山东省烟台市招远第一中学2019-2020学年高一第二学期期中考试数学试卷（解析版）

这是一份山东省烟台市招远第一中学2019-2020学年高一第二学期期中考试数学试卷（解析版），共21页。试卷主要包含了使用答题纸时，必须使用0，在中，，，，则此三角形，在复平面内，下列说法正确的是，下列叙述错误的是， 等内容，欢迎下载使用。
1.本试题满分150分，考试时间为120分钟.
2.答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题卡上.
3.使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰.超出答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1.设复数（i为虚数单位），则在复平面内z对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】
根据复数的乘法运算可得到结果.
【详解】复数，对应的点坐标为，在第一象限.
故选：A.
【点睛】在复平面上，点和复数一一对应，所以复数可以用复平面上的点来表示，这就是复数的几何意义．复数几何化后就可以进一步把复数与向量沟通起来，从而使复数问题可通过画图来解决，即实现了数与形的转化．由此将抽象问题变成了直观的几何图形，更直接明了，属于基础题．
2.若向量，，与共线，则实数k的值为（ ）
A. B. C. 1D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】
分别求出与的坐标表示，然后再按照向量共线的条件列出方程求解即可.
【详解】，，
因为与共线，所以有，解之得：.
故选：B.
【点睛】本题考查向量共线的充要条件的应用，考查计算能力，属于基础题.
3.已知正三角形的边长为，那么的直观图的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
作出原图和直观图，然后求面积.
【详解】如图，直观图的底边长度为原图形的底边长，高为原图形的高的一半乘以，故其直观图面积为.
故选：D.
【点睛】本题考查了斜二测画法及平面直观图的面积，熟记作图原则是关键，属于基础题.
4.在中，，，，则此三角形（ ）
A. 无解B. 两解C. 一解D. 解的个数不确定
【答案】B
【解析】
【分析】
利用正弦定理列出关系式，把a，b，的值代入求出的值，即可做出判断．
【详解】∵在中，，，，
∴由正弦定理得：，
又∵，
∴此三角形有两解．
故选：B.
【点睛】本题考查利用正弦定理判断三角形解的情况，解题关键是能够熟练掌握正弦定理，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题.
5.已知圆柱的高为2，它的两个底面的圆周在直径为的同一个球的球面上，则圆柱的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先求出圆柱的底面圆的半径，再求圆柱的表面积.
【详解】由题得圆柱的底面圆的半径为，
所以圆柱的侧面积为.
故选：D.
【点睛】本题主要考查球的内接圆柱问题，考查学生对这些知识的掌握水平和空间想象观察能力，关键在于求出圆柱的底面圆的半径，属于中档题.
6.在平行四边形中，点N为对角线上靠近A点的三等分点，连结并延长交于M，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先求出，再把代入化简即得解.
【详解】
如图，
.
故选：C.
【点睛】本题主要考查数乘向量和向量的减法法则，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
7.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周十尺，高六尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为10尺，米堆的高为6尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算堆放的米约为（ ）
A. 17斛B. 25斛C. 41斛D. 58斛
【答案】C
【解析】
【分析】
根据圆锥的体积公式计算出对应的体积即可．
【详解】解：设圆锥的底面半径为，则，
解得，
故米堆的体积为，
斛米体积约为1.62立方尺，
，
故选：C．
【点睛】本题主要考查锥体的体积的计算，属于基础题．
8.如图，为了测量B，C两点间的距离，选取同一平面上A，D两点，已知，，，，，则的长为（ ）
A. B. 5C. D. 7
【答案】A
【解析】
【分析】
在中，由正弦定理求出，再根据诱导公式求出，最后在中，由余弦定理计算可得；
【详解】解：在中，由正弦定理可得，即
所以，又因为，所以
在中，由余弦定理可得
即
所以
故选：A
【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理解三角形，属于基础题.
二.多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9.在复平面内，下列说法正确的是（ ）
A. 若复数（i为虚数单位），则
B. 若复数z满足，则
C. 若复数，则z为纯虚数的充要条件是
D. 若复数z满足，则复数z对应点的集合是以原点O为圆心，以1为半径的圆
【答案】AD
【解析】
【分析】
根据复数的运算及相关概念一一判断可得；
【详解】解：对于A：，，，所以，故A正确；
对于B：设，，所以，若，则，则或或，当时，故B错误；
复数，则z为纯虚数的充要条件是且，故C错误；
若复数z满足，则复数z对应点的集合是以原点O为圆心，以1为半径的圆，故D正确；
故选：AD
【点睛】本题考查复数的运算及相关概念的理解，属于基础题.
