-1(k=0,1,…,5),∴展开式中的常数项T=(-2)0+(-2)1=1-10=-9.
7.A 解析 依题意,a2=+…++…++…+=…==84.
8.BCD 解析 的展开式的通项为Tk+1==(-1)k28-kx4-k.
对于A,令4-k=0,则k=4,故常数项是第5项,故A错误;
对于B,令x=1,则所有项的系数和是(2-1)8=1,故B正确;
对于C,该展开式共9项,则由二项式系数的性质知第5项的二项式系数最大,故C正确;
对于D,设第k+1项的系数的绝对值最大,则解得2≤k≤3,
又k∈Z,所以k=2或k=3.
当k=2时,T3=(-1)226x2=1792x2;
当k=3时,T4=(-1)325x=-1792x,所以第4项的系数最小,故D正确.
故选BCD.
9.40 解析 (2x+y)5展开式的通项为Tr+1=(2x)5-r·yr,所以x2y3的系数为23+(-1)22=40.
10.-540 解析 由题意及二项式系数的性质可得奇数项的二项式系数的和为2n-1=32,解得n=6,所以其展开式的通项为Tr+1=x6-r=(-3)rx6-2r,依题意令6-2r=0,解得r=3,所以展开式中的常数项为(-3)3=-540.
解析 原式=(1+0.998)5-1=(2-0.002)5-1=25-24×0.002+23×0.0022-22×0.0023+2×0.0024-0.0025-1≈32-0.16-1=30.84.
12.C 解析 因为7n+7n-1+…+7+(7n+1+7n+…+72+7+)-(7+1)n+1-(8n+1-1)=[9n+1-9n+…+(-1)n9+(-1)n+1-1],又7n+7n-1+…+7+是9的倍数,∴n+1为偶数,即n为奇数.
13.D 解析 由(2x-3)12=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a11(x-1)11+a12(x-1)12,令x=1,可得a0=(2×1-3)12=1,A错误;
令x=0,可得a0-a1+a2-a3+…+a10-a11+a12=312,B错误;
令x=2,则a0+a1+a2+…+a12=(4-3)12=1,故a1+a2+…+a12=1-a0=1-1=0,C错误;
令x=,则=a0++…+=0,故+…+=0-a0=-1,D正确.
14.AB 解析 因为的二项展开式中二项式系数之和为64,所以2n=64,解得n=6,所以二项式为,其展开式的通式为Tr+1=(2x)6-r26-r
对于选项A,令x=1,可得二项展开式中各项系数之和为36,所以A正确;
对于选项B,由n=6,可得第4项的二项式系数最大,此时r=3,则二项展开式中二项式系数最大的项为T4=26-3=160,所以B正确;
对于选项C,令6-r=0,则r=4,所以二项展开式中的常数项为26-4=60,所以C错误;
对于选项D,设第r+1项的系数最大,则解得r,因为r∈N*,所以r=2,则展开式中系数最大的项为T3=24x3=240x3,所以D错误.故选AB.
15.32 解析 令x=1,可得(1+1)n=64,解得n=6,即二项式为()6.展开式的通项为Tk+1=)k=,令3-k∈Z,则k可以取0,2,4,6.
当k=0时,T1=x3=x3,当k=2时,T3=x0=15,
当k=4时,T5=x-3=15x-3,当k=6时,T7=x-6=x-6,所以有理项系数之和为1+15+15+1=32.
16.-1 解析 由题得,其展开式的通项为y5-r(x2-ax)r=x2(r-k)·(-a)rxry5-r=(-a)rx3r-2ky5-r,由题意可得,5-r=2,3r-2k=3,所以r=3,k=3,所以x3y2的系数10=(-a)3,解得a=-1.
17.C 解析 由1510=(14+1)10,其展开式的通项为Tr+1=1410-r,而14可被7整除,所以当10-r≠0时,Tr+1均可被7整除,当10-r=0时,T11=1,所以第1510天是星期二.
18.147 解析 由题意可知,100×(1+8%)5=100×[8%+(8%)2+(8%)3+(8%)4+(8%)5]≈100×1.46933=146.933≈147(万元),即该公司2027年的利润大约是147万元.