中考数学二轮复习考点培优专练专题一 规律探究问题（2份打包，原卷版+解析版）

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例题1 （2021·山东青岛·一模）相传古印度一座梵塔圣殿中铸有一片巨大的黄铜板，之上树立了3根宝石柱，其中一根宝石柱上插有中心有孔的64个大小两两相异的1寸厚的金盘，小金盘压着较大的金盘．如图，把这些金盘全部一个一个地从1柱移动到3柱上去，移动过程中不允许大金盘压小金盘，不得把金盘放到柱子之外．
[问题提出]如果将这64个金盘按上述要求全部从1柱移动到3柱，至少需要移动多少次？设h（n）是把n个金盘从1柱移动到3柱过程中的最少移动次数．
[问题探究]
探究一：当n＝1时，显然h（1）＝1．
探究二：当n＝2时，如图①．
探究三：当n＝3时，如图②．
(1)探究四：当n＝4时，先用h（3）的方法把较小的3个金盘移动到2柱，再将最大金盘移动到3柱，最后再用h（3）的方法把较小的3个金盘从2柱移动到3柱，完成，即h（4）＝ （直接写出结果）．
…
(2)[初级模型]若将x个金盘按要求全部从1柱移动到3柱，至少需要移动a次；将（x+1）个金盘按要求全部从1柱移动到3柱，至少需要移动 次（用含a的代数式表示）．
(3)[自主探究]仿照“问题探究”中的方法，将6个金盘按要求全部从1柱移动到3柱，至少需要多少次？（写出必要的计算过程．）
(4)[最终模型]综合收集到的数据探索规律可知：将64个金盘按上述要求全部从1柱移动到3柱，至少需要移动 次．
(5)[问题变式]若在原来条件的基础上，再添加1个条件：每次只能将金盘向相邻的柱子移动（即：2柱的金盘可以移动到1柱或3柱，但1柱或3柱的金盘只能移动到2柱），则移动完64个金盘至少需要移动 次．
练习题
1．（2021·山东蒙阴·三模）下列图形是由同样大小的围棋棋子按照一定规律摆成的“山”字，其中第①个“山”字中有7颗棋子，第②个“山”字中有12颗棋子，第③个“山”字中有17颗棋子，…，按照此规律，第⑥个“山”字中棋子颗数为（ ）颗．
A．32B．37C．22D．42
2．（2021·重庆十八中模拟预测）下列图形都是由同样大小的黑点按一定规律组成的，其中第①个图形中一共有3个黑点，第②个图形中一共有8个黑点，……，则第⑧个图形中黑点的个数是（ ）
A．29B．38C．48D．593．（2022·重庆·一模）如图，第①个图形中共有4个小黑点，第②个图形中共有7个小黑点，第③个图形中共有10个小黑点，第④个图形中共有13个小黑点，……，按此规律排列下去，则第⑥个图形中小黑点的个数为（ ）
A．19B．20C．22D．25
4．（2021·山东省日照市实验中学二模）如图，将△ABC沿着过BC，AB的中点D，E所在的直线折叠，使点B落在AC边上的B1处，称为第一次操作，点D到AC的距离为h1；还原纸片后，再将△BDE沿着过BD，BE的中点D1，E1所在的直线折叠，使点B落在DE边上的B2处，称为第二次操作，点D1到AC的距离记为h2；按上述方法不断操作下去，…，经过第n次操作后得到点Dn﹣1到AC的距离记为hn．若h1＝1，则hn值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
5．（2021·湖南师大附中博才实验中学一模）如图：上述图形是由同样大小的棋子按照一定规律排列而成的，其中图1中有5个棋子，图2中有10个棋子，图3中有16个棋子，…，则图4中有_________个棋子．
6．（2021·河南武陟·一模）如图，某图书阅览室摆放桌椅如下：按此规律摆放，2n+1（n是不小于4的自然数）人需要 ________张桌子．
7．（2021·内蒙古东胜·二模）如图，在平面直角坐标系中， SKIPIF 1 < 0 将 SKIPIF 1 < 0 绕A顺时针旋转得到 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ﹔将 SKIPIF 1 < 0 绕点 SKIPIF 1 < 0 顺时针旋转得到 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 将 SKIPIF 1 < 0 绕点 SKIPIF 1 < 0 继续顺时针旋转，此时 SKIPIF 1 < 0 …按此规律继续旋转，直至得到点 SKIPIF 1 < 0 为止，则 SKIPIF 1 < 0 _________．
8．（2021·山东博山·二模）德国数学家康托尔引入位于一条线段上的一些点的集合，做如下：
取一条长度为1的线段三等分后，去掉中间段，余下两条线段，达到第1阶段；
将剩下的两条线段分别三等分后，各去掉中间段，余下四条线段，达到第2阶段；
再将剩下四条线段分别等三等分后，各去掉中间段，余下八条线段，达到第3阶段；
…，
一直如此操作下去，在不断分割舍弃过程中，所形成的线段数目越来越多．
如图是最初几个阶段，当达到第n个阶段时（n为正整数），去掉的线段的长度之和为_____．（用含n的式子表示）
9．（2021·台湾·模拟预测）凯特平时常用底面为矩形的模具制作蛋糕，并以平行于模具任一边的方式进行横切或纵切，横切都是从模具的左边切割到模具的右边，纵切都是从模具的上边切割到模具的下边 SKIPIF 1 < 0 用这种方式，可以切出数个大小完全相同的小块蛋糕 SKIPIF 1 < 0 在切割后，他发现小块蛋糕接触模具的地方外皮比较焦脆，以如图为例，横切2刀，纵切3刀，共计5刀，切出 SKIPIF 1 < 0 个小块蛋糕，其中侧面有焦脆的小块蛋糕共有10个，所有侧面都不焦脆的小块蛋糕共有2个．
