北师大版2023-2024学年七年级数学上册压轴题攻略(成都专用)专题08一元一次方程的五种实际应用(原卷版+解析)

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专题08 一元一次方程的五种实际应用类型一、 销售利润问题例．某街道居委会需印制主题为“做文明有礼北京人，垃圾分类从我做起”的宣传单，其附近两家图文社印制此种宣传单的收费标准如图所示：（1）为达到及时宣传的目的，街道居委会同时在A、B两家图文社共印制了1500张宣传单，印制费用共计179元，则街道居委会在A图文社印制了______张宣传单；（2）为扩大宣传力度，街道居委会还需要再加印5000张宣传单，在A、B两家图文社中，选择______图文社更省钱（填A或B）．【变式训练1】“虎年大吉，岁岁平安”，为了喜迎新春，某水果店在春节期间推出水果篮和坚果礼盒，每个水果篮的成本为200元，每盒坚果礼盒的成本为150元，每个水果篮的售价比每盒坚果礼盒的售价多100元，售卖1个水果篮获得的利润和售卖2盒坚果礼盒获得的利润相同．(1)求每个水果篮和每盒坚果礼盒的售价；(2)在年末时，该水果店购进水果篮1250个和坚果礼盒1200盒，进行“新春特惠”促销活动．水果店规定，每人每次最多购买水果篮1个或坚果礼盒1盒，每个水果篮在售价的基础上打九折后再参与店内“每满100元减m元”的活动，每盒坚果礼盒直接参与店内“每满100元减m元”的活动．售卖结束时，坚果礼盒全部售卖完，售卖过程中由于部分水果变质导致水果篮有50个没办法售出．若该水果店获得的利润率为20%，求m的值．【变式训练2】某工厂有甲、乙两个车间，甲车间生产A产品，乙车间生产B产品，去年两个车间生产产品的数量相同且全部售出．已知A产品的销售单价比B产品的销售单价高100元，1件A产品与1件B产品售价和为300元．(1)A、B两种产品的销售单价分别是多少元？(2)今年，该工厂计划依托工业互联网将乙车间改造为专供用户定制B产品的生产车间．预计A产品在售价不变的情况下产量将在去年的基础上增加a%；B产品产量将在去年的基础上减少a%，但B产品的销售单价将提高2a%．则今年A、B两种产品全部售出后总销售额将在去年的基础上增加．求a的值．【变式训练3】某超市第一次以4450元购进甲、乙两种商品，其中乙商品的件数是甲商品件数的2倍多15件，甲、乙两种商品的进价和售价如下表：（注：利润＝售价－进价）(1)该超市第一次购进甲、乙两种商品各多少件？(2)该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品，其中乙商品的件数不变，甲商品的件数是第一次的2倍；乙商品按原价销售，甲商品打折销售，第二次两种商品都销售完以后获得的总利润与第一次获得的总利润一样，求第二次甲商品是按原价打几折销售？类型二、 配套问题例．臭豆腐是长沙的特色名小吃．某包装臭豆腐厂有60名工人生产包装臭豆腐料包，已知每袋包装臭豆腐里有1个汤料包和4个配料包，每名工人每小时可以加工100个汤料包或者200个配料包，为使每天加工生产出的汤料包和配料包刚好配套，请问安排多少名工人去加工汤料包？【变式训练1】其社区打算购买一批垃圾分类提示牌和垃圾箱，计划提示牌比垃圾箱多购买6个，且提示牌与垃圾箱的个数之和恰好为100个．(1)求计划购买提示牌多少个？(2)为提升居民垃圾分类意识，实际购买时增加了提示牌的购买数量，且提示牌与垃圾箱的购买数量之和不变．已知提示牌的单价为每个60元，垃圾箱的单价为每个150元，若预算费用不超过9800元，请求出实际购买提示牌的数量至少增加了多少个？【变式训练2】列方程解应用题某啤酒公司的啤酒车间先将散装啤酒灌装成瓶装啤酒，再将瓶装啤酒装箱出车间．该车间有灌装、装箱生产线共21条，每条灌装生产线每小时装350瓶，每条装箱生产线每小时装450瓶．某日，生产前车间内已有未装箱的瓶装啤酒5200瓶，8:00开始，车间内的生产线全部投入生产．