2024年安徽省合肥市第四十一中学中考一模数学试题（原卷版+解析版）

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2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页．“答题卷”共6页．
3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的．
4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是正确的．
1. 下列四个数中，比小的数是（ ）
A. B. C. 0D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．
【详解】解：根据有理数比较大小的方法，可得
-2＜-1，0＞-1，＞-1，1＞-1，
∴四个数中，比-1小的数是-2．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小．
2. 下列几何体的主视图与左视图不相同的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查三视图，根据选项中的几何体得到其主视图与左视图，并判断其主视图与左视图是否相同，即可解题．
【详解】解：A、正方体主视图为正方形，左视图为一样的正方形，主视图与左视图相同，不符合题意；
B、长方体主视图为大长方形，左视图为小长方形，主视图与左视图不相同，符合题意；
C、圆柱主视图为长方形，左视图为一样的长方形，主视图与左视图相同，不符合题意；
D、圆锥主视图为三角形，左视图为一样的三角形，主视图与左视图相同，不符合题意；
故选：B．
3. 据了解，2023年前三个季度中，安徽全省邮政行业寄递业务量累计完成约40.4亿件，同比增长，数据40.4亿用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查科学记数法，科学记数法表示形式为 的形式，其中 ，为整数（确定 的值时，要看把原数变成 时，小数点移动了多少位）．
【详解】解：40.4亿，
故选：C．
4. 下列式子计算正确的是（ ）
A B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查合并同类项、积的乘方、完全平方公式和平方差公式，根据相关运算法则逐项计算即可得出答案．
【详解】解：A，，计算错误，不合题意；
B，，计算错误，不合题意；
C，，计算错误，不合题意；
D，，计算正确，符合题意；
故选D．
5. 在平面直角坐标系中，直线与x轴的交点坐标为，则该直线与y轴的交点坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查一次函数与坐标轴的交点，利用待定系数法求出直线解析式，再令求出其函数值，即可解题．
【详解】解：直线与x轴的交点坐标为，
，解得，
直线解析式为，
当时，，
该直线与y轴的交点坐标为，
故选：D．
6. 峰原制药厂1月份产值为m，为让惠于民，产品单价下调，2月份产值下降，3月份制药厂加大推广，产品销售量有较大提高，3月份产值比2月份增加，则该制药厂2，3月份的总产值为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查列代数式的相关知识，读懂题意，理解增长与减少的产值表示是解决问题的关键．根据题意分别表示出2月份产值和3月份产值，即可得到2，3月份的总产值．
【详解】解：由题知，2月份产值下降，
2月份产值为，
3月份产值比2月份增加，
3月份产值为，
2，3月份的总产值为，
故选：C．
7. 已知点，，都在抛物线上，点A在点B左侧，下列选项正确的是（ ）
A. 若．则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答；由可知，抛物线的对称轴为直线，且开口向上，进而可得，当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大，根据对称性可知，与关于直线对称，由点A在点B左侧可得，点A在对称轴的左侧，点B在对称轴的右侧，且到对称轴的距离相等，然后分和两种情况讨论，再分别根据二次函数的性质求解即可．
【详解】解：，
对称轴为直线，且开口向上，
当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大，
点，，A在点B左侧
，A与B关于直线对称，且点A在对称轴的左侧，点B在对称轴的右侧，
当时，
，
y随x的增大而增大，
，
当时，
，
y随x的增大而减小，
，
故选：A．
8. 如图，四边形内接于圆，，，，则的长度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查圆内接四边形的性质，根据圆内接四边形对角和为180度可得，进而可得，即可求解．
【详解】解：，，
圆的周长，
四边形内接于圆，
，
，
，
，
，
，
故选B．
