备战2024年中考数学一轮复习考点帮(上海专用)专题18圆压轴题(原卷版+解析)

这是一份备战2024年中考数学一轮复习考点帮(上海专用)专题18圆压轴题(原卷版+解析)，共74页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。
以圆为背景的综合问题是中考压轴题的命题趋势之一，按往年命题趋势猜测，很大概率会和平行线段分线段成比例 (2023年），梯形，特殊平行四边形（最新热点）等知识点结合，主要考查学生挖掘信息的能力，难题分解能力，数学综合能力
考点一
定圆结合直角三角形，考察函数关系，圆心距，存在性问题；
考点二
定圆结合直角三角形；三角形相似，线段与周长的函数关系；
考点三
定圆结合直角三角形；考察函数关系，三角形面积比值问题；
考点四
定圆结合平行线，弧中点，考察函数关系，与圆相切问题；
考点五
动圆结合三角形，考察三角形相似，考察三角形相似，函数关系；
考点六
动圆结合内切直角三角形，三角形相似，线段比，圆位置关系；
考点七
动圆结合定圆，考察函数关系，与圆有关的位置关系；
考点八
动圆结合定圆，函数关系，四边形，正多边形结合的问题。
一、解答题
1． (2023·上海嘉定·统考二模）在半圆O中，AB为直径，AC，AD为两条弦，且∠CAD＋∠DAB＝90°．
(1)如图1，求证：等于；
(2)如图2，点F在直径AB上，DF交AC于点E，若AE＝DE，求证：AC＝2DF；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接BC，若AF＝2，BC＝6，求弦AD的长．
2． (2023春·上海徐汇·九年级统考阶段练习）已知：⊙O的半径为3，弦，垂足为，点E在⊙O上，，射线与射线相交于点．设，，
(1)求与之间的函数解析式，并写出函数定义域；
(2)当为直角三角形时，求的长；
(3)如果，求的长．
3．（2023春·上海·九年级专题练习）如图，等边△ABC内接于⊙O，P是上任一点（点P与点A、B重合），连接AP、BP，过点C作CM∥BP交PA的延长线于点M．
(1)求∠APC和∠BPC的度数；
(2)求证：△ACM≌△BCP；
(3)若PA＝1，PB＝2，求四边形PBCM的面积；
(4)在（3）的条件下，求的长度．
4． (2023秋·上海金山·九年级期末）定理：一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．如图1，∠A＝∠O．
已知：如图2，AC是⊙O的一条弦，点D在⊙O上（与A、C不重合），联结DE交射线AO于点E，联结OD，⊙O的半径为5，tan∠OAC＝．
(1)求弦AC的长．
(2)当点E在线段OA上时，若△DOE与△AEC相似，求∠DCA的正切值．
(3)当OE＝1时，求点A与点D之间的距离（直接写出答案）．
5． (2023·上海·统考二模）如图，已知扇形的半径，，点、分别在半径、上（点不与点重合），联结．点是弧上一点，．
（1）当，以为半径的圆与圆相切时，求的长；
（2）当点与点重合，点为弧的中点时，求的度数；
（3）如果，且四边形是梯形，求的值．
6． (2023·上海青浦·统考二模）已知：在半径为2的扇形中，，点C是上的一个动点，直线与直线相交于点D．
（1）如图1，当是等腰三角形时，求的大小（用含m的代数式表示）；
（2）如图2，当，点C是的中点时，连接，求的值；
（3）将沿所在的直线折叠，当折叠后的圆弧与所在的直线相切于点，且时，求线段AD的长．
7． (2023春·上海·九年级专题练习）已知⊙O的直径AB＝4，点P为弧AB上一点，联结PA、PO，点C为劣弧AP上一点（点C不与点A、P重合），联结BC交PA、PO于点D、E．
（1）如图，当cs∠CBO＝时，求BC的长；
（2）当点C为劣弧AP的中点，且△EDP与△AOP相似时，求∠ABC的度数；
（3）当AD＝2DP，且△BEO为直角三角形时，求四边形AOED的面积．

