山东省济宁市嘉祥县第一中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题

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（满分 150 分，考试用时 120 分钟）
★祝考试顺利★
单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.设z=i(2+i)，则在复平面内对应的点位于
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.设是任意向量,则下列结论一定正确的是( )
A． B．
C． D．
3.已知水平放置的△ABC是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝，那么原△ABC的面积是( )
A. 2B. 2
C D.
4.设l是直线，，是两个不同的平面，下列选项中是真命题的为（ ）
A. 若，，则B.若，，则
C. 若，，则D. 若，，则
5．“幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区间[0,10]内的一个数来表示，该数越接近10表示满意度越高.现随机抽取10位嘉祥县居民，他们的幸福感指数为 3，4，5，5，6，7，7，8，9，10.则这组数据的 80%分位数是（ ）
A． 7.5B．8C． 8.5D．9
6.在本次数学考试中，第二大题为多项选择题.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分，小明因某原因网课没有学习，导致题目均不会做，那么小明做一道多选题得5分的概率为（ ）
A. QUOTE B. QUOTE C. QUOTE D. QUOTE
7．紫砂壶是中国特有的手工制造陶土工艺品，其制作始于明朝正德年间．紫砂壶的壶型众 多，经典的有西施壶、掇球壶、石瓢壶、潘壶等．其中，石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台 (即圆锥用平行于底面的平面截去一个锥体得到的)．下图给出了一个石瓢壶的相关数据(单位：cm)，那么该壶的容量约为（ ）
A．100 B． C．300 D．400
8.△ABC所在的平面内有一点P,满足+2+=2,则△PBC与△ABC的面积之比是( )
A.B.C.D.
多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分．
9.抛掷一枚骰子 1 次,记“向上的点数是 1,2”为事件 A,“向上的点数是 1,2,3”为事件B,“向上的点数是 1,2,3,4”为事件C,“向上的点数是 4,5,6”为事件D,则下列关于事件 A， B，C，D 判断正确的有（）
A．A与D是互斥事件但不是对立事件 B．B与D是互斥事件也是对立事件
C．C与D是互斥事件
D．B与C 不是对立事件也不是互斥事件
10．下列说法正确的有( )
A．在△ABC中，a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C
B．在△ABC中，若sin 2A＝sin 2B，则△ABC为等腰三角形
C．△ABC中，sin A＞sin B是A ＞B的充要条件
D．在△ABC中，若sin A=，则A=
11若平面向量，，两两夹角相等，，为单位向量，=2，则=( )
A.1B.2C.3D.4
12．如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点E、F，且，则下列结论中正确的是
A． B．
C．三棱锥的体积为定值
D．
填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13.设是虚数单位，复数为纯虚数，则实数的值为 ______ .
14．已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱高为4，体积为4，则这个球的表面积为
15.在▱ABCD中，|eq \(AB,\s\up6(→))|＝4，|eq \(AD,\s\up6(→))|＝3，N为DC的中点，eq \(BM,\s\up6(→))＝2eq \(MC,\s\up6(→))，则eq \(AM,\s\up6(→))·eq \(NM,\s\up6(→))＝________．
16.1996年嘉祥被国家命名为“中国石雕之乡”。2008年6月，嘉祥石雕登上了国家文化部公布的“第二批国家级非物质文化遗产名录”，嘉祥石雕文化产业园被国家文化部命名为“国家级文化产业示范基地”。近年来，嘉祥石雕产业发展十分迅猛，产品畅销全国各地及美国、日本、东南亚国家和地区。嘉祥某石雕厂为严把质量关，对制作的每件石雕都请3位行家进行质量把关，质量把关程序如下：（i）若一件石雕3位行家都认为质量过关，则该石雕质量为优秀级；（ii）若仅有1位行家认为质量不过关，再由另外2位行家进行第二次质量把关，若第二次质量把关这2位行家都认为质量过关，则该石雕质量为良好级，若第二次质量把关这2位行家中有1位或2位认为质量不过关，则该石雕需返工重做.已知每一次质量把关中一件石雕被1位行家认为质量不过关的概率均为，且每1位行家认为石雕质量是否过关相互独立.则一件石雕质量为优秀级的概率为______ ；一件石雕质量为良好级的概率为______.(第一空2分，第二空3分）
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(10分)已知是同一平面内的三个向量，；
（1）若，且、共线反向，求的坐标；
（2）若，且（）（），求与的夹角.