9. 甲袋中装着分别标有数字2，，，的同质同大小的四个球，乙袋中装着分别标有运算符号“”、“”的同质同大小的两个球，先从甲袋中任意摸出两球，再从乙袋中摸出一球，让甲袋中摸出的两球上标的数按乙袋摸出球的运算符号计算，则结果是有理数的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查用列表法求概率，列表得到所有的情况总数，找出结果是有理数的情况数，再利用概率公式求解，即可解题．
【详解】解：由题可列表如下：
由表可知：总共有24种结果，其中结果是有理数的有8种，
结果是有理数的概率为，
故选：B．
10. 如图，四边形中，， ，的长度可变化，点E在上，点F在上，若，，且F是的中点，则的最小值为（ ）
A. 6B. 8C. 9D. 10
【答案】A
【解析】
【分析】延长，交于点H，延长至点G，使得，连接，．通过，，及四边形是平行四边形得出，，将已知条件聚集在中，利用三角形三边关系求出最值．
【详解】
解：延长，交于点H，延长至点G，使得，连接，．
∵，
∴，
∴，
∵F是的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，，，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，A、E、G三点共线时，等号成立.，
∴的最小值为6．
故选：A．
【点睛】本题考查了轴对称变化求最值，其中涉及平行线的性质，全等三角形的应用，平行四边形的判定及性质，正确利用轴对称变换是解决本题的关键．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 的平方根是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据求一个数的平方根的计算方法即可求解．
【详解】解：的平方根表示为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查平方根的计算方法，掌握求一个数的平方根的运算是解题的关键．
12. 若点P在线段的延长线上，，，则的长为______．
【答案】5
【解析】
【分析】本题主要考查了线段的和差计算，根据线段的和差关系进行求解即可．
【详解】解：∵点P在线段的延长线上，，，
∴，
故答案为：5．
13. 如图，在中，，是的内切圆，M，N，K是切点，连接，．交于E，D两点．点F是上的一点，连接，，则的度数是______．
【答案】##62.5度
【解析】
【分析】本题主要考查了圆周角定理，三角形内心的性质，三角形内角和定理，先根据三角形内心的性质得，，进而求出，即可求出，然后根据圆周角定理得出答案．
【详解】∵是的内切圆，
∴，是的角平分线，
∴，．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
14. 如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在反比例函数，的图象上，且整式是一个完全平方式，点C在第二象限内，轴于点P，轴于点Q，连接，已知点A的纵坐标为．
（1）点A的坐标为______；
（2）若点B的横坐标为2，四边形的面积为8，则线段所在直线的函数表达式为______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本题考查了求反比例函数的解析式及一次函数的解析式、完全平方式：
（1）根据完全平方式得，进而可得，再将代入即可求解；
（2）依题意可设点的坐标为，利用可求得，进而可得，设线段所在直线的函数表达式为，利用待定系数法即可求解；
熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．
【详解】解：（1）由图得：，
整式是一个完全平方式，
，
，
将代入，得，
解得：，
点A的坐标为，
故答案为：；
（2）依题意可设点的坐标为，
由（1）得：，
轴于点P，轴于点Q，
，，，，
，，
四边形的面积为8，
，
解得：，
，
设线段所在直线的函数表达式为，
将和代入得：，
解得：，
线段所在直线的函数表达式为，
故答案为：．
三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了实数的混合运算，先计算乘方，二次根式的乘法及负整数幂，再计算加减即可．
【详解】解：原式
．
16. 解不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来．
【答案】，数轴表示见解析．
【解析】
【分析】本题考查了一元一次不等式的解法，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解答本题的关键．按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求出不等式的解集，然后在数轴上表示出不等式的解集．
【详解】解：，
，
，
，
不等式的解集在数轴上表示为：
四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放：
（1）第5个图形中有______颗黑色棋子；第8个图形比第6个图形多______颗黑色棋子；（填数字）
（2）第个图形比第n个图形中多______（用含n的代数式表示）颗黑色棋子．
【答案】（1）19，17
（2）
【解析】