8． (2023·上海·九年级专题练习）如图，已知在四边形中，，，以为直径的交边于、两点，，，设的半径长为．
（1）联结，当时，求的半径长；
（2）过点作，垂足为点，设，试用的代数式表示；
（3）设点为的中点，联结、，是否能成为等腰三角形？如果能，试求出的值；如不能，试说明理由．
9． (2023·上海·九年级专题练习）如图，已知AB是半圆O的直径，AB＝6，点C在半圆O上．过点A作AD⊥OC，垂足为点D，AD的延长线与弦BC交于点E，与半圆O交于点F（点F不与点B重合）．
（1）当点F为的中点时，求弦BC的长；
（2）设OD＝x，＝y，求y与x的函数关系式；
（3）当△AOD与△CDE相似时，求线段OD的长．
10． (2023·上海·九年级专题练习）如图，已知半圆⊙O的直径AB＝10，弦CD∥AB，且CD＝8，E为弧CD的中点，点P在弦CD上，联结PE，过点E作PE的垂线交弦CD于点G，交射线OB于点F．
（1）当点F与点B重合时，求CP的长；
（2）设CP＝x，OF＝y，求y与x的函数关系式及定义域；
（3）如果GP＝GF，求△EPF的面积．
一、解答题
1． (2023·上海·九年级专题练习）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝15，sin∠BAC＝．点D在边AB上（不与点A、B重合），以AD为半径的⊙A与射线AC相交于点E，射线DE与射线BC相交于点F，射线AF与⊙A交于点G．
（1）如图，设AD＝x，用x的代数式表示DE的长；
（2）如果点E是的中点，求∠DFA的余切值；
（3）如果△AFD为直角三角形，求DE的长．
2． (2023·上海·九年级专题练习）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，cs∠BAC，点O是边AC上一个动点（不与A、C重合），以点O为圆心，AO为半径作⊙O，⊙O与射线AB交于点D，以点C为圆心，CD为半径作⊙C，设OA＝x．
（1）如图2，当点D与点B重合时，求x的值；
（2）当点D在线段AB上，如果⊙C与AB的另一个交点E在线段AD上时，设AE＝y，试求y与x之间的函数解析式，并写出x的取值范围；
（3）在点O的运动过程中，如果⊙C与线段AB只有一个公共点，请直接写出x的取值范围．
3．（2023春·上海·九年级专题练习）在下列正多边形中，是中心，定义：为相应正多边形的基本三角形．如图1，是正三角形的基本三角形；如图2，是正方形的基本三角形；如图3，为正边形…的基本三角形．将基本绕点逆时针旋转角度得．
（1）若线段与线段相交点，则：
图1中的取值范围是________；
图3中的取值范围是________；
（2）在图1中，求证
（3）在图2中，正方形边长为4，，边上的一点旋转后的对应点为，若有最小值时，求出该最小值及此时的长度；
（4）如图3，当时，直接写出的值．
4．（2023春·上海·九年级专题练习）如图，已知圆O是正六边形ABCDEF外接圆，直径BE=8，点G、H分别在射线CD、EF上（点G不与点C、D重合），且∠GBH=60°，设CG=x，EH=y．
（1）如图①，当直线BG经过弧CD的中点Q时，求∠CBG的度数；
（2）如图②，当点G在边CD上时，试写出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）联结AH、EG，如果△AFH与△DEG相似，求CG的长．
5． (2023·上海·九年级专题练习）在圆O中，弦AB与CD相交于点E，且弧AC与弧BD相等．点D在劣弧AB上，联结CO并延长交线段AB于点F，联结OA、OB．当OA＝，且tan∠OAB＝．
（1）求弦CD的长；
（2）如果△AOF是直角三角形，求线段EF的长；
（3）如果S△CEF＝4S△BOF，求线段AF的长．
6． (2023春·上海闵行·九年级校考期中）已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，AB=BC=CD=6．动点P在射线BA上，以BP为半径的⊙P交边BC于点E（点E与点C不重合），联结PE、PC．设BP= x，PC= y．
（1）求证：PE∥DC；
（2）求y关于x的函数解析式，并写出定义域；
（3）联结PD，当∠PDC=∠B时，以D为圆心半径为的⊙D与⊙P相交，求的取值范围．
7． (2023春·上海徐汇·九年级位育中学校考阶段练习）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，BC=10，tan∠ABC=，点O是AB边上动点，以O为圆心，OB为半径的⊙O与边BC的另一交点为D，过点D作AB的垂线，交⊙O于点E，联结BE、AE
（1）如图（1），当AE∥BC时，求⊙O的半径长；
（2）设BO=x，AE=y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；
（3）若以A为圆心的⊙A与⊙O有公共点D、E，当⊙A恰好也过点C时，求DE的长．
8． (2023·上海·九年级专题练习）已知：如图，在半径为2的扇形中，°，点C在半径OB上，AC的垂直平分线交OA于点D，交弧AB于点E，联结．
（1）若C是半径OB中点，求的正弦值；
（2）若E是弧AB的中点，求证：；
（3）联结CE，当△DCE是以CD为腰的等腰三角形时，求CD的长．
9．（2018·上海金山·统考二模）如图，已知在梯形ABCD中，，P是线段BC上一点，以P为圆心，PA为半径的与射线AD的另一个交点为Q，射线PQ与射线CD相交于点E，设.
（1）求证：；
（2）如果点Q在线段AD上（与点A、D不重合），设的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；
（3）如果与相似，求BP的长.
10．（2017·上海徐汇·统考二模）如图，已知△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点O是边BC上的动点，以点O为圆心，OB为半径作圆O，交AB边于点D，过点D作∠ODP＝∠B，交边AC于点P，交圆O与点E．设OB＝x．
（1）当点P与点C重合时，求PD的长；
（2）设AP﹣EP＝y，求y关于x的解析式及定义域；
（3）联结OP，当OP⊥OD时，试判断以点P为圆心，PC为半径的圆P与圆O的位置关系．
11．（2017·上海长宁·统考二模）如图，△ABC的边AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，已知AC＝6cm，BC＝8cm，点P、Q分别在边AB、BC上，且点P不与点A、B重合，BQ＝k•AP（k＞0），联接PC、PQ．
（1）求⊙O的半径长；
（2）当k＝2时，设AP＝x，△CPQ的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；
（3）如果△CPQ与△ABC相似，且∠ACB＝∠CPQ，求k的值．
12． (2023·上海·九年级专题练习）△ABC中，∠ACB＝90°，tanB＝，AB＝5，点O为边AB上一动点，以O为圆心，OB为半径的圆交射线BC于点E，以A为圆心，OB为半径的圆交射线AC于点G．
(1)如图1，当点E、G分别在边BC、AC上，且CE＝CG时，请判断圆A与圆O的位置关系，并证明你的结论；
(2)当圆O与圆A存在公共弦MN时(如图2)，设OB＝x，MN＝y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；
(3)设圆A与边AB的交点为F，联结OE、EF，当△OEF为以OE为腰的等腰三角形时，求圆O的半径长．
13． (2023·上海·九年级统考专题练习）已知AB是圆O的一条弦，P是圆O上一点，过点O作MN⊥AP，垂足为点M，并交射线AB于点N，圆O的半径为5，AB＝8．
（1）当P是优弧的中点时（如图），求弦AP的长；
（2）当点N与点B重合时，试判断：以圆O为圆心，为半径的圆与直线AP的位置关系，并说明理由；
（3）当∠BNO＝∠BON，且圆N与圆O相切时，求圆N半径的长．
14． (2023·上海·九年级统考专题练习）如图，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝3，AB＝4，点P为射线BC上一动点，以P为圆心，BP长为半径作⊙P，交射线BC于点Q，联结BD、AQ相交于点G，⊙P与线段BD、AQ分别相交于点E、F．
（1）如果BE＝FQ，求⊙P的半径；
（2）设BP＝x，FQ＝y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）联结PE、PF，如果四边形EGFP是梯形，求BE的长．
15． (2023·上海·九年级专题练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，点P在边AC上（点P与点A不重合），以点P为圆心，PA为半径作⊙P交边AB于另一点D，ED⊥DP，交边BC于点E．
（1）求证：BE=DE；
（2）若BE=x，AD=y，求y关于x的函数关系式并写出定义域；
（3）延长ED交CA的延长线于点F，联结BP，若△BDP与△DAF相似，求线段AD的长．
16． (2023·上海·九年级专题练习）如图已知：是圆的直径，，点为圆上异于点、的一点，点为弦的中点.
（1）如果交于点，求：的值；
（2）如果于点，求的正弦值；
（3）如果，为上一动点，过作，交于点，与射线交于圆内点，请完成下列探究.
探究一：设，，求关于的函数解析式及其定义域.
探究二：如果点在以为圆心，为半径的圆上，写出此时的长度.
17． (2023·上海·九年级专题练习）如图，在中，，,点是边上一动点（不与点重合），以长为半径的与边的另一个交点为，过点作于点.
当与边相切时，求的半径；
联结交于点，设的长为，的长为，求关于的函数解析式，并直接写出的取值范围；
在的条件下，当以长为直径的与相交于边上的点时，求相交所得的公共弦的长.
18． (2023·上海·九年级专题练习）如图，已知△ABC，AB=，，∠B=45°，点D在边BC上，联结AD， 以点A为圆心，AD为半径画圆，与边AC交于点E，点F在圆A上，且AF⊥AD．
（1）设BD为x，点D、F之间的距离为y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；
（2）如果E是的中点，求的值；
（3）联结CF，如果四边形ADCF是梯形，求BD的长 ．
19． (2023·上海·九年级专题练习）如图1，已知AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过O点作OF⊥AB交⊙O于点D，交AC于点E，交BC的延长线于点F，点G是EF的中点，连接CG
(1)判断CG与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)求证：2OB2＝BC•BF；
(3)如图2，当∠DCE＝2∠F，CE＝3，DG＝2.5时，求DE的长．
20． (2023·上海·九年级专题练习）已知⊙O的直径AB=2，弦AC与弦BD交于点E．且OD⊥AC，垂足为点F．
（1）如图1，如果AC=BD，求弦AC的长；
（2）如图2，如果E为弦BD的中点，求∠ABD的余切值；
（3）联结BC、CD、DA，如果BC是⊙O的内接正n边形的一边，CD是⊙O的内接正（n+4）边形的一边，求△ACD的面积．
21． (2023·上海·九年级专题练习）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，DC=5，以CD为半径的⊙C与以AB为半径的⊙B相交于点E、F，且点E在BD上，联结EF交BC于点G．
（1）设BC与⊙C相交于点M，当BM=AD时，求⊙B的半径；
（2）设BC=x，EF=y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域；
（3）当BC=10时，点P为平面内一点，若⊙P与⊙C相交于点D、E，且以A、E、P、D为顶点的四边形是梯形，请直接写出⊙P的面积．（结果保留π）
专题18 圆压轴题

以圆为背景的综合问题是中考压轴题的命题趋势之一，按往年命题趋势猜测，很大概率会和平行线段分线段成比例 (2023年），梯形，特殊平行四边形（最新热点）等知识点结合，主要考查学生挖掘信息的能力，难题分解能力，数学综合能力
考点一
定圆结合直角三角形，考察函数关系，圆心距，存在性问题；
考点二
定圆结合直角三角形；三角形相似，线段与周长的函数关系；
考点三
定圆结合直角三角形；考察函数关系，三角形面积比值问题；
考点四
定圆结合平行线，弧中点，考察函数关系，与圆相切问题；
考点五
动圆结合三角形，考察三角形相似，考察三角形相似，函数关系；
考点六
动圆结合内切直角三角形，三角形相似，线段比，圆位置关系；
考点七
动圆结合定圆，考察函数关系，与圆有关的位置关系；
考点八
动圆结合定圆，函数关系，四边形，正多边形结合的问题。
一、解答题
1． (2023·上海嘉定·统考二模）在半圆O中，AB为直径，AC，AD为两条弦，且∠CAD＋∠DAB＝90°．
(1)如图1，求证：等于；
(2)如图2，点F在直径AB上，DF交AC于点E，若AE＝DE，求证：AC＝2DF；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接BC，若AF＝2，BC＝6，求弦AD的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】(1)连接BD、CD，先证∠DBA=∠DAC，再证∠DCA=∠DAC，可得出AD=CD，即可推出结论；
(2)连接BD、CD，过点D作DG⊥AC于点G，则∠DGA=90°，可证得DG垂直平分AC，得出AC=2AG，再证△ADF≌△DAG，推出AG=DF，即可得出AC=2DF；
(3)取BC中点H，连接OH、OD，则BH=CH=BC=3，OH⊥BC，证Rt△OED≌Rt△BHO，推出OE=BH=3，OD=OA=5，则在Rt△OED中，求出DE的长，在Rt△AED中，可求出AD的长．
（1）
证明：如图：连接BD、CD
AB为直径
∠ADB=90°
∠DBA+∠DAB=90°
∠DAC＋∠DAB＝90°
∠DAC=∠DBA
又∠DCA=∠DBA
∠DAC=∠DCA
AD=CD
=
（2）
证明：如图：连接BD、CD，过点D作DG⊥AC于点G

