适用于新高考新教材备战2025届高考数学一轮总复习课时规范练83概率与统计中的综合问题新人教A版

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(1)补全2×2列联表,根据小概率值α=0.01的独立性检验,能否认为航天达人与性别有关联?
(2)现从抽取的航天达人中,按性别采用分层随机抽样的方法抽取6人,然后从这6人中随机抽取3人,记这3人中女航天达人的人数为X,求X的分布列和均值.
附:χ2=.
2.(2024·海南海口模拟)某市某中学一研究性学习小组为了解该市市民每年旅游支出费用(单位:千元),寒假期间对游览某签约景区的100名该市游客进行随机问卷调查,并把数据整理成如下表所示的频数分布表:
(1)从样本中随机抽取两位市民的旅游支出费用的数据,求两人旅游支出均低于6 000元的概率;
(2)若该市民的旅游支出费用X近似服从正态分布N(μ,σ2),μ近似为样本平均数(同一组中的数据用该组区间的中间值代表),σ近似为样本标准差s,并已求得s≈3,利用所得正态分布模型解决以下问题:
(ⅰ)假定该市常住人口为300万人,试估计该市有多少市民每年旅游费用支出在15 000元以上;
(ⅱ)若在该市随机抽取3位市民,设其中旅游费用在9 000元以上的人数为ξ,求随机变量ξ的分布列和均值.
附:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3.
3.(2024·广东茂名模拟)某企业生产流水线检测员每天随机从流水线上抽取100件新生产的产品进行检测.若每件产品的生产成本为1 200元,每件一级品可卖1 700元,每件二级品可卖1 000元,三级品禁止出厂且销毁.某日抽取的100件产品检测的结果的柱状图如图所示.
(1)根据样本估计总体的思想,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.若从生产的所有产品中随机取出2件,求至少有一件产品是一级品的概率;
(2)现从样本产品中利用分层抽样的方法随机抽取10件产品,再从这10件中任意抽取3件,设取到二级品的件数为ξ,求随机变量ξ的分布列和数学期望;
(3)已知该生产线原先的年产量为80万件,为提高企业利润,计划明年对该生产线进行升级,预计升级需一次性投入2 000万元,升级后该生产线年产量降为70万件,但产品质量显著提升,不会再有三级品,且一级品与二级品的产量比会提高到8∶2,若以该生产线今年利润与明年预计利润为决策依据,请判断该次升级是否合理.
4.第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州举办.
(1)为了解喜爱篮球运动是否与性别有关,某学校随机抽取了男生和女生各100名进行调查,得到2×2列联表如下:
依据小概率值α=0.001的独立性检验,能否认为喜爱篮球运动与性别有关?
(2)校篮球队中的甲、乙、丙三名球员将进行传球训练,第1次由甲将球传出,每次传球时,传球者都等可能地将球传给另外两人中的任何一人,如此不停地传下去,且假定每次传球都能被接到.记开始传球的人为第1次触球者,第n次触球者是甲的概率记为Pn,即P1=1.
①求P3,P4,并证明:为等比数列;
②比较第15次触球者是甲与第15次触球者是乙的概率的大小.
参考公式:χ2=,其中n=a+b+c+d.
参考数据:
5.某创业者计划在某旅游景区附近租赁一套农房发展成特色“农家乐”,为了确定未来发展方向,此创业者对该景区附近五家“农家乐”跟踪调查了100天,这五家“农家乐”的收费标准互不相同,得到的统计数据如下表,x为收费标准(单位:元/日),t为入住天数(单位:天),以频率作为各自的“入住率”,收费标准x与“入住率”y的散点图如图.
(1)若从以上五家“农家乐”中随机抽取两家深入调查,记ξ为“入住率”超过0.6的农家乐的个数,求ξ的分布列.
(2)令z=ln x,由散点图判断y=bx+a与y=bz+a哪个更适合于描述y与x的关系(给出判断即可,不必说明理由),并根据你的判断结果求回归方程(的结果精确到0.01).
参考数据:=240,=365 000,xiyi=457.5,≈5.35,≈28.62,≈144.24,ziyi≈12.72.
6.(2024·福建泉州模拟)2023年在上海举办的第五届中国国际进口博览会中,硬币大小的无导线心脏起搏器引起广大参会者的关注.这种起搏器体积只有传统起搏器的,其无线充电器的使用更是避免了传统起搏器囊袋及导线引发的相关并发症.在起搏器研发后期,某企业快速启动无线充电器主控芯片试生产,试产期同步进行产品检测,检测包括智能检测与人工抽检.智能检测在生产线上自动完成,包含安全检测、电池检测、性能检测等三项指标,人工抽检仅对智能检测三项指标均达标的产品进行抽样检测,且仅设置一个综合指标,四项指标均达标的产品才能视为合格品.已知试产期的产品,智能检测三项指标的达标率约为,设人工抽检的综合指标不达标率为p(0(1)求每个芯片智能检测不达标的概率;
(2)人工抽检30个芯片,记恰有1个不达标的概率为φ(p),求φ(p)的极大值点p0;
(3)若芯片的合格率不超过96%,则需对生产工序进行改良.以(2)中确定的p0作为p的值,判断该企业是否需对生产工序进行改良.
