2024年山西省晋中市昔阳县九年级中考一模数学试题（原卷版+解析版）

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1．本试卷共6页，满分120分．考试时间120分钟．
2．答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在本试卷相应的位置上．
3．答卷全部在答题卡上完成，写在本试卷上无效．
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷 选择题（共30分）
一、选择题（在每小题的四个选项中，只有一项最符合题意，请选出并在答题卡上将该项涂黑．本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A. B. C. 且D. 且
2. 从正面、左面、上面观察某个立体图形，得到如图所示平面图形，那么这个立体图形是（ ）
A. B. C. D.
3. 已知双曲线，下列各点不在此双曲线上的是（ ）
A. B. C. D.
4. 平移抛物线使其经过原点，则下列操作不正确的是（ ）
A. 向右平移1个单位长度B. 向右平移5个单位长度
C. 向下平移5个单位长度D. 向上平移4个单位长度
5. 如图，把绕C点顺时针旋转，得到，交于点D，若，则的度数（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，点O是内切圆的圆心，已知，则的度数是（ ）

A. B. C. D.
7. 如图，和是以点O为位似中心的位似图形，点A在线段上，若，则和的周长之比为（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，一艘轮船航行至O点时，测得某灯塔A位于它的北偏东40°方向，且它与灯塔A相距13海里，继续沿正东方向航行，航行至点B处时，测得灯塔A恰好在它的正北方向，则的距离可表示为（ ）
A. 海里B. 海里C. 海里D. 海里
9. 电影《志愿军：雄兵出击》于国庆档上映，首周累计票房约3.5亿元，第三周累计票房约6.8亿元．若每周累计票房的增长率相同，设增长率为x，根据题意可列方程为（ ）
A. B.
C D.
10. 黄金分割由于其美学性质，受到摄影爱好者和艺术家的喜爱，摄影中有一种拍摄手法叫黄金构图法．其原理是：如图，将正方形的底边取中点E，以E为圆心，线段为半径作圆，其与底边的延长线交于点F，这样就把正方形延伸为矩形，称其为黄金矩形．若，则（ ）．
A. B. C. D.
第Ⅱ卷 非选择题（共90分）
二、填空题．（共5个小题，每题3分，共15分）
11. 请写出一个开口向下，经过原点的二次函数的表达式__________．
12. 一段公路路面坡度为，如果某人沿着这段公路向上行走了260米，那么此人升高了________米．
13. 如图，扇形的半径，，则以为直径的半圆与围成的区域（图中阴影部分）的面积是 ____．

14. 如图，平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，，，将绕点O逆时针旋转90°，点B的对应点的坐标是______
15. 如图，点A在x轴的负半轴上，点C在反比例函数的图象上，交y轴于点B，若点B是的中点，的面积为，则k的值为 _____．
三、解答题（共8个小题，共75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
16. （1）用适当的方法解下列方程：
①
②
（2）计算：
17. 如图，已知，．
（1）在图中，用尺规作出的内切圆O，并标出与边，，的切点D，E，F（保留痕迹，不必写作法）；
（2）连接，，求的度数．
18. 建国中学有7位学生的生日是10月1日，其中男生分别记为，，，，女生分别记为，，．学校准备召开国庆联欢会，计划从这7位学生中抽取学生参与联欢会的访谈活动．
（1）若任意抽取1位学生，且抽取的学生为女生的概率是 ；
（2）若先从男生中任意抽取1位，再从女生中任意抽取1位，求抽得的2位学生中至少有1位是或的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）
19. 是的直径，与交于点，点是半径上一点（点不与点，重合）．连接交于点，连接，．若，．求证：是的切线．
20. 某小区门口安装了汽车出入道闸．道闸关闭时，如图1，四边形为矩形，长3米，长1米，点与点重合．道闸打开的过程中，边固定，连杆，分别绕点，转动，且边始终与边平行．
（1）如图2，当道闸打开至时，边上一点到地面的距离PE为1米，求点到的距离的长．
（2）一辆轿车过道闸，已知轿车宽18米，高1.6米．当道闸打开至时，轿车能否驶入小区？请说明理由，（参考数据：，，）
21. 阅读下列材料，并完成相应的任务．
托勒密定理：
托勒密（Ptlemy）（公元90年～公元168年），希腊著名的天文学家，他的要著作《天文学大成》被后人称为“伟大的数学书”，托勒密有时把它叫作《数学文集》，托勒密从书中摘出并加以完善，得到了著名的托勒密（Ptlemy）定理．
托勒密定理：
圆内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和．
已知：如图1，四边形ABCD内接于⊙O，
求证：AB•CD+BC•AD＝AC•BD
下面是该结论的证明过程：
证明：如图2，作∠BAE＝∠CAD，交BD于点E．
∵
∴∠ABE＝∠ACD
∴△ABE∽△ACD
∴
∴AB•CD＝AC•BE
∵
∴∠ACB＝∠ADE（依据1）
∵∠BAE＝∠CAD
∴∠BAE+∠EAC＝∠CAD+∠EAC
即∠BAC＝∠EAD
∴△ABC∽△AED（依据2）
∴AD•BC＝AC•ED
∴AB•CD+AD•BC＝AC•（BE+ED）
∴AB•CD+AD•BC＝AC•BD
任务：（1）上述证明过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？
（2）当圆内接四边形ABCD是矩形时，托勒密定理就是我们非常熟知的一个定理： ．
（请写出）
（3）如图3，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝3，AD＝5，∠BAD＝60°，点C为的中点，求AC的长．
22. 下面是李老师在“矩形折叠中的相似三角形”主题下设计的问题，请你解答．
如图，已知在矩形中，，点E为边上一点（不与点A、点B重合），先将矩形沿折叠，使点B落在点F处，交于点H．
（1）观察发现
写出图1中一个与相似的三角形： ．
（2）迁移探究
当与的交点H恰好是的中点时，如图2．
①设，请判断的数量关系，并说明理由；
②求阴影部分的面积．
（3）拓展应用
当点B的对应点F落在矩形的对称轴上时，直接写出的长．
23 综合与探究
抛物线与轴交于点和，与轴交于点，连接．点是线段下方抛物线上的一个动点（不与点，重合），过点作轴的平行线交于，交轴于，设点的横坐标为．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）用关于的代数式表示线段，求的最大值及此时点的坐标；
（3）若连接，在轴上是否存在点，使得为直角三角形，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．