江苏省扬州市高邮市临泽中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版）

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一、单选题（每题5分）
1. 已知空间直角坐标系中，1，、，点C满足，则C的坐标为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设出点的坐标，代入，利用两个向量相等的概念，求得点的坐标.
【详解】设，故，根据得，解得，故，所以选A.
【点睛】本小题主要考查空间向量的坐标运算，考查两个向量相等的坐标表示，属于基础题.
2. 现有3位游客来黄山旅游，分别从4个景点中任选一处游览，不同选法的种数是（ ）
A. B. C. 24D. 12
【答案】B
【解析】
【分析】利用分步乘法计数原理计算可得.
【详解】解：每位游客有4种选择，由分步乘法计数原理知不同选法的种数是.
故选：B
3. 平面的一个法向量是，平面的一个法向量是，则平面与的位置关系是（ ）
A. 平行B. 相交且不垂直C. 相交且垂直D. 不确定
【答案】C
【解析】
【分析】
利用两个法向量的数量积等于，即可判断两个平面垂直，进而可得正确选项.
【详解】因为，
所以平面平面，
故选：C.
4. 如图，在三棱锥中，点N为棱AP的中点，点M在棱BC上，且满足，设，则＝（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】直接利用向量的线性运算和中线向量的应用求出结果．
【详解】在三棱锥中，点N为棱AP的中点，点M在棱BC上，且满足，
设，
故，
所以，
点N为棱AP的中点，
所以，
故.
故选：B．
5. 如图，三棱锥各棱的棱长是1，点是棱的中点，点在棱上，且，则的最小值为（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】首先在中利用余弦定理求出，然后由空间向量的运算法则可得，变形可得，由二次函数的知识可得答案.
【详解】根据题意，在中， ，
所以
所以==
则时，取得最小值，
则的最小值为.
故选：B
6. 给出以下命题，其中正确的是（ ）
A. 直线的方向向量为，直线的方向向量为，则与平行
B. 直线的方向向量为，平面的法向量为，则
C. 平面､的法向量分别为，，则
D. 已知直线过点，且方向向量为 ，则点到的距离为
【答案】D
【解析】
【分析】对于A，利用两向量的共线定理即可判断；对于B，判断方向向量与法向量是否垂直即可；
对于C，判断两平面的法向量是否垂直即可；对于D，首先写出直线的标准方程，将点到直线的距离转化到两点间的距离进行求解即可.
【详解】对于A，，
与不平行.
对于B，，
与不平行；
对于C，，
与不垂直；
对于D，直线过点，且方向向量为
直线的标准方程为
过点作与已知直线垂直相交的平面，
且设直线与平面的交点为，则到直线的距离可转化为到的距离；
方向向量为平面的方程为：
即：
设垂足，点在平面上，则
解得：

故选：D.
7. 已知空间、、、四点共面，且其中任意三点均不共线，设为空间中任意一点，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据空间四点共面的充要条件代入即可解决
【详解】
由、、、四点共面，且其中任意三点均不共线
可得，解之得
故选：D
8. 形如45132这样的数称为“波浪数”，即十位上的数字，千位上的数字均比与它们各自相邻的数字大，则由1，2，3，4，5可组成数字不重复的五位“波浪数”的个数为
A. 20B. 18C. 16D. 11
【答案】C
【解析】
【分析】根据“波浪数”的定义，可得“波浪数”中，十位数字，千位数字必有5、另一数是3或4，分别计算出每种的个数，相加即可.
【详解】此“波浪数”中，十位数字，千位数字必有5、另一数是3或4；
是4时“波浪数”有；
另一数3时4、5必须相邻即45132；45231；13254；23154四种．
则由1，2，3，4，5可构成数字不重复的五位“波浪数”个数为16，
故选C．
【点睛】本题主要考查了排列组合的应用，要对该问题准确分类，做到不充分，不遗漏，正确求解结果，属于中档题.
二、多选题（每题6分）
9. 对于非零空间向量，，，现给出下列命题，其中为真命题的是（ ）
A. 若，则，的夹角是钝角
B. 若，，则
C. 若，则
D. 若，，，则，，可以作为空间中的一组基底
【答案】BD
【解析】
【分析】根据空间向量夹角的定义、空间向量数量积的坐标表示公式，结合空间向量数量积的运算性质、空间向量基底的定义逐一判断即可.
【详解】A：当，时，显然，因为，所以，的夹角是平角，故本选项命题是假命题；
B：因为，所以，因此本选项命题是真命题；
C：当，，时，显然，但是，因此本选项命题是假命题；
D：假设，，是共面向量，
所以有，显然不可能，所以，，不是共面向量，因此，，可以作为空间中的一组基底，所以本选项命题是真命题，
故选：BD
10. 已知正方体的棱长为a，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】由空间向量数量积运算律对选项逐一判断
【详解】如图：
对于A，因，所以，故A错误．
对于B，，故B正确．
对于C，，故C正确．
对于D，，故D错误．
故选：BC
11. 身高各不相同的六位同学站成一排照相，则说法正确的是（ ）
A. A、C、D三位同学从左到右按照由高到矮的顺序站，共有120种站法
B. A与同学不相邻，共有种站法
C. A、C、D三位同学必须站在一起，且A只能在C与D的中间，共有144种站法
D. A不在排头，B不在排尾，共有504种站法
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据全排列和定序即可判断A；利用插空法即可判断B；利用捆绑法即可判断C；利用间接法即可判断D.