请根据上述切割方式，回答下列问题，并详细解释或完整写出你的解题过程：
（1）若对一块蛋糕切了4刀，则可切出几个小块蛋糕？请写出任意一种可能的蛋糕块数即可．
（2）今凯特根据一场聚餐的需求，打算制作出恰好60个所有侧面都不焦脆的小块蛋糕，为了避免劳累并加快出餐速度，在不超过20刀的情况下，请问凯特需要切几刀，才可以达成需求？请写出所有可能的情形．
10．（2022·山东青岛·模拟预测）问题提出：如图1，在 SKIPIF 1 < 0 个小正方体组成的长方体中，最多能看到多少个小正方体？
研究思路：直接研究这个问题较为复杂，我们可以将问题转化为用小正方体总数减去看不到的小正方体个数，以求得最多能看到的小正方体的个数．
探究一：如图2，在 SKIPIF 1 < 0 的正方体中，有 SKIPIF 1 < 0 个小正方体看不到，所以最多能看到 SKIPIF 1 < 0 个小正方体．
探究二：在 SKIPIF 1 < 0 的正方体中，有 SKIPIF 1 < 0 个小正方体看不到，所以最多能看到 SKIPIF 1 < 0 个小正方体．
(1)探究三：在 SKIPIF 1 < 0 的正方体中，有 SKIPIF 1 < 0 个小正方体看不到，所以最多能看到 个小正方体．
(2)探究四：在 SKIPIF 1 < 0 的正方体中，有 个小正方体看不到，所以最多能看到 个小正方体．（均化为最简形式）
(3)问题解决：如图3，小明是魔方爱好者，他有一个七阶魔方（ SKIPIF 1 < 0 的正方体），则他最多能看到 个小正方体．
(4)问题应用：若在 SKIPIF 1 < 0 的正方体中最多能看到217个小正方体，求n的值．（写出解答过程）
(5)探究五：在 SKIPIF 1 < 0 的长方体中，有 SKIPIF 1 < 0 个小正方体看不到，所以最多能看到 个小正方体．
(6)探究六：在 SKIPIF 1 < 0 的长方体中，最多能看到 个小正方体．（化为最简形式）
(7)拓展延伸：小明在研究 SKIPIF 1 < 0 的长方体时，他最多能看到a个小正方体，此时他看不到12个小正方体，则a有 种可能取值，a的最小值是 ．
11．（2021·山东青岛·三模）【问题提出】
每对小兔子在出生后1个月就长成大兔子，而每对大兔子每个月能生出1对小兔子来，如果1个人在1月份买了1对小兔子，假设每对兔子均可成活，且具有繁殖能力，那么理论上12月份的时候他共有多少对兔子？
(1)【问题探究】
1月份，有1对小兔子；
2月份，长成大兔子，所以还是1对；
3月份，大兔子生下1对小兔子，所以共有2对；
4月份，刚生下的小兔子长成大兔子，而原来的大兔子又生下1对小兔子，共3对；
…
依此类推，请填下表：
(2)【类比应用】
树木生长的过程中，新生的枝条往往需要一段“休息”时间供自身生长，而后才能萌发新枝．一棵苗在1年后长出1条新枝，第2年新枝“休息”，老枝依旧萌发新枝；此后，老枝与“休息”过1年的同时萌发新枝，当年生的新枝则依次“休息”，这在生物学上称为“鲁德维格定律”．那么，10年后树上有 条树枝．
(3)【综合应用】
如图①，一只蜜蜂从A处出发，回到家里B处，每次只能从一个蜂房爬向右侧邻近的蜂房而不准逆行，共有 种回家的方法；
(4)如图②，在正五边形ABCDE上，一只青蛙从点A开始跳动，每次可以随意跳到相邻两个顶点中的一个上，跳到点D上就停止跳动．青蛙在6次之内（含6次）跳到点D有 种不同的跳法．
二、数字规律探究题
例题2（2021·山东·青岛经济技术开发区第四中学一模）阅读下面的材料：
按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项，排在第一位的数称为第一项，记为 SKIPIF 1 < 0 ，排在第二位的数称为第二项，记为 SKIPIF 1 < 0 ，依次类推，排在第 SKIPIF 1 < 0 位的数称为第 SKIPIF 1 < 0 项，记为 SKIPIF 1 < 0 ．所以，数列的一般形式可以写成： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用 SKIPIF 1 < 0 表示．如：数列 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,…为等差数列，其中 SKIPIF 1 < 0 ,公差 SKIPIF 1 < 0 ．
根据以上材料，解答下列问题：
(1)等差数列 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,…的公差 SKIPIF 1 < 0 为________，第 SKIPIF 1 < 0 项是________．
(2)如果一个数列 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是等差数列，且公差为 SKIPIF 1 < 0 ，那么根据定义可得到： SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
由此，请你填空完成等差数列的通项公式： SKIPIF 1 < 0 （_____）d．
(3) SKIPIF 1 < 0 是不是等差数列 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的项？如果是，是第几项？
