北师大版七年级数学上册从重点到压轴专题3.2数字变化类规律问题(压轴题专项讲练)(原卷版+解析)

这是一份北师大版七年级数学上册从重点到压轴专题3.2数字变化类规律问题(压轴题专项讲练)(原卷版+解析)，共33页。
专题3.2 数字变化类规律问题【典例1】观察下列等式：第一个等式：x1=a1×4=a3(1−14)；第二个等式：x2=a4×7=a3(14−17)；第三个等式：x3=a7×10=a3(17−110)；第四个等式：x4=a10×13=a3(110−113)；其中a为常数，按照上面的规律，则x5＝　 　；xn＝　 　；若a＝6067，则x1+x2+x3+⋅⋅⋅+x2022＝　 　．【思路点拨】根据所给的等式的形式，不难总结出第n个等式为：a(3n−2)×(3n+1)，再利用相应的规律进行求解即可．【解题过程】解：∵第一个等式：x1=a1×4=a3(1−14)；第二个等式：x2=a4×7=a3(14−17)；第三个等式：x3=a7×10=a3(17−110)；第四个等式：x4=a10×13=a3(110−113)；...，∴第五个等式为：x5=a13×16=a3(113−116)，第n个等式为：xn=a(3n−2)(3n+1)=a3(13n−2−13n+1)，∴x1+x2+x3+⋅⋅⋅+x2022=a3（1−14+14−17+17−110+...+16064−16067）=a3(1−16067) =a3×60666067 =2022a6067，∵a＝6067，∴原式=2022×60676067＝2022．故答案为：x5=a13×16=a3(113−116)；xn=a(3n−2)×(3n+1)=a3(13n−2−13n+1)；2022．1．（2022春•昭通期末）观察下列一组数：−32，54，−76，98，−1110，…，它们是按一定规律排列的，那么这组数的第2022个数是（　　）A．−20222021 B．20242023 C．−40434044 D．404540442．（2022春•麒麟区期末）按一定规律排列的一列数依次为16，112，120，130⋯⋯按此规律排列下去，这列数的第9个数是（　　）A．119 B．1110 C．190 D．193．（2022•牡丹江）观察下列数据：12，−25，310，−417，526，…，则第12个数是（　　）A．12143 B．−12143 C．12145 D．−121454．（2022•文山市模拟）一组按规律排列的单项式：﹣4x，7x2，﹣10x3，13x4，﹣16x5，…，根据其中的规律，第12个单项式是（　　）A．﹣31x12 B．34x12 C．37x12 D．﹣40x115．（2022春•庆云县期末）一列数a1，a2，a3，…，an，其中a1＝﹣1，a2=11−a1，a3=11−a2，…，an=11−an−1，则a1+a2+a3+…+a2021的值为（　　）A．1009 B．32 C．20192 D．10086．（2022春•惠城区期末）填在下面各正方形中的四个数之间都有一定的规律，按此规律得出a，b的值分别为（　　）A．16，257 B．16，91 C．10，101 D．10，1617．（2022•太平区一模）小时候，我们就用手指练习过数数，一个小朋友按如图所示的规则练习数数，数到2022时对应的指头是（　　）A．无名指 B．食指 C．中指 D．大拇指8．（2022•公安县模拟）现有一列数a1，a2，a3，…，a98，a99，a100，其中a1＝2022，a2＝﹣2020，a7＝2018，a96＝﹣2016，且满足任意相邻四个数的和为同一个常数，则a1+a2+a3+…+a98+a99+a100的值为（　　）A．﹣2020 B．100 C．2018 D．20229．（2022春•两江新区期末）对于任意一个正整数x1可以按规则生成无穷数串：x1，x2，x3，…，xn，xn+1，…（其中n为正整数），规则为：xn+1=12xn(当xn为偶数)3xn+1(当xn为奇数)．下列说法：①若x1＝4，则生成的这数串中必有xi＝xi+3（i为正整数）；②若x1＝6，生成的前2022个数之和为55；③若生成的数中有一个xi+1＝16，则它的前一个数xi应为32；④若x4＝7，则x1的值只能是9．其中正确的个数是（　　）A．1 B．2 C．3 D．410．（2022•麦积区模拟）观察下列等式：1＝12，1+3＝22，1+3+5＝32，1+3+5+7＝42…，则1+3+5+7+…+2021＝　 　．11．（2022•蓝田县二模）有一数值转换器，原理如图所示，若开始输入x的值是1，可发现第一次输出的结果是4，第二次输出的结果是2，……，请你探索第2021次输出的结果是 　 　．12．（2022•富川县三模）观察下列等式：31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，…，则3+32+33+34+…+32022+1的末位数字是 　 　．13．（2022春•和平县期末）为了求1+2+22+23+……+299的值，可令S＝1+2+22+23+……+299，则2S＝2+22+23+……+299+2100，因此，2S﹣S＝2100﹣1，所以S＝2100﹣1．即1+2+22+23+……+299的值为2100﹣1．仿照以上推理计算：1+3+32+33+……+399的值为 　 　．14．（2022•恩施州）观察下列一组数：2，12，27，…，它们按一定规律排列，第n个数记为an，且满足1an+1an+2=2an+1．