10.下列叙述错误的是（ ）
A. 已知直线和平面，若点，点且，，则
B. 若三条直线两两相交，则三条直线确定一个平面
C. 若直线不平行于平面，且，则内的所有直线与都不相交
D. 若直线和不平行，且，，，则l至少与，中的一条相交
【答案】BC
【解析】
【分析】
根据线线关系、线面关系性质定理及判定定理判断可得；
【详解】解：由公理一，可知A正确；
若三条直线相交于一点，则三条直线不能唯一确定一个平面，故B错误；
若直线不平行于平面，且，则与平面相交，设交点为，则平面中所有过点的直线均与直线相交，故C错误；
若直线和不平行，且，，，
所以直线和异面
与共面，与共面，
可以与平行或相交，可以与平行或相交，
但是一定不能同时平行，若两条直线与同时平行，
则和平行，与两条直线是异面直线矛盾，
至少与和中的一条相交，故D正确；
故选：BC．
【点睛】本题考查空间中直线与直线、直线与平面的位置关系，本题解题的关键是理解两条直线在空间中所有的关系就只有三种，属于中档题．
11.下列结论正确的是（ ）
A. 在中，若，则
B. 在锐角三角形中，不等式恒成立
C. 在中，若，，则为等腰直角三角形
D. 在中，若，，三角形面积，则三角形外接圆半径为
【答案】ABC
【解析】
【分析】
对选项A，利用三角形“大角对长边”和正弦定理即可判断A正确；对选项B，利用余弦定理，即可判断B正确，对选项C，首先根据余弦定理得到，利用正弦定理边化角公式得到，再化简即可判断选项C正确.对选项D，首先利用面积公式得到，利用余弦定理得到，再利用正弦定理即可判断D错误.
【详解】对选项A，在中，由，
故A正确.
对选项B，若，则，
又因为，所以为锐角，符合为锐角三角形，故B正确.
对选项C，，整理得：.
因为，所以，即.
所以，即，
，
即，又，所以.
故，则为等腰直角三角形，故C正确.
对选项D，，解得.
，
所以.
又因为，，故D错误.
故选：ABC
【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理的综合应用，熟练掌握公式为解题的关键，属于中档题.
12.在中，D，E，F分别是边，，中点，下列说法正确的是（ ）
A.
B.
C. 若，则是在的投影向量
D. 若点P是线段上的动点，且满足，则的最大值为
【答案】BCD
【解析】
【分析】
对选项A，B，利用平面向量的加减法即可判断A错误，B正确.对选项C，首先根据已知得到为的平分线，即，再利用平面向量的投影概念即可判断C正确.对选项D，首先根据三点共线，设，，再根据已知得到，从而得到，即可判断选项D正确.
【详解】如图所示：
对选项A，，故A错误.
对选项B，
，故B正确.
对选项C，，，分别表示平行于，，的单位向量，
由平面向量加法可知：为的平分线表示的向量.
因为，所以为的平分线，
又因为为的中线，所以，如图所示：
在的投影为，
所以是在的投影向量，故选项C正确.
对选项D，如图所示：
因为在上，即三点共线，
设，.
又因为，所以.
因为，则，.
令，
当时，取得最大值为.故选项D正确.
故选：BCD
【点睛】本题主要考查平面向量的加法，减法的几何意义，数形结合为解决本题的关键，属于中档题.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知复数（i为虚数单位），则______
【答案】
【解析】
【分析】
首先化简，求出的共轭复数，再求模长即可.
【详解】，
，.
故答案为：
【点睛】本题主要考查复数的模长，同时考查复数的四则运算和共轭复数，属于简单题.
14.已知向量，夹角为30°，，，则______
【答案】
【解析】
【分析】
由题意结合平面向量数量积的定义可得，再利用计算即可得解.
【详解】向量，夹角为30°，，,
，
，
.
故答案为：.
【点睛】本题考查了平面向量数量积的应用，考查了运算求解能力，熟练掌握平面向量数量积的定义及是解题关键，属于基础题.
15.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若，且，则的值为______
【答案】
【解析】
【分析】
由题意结合正弦定理、余弦定理可转化条件为、，求得后代入运算即可得解.
【详解】，，
，由可得，
又，，
.
故答案为：.
【点睛】本题考查了正弦定理与余弦定理的综合应用，考查了运算求解能力与转化化归思想，熟记公式，合理运用是解题的关键，属于中档题.
16.已知一个高为的三棱锥，各侧棱长都相等，底面是边长为的等边三角形，则三棱锥的表面积为______，若三棱锥内有一个体积为V的球，则V的最大值为______.
【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】
画出图形，取的中点，连接、，设的中心为，连接，由题意结合正三棱锥的几何特征可得、，进而可求得的三棱锥的表面积和体积，由等体积法即可求得三棱锥内切球的半径，即可得解.
【详解】由题意，三棱锥如图所示：
取的中点，连接、，
由正三角形的性质可得的中心在线段上，且，
连接，则即为该三棱锥的高，即，
所以，
又，所以，
所以，
又，
所以三棱锥的表面积；
所以该三棱锥的体积,
当球与三棱锥内切时，体积最大，
设三棱锥的内切球的半径为，
则，解得，
则.