练习题
1．（2021·山东济宁·中考真题）按规律排列的一组数据： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，□， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，…，其中□内应填的数是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
2．（2021·湖北十堰·中考真题）将从1开始的连续奇数按如图所示的规律排列，例如，位于第4行第3列的数为27，则位于第32行第13列的数是（ ）
A．2025B．2023C．2021D．2019
3．（2021·山东沂水·一模）观察下列两行数：
0，2，4，6，8，10，12，14，16，…
0，3，6，9，12，15，18，21，24，…
探究发现：第1个相同的数是0，第2个相同的数是6，…，若第n个相同的数是102，则n等于( )
A．18B．19C．20D．21
4．（2022·湖北房县·模拟预测）按一定规律排列的多项式： SKIPIF 1 < 0 ，…，根据上述规律，则第2022个多项式是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
5．（2020·河北滦州·模拟预测）古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10…这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16…这样的数称为“正方形数”．从图7中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．下列等式中，符合这一规律的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
6．（2021·江苏镇江·中考真题）如图，小明在3×3的方格纸上写了九个式子（其中的n是正整数），每行的三个式子的和自上而下分别记为A1，A2，A3，每列的三个式子的和自左至右分别记为B1，B2，B3，其中，值可以等于789的是（ ）
A．A1B．B1C．A2D．B3
7．（2021·湖北鹤峰·模拟预测）观察下列一组数的排列规律： SKIPIF 1 < 0 那么这一组数的第2021个数
__．
8．（2021·山东费县·二模）在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇，如学习自然数时，我们发现一种特殊的自然数---“好数”．定义：对于三位自然数n，各位数字都不为0，且百位数字与十位数字之和恰好能被个位数字整除，则称这个自然数为“好数”，如426是“好数”，因为4，2，6都不为0，且4+2=6，6能被6整除；643不是“好数”，因为6+4=10，10不能被3整除，问百位数字比十位数字大5的所有“好数”有__________个．
9．（2021·安徽·二模）观察下列各个等式：
第1个等式： SKIPIF 1 < 0 ÷ SKIPIF 1 < 0 －0=1；
第2个等式： SKIPIF 1 < 0 ÷ SKIPIF 1 < 0 －1= SKIPIF 1 < 0 ；
第3个等式： SKIPIF 1 < 0 ÷ SKIPIF 1 < 0 －2= SKIPIF 1 < 0 ；
……
请用上述等式反映出的规律解决下列问题：
（1）直接写出第5个等式；
（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的代数式表示），并证明你的猜想．
10．（2021·重庆市永川区教育科学研究所一模）如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，否则称这个正整数为“非智慧数”．例如： SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ；，等等．因此3，5，8，，都是“智慧数”；而1，2，4，，都是“非智慧数”．对于“智慧数”，有如下结论：
①设 SKIPIF 1 < 0 为正整数（ SKIPIF 1 < 0 ），则 SKIPIF 1 < 0 ．∴除1以外，所有的奇数都是“智慧数”；
②设 SKIPIF 1 < 0 为正整数（ SKIPIF 1 < 0 ），则 SKIPIF 1 < 0 = ．∴ 都是“智慧数”．
(1)补全结论②中的空缺部分；并求出所有大于5而小于20的“非智慧数”；
(2)求出从1开始的正整数中从小到大排列的第103个“智慧数”．
11．（2021·山东禹城·二模）阅读下面的材料：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．排在第一位的数称为第一项，记为 SKIPIF 1 < 0 ，排在第二位的数称为第二项，记为 SKIPIF 1 < 0 ，依次类推，排在第n位的数称为第n项，记为 SKIPIF 1 < 0 ．所以，数列的一般形式可以写成： SKIPIF 1 < 0 ．
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用d表示．如：数列1，3，5，7，…为等差数列，其中 SKIPIF 1 < 0 ，公差为 SKIPIF 1 < 0 ．