课时规范练83 概率与统计中的综合问题
1.解 (1)补全2×2列联表如下表.
零假设为H0:航天达人与性别无关,根据表中的数据计算得到χ2=6.464,
查表可知6.464<6.635=x0.01,
所以根据小概率值α=0.01的独立性检验,没有充分证据推断H0不成立,因此可以认为H0成立,即认为航天达人与性别无关.
(2)在航天达人中按性别采用分层随机抽样的方法抽取6人,男航天达人有6=4(人),女航天达人有2人,X的所有可能取值为0,1,2,则P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,
所以X的分布列为
E(X)=0+1+2=1.
2.解 (1)样本中旅游支出低于6000元的市民有15人,记A表示事件“从样本中随机抽取两位市民的旅游支出费用的数据,两人旅游支出均低于6000元”,则P(A)=
(2)=
=9,所以X~N(9,9).
(ⅰ)因为P(X>15)=P(X>μ+2σ)=0.02275,所以该市市民每年旅游费用支出在15000元以上的人数约为300×104×0.02275=68250(人).
(ⅱ)P(X>9)=P(X>μ)=,所以ξ~B(3,).
P(ξ=0)=)3=,P(ξ=1)=)3=,P(ξ=2)=)3=,P(ξ=3)=)3=
所以ξ的分布列为
所以E(ξ)=3
3.解 (1)抽取的100件产品中是一级品的频率是,则从生产的所有产品中任取1件,是一级品的概率是,设A表示事件“从生产的所有产品中随机选2件,至少有一件产品是一级品”,则P(A)=1-(1-)2=,所以至少有一件产品是一级品的概率是
(2)依题意,抽取的10件产品中一级品有7件,二级品有2件,三级品有1件,ξ的可能取值是0,1,2,
P(ξ=0)=,P(ξ=1)=,P(ξ=2)=,
所以ξ的分布列为
E(ξ)=0+1+2
(3)今年利润:80×(500-200-1200)=15200(万元),
明年预计利润:70×(500-200)-2000=23200(万元),显然有23200>15200,所以该次升级合理.
4.解 (1)零假设为H0:喜爱篮球运动与性别无关,计算χ2=32.323>10.828,
根据小概率值α=0.001的χ2独立性检验,我们推断H0不成立,即认为喜爱篮球运动与性别有关,此推断犯错误的概率不大于0.001.
(2)①由题意知,P1=1,P2=0,P3=,P4=0+(1-)
证明:第n次触球者是甲的概率记为Pn,
则当n≥2时,第n-1次触球者是甲的概率为Pn-1,第n-1次触球者不是甲的概率为1-Pn-1,则Pn=Pn-1×0+(1-Pn-1)(1-Pn-1),从而Pn-=-(Pn-1-),又P1-,
所以是以为首项,-为公比的等比数列.
②第n次触球者是甲的概率为Pn=,所以P15=,
第15次触球者是乙的概率为Q15=(1-P15)=(1-)=,所以第15次触球者是甲的概率比第15次触球者是乙的概率大.
5.解 (1)由题意,随机抽取两家深入调查,ξ的可能取值为0,1,2.
P(ξ=0)=,P(ξ=1)=,P(ξ=2)=,
∴ξ的分布列为
(2)y=bz+a更适合于描述y与x的关系.
(0.9+0.65+0.45+0.3+0.2)=0.5,-0.57,
5.35,0.5-(-0.57)×5.35≈3.55,
∴回归方程为=-0.57ln x+3.55.
6.解 (1)每个芯片智能检测中安全检测、电池检测、性能检测三项指标达标的概率分别记为P1,P2,P3,并记每个芯片智能检测不达标为事件A.
则有P1=,P2=,P3=,
由对立事件的性质及事件独立性的定义得P(A)=1-P1P2P3=1-,所以每个芯片智能检测不达标的概率为
(2)人工抽检30个芯片恰有1个不合格品的概率为φ(p)=p(1-p)29(0令φ'(p)=0,得p=
当p∈(0,)时,φ'(p)>0;当p∈(,1)时,φ'(p)<0.则φ(p)在(0,)内单调递增,在(,1)内单调递减,所以φ(p)有唯一的极大值点p0=
(3)设每个芯片人工抽检达标为事件B,人工抽检时,抽检一个芯片恰为合格品为事件C,
由(2)得P(C)=P(B|)=1-p=,
由(1)得P()=1-P(A)=,
所以P(B)=P()P(B|)=93.8%<96%,
因此,该企业需对生产工序进行改良.
性别
航天达人
非航天达人
合计
男
20
26
女
14
合计
α
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
支出
费用
[0,
2)
[2,
4)
[4,
6)
[6,
8)
[8,
10)
[10,
12)
[12,
14)
[14,
16]
频数
3
4
8
11
41
20
8
5
性别
喜爱篮球
不喜爱篮球
合计
男生
65
35
100
女生
25
75
100
合计
90
110
200
α
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
x
100
150
200
300
450
t
90
65
45
30
20
性别
航天达人
非航天达人
合计
男
20
6
26
女
10
14
24
合计
30
20
50
X
0
1
2
P
ξ
0
1
2
3
P
ξ
0
1
2
P
ξ
0
1
2
P