(1)若当日到10:00时，该车间内未装箱的瓶装啤酒达到5500瓶.设灌装生产线有x条，当日到10:00时，灌装生产线共装多少瓶啤酒（用含x的代数式表示）？该车间内灌装生产线有多少条？(2)若该日车间工作8小时，灌装生产线设计多少条时？该日车间内的瓶装啤酒恰好全部装箱？【变式训练3】某生产教具的厂家准备生产正方体教具，教具由塑料棒与金属球组成（一条棱用一根塑料棒，一个顶点用一个金属球镶嵌），并且根据材质优劣分为高档、中档和低档三种档次进行包装．(1)生产前要画直观图，现在设计人员仅画出如图所示的设计图，请您补全正方体模型的直观图，并写出结论．(2)该厂家的一个车间负责生产正方体教具，该车间共有11名工人，每个工人每天可生产塑料棒50根或者金属球40个．如果你是车间主任，你会如何分配工人成套生产正方体教具？(3)现某中学购买两种档次的正方体教具共200套（价格如下图所示），若恰好用了5600元，请问该学校应该如何购买该教具？无须解题过程，只需直接写出购买方案．【变式训练4】饺子是中国传统食物，用一张圆形面皮包馅制作而成，形如半月或元宝形（图1）：合子也是北方流行的一种美食，用两张圆形面皮包馅制作而成，呈扁圆形（图2），含有团团圆圆的美好寓意春节期间，小红的爸爸和妈妈为家人们制作美味的饺子和合子，爸爸说：“我一共制作了100张圆形面皮”，妈妈说：“饺子和合子我一共包了90个，正好用完你制作的面皮”请你根据以上信息，利用一元一次方程的相关知识求出小红妈妈所包饺子和合子各多少个．类型三、 方案问题例．“春节”期间，小明一家人乘坐高铁前往某市旅游，计划第二天开始租用新能源汽车自驾出游，经了解，甲、乙两公司的收费标准如下：甲公司：一次性收取固定租金80元，另外再按租车时间计费，每小时的租费是15元；乙公司：无固定租金，直接以租车时间收费，每小时的租费是30元．(1)若租车时间为x小时，则租用甲公司的车所需费用为 元，租用乙公司的车所需费用为 元(结果用含x的代数式表示)；(2)当租车时间为11小时时，选择哪一家公司比较合算？(3)当租车多少时间时，两家公司收费相同？【变式训练1】某班将买一些乒乓球和乒乓球拍，现了解情况如下：甲、乙两家出售同样品牌的乒乓球和乒乓球拍，乒乓球拍每副定价40元，乒乓球每盒10元，经洽谈后，甲店每买一副球拍赠一盒乒乓球；乙店全部按定价的9折优惠，该班需买球拍6副，乒乓球若干盒（不少于6盒）．(1)设要买的乒乓球为x盒，则到甲店购买需付 元；到乙店购买需付 元（用x的代数式表示）(2)当购买20盒乒乓球时，到哪家商店购买比较合算？(3)当购买多少盒时，到两家商店购买一样？类型四、 工程问题例．为了美化校园，校团委植树节在清华路两旁植树，甲团小组计划用若干天完成校团委的植树工作，从第三个工作日起，乙团小组加入此项工作，且甲、乙两团小组工作效率相同，结果提前3天完成任务，求甲团小组计划完成此项工作的天数．【变式训练1】新农村建设中，某镇成立了新型农业合作社，扩大了油菜种植面积，今年2000亩油菜喜获丰收．该合作社计划租赁5台油菜收割机机械化收割，一台收割机每天大约能收割40亩油菜．(1)求该合作社按计划几天可收割完这些油菜；(2)该合作社在完成了一半收割任务时，从气象部门得知三天后有降雨，于是该合作社决定再租赁3台油菜收割机加入抢收，并把每天的工作时间延长10%，请判断该合作社能否完成抢收任务，并说明理由．【变式训练2】某工程队承包德阿公路绵竹市境内一段长为1755米的道路改造工程，由甲、乙两个施工小队分别从南、北两端同时施工．已知甲队比乙队平均每天多施工3米，经过5天施工后，两个小队共完成施工路段135米．(1)求甲、乙两个小队平均每天各施工多少米？(2)为加快进度，通过改进施工技术，在剩余的工程中，甲队平均每天能比原来多施工1米，乙队平均每天能比原来多施工2米，甲、乙同时按此施工，能够比原来提前多少天完成道路改造任务？