备战2025届新高考数学一轮总复习课时规范练73用样本估计总体（附解析人教A版）

这是一份备战2025届新高考数学一轮总复习课时规范练73用样本估计总体（附解析人教A版），共8页。

1.(2022·全国甲,理2,文2)某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识.为了解讲座效果,随机抽取10位社区居民,让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷,这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图,则( )

A.讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%
B.讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%
C.讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差
D.讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差
2.(2024·华中师大一附中模拟)一组数据按从小到大的顺序排列为1,4,4,x,7,8(其中x≠7),若该组数据的中位数是众数的倍,则该组数据的方差和第60百分位数分别是( )
A.,5B.5,5C.,6D.5,6
3.(2024·湖南长郡中学模拟)为调查某地区中学生每天睡眠时间,按照分层随机抽样的原则,现抽取初中生800人,其每天睡眠时间均值为9小时,方差为1,抽取高中生1 200人,其每天睡眠时间均值为8小时,方差为0.5,则估计该地区中学生每天睡眠时间的方差为( )
4.(多选题)(2021·新高考Ⅰ,9)有一组样本数据x1,x2,…,xn,由这组数据得到新样本数据y1,y2,…,yn,其中yi=xi+c(i=1,2,…,n),c为非零常数,则( )
A.两组样本数据的样本平均数相同
B.两组样本数据的样本中位数相同
C.两组样本数据的样本标准差相同
D.两组样本数据的样本极差相同
5.(多选题)(2024·重庆模拟)教育部办公厅“关于进一步加强中小学生体质健康管理工作的通知”中指出,各地要加强对学生体质健康重要性的宣传,中小学校要通过体育与健康课程、大课间、课外体育锻炼、体育竞赛、班团队活动,家校协同联动等多种形式加强教育引导,让家长和中小学生科学认识体质健康的影响因素.了解运动在增强体质、促进健康、预防肥胖与近视、锤炼意志、健全人格等方面的重要作用,提高学生体育与健康素养,增强体质健康管理的意识和能力,某学校共有2 000名男生,为了了解这部分学生的身体发育情况,学校抽查了100名男生的体重情况.根据所得数据绘制样本的频率分布直方图如图所示,则下列结论正确的是( )
A.样本的众数为67.5
B.样本的中位数为
C.样本的平均数为66
D.该校男生体重超过70 kg的学生大约为600人
6.(多选题)(2023·新高考Ⅰ,9)有一组样本数据x1,x2,…,x6,其中x1是最小值,x6是最大值,则( )
A.x2,x3,x4,x5的平均数等于x1,x2,…,x6的平均数
B.x2,x3,x4,x5的中位数等于x1,x2,…,x6的中位数
C.x2,x3,x4,x5的标准差不小于x1,x2,…,x6的标准差
D.x2,x3,x4,x5的极差不大于x1,x2,…,x6的极差
7.(2024·黑龙江齐齐哈尔模拟)一组数据由8个数组成,若将其中一个数由4改为2,另一个数由6改为8,其余数不变,得到新的一组数据,则新的一组数的方差相比原一组数的方差的增加值为 .
8.(2021·全国乙,理17,文17)某厂研制了一种生产高精产品的设备,为检验新设备生产产品的某项指标有无提高,用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品,得到各件产品该项指标数据如下:
旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为,样本方差分别记为.
(1)求;
(2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高(如果≥2,则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高,否则不认为有显著提高).
综合 提升练
9.(多选题)(2024·辽宁实验中学模拟)已知一组不完全相同的数据x1,x2,…,xn的平均数为x0,方差为,中位数为m0,在这组数据中加入一个数x0后得到一组新数据x0,x1,x2,…,xn,其平均数为,方差为s2,中位数为m,则下列判断一定正确的是( )
A.x0=B.=s2
C.>s2D.m0>m
10.(2024·山东聊城模拟)某班共有50名学生,在期末考试中,小明因病未参加数学考试.参加考试的49名学生的数学成绩的方差为2.在评估数学成绩时,老师把小明的数学成绩按这49名学生的数学成绩的平均数来算,那么全班50名学生的数学成绩的标准差为 .
