陕西省西安中学2019-2020学年高一(实验班)下学期期中数学试题（解析版）

这是一份陕西省西安中学2019-2020学年高一(实验班)下学期期中数学试题（解析版），共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

（时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题：（本题共10小题，每题4分，共40分．每题有且只有一个正确答案， 直接将答案填写在指定位置）
1.为了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为25的样本，则分组数和分段的间隔分别为（ ）
A. 50，20B. 40，25C. 25，40D. 20，50
【答案】C
【解析】
【分析】
由抽取容量为25的样本，得到分组数为25组，由此能求出分段的间隔．
【详解】为了解1000名学生学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为25的样本，
分组数为25组，
分段的间隔为：．
则分组数和分段的间隔分别为，；
故选：C
【点睛】本题考查分组数和分段的间隔的求法，考查系统抽样等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于基础题.
2.从装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，则与事件“两球都为白球”互斥而非对立的事件是以下事件“①两球都不是白球；②两球恰有一个白球；③两球至多有一个白球”中的哪几个（ ）
A. ①③B. ②③C. ①②D. ①②③
【答案】C
【解析】
【分析】
根据互斥事件和对立事件的定义求解.
【详解】从装有红球、白球和黑球各2个口袋内一次取出2个球，这个试验的基本事件有：白白，红红，黑黑，红白，红黑，白黑，共6种，
当两球都为白球时，
与两球都不是白球，不能同时发生，故互斥，同时两个事件的和不是必然事件，故不对立，故①正确；
与两球恰有一个白球；不能同时发生，故互斥，同时两个事件的和不是必然事件，故不对立，故②正确；
与两球至多有一个白球” 不能同时发生，故互斥，同时两个事件的和是必然事件，故对立，故③错误.
故选：C
【点睛】本题主要考查互斥事件，对立事件的概念，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.
3.设函数，则函数的最大值及取到最大值时的取值集合分别为（ ）
A. 3，B. 1，
C. 3，D. 1，
【答案】C
【解析】
【分析】
根据三角函数最值求法，判断出正确选项.
【详解】由于，
所以当时，函数有最大值为.
故选：C
【点睛】本小题主要考查三角函数的最值有关计算，属于基础题.
4.在区间上随机取一个数，的值介于到1之间的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据余弦函数的图象和性质，求出的值介于和1之间时，自变量x的取值范围，代入几何概型概率计算公式，可得答案.
【详解】在区间上随机取一个数，
当时，的值介于到1之间，
所以在区间上随机取一个数，的值介于到1之间的概率为，
故选：A
【点睛】本题主要考查了余弦函数的图象与性质，几何概型，考查了分析问题的能力，属于中档题.
5.下列既是偶函数又是以为周期的函数（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据函数的周期排除A、C，根据诱导公式化简可知B为偶函数.
【详解】由函数解析式可知，与的周期为，故可排除，
因为，是偶函数，，是奇函数，
故选：B
【点睛】本题主要考查了三角函数的周期，奇偶性，考查了诱导公式，属于中档题.
6.设，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用诱导公式化简为余弦函数，根据余弦函数的单调性比较大小即可.
【详解】，
，
只需比较的大小，
在上单调递减，
，
故选：C
【点睛】本题主要考查了诱导公式，余弦函数的单调性，属于中档题.
7.已知，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据角的变换，利用诱导公式求值即可.
【详解】
，
故选：B
【点睛】本题主要考查了诱导公式，整体代换的思想，考查了运算能力，属于中档题.
8.已知函数的图像如图所示，则（ ）
A. ，B. ，C. ，D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】
根据图像，依次求得的值.
【详解】由图可知，，
所以.
由于，，根据图像可知.
故选：D
【点睛】本小题主要考查根据三角函数图像求解析式，属于基础题.
