中考数学二轮复习考点培优专练专题六 几何最值问题（2份打包，原卷版+解析版）

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例题（2022·全国·八年级）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，AC＝8，点P为AC边上的一个动点，过点P作PD⊥AB于点D，求PB+PD的最小值．请在横线上补充其推理过程或理由．
练习题
1．（2020·山东·东营市实验中学三模）如图，正方形ABCD的边长为8，点M在DC上且DM＝2，N是AC上的一动点，则DN＋MN的最小值是______．
2．（2022·广西·上思县教育科学研究所八年级期末）如图，正△ABC的边长为2，过点B的直线l⊥AB，且△ABC与△A′BC′关于直线l对称，D为线段BC′上一动点，则AD+CD的最小值是_____．
3．（2022·甘肃庆阳·八年级期末）如图，在等边△ABC中，E为AC边的中点，AD垂直平分BC，P是AD上的动点．若AD=6，则EP+CP的最小值为_______________．
4．（2021·贵州·峰林学校八年级期中）如图，方格图中每个小正方形的边长为1，点A，B，C都是格点．
（1）画出△ABC关于直线MN对称的．
（2）若B为坐标原点，请写出、、的坐标，并直接写出的长度．．
（3）如图2，A，C是直线同侧固定的点，D是直线MN上的一个动点，在直线MN上画出点D，使最小．（保留作图痕迹）
5．（2022·湖南师大附中博才实验中学九年级开学考试）如果有一条直线经过三角形的某个顶点，将三角形分成两个三角形，其中一个三角形与原三角形相似，则称该直线为三角形的“自相似分割线”．如图1，在△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=108°，DE垂直平分AB，且交BC于点D，连接AD．
(1)证明直线AD是△ABC的自相似分割线；
(2)如图2，点P为直线DE上一点，当点P运动到什么位置时，PA+PC的值最小？求此时PA+PC的长度．
(3)如图3，射线CF平分∠ACB，点Q为射线CF上一点，当取最小值时，求∠QAC的正弦值．
6．（2021·江苏·南京郑和外国语学校九年级期中）问题情境：如图1，P是⊙O外的一点，直线PO分别交⊙O于点A，B，则PA是点P到⊙O上的点的最短距离．
（1）探究证明：如图2，在⊙O上任取一点C（不与点A，B重合），连接PC，OC．求证：PA＜PC．
（2）直接应用：如图3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，以BC为直径的半圆交AB于D，P是弧CD上的一个动点，连接AP，则AP的最小值是 ．
（3）构造运用：如图4，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A1MN，连接A1B，则A1B长度的最小值为 ．
（4）综合应用：如图5，平面直角坐标系中，分别以点A（﹣2，3），B（4，5）为圆心，以1，2为半径作⊙A，⊙B，M，N分别是⊙A，⊙B上的动点，P为x轴上的动点，直接写出PM+PN的最小值为 ．
二、线段最值问题
例题在锐角△ABC中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1BC1．
（1）如图1，当点C1在线段CA的延长线上时，求∠CC1A1的度数；
（2）如图2，连接AA1，CC1．若△ABA1的面积为4，求△CBC1的面积；
（3）如图3，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点是点P1，求线段EP1长度的最大值与最小值．
练习题
1．（2021·广东·铁一中学九年级期中）如图，⊙M的半径为2，圆心M的坐标为（3，4），点P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA、PB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最小值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
2．（2019·广西玉林·中考真题）如图，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点O是AB的三等分点，半圆O与AC相切，M，N分别是BC与半圆弧上的动点，则MN的最小值和最大值之和是（ ）
A．5B．6C．7D．8
3．（2021·四川师范大学附属中学九年级阶段练习）如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，点E，F分别在边AB，边BC上运动，点G在矩形内，且DG⊥CG，EF⊥FG，FG：EF＝1：2，则线段GF的最小值为_______．
4．（2021·全国·九年级专题练习）如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE＝1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为______．
5．（2021·全国·九年级专题练习）在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，若线段MA绕点M旋转得线段MA′．
（1）如图①，线段MA'的长＝___．
（2）如图②，连接A'C，则A'C长度的最小值是___．
6．（2020·江苏扬州·中考真题）如图，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点E为边AB上的一个动点，连接ED并延长至点F，使得 SKIPIF 1 < 0 ，以EC、EF为邻边构造 SKIPIF 1 < 0 ，连接EG，则EG的最小值为________．