由(1)知AD=CD
垂直平分AC



∠DAC＋∠DAB＝90°
∠ADF＋∠DAB＝90°

又


（3）
解：取BC的中点H，连接OH、OD，则BH=CH=BC=3，


是中位线

由(2)知AC=2DF


Rt△OFD≌Rt△BHO(HL)


在中，
在中，
【点睛】本题考查了圆的有关概念及性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等，解题关键是第(2)问能够证明∠AFD=90°，第(3)问能够通过作适当的辅助线构造全等三角形等．
2． (2023春·上海徐汇·九年级统考阶段练习）已知：⊙O的半径为3，弦，垂足为，点E在⊙O上，，射线与射线相交于点．设，，
(1)求与之间的函数解析式，并写出函数定义域；
(2)当为直角三角形时，求的长；
(3)如果，求的长．
【答案】(1)，函数定义域为（0＜＜6）
(2)或3
(3) 或
【分析】(1) 过点O作OH⊥CE，垂足为H，先利用垂径定理得到，，然后利用勾股定理求得OD=，最后通过证△ODB≌△EHO即可得到EH=OD ，求得结论；
(2) 当△OEF为直角三角形时，存在以下两种情况：①若∠OFE＝90º；②若∠EOF＝90º 分别求解即可；
(3)分两种情况 ①当CF＝OF＝OB–BF＝2时，可得：△CFO∽△COE； ②当CF＝OF＝OB+BF＝4时，可得：△CFO∽△COE，利用相似三角形的性质即可求解．
（1）
过点O作OH⊥CE，垂足为H，
∵在圆O中，OC⊥弦AB，OH⊥弦CE，AB=，CE=，
∴，，
∵在Rt△ODB中，，OB=3 ，
∴OD=，
∵OC=OE，
∴∠ECO=∠CEO，
∵∠ECO＝∠BOC，
∴∠CEO=∠BOC，
又∵∠ODB=∠OHE=90°，OE=OB
∴△ODB≌△EHO
∴EH=OD ，
∴，
∴ 函数定义域为（0＜＜6）
（2）
当△OEF为直角三角形时，存在以下两种情况：
①若∠OFE＝90º，则∠COF＝∠OCF＝45º
∵∠ODB=90°，
∴∠ABO=45°
又∵OA=OB
∴∠OAB= ∠ABO=45°，
∴∠AOB=90°
∴△OAB是等腰直角三角形
∴
②若∠EOF＝90º ，
则∠OEF＝∠COF＝∠OCF＝30º
∵∠ODB=90°，
∴∠ABO=60°
又∵OA=OB
∴△OAB是等边三角形
∴AB=OB=3
（3）
①当CF＝OF＝OB–BF＝2时，
可得：△CFO∽△COE，CE＝，
∴EF＝CE–CF＝．
②当CF＝OF＝OB+BF＝4时，
可得：△CFO∽△COE，CE＝，
∴EF＝CF–CE＝．
【点睛】本题考查了有关圆的知识的综合题，分类讨论是解决问题的关键．
3．（2023春·上海·九年级专题练习）如图，等边△ABC内接于⊙O，P是上任一点（点P与点A、B重合），连接AP、BP，过点C作CM∥BP交PA的延长线于点M．
(1)求∠APC和∠BPC的度数；
(2)求证：△ACM≌△BCP；
(3)若PA＝1，PB＝2，求四边形PBCM的面积；
(4)在（3）的条件下，求的长度．
【答案】(1)∠APC＝60°，∠BPC＝60°
(2)见解析
(3)
(4)
【分析】（1）根据等边三角形的性质得到∠ABC=∠BAC=∠ACB=60°，根据圆周角定理即可得到∠APC=∠ABC=60°，∠BPC=∠BAC=60°；
（2）根据平行线的性质得到∠BPM+∠M=180°，∠PCM=∠BPC，求得∠M=∠BPC=60°，根据圆周角定理得到∠PAC+∠PCB=180°，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；
（3）作PH⊥CM于H，根据全等三角形的性质得到CM=CP，AM=BP，根据直角三角形的性质得到PH，根据三角形的面积公式即可得到结论；
（4）过点B作BQ⊥AP，交AP的延长线于点Q，过点A作AN⊥BC于点N，连接OB，求得∠PBQ=30°，得到PQ，根据勾股定理得到BQ和AN，根据弧长公式即可得到结论．
【解析】（1）解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠BAC=∠ACB=60°，
∵，，
∴∠APC=∠ABC=60°，∠BPC=∠BAC=60°；
（2）证明：∵CM∥BP，
∴∠BPM+∠M=180°，
∠PCM=∠BPC，
∵∠BPC=∠BAC=60°，
∴∠PCM=∠BPC=60°，
∴∠M=180°-∠BPM=180°-（∠APC+∠BPC）=180°-120°=60°，
∴∠M=∠BPC=60°，
又∵A、P、B、C四点共圆，
∴∠PAC+∠PCB=180°，
∵∠MAC+∠PAC=180°，
∴∠MAC=∠PBC，
∵AC=BC，
在△ACM和△BCP中，
，
∴△ACM≌△BCP（AAS）；
（3）解：∵CM∥BP，
∴四边形PBCM为梯形，
作PH⊥CM于H，
∵△ACM≌△BCP，
∴CM=CP，AM=BP，
又∠M=60°，
∴△PCM为等边三角形，
∴CM=CP=PM=PA+AM=PA+PB=1+2=3，
在Rt△PMH中，∠MPH=30°，
∴PH=，
∴S四边形PBCM=（PB+CM）×PH=（2+3）×=；
（4）解：过点B作BQ⊥AP，交AP的延长线于点Q，过点A作AN⊥BC于点N，连接OB，
∵∠APC=∠BPC=60°，
∴∠BPQ=60°，
∴∠PBQ=30°，
∴PQ=PB=1，
在Rt△BPQ中，BQ=，
在Rt△AQB中，AB=，
∵△ABC为等边三角形，
∴AN经过圆心O，
∴BN=AB=，
∴AN=，
在Rt△BON中，设BO=x，则ON=−x，
∴()2+(−x)2＝x2，
解得：x=，
∵∠BOA=∠BCA=120°，
∴的长度为．
【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，等边三角形的判定和性质，平行线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
4． (2023秋·上海金山·九年级期末）定理：一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．如图1，∠A＝∠O．
已知：如图2，AC是⊙O的一条弦，点D在⊙O上（与A、C不重合），联结DE交射线AO于点E，联结OD，⊙O的半径为5，tan∠OAC＝．
(1)求弦AC的长．
(2)当点E在线段OA上时，若△DOE与△AEC相似，求∠DCA的正切值．
(3)当OE＝1时，求点A与点D之间的距离（直接写出答案）．
【答案】(1)8
(2)
(3)或．
【分析】（1）过点O作OH⊥AC于点H，由垂径定理可得AH＝CH＝AC，由锐角三角函数和勾股定理可求解；
（2）分两种情况讨论，由相似三角形的性质可求AG，EG，CG的长，即可求解；
（3）分两种情况讨论，由相似三角形和勾股定理可求解．
（1）
如图2，过点O作OH⊥AC于点H，
由垂径定理得：AH＝CH＝AC，
在Rt△OAH中，，
∴设OH＝3x，AH＝4x，
∵OH2+AH2＝OA2，
∴（3x）2+（4x）2＝52，
解得：x＝±1，（x＝﹣1舍去），
∴OH＝3，AH＝4，
∴AC＝2AH＝8；
（2）
如图2，过点O作OH⊥AC于H，过E作EG⊥AC于G，
∵∠DEO＝∠AEC，
∴当△DOE与△AEC相似时可得：∠DOE＝∠A或者∠DOE＝∠ACD；
，
∴∠ACD≠∠DOE
∴当△DOE与△AEC相似时，不存在∠DOE＝∠ACD情况，
∴当△DOE与△AEC相似时，∠DOE＝∠A，
∴OD∥AC，
∴，
∵OD＝OA＝5，AC＝8，
∴，
∴，
∵∠AGE＝∠AHO＝90°，
∴GE∥OH，
∴△AEG∽△AOH，
∴，
∴，
∴，
∴，，
在Rt△CEG中，；
（3）
当点E在线段OA上时，如图3，过点E作EG⊥AC于G，过点O作OH⊥AC于H，延长AO交⊙O于M，连接AD，DM，
由（1）可得 OH＝3，AH＝4，AC＝8，
∵OE＝1，
∴AE＝4，ME＝6，
∵EG∥OH，
∴△AEG∽△AOH，
∴，
∴AG＝，EG＝，
∴GC＝，
∴EC＝＝＝，
∵AM是直径，
∴∠ADM＝90°＝∠EGC，
又∵∠M＝∠C，
∴△EGC∽△ADM，
∴，
∴，
∴AD＝2；
当点E在线段AO的延长线上时，如图4，延长AO交⊙O于M，连接AD，DM，过点E作EG⊥AC于G，
同理可求EG＝，AG＝，AE＝6，GC＝，
∴EC＝＝＝，
∵AM是直径，
∴∠ADM＝90°＝∠EGC，
又∵∠M＝∠C，
∴△EGC∽△ADM，
∴，
∴，
∴AD＝，
综上所述：AD的长是或
【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，解直角三角形，求角的正切值，相似三角形的性质与判定，圆周角定理，正切的作出辅助线是解题的关键．
5． (2023·上海·统考二模）如图，已知扇形的半径，，点、分别在半径、上（点不与点重合），联结．点是弧上一点，．
（1）当，以为半径的圆与圆相切时，求的长；
（2）当点与点重合，点为弧的中点时，求的度数；
（3）如果，且四边形是梯形，求的值．
【答案】（1）；（2）67.5°；（3）或
【分析】（1）由题意∠COD＝90°，ct∠ODC＝，可以假设OD＝3k，OC＝4k，则CD＝5k，证明AC＝OC＝4k＝2，推出k＝，继而可得结论．
（2）如图2中，连接OP，过点P作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．利用全等三角形的性质证明△PCB是等腰直角三角形，可得结论．
（3）分两种情形：如图3−1中，当OC∥PD时，如图3−2中，当PC∥OD时，分别求解即可．
【解析】解：（1）如图1中，
∵∠COD＝90°，ct∠ODC＝，
∴设OD＝3k，OC＝4k，则CD＝5k，
∵以CD为半径的圆D与圆O相切，
∴CD＝DB＝5k，
∴OB＝OD＋DB＝3k＋5k＝4，
∴k＝，
∴CD＝；
（2）如图2中，连接OP，过点P作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．
∵，
∴∠AOP＝∠POB，
∵PE⊥OA，PF⊥OB，
∴PE＝PF，
∵∠PEC＝∠PFB＝90°，PD＝PC，
∴Rt△PEC≌Rt△PFB（HL），
∴∠EPC＝∠FPB，
∵∠PEO＝∠EOF＝∠OFP＝90°，
∴∠EPF＝90°，
∴∠EPF＝∠CPB＝90°，
∴∠PCB＝∠PBC＝45°，
∵OP＝OB，∠POB＝45°，
∴∠OBP＝∠OPB＝67.5°，
∴∠CBO＝67.5°−45°＝22.5°，
∴∠OCD＝90°−22.5°＝67.5°；
（3）如图3−1中，当OC∥PD时，过点C作CE⊥PD，连接OP，
∵OC∥PD，
∴∠PDO＝∠AOD＝90°，
∵CE⊥PD，
∴∠CED＝90°，
∴四边形OCED是矩形，
∴OC＝DE＝2，CE＝OD，
设PC＝PD＝x，EC＝OD＝y，
则有x2＋y2＝16，x2＝y2＋(x−2)2，可得x＝2−2，（不合题意的已经舍弃），
∴PD＝2−2，
∴S△PCDS△OCD＝PDOC＝，
如图3−2中，当PC∥OD时，过点D作DE⊥CP，连接OP，
∵PC∥OD，
∴∠COD＝∠OCE＝∠CED＝90°，
∴四边形OCED是矩形，
∴OC＝DE＝2，CE＝OD，
∵OP＝4，OC＝2，
∴PC＝=，
∴PD＝PC＝，
∴PE＝=，
∴EC＝OD＝-，
∴，
综上所述，的值为：或．
【点睛】本题属于圆综合题，考查了两圆的位置关系，解直角三角形，等腰三角形的性质，梯形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题，属于中考压轴题．
6． (2023·上海青浦·统考二模）已知：在半径为2的扇形中，，点C是上的一个动点，直线与直线相交于点D．
（1）如图1，当是等腰三角形时，求的大小（用含m的代数式表示）；
（2）如图2，当，点C是的中点时，连接，求的值；
（3）将沿所在的直线折叠，当折叠后的圆弧与所在的直线相切于点，且时，求线段AD的长．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）C在弧线上，所以为锐角，为钝角，则是等腰三角形，仅有这一种情况，扇形中，，由边相等得对应角相等，三角形内角和为，可得；
（2）过D作的延长线于M，连接，C为中点，可知边相等得对应角相等，即可求得，为的外角，可得由角相等可推出，在中，由勾股定理知在等腰直角中，根据等高三角形的面积比等于底的比可得结果；
（3）E为弧与切点，知A、E、C在半径为2的另一个圆上，在中，由勾股定理知，得四边形是菱形，由菱形对角线性质，可以推出，得，在中，由勾股定理得，即可求出的长．
【解析】解：（1）C在弧线上，
∴为锐角，
∴为钝角，
则是等腰三角形时，仅有这一种情况，
∴，
连接则，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴
在中，，
∴，
∴；