9.小明家的晚报在下午任何一个时间随机地被送到，他们一家人在下午任何一个时间随机地开始晚餐．为了计算晚报在晚餐开始之前被送到的概率，某小组借助随机数表的模拟方法来计算概率，他们的具体做法是将每个1分钟的时间段看作个体进行编号，编号为01，编号为02，依此类推，编号为90．在随机数表中每次选取一个四位数，前两位表示晚报时间，后两位表示晚餐时间，如果读取的四位数表示的晚报晚餐时间有一个不符合实际意义，视为这次读取的无效数据（例如下表中的第一个四位数7840中的78不符合晚报时间）．按照从左向右，读完第一行，再从左向右读第二行的顺序，读完下表，用频率估计晚报在晚餐开始之前被送到的概率为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意读取满足条件的数据，查出左边的两位数小于右边的两位数的个数，则答案可求．
【详解】解：按要求读取到一下共9个数据：1160 5054 3139 5034 3682 4052 5678 5188 0136；
其中晚报到达时间早于晚餐时间的是1160 5054 3139 3682 4052 5678 5188 0136共8个数据．
晚报在晚餐开始之前被送到的概率为．
故选：．
【点睛】本题考查利用随机数模拟方法来计算概率，关键是对题意的理解，属于基础题．
10.将函数图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩为原来的，然后将所得函数图象再向右平移个单位长度，所得函数图象关于轴对称，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用函数的图象变换规律，求得所得函数图象的解析式，再根据所得图象关于y轴对称，求得m的最小值.
【详解】将函数图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩为原来的，
可得的图象，然后将所得函数图象再向右平移个单位长度，
得到的图象，
所得函数图象关于y轴对称，则,即，
故当时，取得最小值为.
故选：C
【点睛】本题主要考查函数的图象变换规律， 三角函数的图象的对称性，属于基础题.
二、填空题：（本题共5小题，每题4分，共20分， 直接将答案填写在指定位置）
11.______.
【答案】
【解析】
【分析】
利用诱导公式将所求式子化为，根据特殊角三角函数值可求得结果.
【详解】
故答案为：
【点睛】本题考查利用诱导公式求值的问题，关键是能够通过诱导公式将所求角化为特殊角的形式，利用特殊角三角函数值求解.
12.用长的铁丝围成一个扇形，则围成扇形的最大面积为______.
【答案】225；
【解析】
【分析】
根据扇形面积公式和二次函数的性质，可以求得围成的扇形面积的最大值.
【详解】设围成的扇形的半径为xcm,则弧长为cm，
则扇形的面积为： ，
当时，取得最大值，此时cm,
故答案为：225
【点睛】本题考查扇形的面积的计算、二次函数的性质等知识，解题的关键是构建二次函数,利用二次函数的性质解决最值问题.
13.已知样本7，8，9，，的平均数为8，且，则此样本的方差为_____．
【答案】2；
【解析】
【分析】
根据题意可得，解得，再计算方差得到答案.
【详解】依题可得：，则，不妨设，解得，
所以方差为.
故答案为：2.
【点睛】本题主要考查了平均值和方差计算，考查了运算能力，属于容易题.
14.已知，，则的值为_______．
【答案】；
【解析】
【分析】
根据角的变换可知，利用两角差的正切公式即可求解.
详解】，
故答案为：
【点睛】本题主要考查了两角差的正切公式，角的变换，考查了运算能力，属于中档题.
15.如图所示的茎叶图是甲、乙两个代表队各7名队员参加“安全知识竞赛”的成绩，乙队成绩的众数为，从甲、乙两队中各选取1名队员，则两名队员所得分数相同的概率为______．
【答案】.
【解析】
【分析】
首先可求参数的值，再根据古典概型的概率公式计算可得；
【详解】解：依题意可得，所以，从甲、乙两队中各选取1名队员有种不同的取法，其中两名队员所得分数相同的情况有种，则所求的概率为
故答案为：
【点睛】本题考查古典概型的概率计算问题，属于基础题.
