备战2025届新高考数学一轮总复习课时规范练54几何法求线面角二面角及距离（附解析人教A版）

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1.(2024·陕西绥德中学校考)已知直线l和平面α所成的角为,则直线l和平面α内任意直线所成的角的取值范围为( )
A.[0,]B.[]
C.(0,)D.[]
2.如图,三棱台ABC-A1B1C1的下底面是正三角形,AB⊥BB1,B1C1⊥BB1,则二面角A-BB1-C的大小是( )
A.30°B.45°C.60°D.90°
3.(2024·湖南长沙模拟)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E在线段BB1上运动,则下列直线与平面AD1E的夹角为定值的是( )
A.B1CB.BC1C.A1CD.AC1
4.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,PA⊥平面ABCD,AB=AP=2,点E,F分别是PC,PD的中点,则点C到平面AEF的距离为( )
A.B.C.D.2
5.(2023·全国乙,理9)已知△ABC为等腰直角三角形,AB为斜边,△ABD为等边三角形,若二面角C-AB-D为150°,则直线CD与平面ABC所成角的正切值为( )
A.B.C.D.
6.(2024·河南名校联考)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,∠ABC=∠ACD=60°,AB=BC=2,CD=1,且二面角P-BC-A为60°,则四棱锥P-ABCD的侧面积为( )
A.3+5B.10
C.3+D.11
7.(2022·浙江,8)如图,已知正三棱柱ABC-A1B1C1,AC=AA1,E,F分别是棱BC,A1C1上的点.记EF与AA1所成的角为α,EF与平面ABC所成的角为β,二面角F-BC-A的平面角为γ,则( )
A.α≤β≤γB.β≤α≤γ
C.β≤γ≤αD.α≤γ≤β
8.(多选题)(2022·新高考Ⅰ,9)已知正方体ABCD-A1B1C1D1,则( )
A.直线BC1与DA1所成的角为90°
B.直线BC1与CA1所成的角为90°
C.直线BC1与平面BB1D1D所成的角为45°
D.直线BC1与平面ABCD所成的角为45°
9.如图,在三棱锥P-ABC中,已知PA⊥平面ABC,PA=3,PB=PC=BC=6,则二面角P-BC-A的正弦值为 .
10.如图,AB是圆柱OO1的一条母线,BC是底面圆的一条直径,D是圆O上一点,且AB=BC=5,CD=3.
(1)求直线AC与平面ABD所成角的正弦值;
(2)求点B到平面ACD的距离.
综 合 提升练
11.(2024·海南海口模拟)如图,点P是棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1表面上的一个动点,直线AP与平面ABCD所成的角为45°,则点P的轨迹长度为( )
A.π+4B.4π
C.2D.3+π
12.(2024·广东珠海模拟)如图所示,PA垂直于以AB为直径的圆O所在的平面,C为圆上异于A,B的任意一点.若AB=2,PA=,记直线PB与平面PAC所成的角为α,∠ABC=β,则sin αsin β的最大值为( )
A.B.C.D.
13.如图,△ACD和△BCD都是边长为2的等边三角形,平面ACD⊥平面BCD,BE⊥平面BCD.
(1)证明:BE∥平面ACD;
(2)若点E到平面ABC的距离为,求平面ECD与平面BCD夹角的正切值.
创 新 应用练
14.(2024·江苏淮安模拟)刻漏是中国古代用来计时的仪器,利用附有刻度的浮箭随着受水壶的水面上升来指示时间.为了使受水壶得到均匀水流,古代的科学家们发明了一种三级漏壶,壶形都为正四棱台.自上而下,三个漏壶的上口宽依次递减1寸(约3.3厘米),下底宽和深度也依次递减1寸.自上而下设三个漏壶的侧面与底面所成锐二面角依次为θ1,θ2,θ3,则( )
A.θ1+θ3=2θ2
B.sin θ1+sin θ3=2sin θ2
C.cs θ1+cs θ3=2cs θ2
D.tan θ1+tan θ3=2tan θ2
课时规范练54 几何法求线面角、二面角及距离
1.D 解析 根据线面角的定义,线面角是平面外的直线与平面内所有直线所成的角中最小的角,故直线l与α内直线所成角的最小值为,当直线l在α内的射影与平面α内的一条直线垂直时,l与这条直线所成的角为,故直线l与α内直线所成角的范围为[].
2.C 解析 在三棱台ABC-A1B1C1中,因为B1C1∥BC,且B1C1⊥BB1,所以BC⊥BB1.又AB⊥BB1,且AB∩BC=B,AB,BC⊂平面ABC,所以B1B⊥平面ABC,所以∠ABC为二面角A-BB1-C的平面角.因为△ABC为等边三角形,所以∠ABC=60°.