则a4＝　 　，a2022＝　 　．15．（2022春•绥棱县期末）下列式子：32+42＝52，82+62＝102，152+82＝172，242+102＝262…．请你利用发现的规律写出第五个等式 　 　．16．（2022春•市北区期末）也许你认为数字运算是数学中常见而又枯燥的内容，但实际上，它里面也蕴藏着许多不为人知的奥妙，下面就让我们来做一个数字游戏：第一步：取一个自然数n1＝3，计算n12+2得a1；第二步：计算出a1的各位数字之和得n2，再计算n22+2得a2；第三步：计算出a2的各位数字之和得n3，再计算n32+2得a3；……依此类推，则a2020＝　 　．17．（2022•兴庆区校级二模）用符号f（x）表示关于自然数x的代数式，我们规定：当x为偶数时，f（x）=x2；当x为奇数时，f（x）＝3x+1．例如：f（1）＝3×1+1，f（8）=82=4．设x1＝8，x2＝f（x1），x3＝f（x2），⋯，xn＝f（xn﹣1）．以此规律，得到一列数x1、x2、x3，⋯，x2022，则这2022个数之和x1+x2+x3+⋯+x2021+x2022等于 　 　．18．（2022•陇西县二模）观察以下等式：第1个等式：21×（2−11）＝1+11；第2个等式：33×（2−12）＝1+12；第3个等式：45×（2−13）＝1+13；第4个等式：57×（2−14）＝1+14；第2021个等式：　 　．19．（2022春•广陵区期中）如果记y=x21+x2=f（x），并且f（1）表示当x＝1时y的值，且f（1）=121+12=12；f(12)表示当x=12时y的值，且f(12)=(12)21+(12)2=15；那么f(1)+f(2)+f(12)+f(3)+f(13)+⋯+f（2021）+f(12021)+f(2022)+f(12022)=　 　．20．（2022春•南京期中）（1）阅读并填空：22﹣21＝21×（2﹣1）＝21，23﹣22＝22×（2﹣1）＝22，24﹣23＝23×（2﹣1）＝23，…2n+1﹣2n＝　 　＝　 　（n为正整数）．（2）计算：①2100﹣299＝　 　；②210+210﹣211＝　 　．（3）计算：21+22+…+21000．21．（2022春•成武县期末）著名数学教育家G•波利亚，有句名言：“发现问题比解决问题更重要”，这句话启发我们：要想学会数学，就需要观察，发现问题，探索问题的规律性东西，要有一双敏锐的眼睛．请先观察下列等式找出规律，并解答问题．①13＝12；②13+23＝32；③13+23+33＝62；④13+23+33+43＝102；（1）等式⑤是 　 　．（2）应用规律探究：63+73+83+93+103的值．22．（2021秋•广饶县期末）请先阅读下列一组内容，然后解答问题．因为：11×2=1−12，12×3=12−13，13×4=13−14，…，19×10=19−110，所以：11×2+12×3+13×4+⋯+19×10=（1−12）+（12−13）+（13−14）+…+（19−110）＝1−12+12−13+13−14+⋯+19−110=1−110=910．化简下列各式并求值：（1）11×2+12×3+13×4+⋯+12021×2022；（2）11×3+13×5+15×7+⋯+12019×2021．23．（2022•淮北一模）观察下列等式：第1个等式：a1=11×5=14×(11−15)，第2个等式：a2=15×9=14×(15−19)，第3个等式：a3=19×13=14×(19−113)，…请解答下列问题：（1）按以上规律列出第5个等式：a5＝　 　＝　 　．（2）用含有n的代数式表示第n个等式：an＝　 　＝　 　．（n为正整数）（3）求a1+a2+a3+……+a2022的值．24．（2021秋•思明区校级期末）阅读材料：把无限循环小数化为分数，可以按如下方法进行：以0.3⋅为例，设0.3⋅=x，由0.3⋅=0.333…，可知10x＝3.333…，所以10x＝3+x，解得x=13，于是0.3⋅=13．（1）请把无限循环小数0.7⋅化为分数是 　 　；（2）请把无限循环小数0.7⋅5⋅化为分数；（3）将0.2⋅16⋅与0.5⋅的积化为小数，则小数点后第999位数字是 　 　．25．（2022春•莱芜区月考）如图，从左到右，在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等．（1）可求得x＝　 　，第2009个格子中的数为 　 　；（2）判断：前m个格子中所填整数之和是否可能为2018？若能，求出m的值；若不能，请说明理由；（3）如果a，b为前三个格子中的任意两个数，那么所有的|a﹣b|的和可以通过计算|9﹣&|+|9﹣#|+|&﹣#|+|&﹣9|+|#﹣9|+|#﹣&|得到，若a，b为前19个格子中的任意两个数，则所有的|a﹣b|的和为 　 　．26．（2021秋•垦利区期末）如图，将连续的奇数1，3，5，7…按图①中的方式排成一个数表，用一个十字框框住5个数，这样框出的任意5个数（如图②）分别用a，b，c，d，x表示．（1）若x＝17，则a+b+c+d＝　 　；（2）用含x的式子分别表示数a，b，c，d；（3）直接写出a，b，c，d，x这5个数之间的一个等量关系：　 　；（4）设M＝a+b+c+d+x，判断M的值能否等于2020，请说明理由．27．（2021秋•公安县期末）把正整数1，2，3，4，…，排列成如图1所示的一个表，从上到下分别称为第1行、第2行、第3行……，从左到右分别称为第1列、第2列、第3列……．