根据以上材料，解答下列问题：
（1）等差数列5，10，15，…的公差d为__________，第5项是__________．
（2）如果一个数列 SKIPIF 1 < 0 ，是等差数列，且公差为d，那么根据定义可得到：
SKIPIF 1 < 0 ．
所以
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
……
由此，请你填空完成等差数列的通项公式： SKIPIF 1 < 0 ．
（3） SKIPIF 1 < 0 是不是等差数列 SKIPIF 1 < 0 的项？如果是，是第几项？
（4）如果一个数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列，且公差为d，前n项的和记为 SKIPIF 1 < 0 ，请用含 SKIPIF 1 < 0 ，n，d的代数式表示 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 _________．
三、与代数计算有关的规律探究题
例题3 （2021·山东·利津县第一实验学校一模）探索发现：
SKIPIF 1 < 0 ＝1－ SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 － SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 － SKIPIF 1 < 0
根据你发现的规律，回答下列问题：
（1） SKIPIF 1 < 0 ＝__________； SKIPIF 1 < 0 ＝__________；
（2）利用发现的规律计算：
SKIPIF 1 < 0 ＋ SKIPIF 1 < 0 ＋ SKIPIF 1 < 0 ＋···＋ SKIPIF 1 < 0
（3）利用以上规律解方程：
SKIPIF 1 < 0 ＋ SKIPIF 1 < 0 ＋···＋ SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0
练习题
1．（2021·湖北鄂州·中考真题）已知 SKIPIF 1 < 0 为实数﹐规定运算： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，……， SKIPIF 1 < 0 ．按上述方法计算：当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的值等于（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
2．（2021·浙江余杭·一模）a是不为2的有理数，我们把 SKIPIF 1 < 0 称为a的“哈利数”．如：3的“哈利数”是 SKIPIF 1 < 0 ＝﹣2，﹣2的“哈利数”是 SKIPIF 1 < 0 ，已知a1＝3，a2是a1的“哈利数”，a3是a2的“哈利数”，a4是a3的“哈利数”，…，依此类推，则a2019＝（ ）
A．3B．﹣2C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
3．（2020·广西贺州·中考真题）我国宋代数学家杨辉发现了 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ，1，2，3，…）展开式系数的规律：
以上系数三角表称为“杨辉三角”，根据上述规律， SKIPIF 1 < 0 展开式的系数和是（ ）
A．64B．128C．256D．612
4．（2021·山东阳谷·一模）我国南宋数学家杨辉用“三角形”解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”，这个“三角形”给出了 SKIPIF 1 < 0 的展开式的系数规律（按 SKIPIF 1 < 0 的次数由大到小的顺序）
1 1 SKIPIF 1 < 0
1 2 1 SKIPIF 1 < 0
1 3 3 1 SKIPIF 1 < 0
1 4 6 4 1 SKIPIF 1 < 0
… …
请依据上述规律，写出 SKIPIF 1 < 0 展开式中含 SKIPIF 1 < 0 项的系数是（ ）
A．-2021B．2021C．4042D．-4042
5．（2021·湖北·华中科技大学附属中学一模）我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项和 SKIPIF 1 < 0 的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．根据“杨辉三角”设 SKIPIF 1 < 0 的展开式中各项系数的和为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
6．（2020·湖南邵东·三模）a是不为1的有理数，我们把 SKIPIF 1 < 0 称为a的差倒数，如2的差倒数为 SKIPIF 1 < 0 ，-1的差倒数为 SKIPIF 1 < 0 ，已知 SKIPIF 1 < 0 ＝5， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 差倒数， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 差倒数， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 差倒数，以此类推…， SKIPIF 1 < 0 的值是_____．