3. B 解析 连接BC1.因为BC1∥AD1,且AD1⊂平面AD1E,BC1⊄平面AD1E,所以BC1∥平面AD1E,所以BC1与平面AD1E的夹角始终为0°.而直线B1C,A1C,AC1与平面AD1E的夹角均会因为点E的位置的不同而不同.
4.B 解析 在四棱锥P-ABCD中,因为底面ABCD为正方形,PA⊥平面ABCD,所以CD⊥AD,CD⊥PA,又AD∩PA=A,AD,PA⊂平面PAD,所以CD⊥平面PAD,又PD⊂平面PAD,所以CD⊥PD.因为点E,F分别是PC,PD的中点,所以CD∥EF,所以PD⊥EF,又PA=AD,则AF⊥PD,且EF∩AF=F,AF,EF⊂平面AEF,所以PD⊥平面AEF,所以线段PF为点P到平面AEF的距离,又E是PC的中点,所以点C与点P到平面AEF的距离相等,又PF=,所以点C到平面AEF的距离为
5. C 解析 (方法一)如图,取AB中点O,连接OC,OD,则由题可知∠DOC为二面角C-AB-D的平面角,∴∠DOC=150°.设CA=CB=a,则OC=AB=a.
∵△ABD是等边三角形,∴OD⊥AB,且OD=AB=a.在△DOC中由余弦定理得,CD2=OC2+OD2-2OC·ODcs∠DOC=a2,∴CD=a.过D作DH⊥平面ABC,垂足为H,易知点H在直线OC上,则∠DCH为直线CD与平面ABC所成的角,且∠DOH=30°,故DH=OD=a,∴sin∠DCH=,则cs∠DCH=,∴tan∠DCH=故选C.
(方法二)取AB中点O,连接OC,OD.以O为原点,OA,OC所在直线分别为x轴、y轴,过O点作平面ABC的垂线为z轴建立空间直角坐标系(图略).设AB=2,则由题可得A(1,0,0),C(0,1,0),D(0,-),则=(0,-),由题可知平面ABC的一个法向量为n=(0,0,1).设CD与平面ABC所成角为θ,则sinθ=|cs<,n>|=,∴csθ=,∴tanθ=
6. C 解析 因为AB=BC,∠ABC=60°,所以△ABC为正三角形.取BC的中点E,连接PE,AE,则AE⊥BC.因为PA⊥底面ABCD,BC⊂平面ABCD,所以PA⊥BC,又PA∩AE=A,PA,AE⊂平面PAE,所以BC⊥平面PAE,则BC⊥PE,则∠PEA为二面角P-BC-A的平面角,所以∠PEA=60°,所以PA=AEtan60°=3,PE==2因为∠ACD=60°,AC=2,CD=1,所以由余弦定理得AD=
,则AD2+CD2=AC2,所以AD⊥CD.因为PA⊥底面ABCD,CD⊂平面ABCD,所以PA⊥CD,又PA∩AD=A,PA,AD⊂平面PAD,所以CD⊥平面PAD.因为PD⊂平面PAD,所以CD⊥PD.PD==2故S△PAB=PA·AB=3×2=3,S△PAD=PA·AD=3,S△PCD=PD·CD=21=,S△PBC=BC·PE=2×2=2,所以四棱锥P-ABCD的侧面积为3++2=3+
7. A 解析 作FG⊥AC交AC于G,连接EG.因为FG⊥平面ABC,所以α=∠EFG,β=∠FEG,tanα=,tanβ=,易知AC≥EG,故β≥α.作FH∥B1C1交A1B1于点H,连接BH,CF,作FM⊥BC交BC于点M,连接GM,得γ=∠FMG,则tanγ=,由EG≥MG,得β≤γ.综上可知α≤β≤γ,
故选A.
8. ABD 解析 连接AD1,∵在正方体ABCD-A1B1C1D1中,BC1∥AD1,A1D⊥AD1,∴直线BC1与DA1所成的角为90°,故A正确;连接B1C,∵A1B1⊥平面BCC1B1,BC1⊂平面BCC1B1,∴A1B1⊥BC1,又BC1⊥B1C,A1B1∩B1C=B1,A1B1⊂平面A1B1C,B1C⊂平面A1B1C,∴BC1⊥平面A1B1C,又CA1⊂平面A1B1C,∴BC1⊥CA1,即直线BC1与CA1所成的角为90°,故B正确;连接A1C1,交B1D1于点O,连接BO.易证C1A1⊥平面BB1D1D.∴∠C1BO为直线BC1与平面BB1D1D所成的角.设正方体的棱长为a,则OC1=a,BC1=a,∴sin∠C1BO=,∴∠C1BO=30°,故C错误;∵C1C⊥平面ABCD,∴∠C1BC为直线BC1与平面ABCD所成的角.