用图2所示的方框在图1中框住16个数，把其中没有被阴影覆盖的四个数分别记为a，b，c，d．设a＝x．（1）在图1中，数2022排在第几行第几列？（2）若a+2b+3c＝387，求出d所表示的数；（3）将图1中的奇数都改为原数的相反数，偶数不变，此时a﹣b﹣c+d的值能否为2700？如果能，请求出a所表示的数，并求出a在图1中排在第几行第几列；如果不能，请说明理由．28．（2021秋•长春期末）如图，在表一中，将第1行第3列的数记为[1，3]，则[1，3]＝3，将第3行第2列的数记为[3，2]，则[3，2]＝6；按照要求回答下列各题：（1）在表一中，[3，5]＝　 　，[8，10]＝　 　；（2）在表一中，第3行第n+1列的数可以记为[3，n+1]＝　 　；（3）如图，表二、表三、表四分别是从表一中截取的一部分，求3a+b﹣2c的值． 9&#x﹣62…专题3.2 数字变化类规律问题【典例1】观察下列等式：第一个等式：x1=a1×4=a3(1−14)；第二个等式：x2=a4×7=a3(14−17)；第三个等式：x3=a7×10=a3(17−110)；第四个等式：x4=a10×13=a3(110−113)；其中a为常数，按照上面的规律，则x5＝　 　；xn＝　 　；若a＝6067，则x1+x2+x3+⋅⋅⋅+x2022＝　 　．【思路点拨】根据所给的等式的形式，不难总结出第n个等式为：a(3n−2)×(3n+1)，再利用相应的规律进行求解即可．【解题过程】解：∵第一个等式：x1=a1×4=a3(1−14)；第二个等式：x2=a4×7=a3(14−17)；第三个等式：x3=a7×10=a3(17−110)；第四个等式：x4=a10×13=a3(110−113)；...，∴第五个等式为：x5=a13×16=a3(113−116)，第n个等式为：xn=a(3n−2)(3n+1)=a3(13n−2−13n+1)，∴x1+x2+x3+⋅⋅⋅+x2022=a3（1−14+14−17+17−110+...+16064−16067）=a3(1−16067) =a3×60666067 =2022a6067，∵a＝6067，∴原式=2022×60676067＝2022．故答案为：x5=a13×16=a3(113−116)；xn=a(3n−2)×(3n+1)=a3(13n−2−13n+1)；2022．1．（2022春•昭通期末）观察下列一组数：−32，54，−76，98，−1110，…，它们是按一定规律排列的，那么这组数的第2022个数是（　　）A．−20222021 B．20242023 C．−40434044 D．40454044【思路点拨】通过观察发现，分子是2n+1，分母是2n，并且负正数交替出现，由此可得规律为(−1)n2n+12n，从而可求第2022个数．【解题过程】解：∵−32=（﹣1）12×1+12×1，54=（﹣1）22×2+12×2，−76=（﹣1）32×3+12×3，…，∴第n个数为：(−1)n2n+12n，∴第2022个数为：(−1)20222×2022+12×2022=40454044．故选：D．2．（2022春•麒麟区期末）按一定规律排列的一列数依次为16，112，120，130⋯⋯按此规律排列下去，这列数的第9个数是（　　）A．119 B．1110 C．190 D．19【思路点拨】不难看出，其分子都是1，分母可拆分为6＝2×3，12＝3×4，20＝4×5，……据此可得第n个数，从而可求第9个数．【解题过程】解：∵16=12×3，112=13×4，120=14×5，……∴第n个数为：1(n+1)(n+2)，∴第9个数为：110×11=1110．故选：B．3．（2022•牡丹江）观察下列数据：12，−25，310，−417，526，…，则第12个数是（　　）A．12143 B．−12143 C．12145 D．−12145【思路点拨】根据给出的数据可以推算出第n个数是nn2+1×（﹣1）n+1所以第12个数字把n＝12代入求值即可．【解题过程】解：根据给出的数据特点可知第n个数是nn2+1×（﹣1）n+1，∴第12个数就是12122+1×（﹣1）12+1=−12145．故选：D．4．（2022•文山市模拟）一组按规律排列的单项式：﹣4x，7x2，﹣10x3，13x4，﹣16x5，…，根据其中的规律，第12个单项式是（　　）A．﹣31x12 B．34x12 C．37x12 D．﹣40x11【思路点拨】根据给出单项式的规律即可求出答案．【解题过程】解：根据前几项可以得出规律，奇数项为负，偶数项为正，第n项的数为（﹣1）n×（1+3n）xn，∴第12个单项式是（﹣1）12×（1+3×12）×x12＝37x12，故选：C．5．（2022春•庆云县期末）一列数a1，a2，a3，…，an，其中a1＝﹣1，a2=11−a1，a3=11−a2，…，an=11−an−1，则a1+a2+a3+…+a2021的值为（　　）A．1009 B．32 C．20192 D．1008【思路点拨】分别求出a2，a3，a4，再观察其规律，再运用规律求解即可．【解题过程】解：∵a1＝﹣1，∴a2=11−a1=11−(−1)=12，a3=11−a2=11−12=2，a4=11−a3=11−2=−1，…，∴这列数以﹣1，12，2不断循环出现，且﹣1+12+2=32，∵2021÷3＝673……2，∴a1+a2+a3+…+a2021=32×673+（﹣1）+12 =20192−1+12 ＝1009．故选：A．6．（2022春•惠城区期末）填在下面各正方形中的四个数之间都有一定的规律，按此规律得出a，b的值分别为（　　）A．