故答案为：；.
【点睛】本题考查了正三棱锥几何特征的应用以及几何体内切球半径的求解，考查了空间思维能力与运算求解能力，属于中档题.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.如图，正方体中，E，F分别为，的中点.
（1）求证：E，F，B，D四点共面；
（2）若，，与平面交于点R，求证：P，Q，R三点共线.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；
【解析】
【分析】
（1）连接，由正方体的几何特征及平面几何的知识可得，由平面的基本性质即可得证；
（2）由题意可得是平面与平面的交线，由平面的基本性质即可得证.
【详解】（1）证明：连接，如图：
在正方体中，分别为的中点，
是的中位线，，
又因为，，
四点共面；
（2）证明：在正方体中，，，
是平面与平面的交线，
又因为交平面于点，
是平面与平面的一个公共点.
两平面相交的所有公共点都在这两个平面的交线上，
三点共线.
【点睛】本题考查了利用平面的基本性质证明点共面及点共线问题，考查了空间思维能力与逻辑推理能力，属于基础题.
18.已知复数（i为虚数单位，）为纯虚数，和b是关于x方程的两个根.
（1）求实数a，b的值；
（2）若复数z满足，说明在复平面内z对应的点Z的集合是什么图形？并求该图形的面积
【答案】（1），（2）点的集合是以原点为圆心，以和为半径的两个圆所夹的圆环，包括边界；面积为
【解析】
【分析】
（1）根据复数的分类求解，然后由韦达定理可求得；
（2）根据模的几何意义说明结论．
【详解】解：（1）因为为纯虚数，
所以，即，
解得，
此时，由韦达定理得，
.
（2）复数满足，即，
不等式解集是圆的外部（包括边界）所有点组成的集合，
不等式的解集是圆的内部（包括边界）所有点组成的集合，
所以所求点的集合是以原点为圆心，以和为半径的两个圆所夹的圆环，包括边界.
.
【点睛】本题考查复数的分类、韦达定理，考查复数模的几何意义，属于基础题．
19.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
（1）求C；
（2）若，，求a.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）由余弦定理可求得；
（2）由正弦定理化边为角，再由诱导公式和两角和正弦公式变形可求得，然后由正弦定理求得边．
【详解】解：（1）因为，
所以，
因为，所以；
（2）因为，
由正弦定理可得，
故，

所以，
因为，所以，
由正弦定理可得，.
【点睛】本题考查余弦定理、正弦定理，掌握正弦定理的边角转换是解题关键．
20.如图，在三棱锥中，高，，，.
（1）求三棱锥的体积；
（2）求三棱锥的表面积.
【答案】（1）2（2）
【解析】
【分析】
（1）由体积公式直接计算；
（2）题中有两两垂直，面积易得，然后求出三边长，得等腰三角形，求出底边上的高可得面积．
【详解】解：（1）因为是高，，，，
所以；
（2）因为是高，平面，平面，所以，同理，
，，，
所以，
，
是等腰三角形，，，
所以，
所以三棱锥的表面积为.
【点睛】本题考查三棱锥的体积与表面积，根据体积公式直接计算体积，根据表面积的定义计算出各个面的面积后相加即得表面积．属于基础题．
21.如图，四边形中，.
(1)用，表示；
(2)若，点在上，，点在上，，，求.
【答案】(1) (2)
【解析】
【分析】
(1)本题首先可以根据向量的三角形法则得出，然后根据即可得出结果；
(2)本题首先可以根据题意得出以及，然后在中得出与，在中得出以及，再然后可以根据得出，最后在中得出并通过即可得出结果.
【详解】(1)因为，
所以；
(2)因为，，，
所以，，
在中，，，
故，，
在中，，，
故，，，
因为，所以，，
在中，，，，
所以，，
因为，所以.
【点睛】本题考查向量的三角形法则、等腰三角形性质的应用以及三角函数的诱导公式，考查通过向量的三角形法则的运用展示向量之间的关系，考查的诱导公式为，考查推理能力与计算能力，是中档题.
22.如图，在平面四边形中，，，.
（1）若，，求的长；
（2）若，，求的值.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）在中求得，在中由线段关系求得，即可在中应用余弦定理求得的长；
（2）设，由正弦定理表示出与的关系，结合同角三角函数关系式，即可求得的值.
【详解】（1）在中，.
在中，，所以，
所以.
在中，由余弦定理得，
所以.
（2）设，则，，
在中，由正弦定理得，
化简得，
代入，得，
又为锐角，所以，
即.
【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，根据几何关系求线段或三角函数值，同角三角函数关系式的应用，属于基础题.
本试卷的题干、答案和解析均由组卷网（）专业教师团队编校出品。
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