（2）过D作延长线于M，连接，
∵C为 中点，
∴，
∴且，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴B（勾股定理），
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∴

（3）图2如下：
∵E为弧线与切点，
∴A、E、C在半径为2的另一个圆上，
∵，
∴（勾股定理），
又∵，
∴四边形是菱形，
∴且互相平分，
且共角，
∴，
∴且，
∴，
∴（的勾股定理）
∴．
【点睛】本题考查圆的综合应用，熟练掌握等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、菱形的判定和性质、勾股定理等是解题关键．
7． (2023春·上海·九年级专题练习）已知⊙O的直径AB＝4，点P为弧AB上一点，联结PA、PO，点C为劣弧AP上一点（点C不与点A、P重合），联结BC交PA、PO于点D、E．
（1）如图，当cs∠CBO＝时，求BC的长；
（2）当点C为劣弧AP的中点，且△EDP与△AOP相似时，求∠ABC的度数；
（3）当AD＝2DP，且△BEO为直角三角形时，求四边形AOED的面积．

【答案】（1）；（2）18°；（3） 或
【分析】（1）解法一：如图1，过点O作OG⊥BC于点G，根据垂径定理和余弦的定义可得BC的长；解法二：如图2，连接AC，根据圆周角定理可得∠ACB＝90°，根据cs∠CBO＝可得BC的长；
（2）如图3，如图3，连接OC，根据题意可知：△EDP与△AOP相似只存在一种情况：△DPE∽△OPA，得∠DPE＝∠PAO，设∠ABC＝α，则∠AOC＝∠COP＝2α，在△OEB中根据三角形外角的性质列方程可得结论；
（3）当△BEO为直角三角形时，∠OBE不可能是直角，所以分两种情况：①如图4，当∠EOB＝90°时，作辅助线，作平行线，根据平行线分线段成比例定理计算AH，OH，BH的长，根据面积差可得结论；②如图5，当∠OEB＝90°时，连接AC，证明∠ABC＝30°，分别计算各边的长，根据面积差可得结论．
【解析】解：（1）解法一：如图1，过点O作OG⊥BC于点G，
∴BG＝BC，
∵AB＝4，
∴OB＝2，
∵cs∠CBO＝，
∴BG＝，
∴BC＝2BG＝；
解法二：如图2，连接AC，

∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴cs∠ABC＝，
∴，
∴BC＝；
（2）如图3，连接OC，

∵∠P＝∠P，△EDP与△AOP相似，
∴△DPE∽△OPA，
∴∠DPE＝∠PAO，
∵C是的中点，
∴∠AOC＝∠COP，
设∠ABC＝α，则∠AOC＝∠COP＝2α，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC＝α，
∵C是的中点，
∴OC⊥AP，
∴∠PAO＝90°﹣2α，
∴∠DEP＝∠OEB＝90°﹣2α，
在△OEB中，∠AOP＝∠OEB+∠ABC，
∴4α＝90°﹣2α+α，
∴α＝18°，
∴∠ABC＝18°；
（3）分两种情况：
①如图4，当∠EOB＝90°时，过D作DH⊥AB于H，