11.(2024·安徽黄山模拟)为了深入学习领会党的二十大精神,某高级中学全体学生参加了《二十大知识竞赛》,试卷满分为100分,所有学生成绩均在区间[40,100]分内,已知该校高一、高二、高三年级的学生人数分别为800,1 000,1 200,现用分层随机抽样的方法抽取了300名学生的答题成绩,绘制了如下样本频率分布直方图.
(1)根据样本频率分布直方图估计该校全体学生成绩的众数、平均数、第71百分位数;
(2)已知所抽取各年级答题成绩的平均数、方差的数据如表,且根据频率分布直方图估计出总成绩的方差为140,求高三年级学生成绩的平均数和高二年级学生成绩的方差.
创新 应用练
12.(多选题)(2024·湖南怀化模拟)投掷一枚均匀的骰子8次,记录每次骰子出现的点数.根据统计结果,可以判断一定出现点数6的是( )
A.第25百分位数为2,极差为4
B.平均数为3.5,第75百分位数为3.5
C.平均数为3,方差为3
D.众数为4,平均数为4.75
课时规范练73 用样本估计总体
1.B 解析 对于A,中位数为(70%+75%)÷2=72.5%>70%,A错误;对于B,平均数为89.5%>85%,B正确;对于C,从图中可以看出,讲座前问卷答题的正确率的波动幅度要大于讲座后问卷答题的正确率的波动幅度,故C错误;对于D,讲座后问卷答题的正确率的极差为20%,讲座前问卷答题的正确率的极差为35%,D错误.故选B.
2.C 解析 依题意,这组数据的中位数为,众数为4,由题意知=4,解得x=6,该组数据的平均数为(1+4+4+6+7+8)=5,该组数据的方差是s2=[(1-5)2+(4-5)2+(4-5)2+(6-5)2+(7-5)2+(8-5)2]=,因为6×60%=3.6,所以该组数据的第60百分位数是6.
3.A 解析 该地区中学生每天睡眠时间的平均数为9+8=8.4(小时),该地区中学生每天睡眠时间的方差为[1+(9-8.4)2]+[0.5+(8-8.4)2]=0.94.
4.CD 解析 xi,+c,故A错误;两组样本数据的样本中位数相差c,故B错误;(xi-)2,[(xi+c)-(+c)]2=,故C正确;x极差=xmax-xmin,y极差=(xmax+c)-(xmin+c)=xmax-xmin,故D正确.
5.ABD 解析 对于A,观察频率分布直方图可知,样本的众数为=67.5,A正确;
对于B,设样本的中位数为x,观察频率分布直方图可知该中位数位于(65,70]之间,则有5×0.03+5×0.05+(x-65)×0.06=0.5,解得x=,B正确;
对于C,由直方图估计样本平均值为57.5×0.15+62.5×0.25+67.5×0.3+72.5×0.2+77.5×0.1=66.75,C错误;
对于D,2000名男生中体重大于70kg的人数大约为2000×5×(0.04+0.02)=600,D正确.故选ABD.
6.BD 解析 对于选项A,如1,2,2,2,2,5的平均数不等于2,2,2,2的平均数,故A错误;对于选项B,不妨设x2≤x3≤x4≤x5,x2,x3,x4,x5的中位数为,x1,x2,…,x6的中位数为,故B正确;对于选项C,因为x1是最小值,x6是最大值,所以x1,x2,…,x6的数据波动更大,故C错误;对于选项D,不妨设x2≤x3≤x4≤x5,则x1≤x2≤x3≤x4≤x5≤x6,所以x5-x2≤x6-x1,故D正确.故选BD.
7.2 解析 一个数由4改为2,另一个数由6改为8,故该组数据的平均数不变,设没有改变的6个数分别为x1,x2,…,x6,
原数据的方差+…+],新数据的方差+…+],所以]=2.
8.解 (1)由题中数据可得,(9.8+10.3+10.0+10.2+9.9+9.8+10.0+10.1+10.2+9.7)=10,
(10.1+10.4+10.1+10.0+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5)=10.3,
[(9.8-10)2+(10.3-10)2+(10.0-10)2+(10.2-10)2+(9.9-10)2+(9.8-10)2+(10.0-10)2+(10.1-10)2+(10.2-10)2+(9.7-10)2]=0.036;
[(10.1-10.3)2+(10.4-10.3)2+(10.1-10.3)2+(10.0-10.3)2+(10.1-10.3)2+(10.3-10.3)2+(10.6-10.3)2+(10.5-10.3)2+(10.4-10.3)2+(10.5-10.3)2]=0.04.
