备战2025届新高考数学一轮总复习课时规范练59直线的倾斜角与斜率直线的方程（附解析人教A版）

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1.已知点M(0,),点N(1,2),则直线MN的倾斜角为( )
A.30°B.60°
C.120°D.135°
2.(2024·江苏苏州高二期末)在平面直角坐标系xOy中,直线=1在y轴上的截距为( )
A.-6B.6C.-D.
3.经过点P(-1,0)且倾斜角为60°的直线的方程是( )
A.x-y-1=0B.x-y+=0
C.x-y-=0D.x-y+1=0
4.直线x+y+2=0的倾斜角及在y轴上的截距分别是( )
A.60°,2B.60°,-2
C.120°,-2D.120°,2
5.已知直线l过点(2,-1),且在x轴上的截距为3,则直线l的方程为( )
A.x-y-3=0B.x-2y+6=0
C.2x+y+3=0D.2x+y-3=0
6.如图,若直线l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3,则( )
A.k1C.k17.已知M(1,2),N(4,3),直线l过点P(2,-1)且与线段MN相交,那么直线l的斜率k的取值范围是( )
A.(-∞,-3]∪[2,+∞)
B.[-]
C.[-3,2]
D.(-∞,-]∪[,+∞)
8.直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距小1,且过定点A(-3,8),则直线l的方程为 .
9.若直线l:y=-(a+1)x+a-2不经过第二象限,则实数a的取值范围为 .
10.已知直线l过点M(1,1),且分别与x轴、y轴的正半轴交于A,B两点,O为坐标原点,当|MA|2+|MB|2取得最小值时,则直线l的方程为 .
综合 提升练
11.已知两点A(-3,2),B(2,1),过点P(0,-1)的直线与线段AB有交点,则直线l的倾斜角的取值范围为( )
A.[]B.[0,]∪[]
C.[0,]D.[]∪(]
12.(多选题)如果AB>0,BC>0,那么直线Ax+By+C=0经过( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
13.(多选题)(2024·广东广州培正中学校考)下列说法正确的是( )
A.若直线斜率为,则它的倾斜角为30°
B.若A(1,-3),B(1,3),则直线AB的倾斜角为90°
C.若直线过点(1,2),且它的倾斜角为45°,则这条直线必过点(3,4)
D.若直线的斜率为,则这条直线必过(1,1)与(5,4)两点
14.已知直线kx-y+4-k=0在两坐标轴上的截距都是正值,当截距之和最小时,直线的方程为 .
创新 应用练
15.已知点P(2cs 10°,2sin 10°),Q(2cs 130°,2sin 130°),则直线PQ的倾斜角为 .
课时规范练59 直线的倾斜角与斜率、直线的方程
1.B 解析 设直线MN的斜率为k,则k=令倾斜角为θ,则tanθ=,∵0°≤θ<180°,∴θ=60°.
2.A 解析 =1中令x=0,得y=-6,故直线=1在y轴上的截距为-6.
3.B 解析 由倾斜角为60°知,直线的斜率k=,因此,其直线方程为y-0=(x+1),即x-y+=0.
4.C 解析 直线x+y+2=0化成斜截式y=-x-2,可知直线的斜率k=-,故倾斜角为120°,直线在y轴上的截距为-2.
5.A 解析 由题意,直线l过点(3,0)和点(2,-1),∴其斜率为k==1,直线方程为y=x-3,即x-y-3=0.
6.A 解析 设直线l1,l2,l3的倾斜角分别为α1,α2,α3,则由题图知0°<α3<α2<90°<α1<180°,所以tanα1<0,tanα2>tanα3>0,即k1<0,k2>k3>0.
7.A 解析如图所示,设直线PM的斜率是kPM,直线PN的斜率是kPN.
由题意得,直线l的斜率k满足k≥kPN或k≤kPM,即k=2,或k=-3,∴k≥2或k≤-3,所以直线l的斜率k的取值范围是(-∞,-3]∪[2,+∞).
8.4x+3y-12=0或2x+y-2=0 解析 设直线l的方程的截距式为=1.则=1,解得a=3或a=1,
则直线l的方程是=1或=1,即4x+3y-12=0或2x+y-2=0.
9.(-∞,-1] 解析 因为直线不过第二象限,所以解得a≤-1,所以实数a的取值范围为(-∞,-1].
10.x+y-2=0 解析 设直线l的方程为=1(a>0,b>0),则A(a,0),B(0,b),且=1,则a+b=ab,
所以|MA|2+|MB|2=(a-1)2+(0-1)2+(0-1)2+(b-1)2=4+a2+b2-2(a+b)=4+a2+b2-2ab=4+(a-b)2≥4,当且仅当a=b=2时取等号,此时直线l的方程为x+y-2=0.
11.A 解析 如下图所示,设直线PA的斜率是kPA,直线PB的斜率是kPB.直线l的斜率是k.
所以kPA==-1,kPB==1,则k∈(-∞,-1]∪[1,+∞),
设直线l的倾斜角为θ,则θ∈[0,π).
由k=tanθ,得tanθ≥1或tanθ≤-1,所以θ∈[)∪(],又当θ=时也满足题意,所以θ∈[].
12.BCD 解析 由题意知A,B,C均不为0,直线方程可化为斜截式,得y=-x-因为AB>0,知直线的斜率-<0.因为BC>0,知直线在y轴上的截距-<0.可知直线经过第二、三、四象限.
13.ABC 解析 对于A,设直线的倾斜角为α(0°≤α<180°),则由题意得tanα=,所以α=30°,故A正确;
对于B,因为A(1,-3),B(1,3),所以直线AB与x轴垂直,其倾斜角为90°,故B正确;
对于C,因为直线过点(1,2),且斜率为tan45°=1,所以直线的方程为y-2=x-1,即y=x+1,易知4=3+1,即直线过点(3,4),故C正确;
对于D,不妨取y=x,满足直线的斜率为,但显然直线y=x不过(1,1)与(5,4)两点,故D错误.故选ABC.
14.2x+y-6=0 解析 直线kx-y+4-k=0可变形为k(x-1)-y+4=0,所以直线过定点P(1,4),令x=0,y=4-k,所以直线与y轴的交点为A(0,4-k),令y=0,x=1-,所以直线与x轴的交点为B(1-,0),由得k<0.所以4-k+1-=5+(-k)+(-)≥5+2=5+4=9,当且仅当-k=-,即k=-2时取等号,所以此时直线的方程为2x+y-6=0.
15.160° 解析 (方法一)设直线PQ的倾斜角为θ(0°≤θ<180°),
则tanθ=
=
=
=
==-
=-=-tan20°=tan160°.
∴直线PQ的倾斜角为160°.
(方法二)由三角函数的定义可知:点P,Q在圆x2+y2=4上,如图所示,
设M为直线PQ与x轴的交点,则∠POM=10°,∠QOM=130°,
∴∠POQ=120°,又|OP|=|OQ|,
∴∠OQM=30°,
∴∠QMx=∠QOM+∠OQM=160°,∴直线PQ的倾斜角为160°.