∴DH∥PO，
∴，
∵AD＝2PD，
∴AH＝2HO，
∵AB＝4，
∴AH＝，OH＝，BH＝，
∵AO＝OP，∠AOP＝90°，
∴∠A＝45°，
∴AH＝DH＝，
∵OE∥DH，
∴，即，
∴OE＝1，
∴S四边形AOED＝S△ABD﹣S△OEB
＝
＝；
②如图5，当∠OEB＝90°时，连接AC，

∵∠C＝∠OEB＝90°，
∴AC∥OE，CE＝BE，
∵AD＝2DP，
同理得AC＝2PE，
∵AO＝BO，
∴AC＝2OE，
∴OE＝PE＝OP，
∴AC＝AB，
∴∠ABC＝30°，
∵AB＝4，
∴OB＝2＝AC，OE＝1，BE＝，BC＝，
∴CE＝，
∵AC∥PE，
∴，
∵CD+DE＝，
∴CD＝，
∴S四边形AOED＝S△ABC﹣S△OEB﹣S△ACD
＝，
＝．
综上，四边形AOED的面积是或．
【点睛】本题考查圆周角定理、垂径定理、相似三角形的性质和判定，解直角三角形，等腰三角形的性质等．（1）中能借助定理构造直角三角形是解题关键；（2）能借助相似三角形以及圆周角定理表示相关角是解题关键；（3）中注意分类讨论和正确构造图形．
8． (2023·上海·九年级专题练习）如图，已知在四边形中，，，以为直径的交边于、两点，，，设的半径长为．
（1）联结，当时，求的半径长；
（2）过点作，垂足为点，设，试用的代数式表示；
（3）设点为的中点，联结、，是否能成为等腰三角形？如果能，试求出的值；如不能，试说明理由．
【答案】（1）3；（2）；（3）能成为等腰三角形，
【分析】（1）证为梯形的中位线，得出即可；
（2）连接、，过点作于，则，由勾股定理得出，由四边形的面积的面积的面积的面积，进而得出答案；
（3）证是梯形的中位线，得出，， ，由勾股定理得，分三种情况，分别求解即可．
【解析】解：（1）∵，，
∴为梯形的中位线，
∴，即的半径长为3；
（2）连接、，过点作于，如图1所示：
∵，，且，
∴四边形为矩形，
则，
∴，
∴，
∵四边形的面积的面积的面积的面积，
∴，
整理得：；
（3）能成为等腰三角形，理由如下：
∵点为的中点，，
∴是梯形的中位线，
∴，，
，
由勾股定理得：，
分三种情况：
①时，则，无解；
②时，如图2所示：
，解得：；
③时，作于，如图3所示：
，
∵，
∴，
∴，
∴是的平分线，
由题意知：，
又，
∴，
则此时圆和相切，不合题意；
综上所述，能成为等腰三角形，．
【点睛】本题考查了垂径定理、梯形中位线定理、勾股定理、角平分线的性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握垂径定理和梯形中位线定理是解题的关键．
9． (2023·上海·九年级专题练习）如图，已知AB是半圆O的直径，AB＝6，点C在半圆O上．过点A作AD⊥OC，垂足为点D，AD的延长线与弦BC交于点E，与半圆O交于点F（点F不与点B重合）．
（1）当点F为的中点时，求弦BC的长；
（2）设OD＝x，＝y，求y与x的函数关系式；
（3）当△AOD与△CDE相似时，求线段OD的长．
【答案】（1）3；（2）y＝；（3）
【分析】（1）连结OF，交BC于点H．得出∠BOF＝∠COF．则∠AOC＝∠COF＝∠BOF＝60°，可求出BH，BC的长；
（2）连结BF．证得OD∥BF，则，即，得出，则得出结论；
（3）分两种情况：①当∠DCE＝∠DOA时，AB∥CB，不符合题意，舍去，②当∠DCE＝∠DAO时，连结OF，证得∠OAF＝30°，得出OD＝，则答案得出．
【解析】解：（1）如图1，连结OF，交BC于点H．
∵F是中点，
∴OF⊥BC，BC＝2BH．
∴∠BOF＝∠COF．
∵OA＝OF，OC⊥AF，
∴∠AOC＝∠COF，
∴∠AOC＝∠COF＝∠BOF＝60°，
在Rt△BOH中，sin∠BOH＝，
∵AB＝6，
∴OB＝3，
∴BH＝，
∴BC＝2BH＝3；
（2）如图2，连结BF．
∵AF⊥OC，垂足为点D，
∴AD＝DF．
又∵OA＝OB，
∴OD∥BF，BF＝2OD＝2x．
∴，
∴，
即，
∴，
∴y＝．
（3）△AOD和△CDE相似，分两种情况：①当∠DCE＝∠DOA时，AB∥CB，不符合题意，舍去．
②当∠DCE＝∠DAO时，连结OF．
∵OA＝OF，OB＝OC，
∴∠OAF＝∠OFA，∠OCB＝∠OBC．
∵∠DCE＝∠DAO，
∴∠OAF＝∠OFA＝∠OCB＝∠OBC．
∵∠AOD＝∠OCB+∠OBC＝2∠OAF，
∴∠OAF＝30°，
∴OD＝．
即线段OD的长为．
【点睛】本题属于圆综合题，考查了垂径定理，勾股定理，直角三角形的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造基本图形解决问题．
10． (2023·上海·九年级专题练习）如图，已知半圆⊙O的直径AB＝10，弦CD∥AB，且CD＝8，E为弧CD的中点，点P在弦CD上，联结PE，过点E作PE的垂线交弦CD于点G，交射线OB于点F．
（1）当点F与点B重合时，求CP的长；
（2）设CP＝x，OF＝y，求y与x的函数关系式及定义域；
（3）如果GP＝GF，求△EPF的面积．
【答案】（1）CP＝2；（2）；（3）
【分析】（1）如图1，连接EO，交弦CD于点H，根据垂径定理得EO⊥AB，由勾股定理计算，可得EH的长，证明∠HPE＝∠HGE＝45°，则PE＝GE．从而可得结论；
（2）如图2，连接OE，证明△PEH∽△EFO，列比例式可得结论；
（3）如图3，作PQ⊥AB，分别计算PE和EF的长，利用三角形面积公式可得结论．
【解析】（1）连接EO，交弦CD于点H，
∵E为弧CD的中点，
∴EO⊥AB，
∵CD∥AB，
∴OH⊥CD，
∴CH＝，
连接CO，
∵AB＝10，CD＝8，
∴CO＝5，CH＝4，
∴，
∴EH＝EO﹣OH＝2，
∵点F与点B重合，
∴∠OBE＝∠HGE＝45°，
∵PE⊥BE，
∴∠HPE＝∠HGE＝45°，
∴PE＝GE，
∴PH＝HG＝2，
∴CP＝CH﹣PH＝4﹣2＝2；
（2）如图2，连接OE，交CD于H，
∵∠PEH+∠OEF＝90°，∠OFE+∠OEF＝90°，
∴∠PEH＝∠OFE，
∵∠PHE＝∠EOF＝90°，
∴△PEH∽△EFO，
∴，
∵EH＝2，FO＝y，PH＝4﹣x，EO＝5，
∴，
∴．
（3）如图3，过点P作PQ⊥AB，垂足为Q，
∵GP＝GF，
∴∠GPF＝∠GFP，
∵CD∥AB，
∴∠GPF＝∠PFQ，
∵PE⊥EF，
∴PQ＝PE，
由（2）可知，△PEH∽△EFO，
∴，
∵PQ＝OH＝3，
∴PE＝3，
∵EH＝2，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题属于圆综合题，考查了垂径定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形列比例式解决问题，属于中考压轴题．
一、解答题
1． (2023·上海嘉定·统考二模）在半圆O中，AB为直径，AC，AD为两条弦，且∠CAD＋∠DAB＝90°．
(1)如图1，求证：等于；
(2)如图2，点F在直径AB上，DF交AC于点E，若AE＝DE，求证：AC＝2DF；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接BC，若AF＝2，BC＝6，求弦AD的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】(1)连接BD、CD，先证∠DBA=∠DAC，再证∠DCA=∠DAC，可得出AD=CD，即可推出结论；
(2)连接BD、CD，过点D作DG⊥AC于点G，则∠DGA=90°，可证得DG垂直平分AC，得出AC=2AG，再证△ADF≌△DAG，推出AG=DF，即可得出AC=2DF；
(3)取BC中点H，连接OH、OD，则BH=CH=BC=3，OH⊥BC，证Rt△OED≌Rt△BHO，推出OE=BH=3，OD=OA=5，则在Rt△OED中，求出DE的长，在Rt△AED中，可求出AD的长．
（1）
证明：如图：连接BD、CD
AB为直径
∠ADB=90°
∠DBA+∠DAB=90°
∠DAC＋∠DAB＝90°
∠DAC=∠DBA
又∠DCA=∠DBA
∠DAC=∠DCA
AD=CD
=
（2）
证明：如图：连接BD、CD，过点D作DG⊥AC于点G