【分析】本题考查了图形规律的探索，整式加减的应用，找到变化规律是解题的关键．
（1）按规律数黑色棋子的个数，找到规律，代入求解即可；
（2）根据（1）中的规律，列整式求解即可．
【小问1详解】
第1个图形中有1颗黑色棋子；
第2个图形中有颗黑色棋子；
第3个图形中有颗黑色棋子；
第4个图形中有颗黑色棋子；
则第5个图形中有颗黑色棋子；
故答案为：19；
第6个图形中有颗黑色棋子；
第8个图形中有颗黑色棋子；
所以第8个图形比第6个图形多颗黑色棋子；
故答案为：17．
小问2详解】
由（1）得，第n个图形中有黑色棋子 颗，
第个图形中有黑色棋子 颗，
，
所以第个图形比第n个图形中多颗黑色棋子．
故答案为：．
18. 网格中每个小方格是边长为1个单位的小正方形，菱形位置如图所示，且，．
（1）画出平面直角坐标系，写出点C的坐标；
（2）将菱形向左平移3个单位．再向上平移4个单位，画出平移后的菱形，若点在菱形内，其平移后的对应点为，写出的坐标．
【答案】（1）见详解，
（2）见详解，
【解析】
【分析】本题主要考查作图，涉及确定平面直角坐标系中点的坐标和点的平移，
根据给定的点确定原点以及点C的坐标；
根据平移得性质即可求得菱形和点．
【小问1详解】
解：如图，由图可知点，
【小问2详解】
∵菱形向左平移3个单位．再向上平移4个单位，
∴点也向左平移3个单位．再向上平移4个单位，
则点．
五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 为增强民众生活幸福感，某社区服务队在休闲活动场所的墙上安装遮阳棚，方便居民使用．如图，在侧截面示意图中，遮阳棚长4米，与水平线的夹角为，且靠墙端离地的高为4米，当太阳光线与地面的夹角为时，求的长．（结果精确到0.1米；参考数据：，，，，，）
【答案】的长为．
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是掌握锐角三角函数的定义，求出相关线段的长度．过点作于点，作于点，易知四边形为矩形，得到，，利用三角函数求出，，推出，，再利用三角函数求出，最后根据，即可解题．
详解】解：过点作于点，作于点，
由题易知四边形为矩形，
，，
遮阳棚长4米，与水平线的夹角为，
，
，
高为4米，
，
，
又太阳光线与地面的夹角为，
，
．
20. 某工程由甲、乙两个工程队施工，工程小组综合比较两工程队发现，甲工程队施工2天的费用比乙工程队施工3天的费用少0.3万元，甲、乙两工程队合作施工一天的费用为2.6万元．单独完成这项工程，甲工程队刚好如期完成，乙工程队要比规定日期多用5天，初步计算，若单独请甲工程队需付30万元．
（1）请计算甲、乙工程队每天所需的施工费用各是多少万元?
（2）为降低工程施工费用，甲、乙两工程队先合作施工若干天，再由乙工程队全部完成，求甲、乙两工程队合作施工多少天时，在不耽误工期情况下，施工费用最低．
【答案】（1）甲工程队每天所需的施工费用为1.5万元，乙工程队每天所需的施工费用为 1.1万元
（2）甲、乙两工程队合作施工4天时，在不耽误工期的情况下，施工费用最低
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组应用，一元一次不等式的实际应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组及不等式求解．
（1）设甲工程队每天所需的施工费x万元，乙工程队每天所需的施工费y万元，依题甲工程队施工2天的费用比乙工程队施工3天的费用少0.3万元，甲、乙两工程队合作施工一天的费用为2.6万元列出方程组即可求解；
（2）根据题得：单独完成这项工程，甲工程队刚好如期完成，甲工程队单独施工需20天，乙单独完成这项工程需天，设乙工程队施工a天，设甲、乙两工程队先合作施工a天，则乙工程队需单独施工天，根据甲乙合作的工作量加上乙单独完成的工作量大于等于总工作量，列出不等式，求解即可．
【小问1详解】
解：设甲工程队每天所需的施工费x万元，乙工程队每天所需的施工费y万元，
依题意列方程得：，
解得：，
答：甲工程队每天所需的施工费用为1.5万元，乙工程队每天所需的施工费用为1.1万元；
【小问2详解】
解：根据题得：单独完成这项工程，甲工程队刚好如期完成，甲工程队单独施工需：（天），则工期为20天，
单独完成这项工程需20天，乙单独完成这项工程需天，
设甲、乙两工程队先合作施工a天，则乙工程队需单独施工天，
根据题意得：，
解得：，
则总费用为：，
当时，总费用最少，为（万元），
答：甲、乙两工程队合作施工4天时，在不耽误工期的情况下，施工费用最低．
六、（本题满分12分）
21. 为提高学生安全防范意识和自我防护能力、某校举行了校园安全知识宣传活动，现在从全校1500名学生中随机抽取部分学生进行知识测试，并将测试成绩（满分100分，得分x均为不少于60的整数）分成四组：合格，较好．良好，优秀，绘制了不完整的频数分布直方图和扇形统计图如图．
由图中给出的信息解答下列问题：
（1）填空：测试成绩良好的学生人数为______，扇形统计图中“较好”所对应的扇形圆心角的度数为______；这次测试成绩的中位数所在组别为______；
（2）补全频数分布直方图；
（3）请根据抽样调查的结果，估计该校测试成绩为良好和优秀的学生共有多少人?