又∠C1BC=45°,∴直线BC1与平面ABCD所成的角为45°,故D正确.
故选ABD.
9 解析 取BC的中点D,连接PD,AD.因为PB=PC,所以PD⊥BC.因为PA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,所以PA⊥BC.因为PD⊂平面PAD,PA⊂平面PAD,PA∩PD=P,所以BC⊥平面PAD.因为AD⊂平面PAD,所以BC⊥AD.所以∠PDA为二面角P-BC-A的平面角.因为PB=PC=BC=6,所以PD=6=3,sin∠PDA=,即二面角P-BC-A的正弦值是
10.解 (1)∵AB⊥平面BCD,BC,CD⊂平面BCD,∴AB⊥CD,AB⊥BC.
∵BC是圆O的直径,∴BD⊥CD,
又AB∩BD=B,AB,BD⊂平面ABD,
∴CD⊥平面ABD,∴∠CAD即为直线AC与平面ABD所成角.
∵AB=BC=5,AB⊥BC,∴AC=5,
又CD=3,∴sin∠CAD=,
即直线AC与平面ABD所成角的正弦值为
(2)过点B作BM⊥AD,垂足为M.
由(1)知CD⊥平面ABD,CD⊂平面ACD,
∴平面ABD⊥平面ACD,
又平面ABD∩平面ACD=AD,BM⊂平面ABD,BM⊥AD,
∴BM⊥平面ACD.
∵BD==4,
∴AD=
AD·BM=AB·BD,
∴BM=,
即点B到平面ACD的距离是
11. A 解析 若点P在正方形A1B1C1D1内,过点P作PP'⊥平面ABCD于点P',连接AP',A1P.则∠PAP'为直线AP与平面ABCD所成的角,则∠PAP'=45°.又PP'=2,则PA=2,则PA1=2,则点P的轨迹为以点A1为圆心,2为半径的圆落在正方形A1B1C1D1内的部分,包括点B1,D1.若点P在正方形A1B1BA内或A1D1DA内,轨迹分别为线段AB1,AD1,不包括点A.因为点P不可能落在其他三个正方形内,所以点P的轨迹长度为2+2+2=π+4
12.D 解析 因为点C为以AB为直径的圆O上异于A,B的任意一点,所以∠ACB=,即AC⊥BC.因为PA垂直于以AB为直径的圆O所在的平面,即PA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,所以PA⊥BC.又AC∩PA=A,且PA,AC在平面PAC内,所以BC⊥平面PAC.所以直线PB与平面PAC所成的角为∠BPC,即∠BPC=α.设AC=x,013. (1)证明 如图,取CD的中点O,连接AO,则AO⊥CD.
又平面ACD⊥平面BCD,且平面ACD∩平面BCD=CD,AO⊂平面ACD,
则AO⊥平面BCD.
又BE⊥平面BCD,所以BE∥AO.
又BE⊄平面ACD,AO⊂平面ACD,
所以BE∥平面ACD.
(2)解 如图,连接EO,BO,取BC的中点F,连接DF,则DF⊥BC.因为AB=,则等腰三角形ABC的面积为S△ABC=,所以三棱锥E-ABC的体积为VE-ABC=
因为BE⊥平面BCD,DF⊂平面BCD,则DF⊥BE,
又DF⊥BC,BE∩BC=B,BE⊂平面EBC,BC⊂平面EBC,
所以DF⊥平面EBC.
因为BE∥AO,所以点A到平面EBC的距离等于点O到平面EBC的距离,为DF=
因为S△BCE=2×EB=EB,
则VA-EBC=BEBE,
又VE-ABC=VA-BCE,所以EB=5.
因为BE⊥平面BCD,BC⊂平面BCD,BD⊂平面BCD,则BE⊥BC,BE⊥BD,
所以CE=DE,所以EO⊥CD,
所以平面ECD与平面BCD的夹角为∠EOB,则tan∠EOB=,
所以平面ECD与平面BCD夹角的正切值为
14. D 解析 如图,在正四棱台ABCD-
A1B1C1D1中,O为正方形ABCD的中心,O1为正方形A1B1C1D1的中心,F是边AB的中点,连接OF,过边A1B1的中点E作EG⊥OF,垂足为G,连接O1E.则∠GFE就是该正四棱台的侧面与底面所成锐二面角的一个平面角,记为θ.设漏壶上口宽为a,下底宽为b,高为h,在Rt△EFG中,GF=,tanθ=因为自上而下三个漏壶的上口宽成等差数列,下底宽也成等差数列,且它们的公差相等,所以a-b为定值,又因为三个漏壶的高成等差数列,所以2tanθ2=tanθ1+tanθ3.