三、解答题：（本题共5小题，每题12分，共60分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，在答题卷中相应位置作答）
16.计算（1）已知，均为锐角，，角的顶点是直角坐标系的原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有一点，求；
（2）已知，且，求．
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）根据三角函数的定义求出，根据两角差的余弦公式计算即可；
（2）先计算的平方，根据角的范围即可确定,即可求出的值.
【详解】（1）为锐角，,
所以，
因为终边上有点，
所以，
.
（2）
因为，所以，故.
【点睛】本题主要考查了两角差的余弦公式，同角三角函数的基本关系，三角函数的定义，属于中档题.
17.某校为了解本校学生网课期间课后玩电脑游戏时长情况，随机抽取了100名学生进行调查．下面是根据调查结果绘制的学生每天玩电脑游戏的时长的频率分布直方图．
（1）根据频率分布直方图估计抽取样本的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）已知样本中玩电脑游戏时长在的学生中，男生比女生多1人，现从中任选3人进行回访，求选出的3人中恰有两人是男生的概率．
【答案】（1）29.2；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据由频率分布直方图计算平均数的方法，计算出平均数.
（2）利用列举法，结合古典概型概率计算公式，计算出所求概率.
【详解】（1）；
（2）样本中玩电脑时长在内的学生是人，其中男生3人，女生2人.
设3人中恰有两人是男生这一事件是.设男生为，女生为.人中任取人的基本事件为共种，其中事件包含的基本事件为共种，所以.
【点睛】本小题主要考查利用频率分布直方图计算平均数，考查古典概型的计算，属于基础题.
18.已知函数．
（1）求函数最小正周期、单调递增区间；
（2）求在区间上的值域．
【答案】（1）最小正周期为；.（2）
【解析】
【分析】
（1）利用辅助角公式化简，进而求得的最小正周期、单调递增区间.
（2）利用整体代换的方法，求得在区间上的值域.
【详解】（1），函数的最小正周期为.
要求的单调递增区间，只需
解得，所以的单调递增区间为.
（2）因为，所以.
此时，所以在区间上的值域为.
【点睛】本小题主要考查三角函数最小正周期、单调区间和值域的求法，属于中档题.
19.下表数据为某地区某种农产品的年产量（单位：吨）及对应销售价格（单位：千元/吨）．
（1）若与有较强的线性相关关系，根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；
（2）若该农产品每吨的成本为13.1千元，假设该农产品可全部卖出，利用上问所求的回归方程，预测当年产量为多少吨时，年利润最大？
（参考公式：回归直线方程为，其中）
【答案】（1）（2）3吨
【解析】
【分析】
（1）根据回归直线方程计算公式，计算出回归直线方程.
（2）先求得年利润的表达式，结合二次函数的性质，求得当时，年利润最大.
【详解】（1）由所给数据计算得，，，，
代入公式得，，所以.
（2）因为年利润，其图像开口向下，对称轴为，
所以当时，年利润取得最大值，故预测当年产量为3吨时，年利润最大.
【点睛】本小题主要考查回归直线方程的计算，考查利用回归直线方程进行预测，属于基础题.
20.已知函数，．
（1）求函数的值域；
（2）求不等式的解集；
（3）若关于的方程在恰有4个不同的解，求的取值范围．（直接给出答案，不用书写解答过程）．
【答案】（1）（2）（3）.
【解析】
【分析】
（1）设，则原函数可转化为关于的二次函数，求值域即可；
（2）根据同角三角函数基本关系，转化为，解关于的一元二次不等式；
（3）设，由正弦函数图象知当，时，与有4个交点，故需与有2个交点，且交点横坐标，，根据（1）及二次函数图象可得，且.
【详解】（1）设，
则函数，所以
，即函数的值域为.
（2）不等式化简得，
解得或（舍）
解得（或者为）
（3）.
【点睛】本题主要考查了正弦函数的图象与性质，二次函数的图象与性质，三角不等式，属于难题.
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