备战2025届新高考数学一轮总复习课时规范练55空间向量及其运算（附解析人教A版）

这是一份备战2025届新高考数学一轮总复习课时规范练55空间向量及其运算（附解析人教A版），共5页。试卷主要包含了已知A,B,C,则向量的夹角为，关于空间向量,以下说法正确的是等内容，欢迎下载使用。

1.设x,y∈R,向量a=(x,1,1),b=(1,y,1),c=(1,-1,1),且a⊥c,b∥c,则|a+b|=( )
A.B.3C.2D.4
2.已知A(2,-5,1),B(2,-2,4),C(1,-4,1),则向量的夹角为( )
A.-B.C.D.
3.已知向量a=(-3,2,1),b=(2,2,-1),c=(m,10,1),若a,b,c共面,则m=( )
A.2B.3C.-1D.-5
4.(2024·江西南昌模拟)把正四面体的每条棱三等分,截去顶角所在的小正四面体,得到一个有八个面的多面体,如图,点P,A,B,C,D为该多面体的顶点,若=a,=b,=c,则=( )
A.-a+b+cB.a-b-c
C.a-b+cD.a+b-c
5.已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的各棱长均为1,∠A1AB=∠A1AD=45°,∠DAB=90°,则||=( )
A.B.+2C.D.+1
6.(多选题)关于空间向量,以下说法正确的是( )
A.空间中的三个向量,若有两个向量共线,则这三个向量一定共面
B.若a·b<0,则是钝角
C.设{a,b,c}是空间中的一个基底,则{a+b,b+c,c+a}也是空间的一个基底
D.若对空间中任意一点O,有,则P,A,B,C四点共面
7.已知空间向量a=(1,0,1),b=(2,-1,2),则向量b在向量a上的投影向量是 .
8.设正四面体A-BCD的棱长为2,E,F分别是BC,AD的中点,则的值为 .
综合 提升练
9.(2024·陕西西安模拟)已知点P在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1的表面上运动,则的最大值为( )
A.6B.7C.8D.9
10.(多选题)如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,以顶点A为端点的三条棱长均为6,且两两夹角都是60°,下列说法中不正确的是( )
A.AC1=6
B.AC1⊥BD
C.向量的夹角是60°
D.向量所成角的余弦值为
11.(2024·陕西西安模拟)在空间四边形ABCD中,AC与BD是四边形的两条对角线,M,N分别为线段AB,CD上的点,且满足,点G在线段MN上,且满足=3,若向量满足=x+y+z,则x+y+z= .
创新 应用练
12.(2024·安徽蚌埠高二期末)正多面体是所有面都只由一种正多边形构成的多面体.数学家已经证明只存在五种正多面体,即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体.已知一个正八面体ABCDEF的棱长都是2(如图),M,N分别为棱AD,AC的中点,则= .
课时规范练55 空间向量及其运算
1.A 解析 因为a⊥c,所以x-1+1=0,即x=0.因为b∥c,所以,即y=-1,所以a=(0,1,1),b=(1,-1,1),则a+b=(1,0,2),故|a+b|=
2.D 解析 由已知得=(2,-2,4)-(2,-5,1)=(0,3,3),=(1,-4,1)-(2,-5,1)=(-1,1,0),所以cs<>=因为<>∈[0,π],所以向量的夹角为
3.D 解析 因为a,b,c共面,所以c=xa+yb,即(m,10,1)=x(-3,2,1)+y(2,2,-1)=(-3x+2y,2x+2y,x-y),所以解得x=3,y=2,m=-5.
4. A 解析 如图所示,+2+2-2所以=-=-a+b+c.
5.D 解析 由已知可得=1×1×cs45°==0,又,所以+2+2+2=3+2,所以||=+1.
6.ACD 解析 对于A,因为有两个向量共线,所以这三个向量一定共面,A正确;对于B,若a·b<0,则是钝角或是180°,B错误;对于C,因为{a,b,c}是空间中的一个基底,所以a,b,c不共面,假设a+b,b+c,c+a共面,则a+b=λ(b+c)+μ(c+a),即矛盾,所以a+b,b+c,c+a不共面,所以{a+b,b+c,c+a}也是空间的一个基底,C正确;对于D,因为,且=1,所以P,A,B,C四点共面,D正确.故选ACD.
7.(2,0,2) 解析 向量a=(1,0,1),b=(2,-1,2),则|a|=,|b|=3,a·b=4,所以向量b在向量a上的投影向量为|b|cs=|b|=3(1,0,1)=(2,0,2).
8.1 解析 依题意,由||=||=||=2,<>=<>=60°,故=||||cs<>=2×2=2,所以))=(2+2)=1.
9. C 解析 取AB的中点O,连接PO,如图,则=()·()=-1.当点P在正方体表面上运动时,运动到点D1或点C1处时,PO最大,所以=D1D2+DA2+AO2=9,所以的最大值为8.
10.CD 解析 ∵在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,
以顶点A为端点的三条棱长均为6,且两两夹角都是60°,=6×6×cs60°=18.对于选项A,∵()2=+2+2+2=36+36+36+3×2×18=216,∴||=||==6,A正确;对于选项B,=()·()==0,,即AC1⊥BD,B正确;对于选项C,连接A1D,由题意可知△AA1D是等边三角形,则∠AA1D=60°,,且向量的夹角是120°,∴向量的夹角是120°,C错误;对于选项D,,=()·()==36,||==6,||==6,∴cs<>=,D错误.故选CD.
11 解析 因为)=)=)=)=)=,所以x+y+z=
12. 解析 连接BD,如图.由题意,可得=-因为正八面体ABCDEF的棱长都是2,且各个面都是等边三角形,所以在△ABD中,AB=AD=2,BD=2,则AB2+AD2=BD2,所以AB⊥AD,所以=(-)·()=-=-2×2+0-2×2+22=--1+4=