由(1)知AD=CD
垂直平分AC



∠DAC＋∠DAB＝90°
∠ADF＋∠DAB＝90°

又


（3）
解：取BC的中点H，连接OH、OD，则BH=CH=BC=3，


是中位线

由(2)知AC=2DF


Rt△OFD≌Rt△BHO(HL)


在中，
在中，
【点睛】本题考查了圆的有关概念及性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等，解题关键是第(2)问能够证明∠AFD=90°，第(3)问能够通过作适当的辅助线构造全等三角形等．
2． (2023春·上海徐汇·九年级统考阶段练习）已知：⊙O的半径为3，弦，垂足为，点E在⊙O上，，射线与射线相交于点．设，，
(1)求与之间的函数解析式，并写出函数定义域；
(2)当为直角三角形时，求的长；
(3)如果，求的长．
【答案】(1)，函数定义域为（0＜＜6）
(2)或3
(3) 或
【分析】(1) 过点O作OH⊥CE，垂足为H，先利用垂径定理得到，，然后利用勾股定理求得OD=，最后通过证△ODB≌△EHO即可得到EH=OD ，求得结论；
(2) 当△OEF为直角三角形时，存在以下两种情况：①若∠OFE＝90º；②若∠EOF＝90º 分别求解即可；
(3)分两种情况 ①当CF＝OF＝OB–BF＝2时，可得：△CFO∽△COE； ②当CF＝OF＝OB+BF＝4时，可得：△CFO∽△COE，利用相似三角形的性质即可求解．
（1）
过点O作OH⊥CE，垂足为H，
∵在圆O中，OC⊥弦AB，OH⊥弦CE，AB=，CE=，
∴，，
∵在Rt△ODB中，，OB=3 ，
∴OD=，
∵OC=OE，
∴∠ECO=∠CEO，
∵∠ECO＝∠BOC，
∴∠CEO=∠BOC，
又∵∠ODB=∠OHE=90°，OE=OB
∴△ODB≌△EHO
∴EH=OD ，
∴，
∴ 函数定义域为（0＜＜6）
（2）
当△OEF为直角三角形时，存在以下两种情况：
①若∠OFE＝90º，则∠COF＝∠OCF＝45º
∵∠ODB=90°，
∴∠ABO=45°
又∵OA=OB
∴∠OAB= ∠ABO=45°，
∴∠AOB=90°
∴△OAB是等腰直角三角形
∴
②若∠EOF＝90º ，
则∠OEF＝∠COF＝∠OCF＝30º
∵∠ODB=90°，
∴∠ABO=60°
又∵OA=OB
∴△OAB是等边三角形
∴AB=OB=3
（3）
①当CF＝OF＝OB–BF＝2时，
可得：△CFO∽△COE，CE＝，
∴EF＝CE–CF＝．
②当CF＝OF＝OB+BF＝4时，
可得：△CFO∽△COE，CE＝，
∴EF＝CF–CE＝．
【点睛】本题考查了有关圆的知识的综合题，分类讨论是解决问题的关键．
3．（2023春·上海·九年级专题练习）如图，等边△ABC内接于⊙O，P是上任一点（点P与点A、B重合），连接AP、BP，过点C作CM∥BP交PA的延长线于点M．
(1)求∠APC和∠BPC的度数；
(2)求证：△ACM≌△BCP；
(3)若PA＝1，PB＝2，求四边形PBCM的面积；
(4)在（3）的条件下，求的长度．
【答案】(1)∠APC＝60°，∠BPC＝60°
(2)见解析
(3)
(4)
【分析】（1）根据等边三角形的性质得到∠ABC=∠BAC=∠ACB=60°，根据圆周角定理即可得到∠APC=∠ABC=60°，∠BPC=∠BAC=60°；
（2）根据平行线的性质得到∠BPM+∠M=180°，∠PCM=∠BPC，求得∠M=∠BPC=60°，根据圆周角定理得到∠PAC+∠PCB=180°，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；
（3）作PH⊥CM于H，根据全等三角形的性质得到CM=CP，AM=BP，根据直角三角形的性质得到PH，根据三角形的面积公式即可得到结论；
（4）过点B作BQ⊥AP，交AP的延长线于点Q，过点A作AN⊥BC于点N，连接OB，求得∠PBQ=30°，得到PQ，根据勾股定理得到BQ和AN，根据弧长公式即可得到结论．
【解析】（1）解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠BAC=∠ACB=60°，
∵，，
∴∠APC=∠ABC=60°，∠BPC=∠BAC=60°；
（2）证明：∵CM∥BP，
∴∠BPM+∠M=180°，
∠PCM=∠BPC，
∵∠BPC=∠BAC=60°，
∴∠PCM=∠BPC=60°，
∴∠M=180°-∠BPM=180°-（∠APC+∠BPC）=180°-120°=60°，
∴∠M=∠BPC=60°，
又∵A、P、B、C四点共圆，
∴∠PAC+∠PCB=180°，
∵∠MAC+∠PAC=180°，
∴∠MAC=∠PBC，
∵AC=BC，
在△ACM和△BCP中，
，
∴△ACM≌△BCP（AAS）；
（3）解：∵CM∥BP，
∴四边形PBCM为梯形，
作PH⊥CM于H，
∵△ACM≌△BCP，
∴CM=CP，AM=BP，
又∠M=60°，
∴△PCM为等边三角形，
∴CM=CP=PM=PA+AM=PA+PB=1+2=3，
在Rt△PMH中，∠MPH=30°，
∴PH=，
∴S四边形PBCM=（PB+CM）×PH=（2+3）×=；
（4）解：过点B作BQ⊥AP，交AP的延长线于点Q，过点A作AN⊥BC于点N，连接OB，
∵∠APC=∠BPC=60°，
∴∠BPQ=60°，
∴∠PBQ=30°，
∴PQ=PB=1，
在Rt△BPQ中，BQ=，
在Rt△AQB中，AB=，
∵△ABC为等边三角形，
∴AN经过圆心O，
∴BN=AB=，
∴AN=，
在Rt△BON中，设BO=x，则ON=−x，
∴()2+(−x)2＝x2，
解得：x=，
∵∠BOA=∠BCA=120°，
∴的长度为．
【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，等边三角形的判定和性质，平行线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
4． (2023秋·上海金山·九年级期末）定理：一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．如图1，∠A＝∠O．
已知：如图2，AC是⊙O的一条弦，点D在⊙O上（与A、C不重合），联结DE交射线AO于点E，联结OD，⊙O的半径为5，tan∠OAC＝．
(1)求弦AC的长．
(2)当点E在线段OA上时，若△DOE与△AEC相似，求∠DCA的正切值．
(3)当OE＝1时，求点A与点D之间的距离（直接写出答案）．
【答案】(1)8
(2)
(3)或．
【分析】（1）过点O作OH⊥AC于点H，由垂径定理可得AH＝CH＝AC，由锐角三角函数和勾股定理可求解；
（2）分两种情况讨论，由相似三角形的性质可求AG，EG，CG的长，即可求解；
（3）分两种情况讨论，由相似三角形和勾股定理可求解．
（1）
如图2，过点O作OH⊥AC于点H，
由垂径定理得：AH＝CH＝AC，
在Rt△OAH中，，
∴设OH＝3x，AH＝4x，
∵OH2+AH2＝OA2，
∴（3x）2+（4x）2＝52，
解得：x＝±1，（x＝﹣1舍去），
∴OH＝3，AH＝4，
∴AC＝2AH＝8；
（2）
如图2，过点O作OH⊥AC于H，过E作EG⊥AC于G，
∵∠DEO＝∠AEC，
∴当△DOE与△AEC相似时可得：∠DOE＝∠A或者∠DOE＝∠ACD；
，
∴∠ACD≠∠DOE
∴当△DOE与△AEC相似时，不存在∠DOE＝∠ACD情况，
∴当△DOE与△AEC相似时，∠DOE＝∠A，
∴OD∥AC，
∴，
∵OD＝OA＝5，AC＝8，
∴，
∴，
∵∠AGE＝∠AHO＝90°，
∴GE∥OH，
∴△AEG∽△AOH，
∴，
∴，
∴，
∴，，
在Rt△CEG中，；
（3）
当点E在线段OA上时，如图3，过点E作EG⊥AC于G，过点O作OH⊥AC于H，延长AO交⊙O于M，连接AD，DM，
由（1）可得 OH＝3，AH＝4，AC＝8，
∵OE＝1，
∴AE＝4，ME＝6，
∵EG∥OH，
∴△AEG∽△AOH，
∴，
∴AG＝，EG＝，
∴GC＝，
∴EC＝＝＝，
∵AM是直径，
∴∠ADM＝90°＝∠EGC，
又∵∠M＝∠C，
∴△EGC∽△ADM，
∴，
∴，
∴AD＝2；
当点E在线段AO的延长线上时，如图4，延长AO交⊙O于M，连接AD，DM，过点E作EG⊥AC于G，
同理可求EG＝，AG＝，AE＝6，GC＝，
∴EC＝＝＝，
∵AM是直径，
∴∠ADM＝90°＝∠EGC，
又∵∠M＝∠C，
∴△EGC∽△ADM，
∴，
∴，
∴AD＝，
综上所述：AD的长是或
【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，解直角三角形，求角的正切值，相似三角形的性质与判定，圆周角定理，正切的作出辅助线是解题的关键．
5． (2023·上海·统考二模）如图，已知扇形的半径，，点、分别在半径、上（点不与点重合），联结．点是弧上一点，．
（1）当，以为半径的圆与圆相切时，求的长；
（2）当点与点重合，点为弧的中点时，求的度数；
（3）如果，且四边形是梯形，求的值．
【答案】（1）；（2）67.5°；（3）或
【分析】（1）由题意∠COD＝90°，ct∠ODC＝，可以假设OD＝3k，OC＝4k，则CD＝5k，证明AC＝OC＝4k＝2，推出k＝，继而可得结论．
（2）如图2中，连接OP，过点P作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．利用全等三角形的性质证明△PCB是等腰直角三角形，可得结论．
（3）分两种情形：如图3−1中，当OC∥PD时，如图3−2中，当PC∥OD时，分别求解即可．
【解析】解：（1）如图1中，
∵∠COD＝90°，ct∠ODC＝，
∴设OD＝3k，OC＝4k，则CD＝5k，
∵以CD为半径的圆D与圆O相切，
∴CD＝DB＝5k，
∴OB＝OD＋DB＝3k＋5k＝4，
∴k＝，
∴CD＝；
（2）如图2中，连接OP，过点P作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．
∵，
∴∠AOP＝∠POB，
∵PE⊥OA，PF⊥OB，
∴PE＝PF，
∵∠PEC＝∠PFB＝90°，PD＝PC，
∴Rt△PEC≌Rt△PFB（HL），
∴∠EPC＝∠FPB，
∵∠PEO＝∠EOF＝∠OFP＝90°，
∴∠EPF＝90°，
∴∠EPF＝∠CPB＝90°，
∴∠PCB＝∠PBC＝45°，
∵OP＝OB，∠POB＝45°，
∴∠OBP＝∠OPB＝67.5°，
∴∠CBO＝67.5°−45°＝22.5°，
∴∠OCD＝90°−22.5°＝67.5°；
（3）如图3−1中，当OC∥PD时，过点C作CE⊥PD，连接OP，
∵OC∥PD，
∴∠PDO＝∠AOD＝90°，
∵CE⊥PD，
∴∠CED＝90°，
∴四边形OCED是矩形，
∴OC＝DE＝2，CE＝OD，
设PC＝PD＝x，EC＝OD＝y，
则有x2＋y2＝16，x2＝y2＋(x−2)2，可得x＝2−2，（不合题意的已经舍弃），
∴PD＝2−2，
∴S△PCDS△OCD＝PDOC＝，
如图3−2中，当PC∥OD时，过点D作DE⊥CP，连接OP，
∵PC∥OD，
∴∠COD＝∠OCE＝∠CED＝90°，
∴四边形OCED是矩形，
∴OC＝DE＝2，CE＝OD，
∵OP＝4，OC＝2，
∴PC＝=，
∴PD＝PC＝，
∴PE＝=，
∴EC＝OD＝-，
∴，
综上所述，的值为：或．
【点睛】本题属于圆综合题，考查了两圆的位置关系，解直角三角形，等腰三角形的性质，梯形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题，属于中考压轴题．
6． (2023·上海青浦·统考二模）已知：在半径为2的扇形中，，点C是上的一个动点，直线与直线相交于点D．
（1）如图1，当是等腰三角形时，求的大小（用含m的代数式表示）；
（2）如图2，当，点C是的中点时，连接，求的值；
（3）将沿所在的直线折叠，当折叠后的圆弧与所在的直线相切于点，且时，求线段AD的长．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）C在弧线上，所以为锐角，为钝角，则是等腰三角形，仅有这一种情况，扇形中，，由边相等得对应角相等，三角形内角和为，可得；
（2）过D作的延长线于M，连接，C为中点，可知边相等得对应角相等，即可求得，为的外角，可得由角相等可推出，在中，由勾股定理知在等腰直角中，根据等高三角形的面积比等于底的比可得结果；
（3）E为弧与切点，知A、E、C在半径为2的另一个圆上，在中，由勾股定理知，得四边形是菱形，由菱形对角线性质，可以推出，得，在中，由勾股定理得，即可求出的长．
【解析】解：（1）C在弧线上，
∴为锐角，
∴为钝角，
则是等腰三角形时，仅有这一种情况，
∴，
连接则，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴
在中，，
∴，
∴；