【变式训练3】举世瞩目的2022北京冬奥会即将开幕，各行各业都在用实际行动为冬奥的圆满成功贡献力量．某工厂赶制一批冬奥纪念品，如果只由一个车间生产需要40天完成．现计划由部分车间先生产4天，然后再增加两个车间一起生产8天，完成这项工作．假设这些车间的工人人数相同，工作效率也相同，具体应先安排多少个车间进行生产．类型五、 按比例分配例．冰墩墩是2022年北京冬季奥运会的吉祥物，将熊猫形象与富有超能量的冰晶外壳相结合，体现了追求卓越、引领时代，以及面向未来的无限可能．某学校购进了一批冰墩墩吉祥物分配给各班，若每班分4个，则剩余2个；若每班分5个，则还缺16个．求这个学校有几个班级？【变式训练1】列方程解应用题，若没有列方程，则给0分．(1)洗衣机厂今年计划生产洗衣机25500台，其中Ⅰ型、Ⅱ型、Ⅲ型三种洗衣机的数量比为1：2：14，计划生产这三种洗衣机各多少台？(2)一列火车匀速行驶，经过（从车头进人到车尾离开）一条长300m的隧道需要20s的时间．隧道的顶上有一盏灯，垂直向下发光，灯光照在火车上的时间是10s．求这列火车的长度．【变式训练2】妇人洗碗在河滨，路人问他客几人？答曰：“不知客数目，六十五碗自分明，二人共食一碗饭，三人共吃一碗羹，四人共肉无余数，请君细算客几人？”本题的大意是：有一名妇人在河边洗碗，一个过路的人问她有多少个客人吃饭，妇人说“人数不知道，一共65个碗，其中两个人共用一碗饭，三个人共喝一碗汤，四个人共吃一碗肉，请你算算一共有多少个客人？”【变式训练3】年春节前夕，突如其来的新型冠状病毒肺炎造成口罩紧缺，为满足社会需求，某一工厂需购买、两种材料，用于生产甲、乙两种口罩，每件分别使用的材料和数量如表：其中种材料每千克元，种材料每千克元． （1）若生产甲型口罩的数量比生产乙型口罩的数量多件时，两种口罩需购买材料的资金相同，求生产甲、乙两种口罩各多少件？（2）若工厂用于购买、两种材料的资金不超过元，且需生产两种口罩共件，求至少能生产甲种口罩多少件？甲乙进价（元/件）2030售价（元/件）2540品种高档中档低档每套的价格/元403020A种B种甲型30kg10kg乙型20kg 20kg专题08 一元一次方程的五种实际应用类型一、 销售利润问题例．某街道居委会需印制主题为“做文明有礼北京人，垃圾分类从我做起”的宣传单，其附近两家图文社印制此种宣传单的收费标准如图所示：（1）为达到及时宣传的目的，街道居委会同时在A、B两家图文社共印制了1500张宣传单，印制费用共计179元，则街道居委会在A图文社印制了______张宣传单；（2）为扩大宣传力度，街道居委会还需要再加印5000张宣传单，在A、B两家图文社中，选择______图文社更省钱（填A或B）．【答案】     800     B【详解】（1）解：设街道居委会在A图文社印制了张宣传单，则在B图文社印制了张宣传单，由题意知，，解得，，故答案为：800．（2）解：由题意知，印制5000张宣传单，在A图文社印制需要元；在B图文社印制需要元；∵，∴B图文社更省钱，故答案为：B．【变式训练1】“虎年大吉，岁岁平安”，为了喜迎新春，某水果店在春节期间推出水果篮和坚果礼盒，每个水果篮的成本为200元，每盒坚果礼盒的成本为150元，每个水果篮的售价比每盒坚果礼盒的售价多100元，售卖1个水果篮获得的利润和售卖2盒坚果礼盒获得的利润相同．(1)求每个水果篮和每盒坚果礼盒的售价；(2)在年末时，该水果店购进水果篮1250个和坚果礼盒1200盒，进行“新春特惠”促销活动．水果店规定，每人每次最多购买水果篮1个或坚果礼盒1盒，每个水果篮在售价的基础上打九折后再参与店内“每满100元减m元”的活动，每盒坚果礼盒直接参与店内“每满100元减m元”的活动．售卖结束时，坚果礼盒全部售卖完，售卖过程中由于部分水果变质导致水果篮有50个没办法售出．若该水果店获得的利润率为20%，求m的值．【答案】(1)每个水果篮的售价为300元，每盒坚果礼盒的售价为200元．(2)m的值为10．