上海市嘉定区第二中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版）

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一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分.
1. 若，则______.
【答案】7
【解析】
【分析】根据排列数的运算性质计算即可求解.
【详解】由题意知，，则，
由，解得.
故答案为：7
2. 设抛物线的准线方程为__________.
【答案】
【解析】
【分析】由题意结合抛物线的标准方程确定其准线方程即可.
【详解】由抛物线方程可得，则，故准线方程为.
故答案为．
【点睛】本题主要考查由抛物线方程确定其准线的方法，属于基础题.
3. 方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】根据椭圆的标准方程求解.
【详解】方程表示焦点在轴上的椭圆，
则，
即．
故答案为：.
4. 某医疗机构有4名新冠疫情防控志愿者，现要从这4人中选3个人去3个不同的社区进行志愿服务、则不同的选择办法共有______种．
【答案】24
【解析】
【分析】根据题意分两步，第一步先从4人中选出3人，第二步再安排到3个不同社区，
根据分步计数原理即可得到结果.
【详解】由题意可分两步，第一步先从4名新冠疫情防控志愿者选出3人，共有种方法；
第二步选出的3人去3个不同的社区，共有种方法，根据分步计数原理可知，
不同的选择办法共有种，
故答案为：24
5. 已知直线，.若时，则直线与之间的距离________．
【答案】
【解析】
【分析】根据两直线平行的等价条件求出的值，再由两平行线间的距离公式即可求解.
【详解】因为直线，，且，
可得，解得：，
所以，，即，
所以直线与之间的距离为，
故答案为：.
6. 直线被圆所截得的弦长等于，则________
【答案】
【解析】
【分析】根据弦心距，半弦长，半径构成的直角三角形可求解.
【详解】设圆心到直线的距离为d,
则，
由平面几何知识知，弦心距，半弦长，半径构成的直角三角形，
所以，
解得，
故答案为
【点睛】本题主要考查了圆的几何性质，点到直线的距离公式，属于中档题.
7. 已知数列的前项和，则__________.
【答案】448
【解析】
【分析】直接利用计算即可.
【详解】由题意可知.
故答案为：448
8. 无穷等比数列满足，则首项的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用无穷等比数列极限公式计算即可.
【详解】依题意：，且，
则.
故答案为：.
9. 空间内7个点，若其中有且只有4点共面，但无3点共线，可组成______个四面体
【答案】34
【解析】
【分析】分析题意，用组合数求解即可.
【详解】由题意得空间内7个点，若其中有且只有4点共面，且需围成立体图形，故围成四面体个数为个
故答案为：34
10. 在棱长为1的正方体中，E、F分别为棱、的中点，为棱上的一点，且，则点到平面的距离为____________.
【答案】
【解析】
【分析】以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点到平面的距离．
【详解】以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，0，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，
则
令，则，，所以平面的一个法向量．
点到平面的距离为．
故答案为: .
11. 已知抛物线与椭圆有公共焦点，椭圆的另一个焦点为是这两曲线的一个交点，则的面积为__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用抛物线方程得出焦点坐标，从而得出椭圆方程，联立椭圆与抛物线可求出P坐标，根据三角形面积公式计算焦点三角形的面积即可.
【详解】因为抛物线的焦点坐标为，所以，解得；
椭圆方程为，联立椭圆与抛物线：
得，解得或（舍去）
所以，即点，又因为，所以.
故答案为：
12. 已知点为双曲线右支上一点，分别为双曲线的左､右焦点，为的内心，若成立，则的值为__________.
【答案】##0.8
【解析】
【分析】由条件结合内心的定义及三角形面积公式可得，再根据双曲线的定义化简可求.
【详解】设的内切圆半径为，
由双曲线的定义得
由题意得，
故，
又双曲线的，
代入上式得：，
故答案为：.
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）．
13. 给定空间中的直线与平面，则“直线与平面垂直”是“直线垂直于平面内所有直线”的（ ）条件
A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要
【答案】C
【解析】
【分析】根据直线与平面垂直的定义，结合充分条件与必要条件定义判断即可.
【详解】根据直线与平面垂直的定义，
若直线与平面垂直，则直线垂直于平面内所有直线，充分性成立，
直线垂直于平面内所有直线，则内必存在两直线与垂直，则直线与平面垂直，必要性成立，
所以“直线与平面垂直”是“直线垂直于平面内所有直线”的充要条件，
故选：C.
14. 用数学归纳法证明，在证明等式成立时，等式的左边是
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由知，时，等式的左边是，即可得到答案．
【详解】由知，时，等式的左边是，故答案为D.
【点睛】本题考查了数学归纳法的步骤，考查了学生对基础知识的掌握情况，在平常学习中要重视基础知识．
15. 等差数列{an}的前n项和为Sn（n∈N+），若当首项a1和公差d变化时，a5+a8+a11是一个定值，则下列选项中为定值的是（ ）
A. S17B. S16C. S15D. S14
【答案】C
【解析】
【分析】由等差数列的性质知，即为定值，根据各选项的n项和与的关系，判断是否为定值即可.
【详解】由题设，，即为定值，
A：，不是定值；
B：，不是定值；
C：，定值；
D：，不是定值.