（2）过D作延长线于M，连接，
∵C为 中点，
∴，
∴且，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴B（勾股定理），
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∴

（3）图2如下：
∵E为弧线与切点，
∴A、E、C在半径为2的另一个圆上，
∵，
∴（勾股定理），
又∵，
∴四边形是菱形，
∴且互相平分，
且共角，
∴，
∴且，
∴，
∴（的勾股定理）
∴．
【点睛】本题考查圆的综合应用，熟练掌握等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、菱形的判定和性质、勾股定理等是解题关键．
7． (2023春·上海·九年级专题练习）已知⊙O的直径AB＝4，点P为弧AB上一点，联结PA、PO，点C为劣弧AP上一点（点C不与点A、P重合），联结BC交PA、PO于点D、E．
（1）如图，当cs∠CBO＝时，求BC的长；
（2）当点C为劣弧AP的中点，且△EDP与△AOP相似时，求∠ABC的度数；
（3）当AD＝2DP，且△BEO为直角三角形时，求四边形AOED的面积．

【答案】（1）；（2）18°；（3） 或
【分析】（1）解法一：如图1，过点O作OG⊥BC于点G，根据垂径定理和余弦的定义可得BC的长；解法二：如图2，连接AC，根据圆周角定理可得∠ACB＝90°，根据cs∠CBO＝可得BC的长；
（2）如图3，如图3，连接OC，根据题意可知：△EDP与△AOP相似只存在一种情况：△DPE∽△OPA，得∠DPE＝∠PAO，设∠ABC＝α，则∠AOC＝∠COP＝2α，在△OEB中根据三角形外角的性质列方程可得结论；
（3）当△BEO为直角三角形时，∠OBE不可能是直角，所以分两种情况：①如图4，当∠EOB＝90°时，作辅助线，作平行线，根据平行线分线段成比例定理计算AH，OH，BH的长，根据面积差可得结论；②如图5，当∠OEB＝90°时，连接AC，证明∠ABC＝30°，分别计算各边的长，根据面积差可得结论．
【解析】解：（1）解法一：如图1，过点O作OG⊥BC于点G，
∴BG＝BC，
∵AB＝4，
∴OB＝2，
∵cs∠CBO＝，
∴BG＝，
∴BC＝2BG＝；
解法二：如图2，连接AC，

∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴cs∠ABC＝，
∴，
∴BC＝；
（2）如图3，连接OC，