【解析】(1)设每盒坚果礼盒的售价为x元，则每个水果篮的售价为（x+100）元，依题意得：2（x-150）=x+100-200，解得：x=200，∴x+100=300．答：每个水果篮的售价为300元，每盒坚果礼盒的售价为200元．(2)∵300×0.9=270（元），∴每个水果篮的活动价为（270-2m）元．∵每盒坚果礼盒的售价为200元，∴每盒坚果礼盒的活动价为（200-2m）元．依题意得：（1250-50）（270-2m）+1200（200-2m）-1250×200-1200×150=（1250×200+1200×150）×20%，解得：m=10．答：m的值为10．【变式训练2】某工厂有甲、乙两个车间，甲车间生产A产品，乙车间生产B产品，去年两个车间生产产品的数量相同且全部售出．已知A产品的销售单价比B产品的销售单价高100元，1件A产品与1件B产品售价和为300元．(1)A、B两种产品的销售单价分别是多少元？(2)今年，该工厂计划依托工业互联网将乙车间改造为专供用户定制B产品的生产车间．预计A产品在售价不变的情况下产量将在去年的基础上增加a%；B产品产量将在去年的基础上减少a%，但B产品的销售单价将提高2a%．则今年A、B两种产品全部售出后总销售额将在去年的基础上增加．求a的值．【答案】(1)产品的销售单价为200元，产品的销售单价为100元；(2)50【解析】(1)解：设产品的销售单价为元，则产品的销售单价为元，   ．依题意得：，   ．解得：=100，∴+100=200．   ．答：产品的销售单价为200元，产品的销售单价为100元(2)解：设去年每个车间生产产品的数量为件，   依题意得：200(1+%)t+100(1+2%)(1-%)t=300(1+)t   设，则原方程可化简为2m2-m=0，解得：，（不合题意，舍去），   ∴=50．答：的值为50．【变式训练3】某超市第一次以4450元购进甲、乙两种商品，其中乙商品的件数是甲商品件数的2倍多15件，甲、乙两种商品的进价和售价如下表：（注：利润＝售价－进价）(1)该超市第一次购进甲、乙两种商品各多少件？(2)该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品，其中乙商品的件数不变，甲商品的件数是第一次的2倍；乙商品按原价销售，甲商品打折销售，第二次两种商品都销售完以后获得的总利润与第一次获得的总利润一样，求第二次甲商品是按原价打几折销售？【答案】(1)甲50件，乙115件；(2)9折【解析】(1)设第一次购进甲种商品x件，则购进乙种商品件，由题意得：，解得，所以，第一次购进甲种商品50件，则购进乙种商品115件．(2)设第二次甲商品是按原价打m折销售，根据题意得：，解得答：第二次甲商品是按原价打9折销售．类型二、 配套问题例．臭豆腐是长沙的特色名小吃．某包装臭豆腐厂有60名工人生产包装臭豆腐料包，已知每袋包装臭豆腐里有1个汤料包和4个配料包，每名工人每小时可以加工100个汤料包或者200个配料包，为使每天加工生产出的汤料包和配料包刚好配套，请问安排多少名工人去加工汤料包？【答案】安排20人加工汤料包．【详解】解：设安排x人加工汤料包，则安排（60-x）人加工配料包，根据题意得：4×100x=200（60-x），解得x=20，答：安排20人加工汤料包．【变式训练1】其社区打算购买一批垃圾分类提示牌和垃圾箱，计划提示牌比垃圾箱多购买6个，且提示牌与垃圾箱的个数之和恰好为100个．(1)求计划购买提示牌多少个？(2)为提升居民垃圾分类意识，实际购买时增加了提示牌的购买数量，且提示牌与垃圾箱的购买数量之和不变．已知提示牌的单价为每个60元，垃圾箱的单价为每个150元，若预算费用不超过9800元，请求出实际购买提示牌的数量至少增加了多少个？【答案】(1)53个；(2)至少增加5个【解析】(1)解：设计划购买提示牌x个，根据题意，得，解得：，答：计划购买提示牌53个．