详解】对于A，6个人全排列有种方法，A、C、D全排列有种方法，
则A、C、D从左到右按高到矮的排列有种方法，A正确；
对于B，先排列除A与C外的4个人，有种方法，4个人排列共有5个空，
利用插空法将A和C插入5个空，有种方法，则共有种方法，B正确；
对于C，A、C、D必须排在一起且A在C、D中间排法有2种，
将这3人捆绑在一起，与其余3人全排列，有种方法，则共有种方法，C错误；
对于D，6个人全排列有种方法，当A在排头时，有种方法，当B在排尾时，有种方法，
当A在排头且B在排尾时，有种方法，则A不在排头，B不在排尾的情况共有种，D正确.
故选：ABD
三．填空题（每题5分）
12. 由数字1，2，3，4，5可以组成_____个没有重复数字的五位奇数．
【答案】
【解析】
【分析】根据特殊位置法，先从1，3，5中任选一个数字作为个位数，再将其余4个数字排到十位，百位，千位，万位上，最后结合分步乘法原理求解即可.
【详解】解：根据题意，先排个位数，从1，3，5中任选一个数字作为个位数，有种，
再将剩余的四个数字排到十位，百位，千位，万位上，有种，
综上，由分步乘法原理，共有个没有重复的五位奇数.
故答案为：
13. ，则______.
【答案】5
【解析】
【分析】由排列数公式变形求解．
【详解】因为，
所以，
，或，又，所以．
故答案为：5．
14. 已知点，平面a经过原点O，且垂直于向量，则点A到平面a距离为______.
【答案】
【解析】
【分析】利用点到平面的距离为，即可求得结论.
【详解】由题意，，，
，
所以点到平面的距离为.
故答案为：.
四、解答题
15. （1）计算：；
（2）若，求正整数.
【答案】（1）1；（2）8.
【解析】
【分析】（1）（2）按照排列数公式计算即可.
【详解】（1）；
（2）∵，∴，
又，化简得，解得.
16. 已知.
（1）求；
（2）求与夹角的余弦值；
（3）当时，求实数的值.
【答案】（1）-10 （2）
（3）或
【解析】
【分析】（1）根据空间向量的坐标运算律,即可求解.
（2）根据空间向量的夹角公式,代入求解.
（3）由,转化为数量积为0即可.
【小问1详解】
；
【小问2详解】
；
【小问3详解】
当时，，得，
，或.
17. 用0，1，2，3，4，5这六个数字可以组成多少个符合下列条件的无重复的数字？
（1）六位奇数；
（2）个位数字不是5的六位数；
（3）不大于4 310的四位偶数.
【答案】（1）288；（2）504；（3）110.
【解析】
【分析】（1）先排个位，再排首位，其余的位任意排，根据分步计数原理；
（2）2因为0是特殊元素，分两类，个位数字是0，和不是0；
（3）需要分类，不大于4310的四位偶数，即是小于等于4310的偶数，当千位小于4，当百位小于3，当十位小于1时，然后根据分类计数原理可得．
【详解】（1）先排个位数，有种，因0不能在首位，再排首位有种，最后排其它有，根据分步计数原理得，六位奇数有；
（2）因为0是特殊元素，分两类，个位数字是0，和不是0， 当个位数是0，有， 当个位不数是0，有，根据分类计数原理得，个位数字不是5的六位数有；
（3）当千位小于4时，有种， 当千位是4，百位小于3时，有 种， 当千位是4，百位是3，十位小于1时，有1种， 当千位是4，百位是3，十位是1，个位小于等于0时，有1种， 所以不大于4310的四位偶数4有.
【点睛】本题主要考查排列与组合及两个基本原理，排列数公式、组合数公式的应用，注意特殊元素和特殊位置，要优先考虑，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题
18. 如图，在正方体中，是正方形的中心，是的中点.
（1）求证：是平面的法向量；
（2）求与平面所成角的余弦值；
（3）求二面角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）（2）（3）设正方体棱长为2，建立如图所示空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得；
【小问1详解】
解：设正方体棱长为2，如图建立空间直角坐标系.
，
又，，
所以，
即，，又，面，
面，所以是平面的法向量.
【小问2详解】
解：，，，
又由（1）知平面的法向量 ，设与所成的角为，
所以，因为，则，
即与平面所成角的余弦值是.
【小问3详解】
解：在正方体中，面，
是面的法向量，又，
，
由图可知二面角为锐二面角，设为，
所以，
所以二面角平面角的正弦值为.
19. 如图，在平行四边形中，，四边形为正方形，且平面平面．
（1）证明：；
（2）求直线到平面的距离；
（3）求平面与平面夹角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析；
（2）；
（3）.
【解析】
【分析】（1）利用余弦定理计算AC，再证明即可推理作答.
（2）以点A为原点建立空间直角坐标系，借助空间向量计算点C到平面BEF的距离即可求出线面距离.
（3）利用（2）中坐标系，用向量数量积计算两平面夹角余弦值，进而求解作答.
【小问1详解】
在中，，由余弦定理得，
，即，有，则，即，
由平面平面，平面平面，平面，
得平面，又平面，
所以.
【小问2详解】
由四边形为正方形，得，由（1）易知两两垂直，
以点A为原点，射线AB，AC，AF分别为x，y，z轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图，
，
，设平面的一个法向量，
则，令，得，
而，于是得点C到平面的距离，
而，平面，平面，则平面，
所以线到平面的距离等于点C到平面的距离为.
【小问3详解】
由（2）知，，设平面的一个法向量，
则，令，得，设平面BEF与平面ADF夹角为，
于是，，
所以平面BEF与平面ADF夹角的正弦值为.