备战2025届新高考数学一轮总复习课时规范练46平面向量的数量积（附解析人教A版）

这是一份备战2025届新高考数学一轮总复习课时规范练46平面向量的数量积（附解析人教A版），共4页。试卷主要包含了已知平面向量a=,b=,则等内容，欢迎下载使用。
1.(2024·湖北武汉模拟)平面向量a=(-2,k),b=(2,4),若a⊥b,则|a-b|=( )
A.6B.5
C.2D.2
2.(2022·全国乙,理3)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=,|a-2b|=3,则a·b=( )
A.-2B.-1
C.1D.2
3.(2022·新高考Ⅱ,4)已知向量a=(3,4),b=(1,0),c=a+tb,若=,则实数t=( )
A.-6B.-5
C.5D.6
4.(2024·广东广州模拟)设两个单位向量a,b的夹角为θ,若a在b上的投影向量为b,则cs θ=( )
A.-B.
C.-D.
5.(2024·福建厦门模拟)平面上的三个力F1,F2,F3作用于同一点,且处于平衡状态.已知F1=(1,0),|F2|=2,=120°,则|F3|=( )
A.B.1C.D.2
6.(2024·河北唐山模拟)正方形ABCD边长为4,M为CD中点,点N在AD上,=20,则||=( )
A.B.2
C.5D.10
7.(多选题)(2024·山东济南模拟)已知平面向量a=(1,3),b=(-2,1),则( )
A.|a|=
B.(2a-b)⊥b
C.a与b的夹角为钝角
D.a在b上的投影向量的模为
8.(2024·山东威海模拟)已知向量a=(2,1),b=(0,1),c=a+tb,若a·c=6,则t= .
9.(2022·全国甲,理13)设向量a,b的夹角的余弦值为,且|a|=1,|b|=3,则(2a+b)·b= .
10.(2024·浙江宁波模拟)已知|a|=1,|a-b|=2,a⊥b,则a+b与a-b的夹角为 .
综 合 提升练
11.(2024·安徽淮南模拟)在△ABC中,已知∠ACB=,BC=4,AC=3,D是边AB的中点,点E满足,则=( )
A.-B.-1C.D.
12.(多选题)(2024·广东梅州模拟)已知向量a=(2,1),b=(cs θ,sin θ),c=(0,1),则下列命题正确的是( )
A.当且仅当tan θ=时,a∥b
B.a在c上的投影向量为c
C.存在θ,使得b=a-c
D.存在θ,使得|a+b|=|a-b|
13.已知|a|=,|b|=1,且a与b的夹角为45°,若向量(2a-λb)与(λa-3b)的夹角是锐角,则实数λ的取值范围是 .
创 新 应用练
14.(2024·安徽合肥模拟)哥特式建筑是1140年左右产生于法国的欧洲建筑风格,它的特点是尖塔高耸、尖形拱门、大窗户及绘有故事的花窗玻璃,如图所示的几何图形,在哥特式建筑的尖形拱门与大窗户中较为常见,它是由线段AB和两个圆弧AC,BC围成,其中一个圆弧的圆心为A,另一个圆弧的圆心为B,圆O与线段AB及两个圆弧均相切,若AB=2,则=( )
A.-B.-
C.-D.-
课时规范练46 平面向量的数量积
1.B 解析 因为a=(-2,k),b=(2,4),a⊥b,所以a·b=-2×2+4k=0,解得k=1,所以a-b=(-2-2,1-4)=(-4,-3),因此|a-b|==5.
2.C 解析 由已知得|a-2b|2=|a|2+4|b|2-4a·b=1+12-4a·b=9,解得a·b=1.
3.C 解析 由题意得c=(3+t,4),cs=cs,故,解得t=5.故选C.
4.B 解析 因为a在b上的投影向量为b,所以b,
又a,b是两个单位向量,即|a|=|b|=1,
所以a·b=,
所以csθ=
5.C 解析 由已知,可得F1+F2+F3=0,所以F3=-(F1+F2).因为F1=(1,0),所以|F1|=1,所以F1·F2=|F1|·|F2|cs=1×2×(-)=-1,所以|F3|2=+2F1·F2=1+4-2=3,所以|F3|=
6.C 解析 设=(λ∈R),因为+因为正方形ABCD边长为4,=0,所以=()·(+)=16λ+8=20,解得λ=,所以||==5.
7.AD 解析 A选项,|a|=,A正确;B选项,2a-b=(2,6)-(-2,1)=(4,5),故(2a-b)·b=(4,5)·(-2,1)=-8+5=-3≠0,故2a-b与b不垂直,B错误;C选项,cs=>0,故a与b的夹角为锐角,C错误;D选项,a在b上的投影向量的模为,D正确.故选AD.
8.1 解析 由题意知,c=a+tb=(2,1+t),因为a·c=6,所以a·c=2×2+(1+t)=6,解得t=1.
9.11 解析 设a与b的夹角为θ,因为a与b的夹角的余弦值为,即csθ=,又|a|=1,|b|=3,所以a·b=|a|·|b|csθ=1×3=1,所以(2a+b)·b=2a·b+b2=2a·b+|b|2=2×1+32=11.
10 解析 由|a-b|2=(a-b)2=a2-2a·b+b2=4,又|a|=1,a⊥b,所以a·b=0,则b2=3,而|a+b|2=(a+b)2=a2+2a·b+b2=4,则|a+b|=2,又a+b与a-b的夹角θ∈[0,π],则csθ==-,所以θ=
11.C 解析 ∵D为AB的中点,),,,即,,如图所示.
=-)+,)·()==-=-9+16-3×4cs
12.ABD 解析 向量a=(2,1),b=(csθ,sinθ),c=(0,1),对于A,a∥b⇔2sinθ=csθ⇔tanθ=,A正确;对于B,因为a·c=1,则a在c上的投影向量为=c,B正确;对于C,a-c=(2,0),假定存在θ,使得b=a-c,则有csθ=2,sinθ=0,而csθ∈[-1,1],即csθ=2不成立,因此不存在θ,使得b=a-c,C错误;对于D,|a+b|=|a-b|⇔(a+b)2=(a-b)2⇔a·b=0,即2csθ+sinθ=0,解得tanθ=-2,因此存在θ,使得|a+b|=|a-b|,D正确.故选ABD.
13.(1,)∪(,6) 解析 当(2a-λb)与(λa-3b)夹角为锐角时,(2a-λb)·(λa-3b)=2λa2-(6+λ2)a·b+3λb2=4λ-(6+λ2)+3λ>0,解得1