16，257 B．16，91 C．10，101 D．10，161【思路点拨】第二行第一个数的规律是2n+2，第一行第二个数的规律是2n，第二行第二个数是的规律是b＝ac+1，由此求解即可．【解题过程】解：第二行第一个数的规律是2n+2，∴a＝10，第一行第二个数的规律是2n，∴c＝16，第二行第二个数是的规律是b＝ac+1，∴b＝160+1＝161，故选：D．7．（2022•太平区一模）小时候，我们就用手指练习过数数，一个小朋友按如图所示的规则练习数数，数到2022时对应的指头是（　　）A．无名指 B．食指 C．中指 D．大拇指【思路点拨】通过题图可以看出，大拇指对应的数每相邻两个数之间差8，所以在这个数列当中的每个数可用代数式1+8（n﹣1）表示，中指对应的数每相邻两个数之间差4，所以在这个数列当中每个数可用代数式3+4（m﹣1），再根据2022与这两个数据的关系，从而确定2022的位置．【解题过程】解：由题图可得，大拇指对应的数列用代数式表示为1+8（n﹣1），当n＝254时，大拇指对应的数为：2025，由题图可得，中指对应的数列为3+4（m﹣1），当m＝506时，中指对应的数为：2023，所以2022对应的手指为：无名指，故选：A．8．（2022•公安县模拟）现有一列数a1，a2，a3，…，a98，a99，a100，其中a1＝2022，a2＝﹣2020，a7＝2018，a96＝﹣2016，且满足任意相邻四个数的和为同一个常数，则a1+a2+a3+…+a98+a99+a100的值为（　　）A．﹣2020 B．100 C．2018 D．2022【思路点拨】根据题意得出所有数字依次按等于2022，﹣2020，2018，﹣2016四次一循环的规律出现，即可求得此题结果．【解题过程】解：由题意得，a1+a2+a3+a4＝a2+a3+a4+a5，∴a1＝a5＝2022，同理可求得，a2＝a6＝﹣2020，a3＝a7＝﹣2018，a4＝a8，∴所有数字按四次一循环的规律出现，∵96÷4＝24，∴a4＝a8＝a96＝﹣2016，即所有数字依次按等于2022，﹣2020，2018，﹣2016四次一循环的规律出现，∵100÷4＝25，∴a1+a2+a3+…+a98+a99+a100＝（2022﹣2020+2018﹣2016）×25＝4×25＝100，故选：B．9．（2022春•两江新区期末）对于任意一个正整数x1可以按规则生成无穷数串：x1，x2，x3，…，xn，xn+1，…（其中n为正整数），规则为：xn+1=12xn(当xn为偶数)3xn+1(当xn为奇数)．下列说法：①若x1＝4，则生成的这数串中必有xi＝xi+3（i为正整数）；②若x1＝6，生成的前2022个数之和为55；③若生成的数中有一个xi+1＝16，则它的前一个数xi应为32；④若x4＝7，则x1的值只能是9．其中正确的个数是（　　）A．1 B．2 C．3 D．4【思路点拨】①根据定义，x1＝4是偶数，按xn+1=12xn计算，可得x2=12x1＝2，2是偶数，同理可得x3＝1，1是奇数，按xn+1＝3xn+1代入可得x4＝4，依次可得生成的数串为4，2，1，4，2，1，•••，发现每3个数一循环，有xi＝xi+3（i为正整数），可作判断；②同理可得若x1＝6，生成的数串为6，3，10，5，16，8，4，2，1，4，2，1，•••，由此可计算生成的前2022个数之和可作判断；③计算16的前一个数，可能是32或5两种情况，从而作判断；④计算第4个数是7时，前3个数，分情况讨论可作判断．【解题过程】解：①若x1＝4，即xn是偶数，x2=12x1=12×4＝2，x3=12x2=12×2＝1，x4＝3x3+1＝3×1+1＝4，x5=12x4＝2，•••，每3个数一循环，有x1＝x4，x2＝x5，•••，∴若x1＝4，则生成的数串中必有xi＝xi+3（i为正整数）；故①正确；②若x1＝6，即xn是偶数，x2=12x1=12×6＝3，x3＝3x2+1＝3×3+1＝10，x4=12x3+1=12×10＝5，x5＝3x4+1＝3×5+1＝16，x6=12x5=12×16＝8，x7=12x6=12×8＝4，x8=12x7=12×4＝2，•••，从x7开始，每3个数一循环，4+2+1＝7，∴生成的前2022个数之和＝6+3+10+5+16+8+7×]（2022﹣6）÷3]＝4752，故②错误；③若生成的数中有一个xi+1＝16，则xi有两种情况：当xi是偶数时，16=12xi，xi＝32；当xi是奇数时，16＝3xi+1，xi＝5；若生成的数中有一个xi+1＝16，则它的前一个数xi应为32或5；故③错误；④当x4＝7时，有两种情况：当x3是偶数时，7=12x3，x3＝14，x2＝28，x1＝56或9；当x3是奇数时，7＝3x3+1，x3＝2（不符合题意，舍）；故④错误；其中正确的结论是①，1个．故选：A．10．（2022•麦积区模拟）观察下列等式：1＝12，1+3＝22，1+3+5＝32，1+3+5+7＝42…，则1+3+5+7+…+2021＝　10112　．【思路点拨】由所归纳规律可得1+3+5+7+…+2021＝1+3+5+7+…+（2×1011﹣1）＝10112．【解题过程】解：因为1＝12，1+3＝22，1+3+5＝32，1+3+5+7＝42…，所以第n个算式是1+3+5+7+…+（2n﹣1）＝n2；1+3+5+7+…+2021＝1+3+5+7+…+（2×1011﹣1）＝10112．故答案为：10112．11．