(2)：设实际购买提示牌y个，根据题意，得，解得，∵y为整数，∴y最小值为58．∴．答：实际购买的提示牌数量至少增加5个．【变式训练2】列方程解应用题某啤酒公司的啤酒车间先将散装啤酒灌装成瓶装啤酒，再将瓶装啤酒装箱出车间．该车间有灌装、装箱生产线共21条，每条灌装生产线每小时装350瓶，每条装箱生产线每小时装450瓶．某日，生产前车间内已有未装箱的瓶装啤酒5200瓶，8:00开始，车间内的生产线全部投入生产．(1)若当日到10:00时，该车间内未装箱的瓶装啤酒达到5500瓶.设灌装生产线有x条，当日到10:00时，灌装生产线共装多少瓶啤酒（用含x的代数式表示）？该车间内灌装生产线有多少条？(2)若该日车间工作8小时，灌装生产线设计多少条时？该日车间内的瓶装啤酒恰好全部装箱？【答案】(1)灌装生产线共装（350×2x）瓶啤酒，灌装生产线有12条；(2)灌装生产线设计13条时，该日车间内的瓶装啤酒恰好全部装箱．【解析】(1)解：当日到10:00时，灌装生产线共装（350×2x）瓶啤酒，根据题意，得5200+350×2x=450×2（21-x）+5500，解这个方程，得：x=12答：灌装生产线共装（350×2x）瓶啤酒，灌装生产线有12条；(2)解：设灌装生产线设计y条时，该日车间内的瓶装啤酒恰好全部装箱，根据题意，得5200＋350×8y=450×8（21-y），解这个方程，得：y=11．答：灌装生产线设计11条时，该日车间内的瓶装啤酒恰好全部装箱．【变式训练3】某生产教具的厂家准备生产正方体教具，教具由塑料棒与金属球组成（一条棱用一根塑料棒，一个顶点用一个金属球镶嵌），并且根据材质优劣分为高档、中档和低档三种档次进行包装．(1)生产前要画直观图，现在设计人员仅画出如图所示的设计图，请您补全正方体模型的直观图，并写出结论．(2)该厂家的一个车间负责生产正方体教具，该车间共有11名工人，每个工人每天可生产塑料棒50根或者金属球40个．如果你是车间主任，你会如何分配工人成套生产正方体教具？(3)现某中学购买两种档次的正方体教具共200套（价格如下图所示），若恰好用了5600元，请问该学校应该如何购买该教具？无须解题过程，只需直接写出购买方案．【答案】(1)见详解；(2)6名工人生产塑料棒，5名工人生产金属棒；(3)购买80套高档，120套低档教具；或购买160套中档，40套低档教具；【解析】(1)解：如图所示，长方体即为所求．(2)解：设让x名工人生产塑料棒，则让名工人生产金属球，根据题意可得，，，，，．∴．故让6名工人生产塑料棒，5名工人生产金属棒．(3)解：①若选择购买高档、中档两种教具，设购买m套高档教具，则购买套中档教具，根据题意可得，，，，．不符合题意，舍去．②若选择购买高档、低档两种教具，设购买n套高档教具，则购买套低档教具，根据题意可得，，，，．∴．故购买80套高档，120套低档教具；③若购买中档、低档两种教具，设购买y套中档教具，则购买套低档教具，根据题意可得，，，．∴．故购买160套中档，40套低档教具；综上所述，共有两种购买方案：购买80套高档，120套低档教具；或购买160套中档，40套低档教具．【变式训练4】饺子是中国传统食物，用一张圆形面皮包馅制作而成，形如半月或元宝形（图1）：合子也是北方流行的一种美食，用两张圆形面皮包馅制作而成，呈扁圆形（图2），含有团团圆圆的美好寓意春节期间，小红的爸爸和妈妈为家人们制作美味的饺子和合子，爸爸说：“我一共制作了100张圆形面皮”，妈妈说：“饺子和合子我一共包了90个，正好用完你制作的面皮”请你根据以上信息，利用一元一次方程的相关知识求出小红妈妈所包饺子和合子各多少个．【答案】小红妈妈包了80个饺子，10个合子【详解】解：设小红妈妈包了x个饺子，则包了个合子， 根据题意，得 解这个方程，得 ， 答：小红妈妈包了80个饺子，10个合子．类型三、 方案问题例．