∵∠P＝∠P，△EDP与△AOP相似，
∴△DPE∽△OPA，
∴∠DPE＝∠PAO，
∵C是的中点，
∴∠AOC＝∠COP，
设∠ABC＝α，则∠AOC＝∠COP＝2α，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC＝α，
∵C是的中点，
∴OC⊥AP，
∴∠PAO＝90°﹣2α，
∴∠DEP＝∠OEB＝90°﹣2α，
在△OEB中，∠AOP＝∠OEB+∠ABC，
∴4α＝90°﹣2α+α，
∴α＝18°，
∴∠ABC＝18°；
（3）分两种情况：
①如图4，当∠EOB＝90°时，过D作DH⊥AB于H，

∴DH∥PO，
∴，
∵AD＝2PD，
∴AH＝2HO，
∵AB＝4，
∴AH＝，OH＝，BH＝，
∵AO＝OP，∠AOP＝90°，
∴∠A＝45°，
∴AH＝DH＝，
∵OE∥DH，
∴，即，
∴OE＝1，
∴S四边形AOED＝S△ABD﹣S△OEB
＝
＝；
②如图5，当∠OEB＝90°时，连接AC，

∵∠C＝∠OEB＝90°，
∴AC∥OE，CE＝BE，
∵AD＝2DP，
同理得AC＝2PE，
∵AO＝BO，
∴AC＝2OE，
∴OE＝PE＝OP，
∴AC＝AB，
∴∠ABC＝30°，
∵AB＝4，
∴OB＝2＝AC，OE＝1，BE＝，BC＝，
∴CE＝，
∵AC∥PE，
∴，
∵CD+DE＝，
∴CD＝，
∴S四边形AOED＝S△ABC﹣S△OEB﹣S△ACD
＝，
＝．
综上，四边形AOED的面积是或．
【点睛】本题考查圆周角定理、垂径定理、相似三角形的性质和判定，解直角三角形，等腰三角形的性质等．（1）中能借助定理构造直角三角形是解题关键；（2）能借助相似三角形以及圆周角定理表示相关角是解题关键；（3）中注意分类讨论和正确构造图形．
8． (2023·上海·九年级专题练习）如图，已知在四边形中，，，以为直径的交边于、两点，，，设的半径长为．
（1）联结，当时，求的半径长；
（2）过点作，垂足为点，设，试用的代数式表示；
（3）设点为的中点，联结、，是否能成为等腰三角形？如果能，试求出的值；如不能，试说明理由．
【答案】（1）3；（2）；（3）能成为等腰三角形，
【分析】（1）证为梯形的中位线，得出即可；
（2）连接、，过点作于，则，由勾股定理得出，由四边形的面积的面积的面积的面积，进而得出答案；
（3）证是梯形的中位线，得出，， ，由勾股定理得，分三种情况，分别求解即可．
【解析】解：（1）∵，，
∴为梯形的中位线，
∴，即的半径长为3；
（2）连接、，过点作于，如图1所示：
∵，，且，
∴四边形为矩形，
则，
∴，
∴，
∵四边形的面积的面积的面积的面积，
∴，
整理得：；
（3）能成为等腰三角形，理由如下：
∵点为的中点，，
∴是梯形的中位线，
∴，，
，
由勾股定理得：，
分三种情况：
①时，则，无解；
②时，如图2所示：
，解得：；
③时，作于，如图3所示：
，
∵，
∴，
∴，
∴是的平分线，
由题意知：，
又，
∴，
则此时圆和相切，不合题意；
综上所述，能成为等腰三角形，．
【点睛】本题考查了垂径定理、梯形中位线定理、勾股定理、角平分线的性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握垂径定理和梯形中位线定理是解题的关键．
9． (2023·上海·九年级专题练习）如图，已知AB是半圆O的直径，AB＝6，点C在半圆O上．过点A作AD⊥OC，垂足为点D，AD的延长线与弦BC交于点E，与半圆O交于点F（点F不与点B重合）．
（1）当点F为的中点时，求弦BC的长；
（2）设OD＝x，＝y，求y与x的函数关系式；
（3）当△AOD与△CDE相似时，求线段OD的长．
【答案】（1）3；（2）y＝；（3）
【分析】（1）连结OF，交BC于点H．得出∠BOF＝∠COF．则∠AOC＝∠COF＝∠BOF＝60°，可求出BH，BC的长；
（2）连结BF．证得OD∥BF，则，即，得出，则得出结论；
（3）分两种情况：①当∠DCE＝∠DOA时，AB∥CB，不符合题意，舍去，②当∠DCE＝∠DAO时，连结OF，证得∠OAF＝30°，得出OD＝，则答案得出．
【解析】解：（1）如图1，连结OF，交BC于点H．
∵F是中点，
∴OF⊥BC，BC＝2BH．
∴∠BOF＝∠COF．
∵OA＝OF，OC⊥AF，
∴∠AOC＝∠COF，
∴∠AOC＝∠COF＝∠BOF＝60°，
在Rt△BOH中，sin∠BOH＝，
∵AB＝6，
∴OB＝3，
∴BH＝，
∴BC＝2BH＝3；
（2）如图2，连结BF．
∵AF⊥OC，垂足为点D，
∴AD＝DF．
又∵OA＝OB，
∴OD∥BF，BF＝2OD＝2x．
∴，
∴，
即，
∴，
∴y＝．
（3）△AOD和△CDE相似，分两种情况：①当∠DCE＝∠DOA时，AB∥CB，不符合题意，舍去．
②当∠DCE＝∠DAO时，连结OF．
∵OA＝OF，OB＝OC，
∴∠OAF＝∠OFA，∠OCB＝∠OBC．
∵∠DCE＝∠DAO，
∴∠OAF＝∠OFA＝∠OCB＝∠OBC．
∵∠AOD＝∠OCB+∠OBC＝2∠OAF，
∴∠OAF＝30°，
∴OD＝．
即线段OD的长为．
【点睛】本题属于圆综合题，考查了垂径定理，勾股定理，直角三角形的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造基本图形解决问题．
10． (2023·上海·九年级专题练习）如图，已知半圆⊙O的直径AB＝10，弦CD∥AB，且CD＝8，E为弧CD的中点，点P在弦CD上，联结PE，过点E作PE的垂线交弦CD于点G，交射线OB于点F．
（1）当点F与点B重合时，求CP的长；
（2）设CP＝x，OF＝y，求y与x的函数关系式及定义域；
（3）如果GP＝GF，求△EPF的面积．
【答案】（1）CP＝2；（2）；（3）
【分析】（1）如图1，连接EO，交弦CD于点H，根据垂径定理得EO⊥AB，由勾股定理计算，可得EH的长，证明∠HPE＝∠HGE＝45°，则PE＝GE．从而可得结论；
（2）如图2，连接OE，证明△PEH∽△EFO，列比例式可得结论；
（3）如图3，作PQ⊥AB，分别计算PE和EF的长，利用三角形面积公式可得结论．
【解析】（1）连接EO，交弦CD于点H，
∵E为弧CD的中点，
∴EO⊥AB，
∵CD∥AB，
∴OH⊥CD，
∴CH＝，
连接CO，
∵AB＝10，CD＝8，
∴CO＝5，CH＝4，
∴，
∴EH＝EO﹣OH＝2，
∵点F与点B重合，
∴∠OBE＝∠HGE＝45°，
∵PE⊥BE，
∴∠HPE＝∠HGE＝45°，
∴PE＝GE，
∴PH＝HG＝2，
∴CP＝CH﹣PH＝4﹣2＝2；
（2）如图2，连接OE，交CD于H，
∵∠PEH+∠OEF＝90°，∠OFE+∠OEF＝90°，
∴∠PEH＝∠OFE，
∵∠PHE＝∠EOF＝90°，
∴△PEH∽△EFO，
∴，
∵EH＝2，FO＝y，PH＝4﹣x，EO＝5，
∴，
∴．
（3）如图3，过点P作PQ⊥AB，垂足为Q，
∵GP＝GF，
∴∠GPF＝∠GFP，
∵CD∥AB，
∴∠GPF＝∠PFQ，
∵PE⊥EF，
∴PQ＝PE，
由（2）可知，△PEH∽△EFO，
∴，
∵PQ＝OH＝3，
∴PE＝3，
∵EH＝2，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题属于圆综合题，考查了垂径定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形列比例式解决问题，属于中考压轴题．