（2022•蓝田县二模）有一数值转换器，原理如图所示，若开始输入x的值是1，可发现第一次输出的结果是4，第二次输出的结果是2，……，请你探索第2021次输出的结果是 　2　．【思路点拨】根据题意，可以写出前几个输出结果，从而可以发现输出结果的变化特点，从而可以求得第2021次输出的结果．【解题过程】解：由题意可得，第一次输出的结果是4，第二次输出的结果是2，第三次输出的结果是1，第四次输出的结果是4，第五次输出的结果是2，…，由上可得，输出结果依次以4，2，1循环出现，∵2021÷3＝673……2，∴第2021次输出的结果是2，故答案为：2．12．（2022•富川县三模）观察下列等式：31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，…，则3+32+33+34+…+32022+1的末位数字是 　3　．【思路点拨】根据各数的个位数字的变化，可得出每项的个位数字分别为3，9，7，1，…，且四次一循环，再结合“2022÷4＝505……2，3+9+7+1＝20”从而可求式子的末位数字．【解题过程】解：∵31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，37＝2187，…，∴每项的个位数字分别为3，9，7，1，…，且四次一循环．∵2022÷4＝505……2，3+9+7+1＝20，∴3+32+33+34+…+32021+1末位数字＝0×505+3+9+1＝13，故答案为：3．13．（2022春•和平县期末）为了求1+2+22+23+……+299的值，可令S＝1+2+22+23+……+299，则2S＝2+22+23+……+299+2100，因此，2S﹣S＝2100﹣1，所以S＝2100﹣1．即1+2+22+23+……+299的值为2100﹣1．仿照以上推理计算：1+3+32+33+……+399的值为 　3100−12　．【思路点拨】仿照所给的解答方式进行求解即可．【解题过程】解：令S＝1+3+32+33+……+399，则3S＝3+32+33+……+3100，因此，3S﹣S＝3100﹣1，所以S=3100−12．即1+3+32+33+……+399的值为3100−12．故答案为：3100−12．14．（2022•恩施州）观察下列一组数：2，12，27，…，它们按一定规律排列，第n个数记为an，且满足1an+1an+2=2an+1．则a4＝　15　，a2022＝　13032　．【思路点拨】由题意可得an=23(n−1)+1，即可求解．【解题过程】解：由题意可得：a1＝2=21，a2=12=24，a3=27，∵1a2+1a4=2a3，∴2+1a4=7，∴a4=15=210，∵1a3+1a5=2a4，∴a5=213，同理可求a6=18=216，•••∴an=23(n−1)+1，∴a2022=13032，故答案为：15，13032．15．（2022春•绥棱县期末）下列式子：32+42＝52，82+62＝102，152+82＝172，242+102＝262…．请你利用发现的规律写出第五个等式 　352+122＝372　．【思路点拨】观察所给的式子可得：32+42＝52可变成[（1+1）2﹣1]2+[2×（1+1）]2＝[（1+1）2﹣1+2×（1+1）﹣2×1]2，82+62＝102可变成[（1+2）2﹣1]2+[2×（1+2）]2＝[（1+2）2﹣1+2×（1+2）﹣2×2]2，…，据此进行求解即可．【解题过程】解：∵32+42＝52整理得：[（1+1）2﹣1]2+[2×（1+1）]2＝[（1+1）2﹣1+2×（1+1）﹣2×1]2，82+62＝102整理得[（1+2）2﹣1]2+[2×（1+2）]2＝[（1+2）2﹣1+2×（1+2）﹣2×2]2，…，∴第n个等式为：[（1+n）2﹣1]2+[2×（1+n）]2＝[（1+n）2﹣1+2×（1+n）﹣2n]2，∴第五个等式为：[（1+5）2﹣1]2+[2×（1+5）]2＝[（1+5）2﹣1+2×（1+5）﹣2×5]2，整理得：352+122＝372．故答案为：352+122＝372．16．（2022春•市北区期末）也许你认为数字运算是数学中常见而又枯燥的内容，但实际上，它里面也蕴藏着许多不为人知的奥妙，下面就让我们来做一个数字游戏：第一步：取一个自然数n1＝3，计算n12+2得a1；第二步：计算出a1的各位数字之和得n2，再计算n22+2得a2；第三步：计算出a2的各位数字之和得n3，再计算n32+2得a3；……依此类推，则a2020＝　123　．【思路点拨】根据游戏的规则进行运算，求出a1、a2、a3、a4、a5，再分析其规律，从而可求解．【解题过程】解：∵a1＝n12+2＝32+2＝11，∴n2＝1+1＝2，a2＝n22+2＝22+2＝6，n3＝6，a3＝n32+2＝62+2＝38，n4＝3+8＝11，a4＝n42+2＝112+2＝123，n5＝1+2+3＝6，a5＝n52+2＝62+2＝38，……∴从第3个数开始，以38，123不断循环出现，∵（2020﹣2）÷2＝1009，∴a2020＝a4＝123．故答案为：123．17．（2022•兴庆区校级二模）用符号f（x）表示关于自然数x的代数式，我们规定：当x为偶数时，f（x）=x2；当x为奇数时，f（x）＝3x+1．例如：f（1）＝3×1+1，f（8）=82=4．设x1＝8，x2＝f（x1），x3＝f（x2），⋯，xn＝f（xn﹣1）．以此规律，得到一列数x1、x2、x3，⋯，x2022，则这2022个数之和x1+x2+x3+⋯+x2021+x2022等于 　4725　．