“春节”期间，小明一家人乘坐高铁前往某市旅游，计划第二天开始租用新能源汽车自驾出游，经了解，甲、乙两公司的收费标准如下：甲公司：一次性收取固定租金80元，另外再按租车时间计费，每小时的租费是15元；乙公司：无固定租金，直接以租车时间收费，每小时的租费是30元．(1)若租车时间为x小时，则租用甲公司的车所需费用为 元，租用乙公司的车所需费用为 元(结果用含x的代数式表示)；(2)当租车时间为11小时时，选择哪一家公司比较合算？(3)当租车多少时间时，两家公司收费相同？【答案】(1)（80+15x），30x，(2)选择甲公司比较合算，(3)小时【解析】(1)解：由题意得，租用甲公司的车所需费用为：（80+15x）元，租用乙公司的车所需费用为：30x元；故答案为：（80+15x），30x．(2)解：当x=11时，80+15×11=245元，30×11=330元，∵245元＜330元，∴选择甲公司比较合算．(3)解：由题意得，80+15x=30x，解得：x=．答：当租车小时时，两家公司收费相同．【变式训练1】某班将买一些乒乓球和乒乓球拍，现了解情况如下：甲、乙两家出售同样品牌的乒乓球和乒乓球拍，乒乓球拍每副定价40元，乒乓球每盒10元，经洽谈后，甲店每买一副球拍赠一盒乒乓球；乙店全部按定价的9折优惠，该班需买球拍6副，乒乓球若干盒（不少于6盒）．(1)设要买的乒乓球为x盒，则到甲店购买需付 元；到乙店购买需付 元（用x的代数式表示）(2)当购买20盒乒乓球时，到哪家商店购买比较合算？(3)当购买多少盒时，到两家商店购买一样？【答案】(1)180+10x；9x+216；(2)去甲店合算(3)购买36盒乒乓球时两种优惠办法付款一样【解析】(1)解：到甲店购买时，根据题意 ，因此赠送乒乓球6盒，超出6盒部分的乒乓球需付钱，所以到甲店购买需付 （元），到乙店购买时需付 （元），故到甲店购买需付 180+10x（元），到乙店购买时需付 9x+216（元）．(2)当购买20盒乒乓球时，到甲店需付款： （元），到乙店需付款： （元），∵380＜396，∴到甲店合算；(3)设购买x盒乒乓球时，两家优惠办法付款一样．由题意得：，解得：x=36．答：购买36盒乒乓球时两种优惠办法付款一样．类型四、 工程问题例．为了美化校园，校团委植树节在清华路两旁植树，甲团小组计划用若干天完成校团委的植树工作，从第三个工作日起，乙团小组加入此项工作，且甲、乙两团小组工作效率相同，结果提前3天完成任务，求甲团小组计划完成此项工作的天数．【答案】8天【详解】解：设甲团小组计划完成此项工作的天数为x天，甲、乙两团小组工作效率均为a，根据题意得，解得＝8．答：设甲团小组计划完成此项工作的天数为8天．【变式训练1】新农村建设中，某镇成立了新型农业合作社，扩大了油菜种植面积，今年2000亩油菜喜获丰收．该合作社计划租赁5台油菜收割机机械化收割，一台收割机每天大约能收割40亩油菜．(1)求该合作社按计划几天可收割完这些油菜；(2)该合作社在完成了一半收割任务时，从气象部门得知三天后有降雨，于是该合作社决定再租赁3台油菜收割机加入抢收，并把每天的工作时间延长10%，请判断该合作社能否完成抢收任务，并说明理由．【答案】(1)该合作社按计划10天可收割完这些油菜(2)该合作社能完成抢收任务，理由见解析【解析】(1)解：设该合作社按计划天可收割完这些油菜，解得：答：该合作社按计划10天可收割完这些油菜；(2)解：原来一天的收割量：（亩），现在一天的收割量：（亩），现在三天可完成的收割量：（亩）亩．答：该合作社能完成抢收任务．【变式训练2】某工程队承包德阿公路绵竹市境内一段长为1755米的道路改造工程，由甲、乙两个施工小队分别从南、北两端同时施工．已知甲队比乙队平均每天多施工3米，经过5天施工后，两个小队共完成施工路段135米．(1)求甲、乙两个小队平均每天各施工多少米？(2)为加快进度，通过改进施工技术，在剩余的工程中，甲队平均每天能比原来多施工1米，乙队平均每天能比原来多施工2米，甲、乙同时按此施工，能够比原来提前多少天完成道路改造任务？【答案】(1)甲施工小队平均每天施工15米，乙施工小队平均每天施工12米．