三、周长、面积最值问题
例题（2021·云南昭通·八年级期中）如图，在 SKIPIF 1 < 0 中，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线交 SKIPIF 1 < 0 于点D，交 SKIPIF 1 < 0 于点E，连接 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的度数；
（2）若点P为直线 SKIPIF 1 < 0 上一点， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 周长的最小值．
练习题
1．（2021·陕西·西安交通大学附属中学航天学校八年级阶段练习）如图，凸四边形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，若点M、N分别为边 SKIPIF 1 < 0 上的动点，则 SKIPIF 1 < 0 的周长最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．6D．3
2．（2021·河南省直辖县级单位·八年级期末）如图，在直角坐标系中，点A（2，2），C（4，4）是第一象限角平分线上的两点，点B的纵坐标为2，且BA＝CB，在y轴上取一点D，连接AB，BC，AD，CD，使得四边形ABCD的周长最小，则这个周长的最小值为____．
3．（2021·全国·九年级专题练习）如图，∠AOB＝45°，角内有一点P，PO＝10，在角两边上有两点Q、R（均不同于点O），则△PQR的周长最小值是____；当△PQR周长最小时，∠QPR的度数＝__．
4．（2021·湖北武汉·八年级期中）如图，将△ABC沿AD折叠使得顶点C恰好落在AB边上的点M处，D在BC上，点P在线段AD上移动，若AC＝6，CD＝3，BD＝7，则△PMB周长的最小值为 ___．
5．（2021·云南红河·八年级期末）在平面直角坐标系中，矩形纸片AOBC按如图方法放置，点A、B分别在y轴和x轴上，已知OA=2，OB=4，点D在边AC上，且AD=1．

解答下列问题．
（1）点C的坐标为 _______；
（2）在x轴上有一点E，使得△CDE的周长最短，求出点E的坐标及直线CE的解析式．
（3）在平面直角坐标系内是否存在点P，使得以C、D、P、E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
6．（2021·山东·日照市田家炳实验中学一模）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）过原点O和点A(3，﹣3)，F(1， SKIPIF 1 < 0 )是该抛物线对称轴上的一个定点，过y轴上的点B(0， SKIPIF 1 < 0 )作y轴的垂线l．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P(m，n)是抛物线上的任意一点，过点P作直线l的垂线，垂足为M．求证：点P在线段FM的垂直平分线上；
（3）点E为线段OA的中点，在抛物线上是否存在点Q，使 SKIPIF 1 < 0 QEF周长最小？若存在，求点Q的坐标和 SKIPIF 1 < 0 QEF周长的最小值；若不存在，请说明理由．
7．（2021·重庆市万盛经济技术开发区溱州中学九年级阶段练习）已知如图，在 SKIPIF 1 < 0 中，点 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 边上一点，连接 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 上一动点，连接 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）如图1，当 SKIPIF 1 < 0 时，连接 SKIPIF 1 < 0 ，延长 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）如图2，以 SKIPIF 1 < 0 为直角边作等腰 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，当点 SKIPIF 1 < 0 在运动过程中，求 SKIPIF 1 < 0 周长的最小值．
8．（2022·广东广州·八年级期末）在长方形ABCD中，AB＝4，BC＝8，点P、Q为BC边上的两个动点（点P位于点Q的左侧，P、Q均不与顶点重合），PQ＝2
(1)如图①，若点E为CD边上的中点，当Q移动到BC边上的中点时，求证：AP＝QE；
(2)如图②，若点E为CD边上的中点，在PQ的移动过程中，若四边形APQE的周长最小时，求BP的长；
(3)如图③，若M、N分别为AD边和CD边上的两个动点（M、N均不与顶点重合），当BP＝3，且四边形PQNM的周长最小时，求此时四边形PQNM的面积．
9．（2021·湖北·沙市中学九年级阶段练习）如图，抛物线 SKIPIF 1 < 0 交x轴于 SKIPIF 1 < 0 两点，交y轴于点C SKIPIF 1 < 0 ，点Q为线段 SKIPIF 1 < 0 上的动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求 SKIPIF 1 < 0 的最小值；
（3）过点Q作 SKIPIF 1 < 0 交抛物线的第四象限部分于点P，连接 SKIPIF 1 < 0 ，记 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的面积分别为 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，当S最大时，求点P的坐标，并求S的最大值．
四、隐形圆问题