【思路点拨】通过计算发现从x2开始每3次的运算结果循环一次，由此可知x2、x3，⋯，x2019循环673次，并且x2021＝4，x2022＝2，再计算即可．【解题过程】解：∵x1＝8，∴x2＝f（x1）＝f（8）＝4，x3＝f（x2）＝f（4）＝2，x4＝f（x3）＝f（2）＝1，x5＝f（x4）＝f（1）＝4，⋯∴从x2开始每3次的运算结果循环一次，∵（2022﹣1）÷3＝673…2，∴x2、x3，⋯，x2019循环673次，x2021＝4，x2022＝2，∵x2+x3+x4＝7，∴x1+x2+x3+⋯+x2021+x2022＝8+673×7+4+2＝4725，故答案为：4725．18．（2022•陇西县二模）观察以下等式：第1个等式：21×（2−11）＝1+11；第2个等式：33×（2−12）＝1+12；第3个等式：45×（2−13）＝1+13；第4个等式：57×（2−14）＝1+14；第2021个等式：　20224041×（2−12021）＝1+12021　．【思路点拨】从数字找规律，进行计算即可解答．【解题过程】解：第1个等式：21×（2−11）＝1+11，即：1+12×1−1×（2−11）＝1+11；第2个等式：33×（2−12）＝1+12，即：2+12×2−1×（2−12）＝1+12；第3个等式：45×（2−13）＝1+13，即：3+12×3−1×（2−13）＝1+13；第4个等式：57×（2−14）＝1+14，即：4+12×4−1×（2−14）＝1+14；..．第2021个等式：2021+12×2021×（2−12021）＝1+12021，即：20224041×（2−12021）＝1+12021，故答案为：20224041×（2−12021）＝1+12021．19．（2022春•广陵区期中）如果记y=x21+x2=f（x），并且f（1）表示当x＝1时y的值，且f（1）=121+12=12；f(12)表示当x=12时y的值，且f(12)=(12)21+(12)2=15；那么f(1)+f(2)+f(12)+f(3)+f(13)+⋯+f（2021）+f(12021)+f(2022)+f(12022)=　40432　．【思路点拨】根据题意把f（2），f（3），f（13）求出来，再分析f（2）与f（12），f（3）与f（13）的关系，再代入所求的式子进行求解即可．【解题过程】解：∵f（1）=121+12=12；f(12)=(12)21+(12)2=15，f（2）=221+22=45，f（3）=321+32=910，f（13）=(13)21+(13)2=110，∴f（2）+f（12）=45+15=1，f（3）+f（13）=910+110=1，∴f（2021）+f（12021）＝1，f（2022）+f（12022）＝1，∴f（n）+f（1n）＝1，∴f(1)+f(2)+f(12)+f(3)+f(13)+⋯+f（2021）+f(12021)+f(2022)+f(12022)=12+1+1+1+…+1+1=12+2021=40432，故答案为：40432．20．（2022春•南京期中）（1）阅读并填空：22﹣21＝21×（2﹣1）＝21，23﹣22＝22×（2﹣1）＝22，24﹣23＝23×（2﹣1）＝23，…2n+1﹣2n＝　2n×（2﹣1）＝　＝　2n　（n为正整数）．（2）计算：①2100﹣299＝　299　；②210+210﹣211＝　0　．（3）计算：21+22+…+21000．【思路点拨】（1）由所给的等式进行分析，不难得出结果；（2）利用（1）中的规律进行求解即可；（3）利用（1）中的规律进行求解即可．【解题过程】解：（1）∵22﹣21＝21×（2﹣1）＝21，23﹣22＝22×（2﹣1）＝22，24﹣23＝23×（2﹣1）＝23，…∴2n+1﹣2n＝2n×（2﹣1）＝2n，故答案为：2n×（2﹣1），2n；（2）①2100﹣299＝299×（2﹣1）＝299；故答案为：299；②210+210﹣211＝211﹣211＝0；故答案为：0；（3）21+22+…+21000＝（22﹣2）+（23﹣22）+（24﹣23）+......+（21001﹣21000）＝21001﹣2．21．（2022春•成武县期末）著名数学教育家G•波利亚，有句名言：“发现问题比解决问题更重要”，这句话启发我们：要想学会数学，就需要观察，发现问题，探索问题的规律性东西，要有一双敏锐的眼睛．请先观察下列等式找出规律，并解答问题．①13＝12；②13+23＝32；③13+23+33＝62；④13+23+33+43＝102；（1）等式⑤是 　13+23+33+43+53＝152　．（2）应用规律探究：63+73+83+93+103的值．【思路点拨】（1）由所给的式子，可得第5个式子为13+23+33+43+53＝152；（2）由63+73+83+93+103＝（13+23+33+43+53+63+73+83+93+103）﹣（13+23+33+43+53），求解即可．【解题过程】解：（1）∵①13＝12；②13+23＝32；③13+23+33＝62；④13+23+33+43＝102；∴⑤13+23+33+43+53＝152；故答案为：13+23+33+43+53＝152；（2）由题意可得13+23+33+43+53+63+73+83+93+103＝552，∵13+23+33+43+53＝152，∴63+73+83+93+103＝（13+23+33+43+53+63+73+83+93+103）﹣（13+23+33+43+53）＝552﹣152＝70×40＝2800．