(2)能够比原来提前6天完成道路改造任务．【解析】(1)解：设乙施工小队平均每天施工米，则甲施工小队平均每天施工米．根据题意得：．解得：．所以．答：甲施工小队平均每天施工15米，乙施工小队平均每天施工12米．(2)解：改进施工技术后，甲施工小队平均每天施工米；乙施工小队平均每天施工米．则改进施工技术后，剩余的工程还需：天；按原施工进度，剩余的工程还需：天．所以少用的天数为：天．答：能够比原来提前6天完成道路改造任务．【变式训练3】举世瞩目的2022北京冬奥会即将开幕，各行各业都在用实际行动为冬奥的圆满成功贡献力量．某工厂赶制一批冬奥纪念品，如果只由一个车间生产需要40天完成．现计划由部分车间先生产4天，然后再增加两个车间一起生产8天，完成这项工作．假设这些车间的工人人数相同，工作效率也相同，具体应先安排多少个车间进行生产．【答案】应先安排2个车间进行生产．【详解】解：设应先安排x个车间进行生产， 依题意得：， 解得：x=2． 答：应先安排2个车间进行生产．类型五、 按比例分配例．冰墩墩是2022年北京冬季奥运会的吉祥物，将熊猫形象与富有超能量的冰晶外壳相结合，体现了追求卓越、引领时代，以及面向未来的无限可能．某学校购进了一批冰墩墩吉祥物分配给各班，若每班分4个，则剩余2个；若每班分5个，则还缺16个．求这个学校有几个班级？【答案】【详解】解：设这个学校有个班级，则，解得．答：这个学校有个班级．【变式训练1】列方程解应用题，若没有列方程，则给0分．(1)洗衣机厂今年计划生产洗衣机25500台，其中Ⅰ型、Ⅱ型、Ⅲ型三种洗衣机的数量比为1：2：14，计划生产这三种洗衣机各多少台？(2)一列火车匀速行驶，经过（从车头进人到车尾离开）一条长300m的隧道需要20s的时间．隧道的顶上有一盏灯，垂直向下发光，灯光照在火车上的时间是10s．求这列火车的长度．【答案】(1)Ⅰ型、Ⅱ型、Ⅲ型三种洗衣机分别生产1500、3000、21000台．(2)这列火车的长度300m．【解析】(1)解：设Ⅰ型、Ⅱ型、Ⅲ型三种洗衣机分别生产x、2x、14x台，依题意得：x＋2x＋14x＝25500，解得：x＝1500∴2x＝2×1500＝3000，14x＝14×1500＝21000答：Ⅰ型、Ⅱ型、Ⅲ型三种洗衣机分别生产1500、3000、21000台．(2)解：设火车的长度为x m，根据题意得：，解得：x＝300，答：这列火车的长度300m．【变式训练2】妇人洗碗在河滨，路人问他客几人？答曰：“不知客数目，六十五碗自分明，二人共食一碗饭，三人共吃一碗羹，四人共肉无余数，请君细算客几人？”本题的大意是：有一名妇人在河边洗碗，一个过路的人问她有多少个客人吃饭，妇人说“人数不知道，一共65个碗，其中两个人共用一碗饭，三个人共喝一碗汤，四个人共吃一碗肉，请你算算一共有多少个客人？”【答案】60【详解】解：设共有客人人，依题意可得：．解之得：．答：共有客人60人．【变式训练3】年春节前夕，突如其来的新型冠状病毒肺炎造成口罩紧缺，为满足社会需求，某一工厂需购买、两种材料，用于生产甲、乙两种口罩，每件分别使用的材料和数量如表：其中种材料每千克元，种材料每千克元． （1）若生产甲型口罩的数量比生产乙型口罩的数量多件时，两种口罩需购买材料的资金相同，求生产甲、乙两种口罩各多少件？（2）若工厂用于购买、两种材料的资金不超过元，且需生产两种口罩共件，求至少能生产甲种口罩多少件？【答案】（1）生产甲、乙两种口罩分别为80件、70件；（2）至少能生产甲种口罩150件【详解】（1）设乙型口罩的数量为件，则甲型口罩的数量为件根据题意，得： ∴ ，∴ ∴生产甲、乙两种口罩分别为80件、70件；（2）设甲型口罩的数量为件，则乙型口罩的数量为件根据题意，得：∴ ∴至少能生产甲种口罩150件．甲乙进价（元/件）2030售价（元/件）2540品种高档中档低档每套的价格/元403020A种B种甲型30kg10kg乙型20kg 20kg