7．（2021·四川眉山·中考真题）观察下列等式： SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 ；
……
根据以上规律，计算 SKIPIF 1 < 0 ______．
8．（2020·山东鱼台·一模）计算下列各式的值： SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ．观察所得结果，总结存在的规律，应用得到的规律可得 SKIPIF 1 < 0 =_____________．
9．（2021·河北新华·一模）嘉琪通过计算和化简下列两式，发现了一个结论，请你帮助嘉琪完成这一过程．
（1）计算： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）化简： SKIPIF 1 < 0 ；
（3）请写出嘉琪发现的结论．
10．（2021·安徽包河·一模）观察下列等式：
第1个等式： SKIPIF 1 < 0 ；
第2个等式： SKIPIF 1 < 0 ；
第3个等式： SKIPIF 1 < 0 ；
第4个等式： SKIPIF 1 < 0 ；
…
根据你观察到的规律，解决下列问题：
（1）请写出第5个等式：_____________________；
（2）请写出第 SKIPIF 1 < 0 个等式：___________________________（用含 SKIPIF 1 < 0 的等式表示），并证明．
四、图形变换规律探究题
例题4（2020·河北·模拟预测）如图，正六边形 SKIPIF 1 < 0 的边 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴重合，点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 轴的正半轴上，已知，正六边形的边长为1，沿 SKIPIF 1 < 0 轴向右无滑动滚动，当边 SKIPIF 1 < 0 落到 SKIPIF 1 < 0 轴上时，我们记为一次滚动完成，此时正六边形记为 SKIPIF 1 < 0 ，请回答：
（1）点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为__________；
（2）当正六边形滚动2020次后，点 SKIPIF 1 < 0 运动过的轨迹长__________．
练习题
1．（2021·江苏·靖江外国语学校一模）如图，在直角坐标系中放置一个边长为 SKIPIF 1 < 0 的正方形ABCD，将正方形ABCD沿x轴的正方向无滑动的在x轴上滚动，当点A第三次回到x 轴上时，点A运动的路线与x轴围成的图形的面积和为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
2．（2021·全国·九年级专题练习）第一次：将点 SKIPIF 1 < 0 绕原点 SKIPIF 1 < 0 逆时针旋转 SKIPIF 1 < 0 得到 SKIPIF 1 < 0 ；
第二次：作点 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 轴的对称点 SKIPIF 1 < 0 ；
第三次：将点 SKIPIF 1 < 0 绕点 SKIPIF 1 < 0 逆时针旋转 SKIPIF 1 < 0 得到 SKIPIF 1 < 0 ；
第四次：作点 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 轴的对称点 SKIPIF 1 < 0 …，
按照这样的规律，点 SKIPIF 1 < 0 的坐标是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
3．（2020·山东宁津·一模）在平面直角坐标系中，点P（a,b）绕点O顺时针旋转45°为一次变换，第2020次变换后得点P′，则点P′的坐标为（ ）
A．（ a, b）B．（-a,-b）C．（b,-a）D．（b,-a）
4．（2022·山东陵城·九年级期末）如图，直线 SKIPIF 1 < 0 与x轴、y轴分别相交于点A、B，过点B作 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 ，将 SKIPIF 1 < 0 绕点O顺时针旋转，每次旋转 SKIPIF 1 < 0 ，则第2021次旋转结束时，点C的对应点 SKIPIF 1 < 0 落在反比例函数 SKIPIF 1 < 0 的图象上，则k的值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．4C． SKIPIF 1 < 0 D．6