例题（2021·全国·九年级专题练习）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点E，F分别是边CD，BC上的动点，且∠AFE＝90°
（1）证明：△ABF∽△FCE；
（2）当DE取何值时，∠AED最大．
练习题
1．（2021·山东济南·二模）如图，菱形ABCD的边AB=8，∠B=60°，BP=3，Q是CD边上一动点，将梯形APQD沿直线PQ折叠，A的对应点为A′．当CA′的长度最小时，CQ的长为（ ）
A．5B．7C．8D．6.5
2．（2021·全国·九年级课时练习）如图，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 cm， SKIPIF 1 < 0 cm． SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 边上的一个动点，连接 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，在点 SKIPIF 1 < 0 变化的过程中，线段 SKIPIF 1 < 0 的最小值是（ ）
A．1B． SKIPIF 1 < 0 C．2D． SKIPIF 1 < 0
3．（2022·湖北荆州·九年级期末）如图，长方形ABCD中， SKIPIF 1 < 0 ，BC=2，点E是DC边上的动点，现将△BEC沿直线BE折叠，使点C落在点F处，则点D到点F的最短距离为________．
4．（2022·重庆·一模）如图，已知 SKIPIF 1 < 0 ，外心为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，分别以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为腰向形外作等腰直角三角形 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值是______．
5．（2021·江苏泰州·九年级期中）如图，在Rt SKIPIF 1 < 0 ABC中，∠ACB＝90°，D为AC的中点，M为BD的中点，将线段AD绕A点任意旋转（旋转过程中始终保持点M为BD的中点），若AC＝8，BC＝6，那么在旋转过程中，线段CM长度的取值范围是____．
6．（2021·山东潍坊·九年级期中）如图，点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的坐标分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为坐标平面内一动点，且 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 的中点，连接 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 取最大值时，点 SKIPIF 1 < 0 的纵坐标为____．
7．（2021·全国·九年级课时练习）如图， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的直径， SKIPIF 1 < 0 ，点C为 SKIPIF 1 < 0 上一点， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 上一动点，点 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点，求 SKIPIF 1 < 0 的最小值．
8．（2021·湖北·武汉第三寄宿中学九年级阶段练习）问题背景如图（1），△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，直线l绕着点A顺时针旋转，过B，C两点分别向直线l作垂线BD，CE，垂足为D，E，此时△ABD可以由△CAE通过旋转变换得到，请写出旋转中心、旋转方向及旋转角的大小（取最小旋转角度）．
尝试应用如图（2），△ABC为等边三角形，直线l绕着点A顺时针旋转，D、E为直线l上两点，∠BDA＝∠AEC＝60°．△ABD可以由△CAE通过旋转变换得到吗？若可以，请指出旋转中心O的位置并说明理由；
拓展创新如图（3）在问题背景的条件下，若AB＝2，连接DC，直接写出CD的长的取值范围．
9．（2022·重庆忠县·九年级期末）已知等腰直角 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 有公共顶点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．现将 SKIPIF 1 < 0 绕点 SKIPIF 1 < 0 旋转．
(1)如图①，当点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在同一直线上时，点 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，求 SKIPIF 1 < 0 的长；
(2)如图②，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．点 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，连接 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 ；
(3)如图③，点 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，以 SKIPIF 1 < 0 为直角边构造等腰 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 绕点 SKIPIF 1 < 0 旋转过程中，当 SKIPIF 1 < 0 最小时，直接写出 SKIPIF 1 < 0 的面积．