22．（2021秋•广饶县期末）请先阅读下列一组内容，然后解答问题．因为：11×2=1−12，12×3=12−13，13×4=13−14，…，19×10=19−110，所以：11×2+12×3+13×4+⋯+19×10=（1−12）+（12−13）+（13−14）+…+（19−110）＝1−12+12−13+13−14+⋯+19−110=1−110=910．化简下列各式并求值：（1）11×2+12×3+13×4+⋯+12021×2022；（2）11×3+13×5+15×7+⋯+12019×2021．【思路点拨】（1）仿照所给的解答方式进行求解即可；（2）仿照所给的解答方式进行求解即可．【解题过程】解：（1）11×2+12×3+13×4+⋯+12021×2022＝1−12+12−13+13−14+⋯+12021−12022＝1−12022=20212022；（2）11×3+13×5+15×7+⋯+12019×2021=12×（1−13）+12×（13−15）+12×（15−17）+⋯+12×（12019−12021）=12×（1−13+13−15+15−17+⋯+12019−12021）=12×（1−12021）=12×20202021 =10102021．23．（2022•淮北一模）观察下列等式：第1个等式：a1=11×5=14×(11−15)，第2个等式：a2=15×9=14×(15−19)，第3个等式：a3=19×13=14×(19−113)，…请解答下列问题：（1）按以上规律列出第5个等式：a5＝　117×21　＝　14×(117−121)　．（2）用含有n的代数式表示第n个等式：an＝　1(4n−3)(4n+1)　＝　14(14n−3−14n+1)　．（n为正整数）（3）求a1+a2+a3+……+a2022的值．【思路点拨】（1）根据所给的等式的形式进行求解即可；（2）分析所给的等式的形式进行总结即可；（3）利用（2）中的规律求解即可．【解题过程】解：（1）第5个等式为：a5=117×21=14×(117−121)，故答案为：117×21；14×(117−121)；（2）∵第1个等式：a1=11×5=14×(11−15)，第2个等式：a2=15×9=14×(15−19)，第3个等式：a3=19×13=14×(19−113)，…∴第n个等式为：an=1(4n−3)(4n+1)=14(14n−3−14n+1)，故答案为：1(4n−3)(4n+1)；14(14n−3−14n+1)；（3）原式=11×5+15×9+19×13+⋯+18085×8089=14×(1−15+15−19+19−113+...+18085−18089) =14×(1−18089) =14×80888089 =20228089．24．（2021秋•思明区校级期末）阅读材料：把无限循环小数化为分数，可以按如下方法进行：以0.3⋅为例，设0.3⋅=x，由0.3⋅=0.333…，可知10x＝3.333…，所以10x＝3+x，解得x=13，于是0.3⋅=13．（1）请把无限循环小数0.7⋅化为分数是 　79　；（2）请把无限循环小数0.7⋅5⋅化为分数；（3）将0.2⋅16⋅与0.5⋅的积化为小数，则小数点后第999位数字是 　0　．【思路点拨】（1）令0.7⋅=x，则10x＝7.77…，由10x＝7+x，即可求解；（2）令x＝0.7⋅5⋅，则100x＝75.7575…，由100x＝75+x，即可求解；（3）分别求出0.2⋅16⋅与0.5⋅的分式形式，再由两数乘积的小数为0.120120…，确定小数位的循环规律，即可求解．【解题过程】解：（1）令0.7⋅=x，则10x＝7.77…，∴10x＝7+x，∴x=79，故答案为：79；（2）令x＝0.7⋅5⋅，则100x＝75.7575…，∴100x＝75+x，∴x=2533；（3）令x＝0.2⋅16⋅，则1000x＝216.216216…，∴1000x＝216+x，∴x=837，令y＝0.5⋅，则10y＝5.555…，∴10y＝y+5，∴y=59，∴837×59=40333=0.120120…，∵999÷3＝333，∴小数点后第999位数字是0，故答案为：0．25．（2022春•莱芜区月考）如图，从左到右，在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等．（1）可求得x＝　9　，第2009个格子中的数为 　﹣6　；（2）判断：前m个格子中所填整数之和是否可能为2018？若能，求出m的值；若不能，请说明理由；（3）如果a，b为前三个格子中的任意两个数，那么所有的|a﹣b|的和可以通过计算|9﹣&|+|9﹣#|+|&﹣#|+|&﹣9|+|#﹣9|+|#﹣&|得到，若a，b为前19个格子中的任意两个数，则所有的|a﹣b|的和为 　2424　．【思路点拨】（1）根据“任意三个相邻格子中所填整数之和都相等”可知此表是由三个整数重复排列而成，便求得x与&的值，此时再观察这组数，可发现每三个数循环一次，则2009÷3＝669…2，得第2009个格子中的数．（2）可先计算出这三个数的和，再照规律计算．（3）由于是三个数重复出现，因此可用前三个数的重复多次计算出结果．