5．（2021·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中，正方形 SKIPIF 1 < 0 的顶点坐标分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 绕点A旋转 SKIPIF 1 < 0 得点 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 绕点B旋转 SKIPIF 1 < 0 得点 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 绕点C旋转 SKIPIF 1 < 0 得点 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 绕点D旋转 SKIPIF 1 < 0 得点 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 绕点A旋转 SKIPIF 1 < 0 得点 SKIPIF 1 < 0 ，……，重复操作依次得到点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，……，则点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
6．（2021·江苏·九年级专题练习）如图，将半径为2cm，圆心角为36°的扇形纸片AOB，在射线MN的方向上作无滑动的滚动至扇形A′O′B′处，则圆心O经过的路径长为_____cm．
7．（2021·河北·邯郸市第二十三中学九年级期中）如图1，将一个正三角形绕其中心最少旋转 SKIPIF 1 < 0 ，所得图形与原图的重叠部分是正六边形；如图2，将一个正方形绕其中心最少旋转 45°，所得图形与原图形的重叠部分是正八边形；依此规律，将一个正七边形绕其中心最少旋转______ SKIPIF 1 < 0 ，所得图形与原图的重叠部分是正多边形．在图2中，若正方形的边长为 SKIPIF 1 < 0 ，则所得正八边形的面积为_______．

8．如图，在直角坐标系中，已知点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，将线段 SKIPIF 1 < 0 按逆时针方向旋转 SKIPIF 1 < 0 ，再将其长度伸长为 SKIPIF 1 < 0 的 SKIPIF 1 < 0 倍，得到线段 SKIPIF 1 < 0 ；又将线段 SKIPIF 1 < 0 按逆时针方向旋转 SKIPIF 1 < 0 ，长度伸长为 SKIPIF 1 < 0 的 SKIPIF 1 < 0 倍，得到线段 SKIPIF 1 < 0 ．．．．．．如此下去，得到线段 SKIPIF 1 < 0 为正整数)，则点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 __________________．
9．（2021·广东乳源·三模）在平面直角坐标系xOy中，Rt△OA1C1，Rt△OA2C2，Rt△OA3C3，…的斜边都在坐标轴上，∠A1OC1=∠A2OC2=∠A3OC3=∠A4OC4=…=30°．若点A1的坐标为(3,0)，OA1=OC2，OA2=OC3，OA3=OC4，…则依此规律，点A2021的坐标为______．
10．（2020·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形①沿x轴正半轴滚动并且按一定规律变换，每次变换后得到的图形仍是等腰直角三角形．第一次滚动后点A1（0，2）变换到点A2（6，0），得到等腰直角三角形②；第二次滚动后点A2变换到点A3（6，0），得到等腰直角三角形③；第三次滚动后点A3变换到点A4（10，4 SKIPIF 1 < 0 ），得到等腰直角三角形④；第四次滚动后点A4变换到点A5（10+12 SKIPIF 1 < 0 ，0），得到等腰直角三角形⑤；依此规律…，则第2020个等腰直角三角形的面积是_____．
11．（2021·广西·南宁三中九年级阶段练习）如图Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝1，且AC在直线l上，将△ABC绕点A顺时针旋转到①，可得到点P1，此时AP1＝2；将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②，可得到点P2，此时AP2＝2+ SKIPIF 1 < 0 ；将位置②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置③，可得到点P3，此时AP3＝3+ SKIPIF 1 < 0 ；…按此规律继续旋转，直到点P2020为止，则AP2020等于_______．
五、函数规律探究题
例题5（2021·山东·宁津县教育和体育局教育科学研究所二模）如图所示，在x轴的正半轴上依次截取OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4＝A4A5…，过A1、A2、A3、A4、A5…分别作x轴的垂线与反比例函数 SKIPIF 1 < 0 的图象交于点P1、P2、P3、P4、P5…，并设△OA1P1、△A1A2P2、△A2A3P3…面积分别为S1、S2、S3…，按此作法进行下去，则S2021的值为____．
练习题
1．（2021·山东莘县·三模）如图，直线l：y＝x+1交y轴于点A1，在x轴正方向上取点B1，使OB1＝OA1；过点B1，作A2B1⊥x轴，交l于点A2，在x轴正方向上取点B2，使B1B2＝B1A2；过点B2作A3B2⊥x轴，交l于点A3，在x轴正方向上取点B3使B2B3＝B2A3；…记△OA1B1面积为S1，△B1A2B2面积为S2，△B2A3B3面积为S3，…则S2021等于（ ）