【答案】（1），，良好；
（2）见解析 （3）该校测试成绩为良好和优秀的学生共有人．
【解析】
【分析】本题考查频数分布直方图，扇形统计图，求扇形圆心角度数，样本估计总体，中位数等知识，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
（1）根据优秀人数所占百分比和其频数，求出抽取学生的总人数，再利用总人数减去其余人数，即可得到测试成绩良好的学生人数，利用频数分布直方图得到“较好”所占百分比，利用乘以“较好”所占百分比，即可得到“较好”所对应的扇形圆心角的度数，根据中位数定义找出中位数，推出这次测试成绩的中位数所在组别，即可解题；
（2）根据（1）中数据即可补全频数分布直方图；
（3）根据频数分布直方图得到测试成绩为良好和优秀的学生所占比，利用1500乘以其所占比，即可解题．
【小问1详解】
解：由题知（人），
（人），
，
抽取学生的总人数为人，
这次测试成绩的中位数所在组别为良好；
故答案为：，，良好；
【小问2详解】
解：补全频数分布直方图如下图所示：
【小问3详解】
解：（人），
答：该校测试成绩为良好和优秀的学生共有人．
七、（本题满分12分）
22. 如图．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴交于A，B两点，它的对称轴交抛物线于点M，交x轴于点N，过点M作轴于点D，连接交对称轴于点E．已知点A的坐标为．
（1）求此抛物线的表达式及顶点的坐标；
（2）求与的面积之比；
（3）动点P，Q在此抛物线上，其横坐标分别为m，．其中．设此抛物线在点A和点P之间的部分（包含点A和点P）的最高点与最低点的纵坐标之差为﹐在点A和点Q之间的部分（包含点A和点Q）的最高点与最低点的纵坐标之差为，当时，请求出m的值．
【答案】（1）函数的解析式为：，顶点坐标为；
（2）；
（3）．
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数的性质，涉及待定系数法求解析式、两点之间的距离和分类讨论思想，
（1）根据题意采取待定系数法即可求得解析式；
（2）根据题意求得点B和点D的坐标即可得到直线得解析式，再结合两点之间的距离即可求得面积之比；
（3）采取分类讨论：当时，，可得，；当时，，得，，即可求得m．
【小问1详解】
解：∵抛物线与x轴交于A，
∴，解得，
则函数的解析式为：，
即函数的解析式为：，顶点坐标为；
【小问2详解】
令，得，解得，，则点，
由（1）得点，则点，
设直线得解析式为，
，解得，
则直线得解析式为，
∵点E为对称轴和直线，
∴，
则；
【小问3详解】
①当时，，
∵点P，Q在此抛物线上，且其横坐标分别为m，
∴，，
∵，
∴，解得（舍去）；
②当时，，
同理得，，
则，解得，（舍去）；
故．
八、（本题满分14分）
23. 如图1，在中，点D，E分别是边上的点，且，连接，点F在上，连接，，．
（1）求证：；
（2）如图2，若，．
① 求的值；
② 求证：．
【答案】（1）见解析 （2）① ；② 见解析
【解析】
【分析】（1）根据，先证四边形是平行四边形，推出，，进而证明，根据对应边成比例可得，即可证明；
（2）①设，，用勾股定理解，，可得，根据直角三角形斜边中线的性质可得，作于点H，结合等腰三角形三线合一可得，再根据余弦函数的定义即可求解；② 根据可得，通过导角可得，根据等腰三角形三线合一可得，即可证明．
【小问1详解】
证明：，
，
又，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
；
【小问2详解】
解：① 设，，则，
，
，
由（1）得，，
，，
在中，由勾股定理得：，
，
由（1）得，
点F为斜边的中点，
，
四边形是平行四边形，
，
如图，作于点H，
，，
，
；
②证明：由①得，，
，
，，
，
，
，，
，
即．
【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，余弦函数，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质等，涉及知识点较多，有一定难度，熟练进行等量代换是解题的关键．
乘法运算结果
2
2
加法运算结果
2
2