【解题过程】解：（1）∵任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，∴9+&+#＝&+#+x＝#+x+（﹣6），∴x＝9，&＝﹣6，由格子中后面有个数字2，可知#＝2，故这个表格中的数据以9，﹣6，2循环出现，∵2009÷3＝669…2，∴第2009个格子中的数为﹣6，故答案为：9，﹣6；（2）前m个格子中所填整数之和可能为2018，∵9﹣6+2＝5，2018÷5＝403…3，且9﹣6＝3，403×3+2＝1211，∴前1211个格子中所填整数之和可能为2018；（3）由于是三个数重复出现，那么前19个格子中，这三个数中，9出现了七次，﹣6和2都出现了6次．故代入式子可得：（|9+6|×6+|9﹣2|×6）×7+（|﹣6﹣9|×7+|﹣6﹣2|×6）×6+（|2﹣9|×7+|2+6|×6）×6＝2424．故答案为：2424．26．（2021秋•垦利区期末）如图，将连续的奇数1，3，5，7…按图①中的方式排成一个数表，用一个十字框框住5个数，这样框出的任意5个数（如图②）分别用a，b，c，d，x表示．（1）若x＝17，则a+b+c+d＝　68　；（2）用含x的式子分别表示数a，b，c，d；（3）直接写出a，b，c，d，x这5个数之间的一个等量关系：　a+b+c+d＝4x　；（4）设M＝a+b+c+d+x，判断M的值能否等于2020，请说明理由．【思路点拨】（1）由x＝17可找出a、b、c、d的值，将其相加即可得出结论；（2）根据图形即可得出a、b、c、d与x之间的关系；（3）由（2）的结论，将a、b、c、d相加即可得出结论；（4）根据M＝5x，代入2020求出x的值，根据x的奇偶性即可得出M的值不能等于2020．【解题过程】解：（1）∵x＝17，∴a＝x﹣12＝5，d＝x+12＝29，b＝x﹣2＝15，c＝x+2＝19，∴a+b+c+d＝5+15+19+29＝68．故答案为：68．（2）根据数的排列结合十字框的框法，即可得出：a＝x﹣12，b＝x﹣2，c＝x+2，d＝x+12．（3）∵a+d＝x﹣12+x+12＝2x，b+c＝x﹣2+x+2＝2x，∴a+b+c+d＝4x．故答案为：a+b+c+d＝4x．（4）不能等于2020，理由如下：∵a+b+c+d＝4x，∴M＝a+b+c+d+x＝5x．当5x＝2020时，x＝404，∵404为偶数，而数表中的所有数为奇数，∴M的值不能等于2020．27．（2021秋•公安县期末）把正整数1，2，3，4，…，排列成如图1所示的一个表，从上到下分别称为第1行、第2行、第3行……，从左到右分别称为第1列、第2列、第3列……．用图2所示的方框在图1中框住16个数，把其中没有被阴影覆盖的四个数分别记为a，b，c，d．设a＝x．（1）在图1中，数2022排在第几行第几列？（2）若a+2b+3c＝387，求出d所表示的数；（3）将图1中的奇数都改为原数的相反数，偶数不变，此时a﹣b﹣c+d的值能否为2700？如果能，请求出a所表示的数，并求出a在图1中排在第几行第几列；如果不能，请说明理由．【思路点拨】（1）每一行有9个数，则2022÷9＝224......6，则可判断2022的位置；（2）分别用含x的式子表示出b，c，d，再由所给的等式可求出x的值，即可确定d的值；（3）不难看出奇数行第1个数为负，偶数行第1个数为正，分两种情况进行讨论：①a为奇数；②a为偶数，从而可求得相应的a值，再进行判断即可．【解题过程】解：（1）∵每一行有9个数，∴2022÷9＝224......6，则2022在第225行第6列；（2）由题意得：b＝a+3＝x+3，c＝a+27＝x+27，d＝a+27+3＝x+30，∵a+2b+3c＝387，∴x+2（x+3）+3（x+27）＝387，解得：x＝50，即a＝50，∴d＝50+30＝80；（3）能，变化之后，奇数行第1个数为负，偶数行第1个数为正，则①当a为奇数时，得：b＝﹣a+3，c＝﹣a+27，d＝a﹣30，∴a﹣b﹣c+d＝2700，则a﹣（﹣a+3）﹣（﹣a+27）+a﹣30＝2700，解得：a＝690（不符合题意），②当a为偶数时，得：b＝﹣a﹣3，c＝﹣a﹣27，d＝a+30，∴a﹣b﹣c+d＝2700，则a﹣（﹣a﹣3）﹣（﹣a﹣27）+a+30＝2700，解得：a＝660，∵660÷9＝73......3，∴数660在第74行第3列．28．（2021秋•长春期末）如图，在表一中，将第1行第3列的数记为[1，3]，则[1，3]＝3，将第3行第2列的数记为[3，2]，则[3，2]＝6；按照要求回答下列各题：（1）在表一中，[3，5]＝　15　，[8，10]＝　80　；（2）在表一中，第3行第n+1列的数可以记为[3，n+1]＝　3n+3　；（3）如图，表二、表三、表四分别是从表一中截取的一部分，求3a+b﹣2c的值．【思路点拨】（1）通过观察可知第三行数的规律是3n，第8行数的规律是8n；（2）由第三行数的规律是3n，可求解；（3）a是第6行第3个数，b是第6行第5个数，c是第7行第4个数，分别求出a、b、c，再代入所求代数式即可．【解题过程】解：（1）第三行数的规律是3n，∴第三行第五个数是15，∴[3，5]＝15，∵第8行数的规律是8n，∴第8行第10个数是80，∴[8，10]＝80，故答案为：15，80；（2）∵第三行数的规律是3n，∴[3，n+1]＝3n+3，故答案为：3n+3；（3）表2中，12＝3×4，15＝3×5，∴a是第6行第3个数，∴a＝18，表3中，20和25在同一行，∴20是第5行第4个数，∴b是第6行第5个数，∴b＝30，表4中，18是第6行第3个数，21是第7行第3个数，∴c是第7行第4个数，∴c＝28，∴3a+b﹣2c＝3×18+30﹣2×28＝28．9&#x﹣62…