18.(12分)在锐角中，分别是角所对的边，且.
（1）求角的大小；
（2）如果a+b=6，,求的值。
19.(12分)袋子中装有除颜色外其他均相同的编号为a，b的2个黑球和编号为c，d，e的3个红球．
(1)若从中一次性（任意）摸出2个球，求恰有一个黑球和一个红球的概率；
(2)若从中任取一个球给小朋友甲，然后再从中任取一个球给小朋友乙，求甲、乙两位小朋友拿到的球中恰好有一个黑球的概率．
(3)若从中连续取两次，每次取一球后放回，求取出的两个球恰好有一个黑球的概率．
20. (12分)网络直播是一种新兴的网络社交方式，网络直播平台也成为了一种崭新的社交媒体。很多人选择在快手、抖音等网络直播平台上分享自己的生活点滴.2020年的寒假，注定不凡.因为新冠病毒疫情的影响，开学延迟了。老师们停课不停教，在网络上直播授课；同学们停课不停学，在家上网课.某网络社交平台为了了解网络直播在大众中的熟知度，对15-65岁的人群随机抽样调查，调查的问题是“你直播过吗？”其中，回答“直播过”的共有个人.把这个人按照年龄分成5组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，然后绘制成如图所示的频率分布直方图.其中，第一组的频数为20.
（1）求 和的值，并根据频率分布直方图估计这组数据的众数；
（2）从第1，3，4组中用分层抽样的方法抽取6人，求第1，3，4组抽取的人数；
（3）在（2）抽取的6人中再随机抽取2人，求所抽取的2人来自同一个组的概率.
21．(12分)如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，垂直于底面，，.
（1）求证；
（2）求平面与平面所成二面角的大小；
（3）设棱的中点为，求异面直线与所成角的大小
（如需要做辅助线，在上传的答题卡中作出.）
22.(12分)如图，已知AF面ABCD，四边形ABEF为矩形，四边形ABCD为直角梯形，
（1）求证：AF//面BCE；
（2）求证：AC面BCE；
（3）求三棱锥F-BCE的体积．
（如需要做辅助线，在上传的答题卡中作出.）
2019-2020学年嘉祥一中高一（下）期中数学参考答案
1【答案】D
【解析】，
所以对应点（-1，-2）位于第四象限．故选D
2答案：D
答案解析：∵,∴A中结论错误；
向量的数量积不满足结合律,∴B中结论错误；
当时,与的夹角为90°或,、至少一给为零向量∴C中结论错误；
D中结论正确.
3【答案】B
【解析】
由题图可知原△ABC的高为AO＝ 2，
∴S△ABC＝×BC×OA＝×2× 2＝ 2，故答案为B
4【答案】A
【解析】
A.若，，由线面平行的性质过的平面与相交于，则，又.所以，所以有，所以正确.
B.若，，则与可能平行，也可能相交，所以不正确.
C.若，，则可能，所以不正确.
D.若，，则与可能的位置关系有相交、平行或,所以不正确.
5【答案】C
由题意，这 10 个人的幸福指数已经从小到大排列， 因为 80% 108 ，
所以这 10 个人的 80% 分位数是从小到大排列后第 8个人与第 9个人的幸福指数的平均数，即 8.5.故选：C
6【答案】C
【解析】小明做一道多选题得5分为事件A，多选题的样本空间共有AB,AC,AD,BC,BD,CD,ABC,ABD,ACD,BCD,ABCD共11个样本点，P(A)=1/11
【答案】B
【解析】设大圆锥的高为，所以，解得，故．
8【解析】选C.因为+2+=2,所以+2+=2-2,所以=-3=3,即P是AC边的一个四等分点,且PC= QUOTE AC,由三角形的面积公式知,==.
9【答案】ABD
10答案：A，C
答案解析：
由正弦定理易知A，C正确．对于B，由sin 2A＝sin 2B，可得A＝B，或2A＋2B＝π，即A＝B，或A＋B＝eq \f(π,2)，∴a＝b，或a2＋b2＝c2，故B错误. D中A为
11．AD【解析】夹角为0时为4；夹角为时为1
12．ABC
【解析】
可证，故A正确；由∥平面ABCD，可知，B也正确；连结BD交AC于O，则AO为三棱锥的高，，三棱锥的体积为为定值，C正确；D错误。选ABC。
13【解析】，
14【答案】
【解析】由题可得正四棱柱的底面边长为：．4S=4,S=1,a=1而它的外接球的直径为它的体对角线长：2R=，则球的表面积为：
15解析：法一：eq \(AM,\s\up6(→))·eq \(NM,\s\up6(→))＝(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BM,\s\up6(→)))·(eq \(NC,\s\up6(→))＋eq \(CM,\s\up6(→)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up6(→))＋\f(2,3)\(AD,\s\up6(→))))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)\(AB,\s\up6(→))－\f(1,3)\(AD,\s\up6(→))))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))2－eq \f(2,9)eq \(AD,\s\up6(→))2＝6.