故选：C
16. 已知动点的坐标满足方程，则动点的轨迹是（ ）
A. 椭圆B. 双曲线C. 抛物线D. 圆
【答案】C
【解析】
【分析】根据方程表示的几何意义结合抛物线定义，即可判断出答案.
【详解】方程变形为，
表示动点到点和直线的距离相等，
所以动点的轨迹是以为焦点的抛物线，
故选：C.
三、解答题 （本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤
17. 某班级在迎新春活动中进行抽卡活动，不透明的卡箱中共有“福”“迎”“春”卡各两张，“龙”卡三张．每个学生从卡箱中随机抽取4张卡片，其中抽到“龙”卡获得2分，抽到其他卡均获得1分，若抽中“福”“龙”“迎”“春”张卡片，则额外获得2分．
（1）求学生甲抽到“福”“龙”“迎”“春”4张卡片的不同的抽法种数；
（2）求学生乙最终获得分的不同的抽法种数．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据组合数的知识求得正确答案.
（2）根据分的组合情况进行分类讨论，由此求得正确答案.
小问1详解】
学生甲抽到“福”“龙”“迎”“春”4张卡片的不同的抽法种数为种.
【小问2详解】
学生乙最终获得分，有两种情况：
①，抽到张“龙”卡以及其它任意张卡，方法数有种.
②，抽到抽中“福”“龙”“迎”“春”张卡片，方法数有种.
所以学生乙最终获得分的不同的抽法种数为种.
18. 在长方体中（如图），，点是棱的中点．
（1）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑．试问四面体是否为鳖臑？并说明理由；
（2）求直线与直线所成角的大小．
【答案】（1）是，理由见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意可得，根据勾股定理的逆定理可得，利用线面垂直的判定定理与性质证得，，即可下结论；
（2）建立如图空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可.
【小问1详解】
在长方体中，，，
点是棱的中点，，
平面平面，
，平面，平面，
平面，
四面体为鳖臑．
【小问2详解】
以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，
则，
得，
故，
直线与直线所成角的大小为．
19. 已知双曲线为双曲线上的任意点.
（1）求双曲线的两条渐近线方程及渐近线夹角的大小；
（2）求证：点到双曲线的两条渐近线的距离的乘积是一个常数.
【答案】（1）答案见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用双曲线的性质，结合向量夹角公式或直线的夹角公式计算即可；
（2）利用点到直线的距离结合点在双曲线上化简即可.
【小问1详解】
双曲线的渐近线方程为和，
法一：在两渐近线上分别取点，
则渐近线的夹角为；
法二：夹角为；
【小问2详解】
设是双曲线上任意一点，由（1）及点到直线的距离公式可知：
该点到两条渐近线的距离分别是和，
为双曲线上的点，点的坐标需要符合双曲线的方程，
即：，
它们乘积是，
点到双曲线的两条渐线的距离的乘积是一个常数.
.
20. 设各项均为整数的无穷数列满足，且对所有，，均成立．
（1）求的所有可能值；
（2）若数列使得无穷数列，，，…，，…是公差为1的等差数列，求数列的通项公式；
（3）求证：存在满足条件的数列，使得在该数列中有无穷多项为2024．
【答案】（1），，
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）用列举法写出 ，的值，计算出可得；
（2）由题意可得出奇数项数列的通项公式，然后由相邻两项差的绝对值求得偶数项；
（3）利用（2）中数列构造一个循环数列，即可证明.
【小问1详解】
，对所有，，，
，则或，
，当时，或，当时，或，
所以或或，
即的可能值为，，；
【小问2详解】
，，，…，，…是公差为1的等差数列，，
则，，
即，，所以，
所以；
【小问3详解】
由（2）可知存在一个数列奇数项为从1开始的连续自然数，易知，
然后从第项开始，构造奇数项为公差为的等差数列，
这样由（2）知，当，，时，，
当，时，时，，解得，
则当奇数取至1时，重复第一段的数列，得到一个周期数列，在此周期数列中存在无穷多项为2024.即证.
【点睛】关键点点睛：本题考查数列递推公式的应用和数列通项公式的求解，解题关键是通过（2）构造一个循环数列，以此解决出现无穷多项为2024的数出现的问题.
21. 已知椭圆的离心率为，椭圆的一个顶点与两个焦点构成的三角形面积为2. 已知直线与椭圆C交于A，B两点，且与x轴，y轴交于M，N两点.

（1）求椭圆C标准方程；
（2）若，求k的值；
（3）若点Q的坐标为，求证：为定值.
【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据椭圆的离心率和三角形的面积即可求出，则椭圆方程可得；
（2）联立方程组，根据根与系数的关系以及向量相等的坐标关系即可求出；
（3）根据根与系数的关系以及向量的数量积的运算即可求出．
【小问1详解】
，，代入得.
又椭圆的一个顶点与两个焦点构成的三角形的面积为2，即，即，
以上各式联立解得，则椭圆方程为.
【小问2详解】
直线与轴交点，与轴交点为，
联立，消去得:，，
设，则，
，，
由得，解得:，
由得.
【小问3详解】
证明：由（2）知，，
.
为定值.
【点睛】方法点睛：求圆锥曲线中的定值问题常见的方法：
从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．