A．24039B．24038C．24037D．24036
2．（2021·山东济南·中考真题）新定义：在平面直角坐标系中，对于点 SKIPIF 1 < 0 和点 SKIPIF 1 < 0 ，若满足 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则称点 SKIPIF 1 < 0 是点 SKIPIF 1 < 0 的限变点．例如：点 SKIPIF 1 < 0 的限变点是 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 的限变点是 SKIPIF 1 < 0 ．若点 SKIPIF 1 < 0 在二次函数 SKIPIF 1 < 0 的图象上，则当 SKIPIF 1 < 0 时，其限变点 SKIPIF 1 < 0 的纵坐标 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
3．（2021·江苏丰县·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝ SKIPIF 1 < 0 x﹣ SKIPIF 1 < 0 与x轴交于点B1，以OB1为一边在OB1上方作等边△A1OB1，过点A1作A1B2平行于x轴，交直线l于点B2，以A1B2为一边在A1B2上方作等边△A2A1B2，过点A2作A2B3平行于x轴，交直线l于点B3，以A2B3为一边在A2B3上方作等边△A3A2B3，…，则A2020的横坐标是_____．
4．（2021·广东潮南·一模）如图，直线 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴，与直线 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ，以原点 SKIPIF 1 < 0 为圆心， SKIPIF 1 < 0 长为半径画圆弧交 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ；再作 SKIPIF 1 < 0 轴，交直线 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，以原点 SKIPIF 1 < 0 为圆心， SKIPIF 1 < 0 长为半径画圆弧交 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ，按此作法进行下去，则点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为__．
5．（2021·全国·九年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，…和 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，…分别在直线 SKIPIF 1 < 0 和x轴上． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，……都是等腰直角三角形，如果点 SKIPIF 1 < 0 ，那么b的值是________； SKIPIF 1 < 0 的纵坐标是________．
6．（2021·山东牡丹·三模）如图，在平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中，直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 交y轴于点 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，…， SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上，点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，…， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 轴的正半轴上，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，…， SKIPIF 1 < 0 ，依次均为等腰直角三角形，点 SKIPIF 1 < 0 的坐标是______．
7．（2021·四川广安·中考真题）如图，在平面直角坐标系中， SKIPIF 1 < 0 轴，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ，将 SKIPIF 1 < 0 绕点 SKIPIF 1 < 0 逆时针旋转到 SKIPIF 1 < 0 的位置，使点 SKIPIF 1 < 0 的对应点 SKIPIF 1 < 0 落在直线 SKIPIF 1 < 0 上，再将 SKIPIF 1 < 0 绕点 SKIPIF 1 < 0 逆时针旋转到 SKIPIF 1 < 0 的位置，使点 SKIPIF 1 < 0 的对应点 SKIPIF 1 < 0 也落在直线 SKIPIF 1 < 0 上，以此进行下去……若点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，则点 SKIPIF 1 < 0 的纵坐标为______．