法二(特例图形)：若▱ABCD为矩形，建立如图所示坐标系，
则N(2，3)，M(4，2)．
所以eq \(AM,\s\up6(→))＝(4，2)，eq \(NM,\s\up6(→))＝(2，－1)，
所以eq \(AM,\s\up6(→))·eq \(NM,\s\up6(→))＝(4，2)·(2，－1)＝6.
答案：24
16.一件石雕质量为A 级的概率为（2分）
一件石雕质量为B级的概率为.（3分）
17.解：(Ⅰ)由可设
又、共线反向，则
=. ………………5分
(Ⅱ)与垂直,
即而，
………………8分
因为
………………10分
18【详解】（1）因为
所以由正弦定理得, ………………2分
因为，
所以, ………………4分
因为是锐角，所以. ………………6分
12分

19解：(1)从5个小球中一次性取2个，所有可能的结果为{a，b}，{a，c}，{a，d}，{a，e}，{b，c}，{b，d}，{b，e}，{c，d}，{c，e}，{d，e}，共10个样本点，
设恰有一个黑球和一个红球为事件A,则A有{a，c}，{a，d}，{a，e}，{b，c}，{b，d}，{b，e}，共6个样本点
………………4分
(2)从5个小球中任取2个，一个给甲，一个给乙的所有可能的结果为(括号内第一个给甲，第二个给乙)(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，a)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，a)，(c，b)，(c，d)，(c，e)，(d，a)，(d，b)，(d，c)，(d，e)，(e，a)，(e，b)，(e，c)，(e，d)，共20个样本点.
设甲、乙两位小朋友拿到的球中恰好有一个黑球为事件B则B有(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，a)，(c，b)，(d，a)，(d，b)，(e，a)，(e，b)，共12个样本点.
………………8分
(3)从5个小球中连续取俩次，每次取一球后放回，所有可能的结果为(a，a)，(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，a)，(b，b)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，a)，(c，b)，(c，c)，(c，d)，(c，e)，(d，a)，(d，b)，(d，c)，(d，d)，(d，e)，(e，a)，(e，b)，(e，c)，(e，d)，(e，e)，共25个样本点.
设取出的两个球恰好有一个黑球为事件C则C有(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，a)，(c，b)，(d，a)，(d，b)，(e，a)，(e，b)，共12个样本点.
………………12分
20.解：（1）由题意可知，，………………1分
由，
解得， ………………3分
由频率分布直方图可估计这组数据的众数为30；………………4分
（2）第1，3，4组频率之比为0.020：0.030：0.010=2：3：1
则从第1组抽取的人数为,
从第3组抽取的人数为，
从第4组抽取的人数为； ………………7分
（2）设第1组抽取的2人为，第3组抽取的3人为，第4组抽取的1人为，则从这6人中随机抽取2人有如下种情形：，，共有15个样本点.………………9分
其中符合“抽取的2人来自同一个组”的基本事件有共4个样本点， ………………11分
所以抽取的2人来自同一个组的概率.………………12分
21．
（I）∵底面是正方形， ∴，
∵底面，底面，∴，又， ∴平面，∵平面，∴. ………………4分
（II）由（I）知，又,∴为所求二面角的平面角，………6分
在中，∵SD=DC=1，∴.………………8分
（III）取中点，连结，
在，由中位线定理得 ，
或其补角是异面直线与所成角，………………10分
∵
所以中，有，.………………12分
22. 解：
证明：四边形ABEF为矩形，，………………1分
平面BCE，平面BCE，………………2分
面BCE．………………3分
证明：面ABCD，四边形ABEF为矩形，
平面ABCD，平面ABCD，
， ………………4分
四边形ABCD为直角梯形，，，，，
，
，在中，
，
，， ………………6分
，，面BCE，面BCE，………………7分
面BCE． ………………8分
（3）……………12分