(2)因为=10.3-10=0.3,
2=2=20.174,所以>2,
故新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高.
9.AC 解析 =x0,∴x1+x2+…+xn=nx0,
=x0,平均数不变,∴A选项正确;
+…+],
s2=+…+],所以>s2,故B错误,C正确;
对于D选项,由于原数据的中位数与平均数的大小关系不确定,所以不能比较新数据与原数据的中位数的大小,故D错误.故选AC.
10 解析 设参加考试的49名学生的数学成绩为xi(i=1,2,3,…,49),平均成绩为,则小明的成绩也为,由题意得=2,则全班50名学生的数学成绩的标准差为
=
=
=
11.解 (1)由频率分布直方图知,学生成绩在[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]内的频率分别为:0.06,0.12,0.4,0.26,0.10,0.06,显然学生成绩在[60,70)内的频率最大,所以估计该校全体学生成绩的众数为65;
平均数=0.06×45+0.12×55+0.4×65+0.26×75+0.10×85+0.06×95=69;
0.06+0.12+0.4=0.58<0.71,0.06+0.12+0.4+0.26=0.84>0.71,所以第71百分位数m∈[70,80),由0.06+0.12+0.4+(m-70)×0.026=0.71,解得m=75,所以第71百分位数为75.
(2)由题知,样本中高一、高二、高三年级分别抽取了80人、100人、120人,记样本中高一学生的成绩为ai(1≤i≤80,i∈N*),高二学生的成绩为bi(1≤i≤100,i∈N*),高三学生的成绩为ci(1≤i≤120,i∈N*),于是ai=80×60,bi=100×63,ci=120,因此ai+bi+ci)=(80×60+100×63+120)=60+63+=69,解得=80,样本中三个年级成绩的方差s2=(ai-)2+],
高一、高二、高三年级学生成绩的平均数分别为,方差分别为,则有=80(ai-)=ai-80=80-80=0,[(ai-)+()]2=+2(ai-)()+]=+2((ai-)+80],同理=
100[],].因此s2=]+]+]=[(60-69)2+75]+[(63-69)2+]+[(80-69)2+55]=+12+=124+=140,解得=48,所以估计高三年级学生成绩的平均数=80,高二年级学生成绩的方差=48.
12.BD 解析 记8次的投掷结果为xi,i=1,…,8,不妨设1≤x1≤x2≤x3≤x4≤x5≤x6≤x7≤x8≤6,则对于A,这8个数可以是1,2,2,2,3,3,4,5,符合要求,但没出现点数6,故A错误.
对于B,因为平均数为3.5,所以x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8=3.5×8=28,又第75百分位数为3.5,所以x6+x7=7,所以x6=3,x7=4,所以x1+x2+x3+x4+x5+x8=21,且x1≤x2≤x3≤x4≤x5≤3,4≤x8≤6,所以x1+x2+x3+x4+x5≤15,所以x8≥6,即x8=6.所以一定出现点数6,故B正确.
对于C,若这8个数是1,1,1,3,3,5,5,5,(1+1+1+3+3+5+5+5)=3,s2=[(1-3)2+(1-3)2+(1-3)2+(3-3)2+(3-3)2+(5-3)2+(5-3)2+(5-3)2]=3,符合要求,但没出现点数6,故C错误.
对于D,因为平均数为4.75,所以x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8=4.75×8=38,又众数为4,假设这8个数中没有6,则和最大的情况为4+4+4+4+4+5+5+5=35<38,与题设矛盾,故一定出现点数6.故D正确.
故选BD.旧设备
9.8
10.3
10.0
10.2
9.9
9.8
10.0
10.1
10.2
9.7
新设备
10.1
10.4
10.1
10.0
10.1
10.3
10.6
10.5
10.4
10.5
年级
样本平均数
样本方差
高一
60
75
高二
63
高三
55