8．（2021·江苏邳州·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线 SKIPIF 1 < 0 为正比例函数 SKIPIF 1 < 0 的图像，点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为(1，0)，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴的垂线交直线 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，以 SKIPIF 1 < 0 为边作正方形 SKIPIF 1 < 0 ；过点 SKIPIF 1 < 0 作直线 SKIPIF 1 < 0 的垂线，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ，以 SKIPIF 1 < 0 为边作正方形 SKIPIF 1 < 0 ；过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴的垂线，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ，交直线 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，以 SKIPIF 1 < 0 为边作正方形 SKIPIF 1 < 0 ，…，按此规律操作下所得到的正方形 SKIPIF 1 < 0 的面积是______．
9．（2021·山东青岛·三模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x(x-5)(0≤x≤5)的图象记作y1，它与x轴的交于点O，x1，将y1绕x1旋转180°得到y2，y2与x轴相交于点x1，x2，将y2绕点x2旋转180°得到y3，y3与x轴相交于x2，x3；…，按照这个规律在x轴上依次得到点x1，x2，x3，…，xn，以及抛物线y1，y2，y3，…，yn，则点x6的坐标为 ____；yn的顶点坐标为 _____(n为正整数，用含n的代数式表示)．
10．（2021·广东·佛山市三水区三水中学附属初中三模）如图，一段抛物线： SKIPIF 1 < 0 记为 SKIPIF 1 < 0 ，它与 SKIPIF 1 < 0 轴交于两点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；将 SKIPIF 1 < 0 绕点 SKIPIF 1 < 0 旋转 SKIPIF 1 < 0 得到 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 轴于 SKIPIF 1 < 0 ；将 SKIPIF 1 < 0 绕点 SKIPIF 1 < 0 旋转 SKIPIF 1 < 0 得到 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 如此进行下去，直至得到 SKIPIF 1 < 0 ，若点 SKIPIF 1 < 0 在第2021段抛物线上，则 SKIPIF 1 < 0 的值为 __．
11．（2021·全国·九年级课时练习）如图，平行于 SKIPIF 1 < 0 轴的直线 SKIPIF 1 < 0 分別交函数 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的图象于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴的平行线交 SKIPIF 1 < 0 的图象于点 SKIPIF 1 < 0 ，直线DE SKIPIF 1 < 0 AC，交 SKIPIF 1 < 0 的图象于点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 _______．
12．（2022·福建·厦门五缘实验学校模拟预测）如图，直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，与函数 SKIPIF 1 < 0 的图象分别交于点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ；与函数 SKIPIF 1 < 0 的图象分别交于点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 如果四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积记为 SKIPIF 1 < 0 ，四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积记为 SKIPIF 1 < 0 ，四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积记为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，以此类推，则 SKIPIF 1 < 0 的值是______．
月份
1月份
2月份
3月份
4月份
5月份
6月份
7月份
…
12月份
兔子对数
1
1
2
3



…